2025年高考數學二輪復習測試卷01（新高考八省專用）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.已知集合4=同一14%<2},8={尤卜24尤<1},則AB=（）

A.{R-lVx<l}B.3-2Vx<2}

C.[x\x>-2^D.{x|尤<2}

【答案】B

【解析】集合A={尤卜14x<2},B^{x\-2<x<\\,所以=尤<2}.

故選：B

2.若復數z=cos]6j+3i是純虛數，則6的值可以為（）

5兀—3兀一9兀

A.2兀B.—C.—D.

44T

【答案】C

【解析】由題意可知,cos|--6?|=0,—=—+AJI,A:GZ,

14)42

3兀

得e=—士―癡,女￡Z,根據選項可知，只有乎滿足條件.

44

故選：C

3,若非零向量0滿足同=2忖，且（"36）,0,則cos〈a”〉=（)

2

A.-B.—C.—D.

346

【答案】D

【解析】Q(?-3&)1?,

rr]r,,

即=2,又忖=2忖,

故選：D.

4.已知函數＞=/(尤)的圖象與函數y=2*的圖象關于直線y=x對稱，g(x)為奇函數，且當尤＞0時,

g(x)=f(x)-x,則g(-8)=()

A.-5B.-6C.5D.6

【答案】C

【解析】由已知，函數y=/(x)與函數y=2"互為反函數，則/(x)=iog2x.

由題設，當x＞0時，g(x)=log2X-X,則g(8)=logz8-8=3-8=-5.

因為g(x)為奇函數，所以g(-8)=-g(8)=5.

故選：C.

5.已知拋物線。：丁=2.(。＞0)的焦點為八準線為/，過C上一點A作于點B,若

|AB|=|防|=4,則。=()

A.1B.6C.2D.2g

【答案】C

【解析】方法一：連接AF,由拋物線定義可得|AF|=|AB|,

因為|45|=忸同=4,所以△"B是邊長為4的等邊三角形.

如圖，設準線/與x軸的交點為。，又AB〃。廠,

所以NBED=NA班'=60。,

所以°耳=忸尸|cos60°=2.

方法二：設/與x軸的交點為。，則AB〃。/，

設4（打,力）,在RtABD尸中，忸Z*+Q司2=忸司2,

即+?2=2pX[+加=16①,

又體同=%+點=4②，聯立方程組①②，解得：%=3,p=2.

所以P=2.

故選：C.

,,3sin—+a+sin6Z-3皿/,,_^,/、

6.已知2a12），則cos2a的z值s為（）

tan—=--------------------

2sina

【答案】B

3sin—+a+sina-3

【解析】由‘a",uJ

sina

/口2。3cosa+sina—3

得tan2—=---------------222=l-3tan—

2sinac.aa2

2sm—cos—

22

2tan-ry2-22

EH,22k八cosa-sma1-tan1_5

則tana=-------=-,而cos26z=----------廣

1-tan2—3cos<7+sina1+tan2a13

2

故選：B

7.如圖，已知四棱柱ABC。-A4G2的底面為平行四邊形，E,F,G分別為棱AVCG，G2的中點，則

DG

Ei

A.直線BC,,BD,都與平面EFG平行

B.直線都與平面EFG相交

C.直線BG與平面E尸G平行，直線BR與平面￡FG相交

D.直線BG與平面EFG相交，直線3,與平面EFG平行

【答案】C

【解析】

設對角線AC的中點為0,跖的中點為。］,DA=a,DC=b,DD、=c

以。，仇。為基底，建立空間坐標系如上圖,

則i5cl=-a+c,

?.E,尸分別是AA，CG的中點，?,?.//AC,OO1//C￡EF=AC,OOX=CF,

GO】=g^—gc+FO]—+=；(a—c),

；.BC；=-；GOi,即BC"/GO|,GQu平面EFG,BC0平面EFG,

BCJ1平面EFG；

由以上分析知，OOJIFC,FCUDD\,并且JFC=gcG=g。2，

：.OOJ/DD{,,點。也是對角線8。的中點，

???OOX是8。"的DR邊上的中位線，即。?在上，

B”平面EEG,即BA與平面E/G交于點。，

綜上，BC"/平面EFG,BDX與平面EPG相交；

故選：C.

8.若e為自然對數的底數，則下列結論正確的是()

%1X2XlX2

A.x2e<xfiB.x2e>xxe

C.e巧一e*>Inx2-Inx{D.e巧-e*<Inx2-Inxx

【答案】B

【解析】對于AB選項，構造函數〃x)=則尸(x)=9，當0<x<l時，-(x)>。,

所以，函數/(X)在(。,1)上單調遞增，

因為0"<三<1,貝1]/(石)</(々)，即宗<?，即Xze-1>書法，A錯，B對；

對于CD選項，構造函數g(x)=e=lnx,其中0<x<l,g'(尤)=^-工，

因為函數丁=^、>=-：在(。,1)上均為增函數，故函數g'(x)在(0,1)上為增函數，

因為g(g)=&-2<0,g,(l)=e-l>0,

所以，存在使得小)=0,

當0cx</時,g,(x)<0,此時函數g(x)單調遞減，

當X。〈尤<1時，短(x)>0,此時函數g(x)單調遞增，

所以，函數g(x)在(0,1)上不單調，無法比較g&)、g(N)的大小，C錯，D錯.

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.己知函數/（x）=Acos（0x+e“A>O,0>O,網的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）

尤

A./(x)=2cos(2

B.函數小）在-旌上的值域為卜1,若］

C.函數/，-巳1是奇函數

D.函數〃尤）的圖象可由y=2cos［x+f上所有點的橫坐標變為原來的g倍，再向右平移巳得到

【答案】ACD

【解析】由圖可知4=2,3==-二=；,

43124

27r

所以T=—=7t,所以①=2,

0)

貝ij/(x)=2cos(2x+0),

乂=+=所以cos[+e[=1,

JT

所以一+8=2E#￡Z,

6

又ld<g,所以夕=一］,

20

所以〃x)=2cos]2x-m,故A正確；

對于B,因為xe,所以2x-.e-，

4oJ6L36

ffrtUcos^2x-—e——,1,

jrjr

所以函數“X)在-"不上的值域為[T，2]，故B錯誤;

因為g=2sin(―2x)=-2sin2x--g(x),

所以函數小是奇函數，故c正確;

對于D,y=2cos［x+［J上所有點的橫坐標變為原來的1倍，得y=2cos0x+￡

再向右平移得y=2cos2］無用+￡=2cos|^2x-^=/（%）,故D正確.

故選：ACD.

10.某中學在學校藝術節舉行“三獨”比賽（獨唱獨奏獨舞），由于疫情防控原因，比賽現場只有9名教師評

委給每位參賽選手評分，全校4000名學生通過在線直播觀看并網絡評分，比賽評分采取10分制.某選手

比賽后，現場9名教師原始評分中去掉一個最高分和一個最低分，得到7個有效評分如下表.對學生網絡

評分按口,8）,［89）,［9,10］分成三組，其頻率分布直方圖如圖所示.

則下列說法正確的是（）

A.現場教師評委7個有效評分與9個原始評分的中位數相同

B.估計全校有1200名學生的網絡評分在區間［8,9）內

C.在去掉最高分和最低分之前9名教師評委原始評分的極差一定大于0.7

D.從學生觀眾中隨機抽取10人，用頻率估計概率，X表示評分不小于9分的人數，則E（X）=5

【答案】ABD

【解析】去掉9個原始評分中的一個最高分和一個最低分，不會改變該組數據的中位數，A正確；

因為學生網絡評分在區間［8,9）內的頻率為0.3,學生總人數為4000,則網絡評分在區間［8,9）內的學生估計

有4000x0.3=1200人，B正確；

若去掉的一個最高分為9.6,去掉的一個最低分為8.9,則9名教師原始評分的極差等于0.7,C錯誤；

學生網絡評分在區間［9,10］內的頻率為0.5,則X~8C10,0.5）,所以E（X）=10x0.5=5,D正確；

故選：ABD.

11.“臉譜”是戲曲舞臺演出時的化妝造型藝術，更是中國傳統戲曲文化的重要載體如圖，“臉譜”圖形可近

X2+y2=4,y>0

似看作由半圓和半橢圓組成的曲線G其方程為爐2.則下列說法正確的是（）

—+^-=1,y<0

A.曲線C包含的封閉圖形內部（不含邊界）有11個整數點（橫、縱坐標均為整數）

B.曲線C上任意一點到原點距離的最大值與最小值之和為5

C.若4（0,—6）、8（0,行），P是曲線C下半部分中半橢圓上的一個動點，貝！JcoszAPB的最小值為

9

D.畫法幾何的創始人加斯帕爾?蒙日發現：橢圓中任意兩條互相垂直的切線，其交點都在與橢圓同中

心的圓上，稱該圓為橢圓的蒙日圓；那么曲線C中下半部分半橢圓擴充為整個橢圓C：

22

?+看_=1（_3<”3）后，橢圓。的蒙日圓方程為：X2+/=13

【答案】BCD

x2+y2=4,y>0

【解析】對于A：曲線■尤22中，-2VxV2,當xeZ時,

—+^-=l,y<0

149,

分5類討論：%=-2,-1,0,1,2,分別代入曲線C方程，可得：

整數點為(一1,1),(-1,0),(-1,-1).(-1,-2),(0,1),(0,0),(0,-1),

(0,-2),(1,1),(1,0)、(1,-1),(1,-2),

所以：整數點有12個，選項A錯誤；

對于B：曲線C中，當y>l時/+/=4,此時與原點距離為2,

22

當y<0,時‘+5=1,設半橢圓上動點P坐標為(2cos0,3sin。)，6c［肛2句

貝！110/f=0cos6)2+(3sin6)2=4cos26(+9sin261=9-5cos26?<9=>2<|(9P|<3,

最大值與最小值之和為5,選項B正確;

22

對于C：又40，—百)、2(0，6)恰為橢圓上+匕=1的兩個焦點.

49

那么|即+「@=6,\PA\-\PB\<附+阿=9

I2,

當且僅當|網=|正耳，即P在x軸上時，等號成立，

在ARIB中，|AB|=26，由余弦定理知:

|PA|2+|PBI2-|AB|2_(|PA|+|PB|)2-|AB|2-2|PA|.|PB|

cosZAPB=

2\PA\-\PB\2\PA\-\PB\

62-2O-2|PA|.|PB|881“

=--------1r-,1------=?pir-IN1=,選項C正確;

2\PA\-\PB\|PA|-|PB|99

對于D：由題意知：蒙日圓的圓心。坐標為原點(0,0),在橢圓C'：'+匯=1(-34>43)中取兩條切

49'

線：》=2和，=3,它們交點為(2,3),

該點在蒙日圓上，半徑為,22+32=岳

此時蒙日圓方程為：x2+_y2=13,選項D正確.

故選：BCD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

/、[ex,x<1

12.已知函數〃力=“八?則/(山3)=.

3

【答案】-

e

【解析】因為ln3>l,所以“In3)=〃ln3—1),

「ln3oO

因為ln3—1<1,所以“In3-1)=6瓜37=J=所以“In3)=±.

eee

3

故答案為：-

e

13.一個盒子中裝有標號為1,2,3,4,5的五個大小質地完全相同的小球.甲、乙兩人玩游戲，規則如

下：第一輪，甲先從盒子中不放回地隨機取兩個球，乙接著從盒子中不放回地隨機取一個球，若甲抽取的

兩個小球數字之和大于乙抽取的小球數字，則甲得1分，否則甲不得分；第二輪，甲、乙從盒子中剩余的

兩個球中依次不放回地隨機取一個球，若甲抽取的小球數字大于乙抽取的小球數字，則甲得1分，否則甲

不得分.則在兩輪游戲中甲共獲得2分的概率為.

23

【答案】而

【解析】若第一輪在第一輪中得1分，

若第一輪中甲抽到的小球為1,3,則乙抽到的小球只能是2,

若第一輪中甲抽到的小球為1,4,則乙抽到的小球可以是2或3,

若第一輪中甲抽到的小球為2,3,則乙抽到的小球可以是1或4,

若第一輪中甲抽到的小球為1,5或者2,4或者2,5或者3,4或者3,5或者4,5時，則乙抽到的小球

可以是剩下三個小球中的任何一個，故共有6x3=18,

1+2+2+1823

因此第一輪中甲得1分的概率為一3H-=而，

在第二輪的過程中，只剩下兩個球，要使甲在第二輪中得1分，只需要甲在剩下兩個球中抽到號碼大的球

即可，故概率為

I2323

因此甲在兩輪中共得2分的概率為5乂前，

23

故答案為：--

60

14.已知過點PQ-2）的直線//分別與圓E:/+y2—4y=0交于兩點（點5在A的上方）和兩點

（點C在。的上方），且四邊形A5CD為等腰梯形，若sin/8PC=巫，則梯形A5CD的面積為.

8

【答案】M

4

【解析】不妨設點C，D在第一象限，設AD與y軸交點為尸，如圖所示，

由圓石：f+y2_4y=0得，x2+（^—2）2=4,圓心石（。,2）,半徑為2,

因為sin/BPC=姮，所以cos/BPC=

88

因為四邊形ABCD為等腰梯形，

所以點4,8與點C,。關于y軸對稱，BCHADUx螭,

2

則cosZBPC=cos2ZDPF=2cos2/DPF—1=-,解得cosZDPF=—,

84

所以tai*‘in〃尸J["C°LDPF=叵,

cosZDPFcosZDPF15

PF1l

設直線CD的傾斜角為0=/PDF,則直線CD的斜率為tan/PDF=——=-------------=V15,

FDtanZFPD

設直線CD的方程為y=y/15x-2,D(xt,%),C(x2,y2),

y=A/15X-2_

由<,,工得，4X2-2V15X+3=0,

x2+(y-2)-=4

解得網二姮二立7-3757+3喬

則|A必+|BC|=2x(^l±^+^l^)=厲，|y「y』=Zz1^_Z±1^=￥，

1iii44442

所以梯形ABC。的面積為(佑0+忸1).回-叼3=屈父哼*3=竽，

故答案為：”3.

4

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(13分)

已知VABC的內角A,民C滿足二―=―豈=把①.

sinAsinBsinC

⑴求sinB；

(2)證明：C=2A.

【解析】(1)由2=3=2^,WsinA:sinB:sinC=2:3：A/10.

sinAsinBsinC

由正弦定理得a:b:c=sinA:sinB:sinC=2:3:A/10?

^a=2x,b=3x,c=A/10X(X>0),

由余弦定理得cosB=鵬起一護=叵

2ac8

貝!jsinB=71~COS2B=.

8

/c、、T口口r+t/1\VH*A-rt-<22+Z?2—I.Z?2+C2—A/1-0

(2)證明：由(1)可矢口，cosC=----------=—,cosA=----------=----

2ab42bc4

則cos2A=2COS2A-1=—=cosC.

4

由cosA>0,得Ac[0,5],貝1|2Ae（0,兀）.

因為Ce（O,兀），所以C=2A.

16.（15分）

已知數列｛%｝滿足%=1,%=3a.i+4（n>2）.設一=log3（an+2）.

（1）求證：數歹U｛。,+2｝是等比數列，并求數列｛4｝通項公式；

（2）設數列且對任意正整數〃，不等式c〃V24-1恒成立，求實數X的取值范圍.

a屋冊+i

【解析】（1）證明：由％=1,4=3%+4（〃22）,

可得%+2=3%+6=3（%+2）,4+2=3

即數列｛4+2｝是首項和公比均為3的等比數列，

貝lJa“+2=3",即。"=3"—2；

4,+23"

（2）數列%丁+1）

Un,Un+la」a田（3?-2）（3"-2）

.c-3-（3--2）（3--2）3--6；1

G（3H+1-2）（3H+2-2）3"3"+2-2'

可得｛%｝遞減，可得c“Wq=],對任意正整數〃，不等式恒成立,

35「5、

可得24-1之即有即2的取值范圍是

17.（15分）

設函數/（%）=%一alnx,a>0.

⑴若“X）在（e"（e））處的切線方程為y=3x,求實數。的取值;

e

（2）試討論“X）的單調性;

⑶對任意的xe（O,y）,恒有/（x）ZO成立，求實數a的取值范圍.

【解析】⑴由向，則/（耳=1_三，

因為“X）在（e,/（e））處的切線方程為V=?》，

所以f(e)=l-9===^,=

eee

(2)由(1)知，ff(x}=l--=—―,x>0,

XX

因為〃>0,所以0<X<4時，/<(%)<0,當時，f\x)>0,

所以了(%)單調遞減區間是(O,Q),單調遞增區間是(。,+8).

(3)若任意的XE(0,+8),恒有/(力20成立，

即=1n^之。，在％E(0,+8)上恒成立,即如xVx,其中a>0,

當％=1時，041成立，

當0<%<1時，lnx<0,則〃之二恒成立，h(x)=—,h'(x\=,

luxInxInx

Y

當了〉1時，lnx>0,貝IJQ4—恒成立，令/i'(x)>0,BPlnx-l>0,解得x>。，

Iwc

而出(%)<0時，0<x<e,故l<x<e時，尸(%)<0,此時/(%)單調遞減，

%>e時，((%)>0,此時/(%)單調遞增，

故/■(》)在X=e時取得最小值，/??.?=/(e)=-^=e,即aWe,

又因為。〉0,故0<aWe,

綜上所述，實數。的取值范圍為(0,可.

18.(17分)

如圖，在四棱錐尸—ABCD中，底面ABCZ)是直角梯形，AB//CD,AB±BC,S.AB=BD=2CD=4,

側面尸CD是正三角形，側面尸CD_L底面ABCZ),E為尸C中點，作￡F_L依交PB于尸.

(2)求平面與平面PBC的夾角的余弦值；

(3)在平面DEF內是否存在點Q.使得QA-QB=0,若存在，求動點。的軌跡長度；若不存在，請說

明理由.

【解析】(1)由側面PCD,底面ABCD,側面尸CD1底面ABCD=CD,BCu面ABCD,

又底面ABCD是直角梯形，AB//CD,ABA.BC,故5CLCD,

所以BC_L面尸CD,DEu面尸8,則BC_LOE,

由側面PCD是正三角形，E為尸C中點，則DEJLPC,

而8€?。1尸。=(7且都在面P3c內，則。E_L面P3C,DEu面OEb,

所以面面尸8C,而￡F_LPB,面DEFc面PBC=EF,尸3u面P8C,

所以P3_L平面ZJEF.

(2)依題意，可構建如下圖示的空間直角坐標系，C(0,0,0),8(0,2石,0),尸(1,0,g),￡)(2,0,0),

所以CB=（0,2區0）,CP=（1,0,若），PB=（-1,2^,DP=（-1,0,,

m-CB=2乖1y=0

令m=(x,y,z)是面PBC的一個法向量,則

m-CP=x+#iz=0

令x=6，則根=（石,0,-1）,

n-PB=-a+2Kb-布c=0

令】=(0,瓦c)是面PBC的一個法向量,則，

n-DP=—a+A/3C=0

令a=G則〃=（后1,1）,

所以平面P8O與平面PBC的夾角的余弦值V

z.

(3)由QbQ8=0,即QA_LQB,故。點在以AB為直徑的球體與平面DEF的交線上,

又4（4,2石,0）,8（0,2百,0）,其中點坐標為0（2,26,0）,則。O=（0,2的,0）,

由(1)(2)知，尸8=(-1,26,-石)是面DE尸的一個法向量,

PBD

所以。到面DEF的距離d=|°|=/I2=3＞四1=2,

\PB\V1+12+32

所以以48為直徑的球體與平面DEF不相交，故不存在Q使QA?QB=0.

19.(17分)

定義：如果在平面直角坐標系中，。為坐標原點，點A3的坐標分別為(3,乂),(%,%)，那么稱

“(A3)=-%|+1M-丫21為A8兩點間的曼哈頓距離；0(A,B)=為A,8兩點間的歐

幾里得距離.

⑴已知d(O,P)=l,求RQP)的最小值；

⑵己知M(3,2),D(O,N)=2,求d(M,N)的最大值；

(3)已知a>0,點A(占,乂)在函數〃(x)=」(x<0)圖像上，點3(x,,%)在函數g(x)=alnx-x圖像

X

上，且％片丫2，點A3有成A8)的最小值為4,求實數