2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)小題提升練15

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的）

1.（2024?湖北?模擬預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，若三+1=:4,貝”對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.（22-23高三上,貴州貴陽?期末）已知集合A=[a]2E+V。V2E+萬,左ez1,

B=^ar|fei+-^<a<kn+^,k,貝I」（）

A.AcBB.BjAC.A=BD.AB=0

3.（2024?北京懷柔?模擬預(yù)測）攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見于亭閣式

建筑、園林建筑等，如圖所示的亭子帶有攢尖的建筑屋頂可近似看作一個圓錐，其底面積

為16兀，屋頂?shù)捏w積為必叵兀，算得側(cè)面展開圖的圓心角約為（）

3

22

4.（2024?遼寧?二模）已知橢圓￡'：++斗=1（。>6>0）與拋物線。：_/=2。吠0>0）在第一

象限的公共點為A,橢圓的左、右焦點分別為4,8，其中右焦點與拋物線的焦點重合，已

知NA耳&=30,則cos/AgK=（）

A布R布V6

A.D.C?\Jn.

3326

5.（2024?吉林白山?一模）2023年12月初，某校開展憲法宣傳日活動，邀請了法制專家楊

教授為廣大師生做《大力弘揚憲法精神，建設(shè)社會主義法制文化》的法制報告，報告后楊

教授與四名男生、兩名女生站成一排合影留念，要求楊教授必須站中間，他的兩側(cè)均為兩

男1女，則總的站排方法共有（）

A.300B.432C.600D.864

12

6.（2023高二下?浙江杭州?學(xué)業(yè)考試）若正數(shù)工，'滿足一+一=1,則4/+/一16孫的最小

xy

值是（）

A.-108B.-100C.-99D.-96

7.（2023?江西吉安?一模）已知直線〃：x+my-3〃?-l=0與〃：〃zx-y-3"z+l=0相交于

點M,線段A3是圓C：（x+l『+（y+l）2=4的一條動弦，且k2石，則的最

小值為（）

A.6-4后B.3-0C.5+A/3D.亞-1

8.（23-24高三上?浙江?階段練習(xí)）若3sin9+cos9=JHj,則=[,+司|一的的值

I8J

為（）

r12

A.—7B.—14C.—D.一

77

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0

分）

9.（23-24高二下?黑龍江哈爾濱?期中）關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列說法不正確的是

（）

A.若數(shù)列｛q｝為等比數(shù)列，且其前〃項的和5“=2"—+乙則r=-g

B.若數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，且%%+%%=6,則4=81

C.若數(shù)列｛q｝為等比數(shù)列，S“為前〃項和，則S“，S2n-Sn,又,-邑"，…成等比數(shù)列

D.若數(shù)列｛風(fēng)｝為等差數(shù)列，24+3%=",則品，最小

10.（2024?甘肅定西?一模）已知函數(shù)〃x）=,-l|-a,g（x）=x2_4M+2-q,則（）

A.當(dāng)g（x）有2個零點時，/（x）只有1個零點

B.當(dāng)g（x）有3個零點時，只有1個零點

C.當(dāng)有2個零點時，g（x）有2個零點

D.當(dāng)有2個零點時，g（x）有4個零點

11.（22-23高二下?遼寧?階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點為JF,其準線/與

x軸交于點M（-LO）,過M的直線與C在第一象限內(nèi)自下而上依次交于A8兩點，過B作

BD口于D,則（）

A.C的方程為丁=2尤

B.當(dāng)，A,尸三點共線時，忸4=3|AF|

C.\AF\+\BF\>2\MF\

D.當(dāng)NMAF=90°時，忸D|=|"D|

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線

上）

12.（2024?天津南開?一模）已知編號為1,2,3的三個盒子，其中1號盒子內(nèi)裝有兩個1

號球，一個2號球和一個3號球；2號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號盒子內(nèi)裝

有三個1號球，兩個2號球，若第一次先從1號盒子內(nèi)隨機抽取1個球，將取出的球放入

與球同編號的盒子中，第二次從該盒子中任取一個球，則在第一次抽到2號球的條件下，

第二次抽到1號球的概率為,第二次抽到3號球的概率為

13.（2024?天津和平?二模）過點（0,0）作曲線y=2%xeR）的切線，則切點的坐標

為.

14.（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，在長方體48a>-A耳CQ中，AB=3,BC=CCt=2,

M,N分別為BC,CG的中點，點P在矩形BCGA內(nèi)運動（包括邊界），若A///平面

AMN,則4尸取最小值時，三棱錐尸-蛆臺的體積為.

2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)小題提升練15

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的）

1.（2024?湖北?模擬預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，若2+1=魯，貝!|z對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.（22-23高三上?貴州貴陽?期末）已知集合A=++

3=+：WtzWE+■，左ez1,則（）

A.A^BB.BeAC.A=BD.A'B^0

3.（2024?北京懷柔?模擬預(yù)測）攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見于亭閣式

建筑、園林建筑等，如圖所示的亭子帶有攢尖的建筑屋頂可近似看作一個圓錐，其底面積

為16兀，屋頂?shù)捏w積為必好兀，算得側(cè)面展開圖的圓心角約為（）

3

4.（2024?遼寧?二模）已知橢圓石:二+3=1（a>6>0）與拋物線C:y2=2px（p>0）在第一

ab

象限的公共點為4橢圓的左、右焦點分別為小鳥，其中右焦點與拋物線的焦點重合，已

知NARF]=30,則cos乙48居=（）

A抬’R"C貶D卡

r\?----D.-----U.U?-----

3326

5.（2024?吉林白山?一模）2023年12月初，某校開展憲法宣傳日活動，邀請了法制專家楊

教授為廣大師生做《大力弘揚憲法精神，建設(shè)社會主義法制文化》的法制報告，報告后楊

教授與四名男生、兩名女生站成一排合影留念，要求楊教授必須站中間，他的兩側(cè)均為兩

男1女，則總的站排方法共有（）

A.300B.432C.600D.864

12

6.（2023高二下?浙江杭州?學(xué)業(yè)考試）若正數(shù)羽>滿足一+—=1,則4/+y2—16孫的最小

xy

值是（）

A.一108B.-100C.-99D.-96

7.（2023?江西吉安?一模）已知直線//：尤+陽一3m一1=0與/2：如一'一3m+1=0相交于

點線段是圓C：（x+iy+（y+l）2=4的一條動弦，且|明=2百，則的最

小值為（）

A.6-472B.3->/2C.5+囪D.下一1

8.（23-24高三上?浙江?階段練習(xí)）若3sin6+cose=W，貝U,血+g［一+四］的值

為（）

A.-7B.—14C.-D.-

77

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0

分）

9.（23-24高二下?黑龍江哈爾濱?期中）關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列說法不正確的是

（）

A.若數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，且其前"項的和5“=25+/,則f=

B.若數(shù)列｛。,｝為等比數(shù)列，且。2%+。3。6=6,貝I］%2%/=81

C.若數(shù)列｛風(fēng)｝為等比數(shù)列，S”為前〃項和，則s“，s2n-s?,邑"-$2",...成等比數(shù)列

D.若數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，2q+34=S6,則/最小

10.（2024?甘肅定西?一模）已知函數(shù)〃到=,一1卜a,g（x）=/_4國+2-a,則（）

A.當(dāng)g（x）有2個零點時，〃尤）只有1個零點

B.當(dāng)g（x）有3個零點時，只有1個零點

C.當(dāng)〃x）有2個零點時，g（x）有2個零點

D.當(dāng)〃x）有2個零點時，g（x）有4個零點

11.（22-23高二下?遼寧?階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=2x（0>O）的焦點為/，其準線/與

x軸交于點M（-LO）,過用的直線與C在第一象限內(nèi)自下而上依次交于A,2兩點，過3作

BD口于D,則（）

A.C的方程為：/=2x

B.當(dāng)。A尸三點共線時，|M|=3|A同

C.|AF|+|BF|>2|A/F|

D.當(dāng)NMAF=90。時，\BD\=\MD\

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線

上）

12.（2024?天津南開?一模）已知編號為1,2,3的三個盒子，其中1號盒子內(nèi)裝有兩個1

號球，一個2號球和一個3號球；2號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號盒子內(nèi)裝

有三個1號球，兩個2號球，若第一次先從1號盒子內(nèi)隨機抽取1個球，將取出的球放入

與球同編號的盒子中，第二次從該盒子中任取一個球，則在第一次抽到2號球的條件下，

第二次抽到1號球的概率為,第二次抽到3號球的概率為

13.（2024?天津和平二模）過點（0,0）作曲線y=2%xeR）的切線，則切點的坐標

為.

14.（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，在長方體瓦G。］中，AB=3,BC=CQ=2,

M,N分別為BC,CG的中點，點P在矩形BCG用內(nèi)運動（包括邊界），若4尸〃平面

AMN,則4P取最小值時，三棱錐尸-叫臺的體積為

參考答案:

題號12345678910

答案DACBBBABCDBD

題號11

答案BC

1.D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算可得z=l-i,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義運算求解.

【詳解】因為)=言=,可得z=l.i,

所以z對應(yīng)的點為(1,-1),位于第四象限.

故選：D.

2.A

【分析】根據(jù)角的范圍及集合的關(guān)系即可判斷.

【詳解】當(dāng)左=2〃,〃eZ時，B=^a|2/OT+^-<a<2rm+^,kez1=A,

當(dāng)A=2〃+L〃eZ時，B=1a|2?7r+7r+^-<a<2〃兀+兀+1，左ez1,

所以A=3.

故選：A

3.C

【分析】根據(jù)底面圓面積求出底面圓半徑，從而求出底面圓周長，得側(cè)面展開圖扇形的弧

長，再由圓錐體積求圓錐的高，勾股定理求圓錐母線長，得側(cè)面展開圖扇形半徑，可求側(cè)

面展開圖的圓心角.

【詳解】底面圓的面積為16兀，得底面圓的半徑為廠=4,

所以底面圓周長為8無，即圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長為/=8兀，

屋頂?shù)捏w積為"兀，由工X16TI〃=%好兀得圓錐的高力=26，

所以圓錐母線長，即側(cè)面展開圖扇形半徑R=病彳=V20T16=6，

得側(cè)面展開圖扇形的圓心角約為a=：/=r8兀=4兀

AO3

故選：c.

4.B

【分析】結(jié)合圖象，過點A作AA'垂直x=-c交于點A,作軸，交于點依據(jù)拋

物線的定義及勾股定理可求得相關(guān)線段的長度，進一步計算即可.

【詳解】如圖，依題可知，拋物線的準線方程為“=-，，

過點A作AAr垂直了=-c交于點A,

作軸，交于點

則ZA'AF=NAF[Fz=30,

設(shè)|前|=2〃，則|A閭=〃,|AA|=W,

則\AM\=\AF{\=n,\AF2\=|A4[=W1n,\FXM\=6n,

|M7S|?

所以cos/A&耳=

|A^-73^-T

【分析】根據(jù)特殊原元素先排列，4名男生、兩名女生平均分組再排序的原則得出結(jié)果.

【詳解】楊教授站中間，只有1種方法；

「202

四名男生分成兩組放在兩邊方法數(shù)安A；；

A2

兩名女生放在兩邊方法數(shù)A；,

「202

每一邊兩名男生與一名女生再排序，得出總的方法數(shù)為N=*A；A；A；A；=432.

A?

故選：B.

6.B

12

【分析】由1+亍=1可得2%+丁=沖=沖之8,原式化為（孫『7―20孫，利用二次函數(shù)的性質(zhì)

求解即可.

12/——

【詳解】由一+—=1可得2%+丁=孫二孫之2[2xy=＞孫28,X=2,丁=4時等號成立，

xy

2

所以4兄2+,2_]6肛=（2x+y）2—20孫=（孫J—20xy=（xy—10）—100,

所以沖=10時，4x2+y2-i6xy的最小值是-100,

故選：B

7.A

【分析】根據(jù)直線所過定點和知ME-MF=0，由此得M軌跡是以G（2,2）為圓心，

0為半徑的圓（不含點（3,3））,由垂徑定理和圓上點到定點距離最小值的求法求得

ICDM^L-結(jié)合向量數(shù)量積的運算律求得舷4-MB最小值.

【詳解】由圓的方程知：圓心C（—半徑r=2；

由乙：x+中y-3根一1=。得：（x-l）+w（y-3）=0,恒過定點E（L3）；

由4：〃吠_,_3根+1=0得：加（x_3）+0_y）=0,二4恒過定點/（3,1）；

由直線4,4方程可知：4-L4，:.MEVMF,即ME-MP=0，

設(shè)M（x,y）,則ME=（l-x,3-y）,MF=（3-x,l-y）,

.?.ME.MF=（l_x）（3_x）+（3_y）（l_y）=0,整理得：（x-2）2+（y-2）2=2,

即點M的軌跡是以G（2,2）為圓心，血為半徑的圓，又直線4斜率存在，

二"點軌跡不包含（3,3）；

若點。為弦A3的中點，則MA+MB=2MD，位置關(guān)系如圖:

連接CD,由|AB|=2,^3知：|CZ）|=’2?—=1,

則|Affi￡n=\MC\mm-\CD\=\CG\-^2-y=J（2+行+（2+l1-72-1=272-1,

:.MAMB=[MD+DA^-[MD+DB^=Miy+^DA+DB^MD+DADB

=MD2-3>（2V2-1）2-3=6-4A/2（當(dāng)M在（1,1）處取等號），

即AM?MB的最小值為6-4A/2.

故選：A.

8.B

【分析】先由三角函數(shù)平方關(guān)系結(jié)合已知求出sin。,cos。，從而求出tan，，再由

c兀

2tan—

tan?=1=-----□即可求出tan-,最后由兩角和的正切公式代入表達式即可求解.

4Jan把8

8

【詳解】一方面由題意3sin8+cos8=&6,且注意到sin2e+cos2e=l,

聯(lián)立得lOsin?6?-6Msine+9=0,sin6=^^,cos6?=—

1010

所以tanO=￡g=3,

COS，

c兀

2tan—

JrTT

另一方面不妨設(shè)龍=tanK>0,且tan：=l=8

兀

84l1-tan2—

8

所以有尤2+2x-l=0,解得x=-l+0或x=-l-0（舍去），即尤=tang=-l+應(yīng)，

O

由兩角和的正切公式有

tan[e+]tan，+x3+

=-7+5V2,

l-x-tan6>1-3（-1+A/2）（4-3V2）X（4+3A/2）

tan18+1]]

=-(7+5A/2)+7

所以tan[e+1,(7+5忘)

7-5及

=-(7+5&)+

(7+5⑹x(7-5⑹

=-7-5A/2+5>/2-7=-14.

故選：B.

9.CD

【分析】求出力的值判斷A；利用等比數(shù)列的性質(zhì)計算判斷B；舉例說明判斷C；求出4與

公差d的關(guān)系判斷D.

【詳解】對于A,由5“=2"-+乙=S,=l+t,a2=S2-S,=l,a3=S3-S2=2,數(shù)列{%}

為等比數(shù)列,

則2(1+7)=1,解得/=_；,經(jīng)驗證符合題意，A正確;

對于B,等比數(shù)列｛q｝中，由。2%+。3。6=6,得。2%=。3%=3,則

axa2a34=(//)，=81,B正確;

對于C,等比數(shù)列｛%｝的公比4=-1,〃為偶數(shù)時，S“=0,Sn,S2n-S?,邑“-邑”，…不

成等比數(shù)列，C錯誤；

對于D,設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,由2q+34=S6，得2q+3q+64=6%+15”，

整理得q+9d=0,當(dāng)d<0時，S"沒有最小值，D錯誤.

故選：CD

10.BD

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為>=|2:1|,〉=/-4國+2與〉=4的圖象交點問題，結(jié)合圖象，逐

一分析各選項中。的取值范圍，從而得解.

【詳解】令/㈤=0,g(x)=0,得忙一』=Q,%2一4國+2=Q,

利用指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)作出y=[2，T，y=/T|H+2的大致圖象，如圖所示,

由圖可知，當(dāng)g(x)有2個零點時，。=-2或a>2,

此時“X)無零點或只有1個零點，故A錯誤；

當(dāng)g(x)有3個零點時，°=2,此時只有1個零點，故B正確；

當(dāng)“X)有2個零點時，此時g(x)有4個零點.故C錯誤，D正確.

故選：BD.

11.BC

【分析】根據(jù)準線與x軸的交點求出拋物線的解析式，通過分析即可得出正確選項.

【詳解】由題意，

在=2px(p>0)中，準線/與x軸交于點Af(-L0)

0-y=-L解得：P=2,

回拋物線的方程為C：V=4x,A項錯誤；

設(shè)的方程為彳=沖一1,4(玉,%)(玉>0,%>0),B(x2,y2)(x2>0,y2>0),

x=my-1,

聯(lián)立得y2-4my+4=0,

/=4尤，

則A=16m2-4x4>0,即療>1,%+%=4加,%%=4，

由題意可知，D(-1,J2),F(1,0),

當(dāng)A,P三點共線時，當(dāng)一r=',

-1-1xi-1

式=生=4汴

貝U4一%一4一2,解得％=生,

V)3

則％=26，

代入C的方程可知，A&,年］，川3,26），

根據(jù)拋物線的定義可知|AF|=；+l=g，忸司=3+1=4,

^\\BF\=3|AF|,8項正確；

由定義可知，

叫+忸司=占+%+2=”+5+2=；［（必+%）2-2X%］+2=4療,

團療>1,\MF\^2,

^]\AF\+\BF\>2\MF\,C項正確;

當(dāng)NMAF=90°時，

則AM.AF=（-1—菁,_%）?（）.—玉,_必）=-1+x^+yf=—1+4^=0,

解得西=—2+石（負值舍去），才=4卜2+君）,

則3=24石-2，

222

由％%=4,貝1%=

7^-2A/5-2

=2）拈-2x（3+⑹,①

回%+%

假設(shè)|BD|=］MD|,則加=1,則%+%=4,

顯然不符合①，所以D項錯誤.

故選：BC.

1,11

12.-0.5——

248

【分析】根據(jù)題意，先求出在第一次抽到2號球的條件下，第二次抽到1號球的概率；記

第一次抽到第i號球的事件分別為41=1,2,3）,記第二次在第i號盒內(nèi)抽到3號球的事件

分別為耳［=1,2,3）,第二次抽到3號球為事件8,再利用全概率公式求解即可.