2025年高考數學壓軸訓練11

一.選擇題（共10小題）

2萬

1.（2024?長沙模擬）在△ABC中，D為邊BC上一點,NZMC=—，4）=4,AB=2BD,且△ADC的

3

面積為4百，則sinNABD=（）

A/15—A/151+A/3下-6n6+百

8844

――O/TT-

2.（2024?和平區二模）平面四邊形ABCE＞中，AB=2,AC=2近，AC±AB,ZADC=—,則蒞?福

3

的最小值為（）

A.-A/3B.-2A/3C.-1D.-2

3.（2024?江西一模）如圖，正六邊形的邊長為2&,半徑為1的圓O的圓心為正六邊形的中心，若點”

在正六邊形的邊上運動，動點A,3在圓O上運動且關于圓心O對稱，則礪?礪的取值范圍為（）

A.[4,5]B.[5,7]C.[4,6]D.[5,8]

4.（2024?新鄭市校級一模）如圖，為了測量某濕地A,5兩點之間的距離，觀察者找到在同一條直線上

的三點C,D,E.從。點測得NADC=67.5。，從C點測得NACD=45。，ZBCE=75°,從E點測得

NBEC=6O°.若測得DC=2若，CE=y/2（單位：百米），則A,3兩點之間的距離為（）

A.A/6B.3C.272D.2拒

5.（2024?重慶模擬）已知|灑=百，|5|=1,a-b=0,\c+a\+\c-a\=4,d2-4b-d+3=0,貝

的最大值為（）

A,坦+1B,4C,坦+2D,衛

333

6.（2024?唐山二模）己知圓C:V+（y-3）2=4過點（0,4）的直線/與x軸交于點P,與圓C交于A,3兩

點，則喬?（&5+函）的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,1)C.[0,2]D.[0,2)

7.（2024?貴陽模擬）在鈍角AABC中，C=~,AC=4,則3C的取值范圍是（)

8.（2024?啟東市校級模擬）已知點P在圓（％-1）2+丁=1上，點4的坐標為（_1,后）,。為原點，則前.Q

的取值范圍是（）

A.[-3,3]B.[3,5]C.[1,9]D.[3,7]

9.（2024?湖北模擬）己知向量4，b,滿足|洲=出|=|6-5],則萬?（萬+萬）=（）

A.-a2B.-b-C.-（a+F）2D.-（a-F）2

2222

10.（2024?河北模擬）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若c=3,6=2,N54C的

平分線4）的長為孚，則3c邊上的高線AH的長等于（）

A44忘4石

333

多選題（共5小題）

11.（2024?湖北模擬）在AABC中，A,B,C所對的邊為a,b,c,設邊上的中點為A/,AABC的

面積為S,其中。=2若，b2+c2=24,下列選項正確的是（）

A.若4=工，貝|S=3j5B.S的最大值為3力

3

C.AM=3D.角A的最小值為工

3

rvir）

12.（2024?蘭陵縣模擬）定義運算P=mn-pq.在A4BC中，角A,B,。的對邊分別為。，b,c,

qn

CLhc3

若a,6,c滿足=0,則下列結論正確的是（）

a+c—b1

A.sinA+sinC=2sinB

B.A:C=1:2

C.角3的最大值為工

3

D.若asinA=4csinC,則AABC為鈍角三角形

13.（2024?鯉城區校級模擬）如圖，某旅游部門計劃在湖中心。處建一游覽亭，打造一條三角形。游

覽路線.已知回，3c是扇岸上的兩條甬路，ZABC=120°,BD=Q3km,BE=05km,/DQE=60。（觀

光亭。視為一點，游覽路線、甬路的寬度忽略不計），貝U（）

A.DE=O.lhn

B.當/DE0=45°時，DQ=^-hn

C.AD￡Q面積的最大值為今》切？

D.游覽路線OQ+QE最長為1.4物?

14.（2024?城廂區校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，已知點4（4,0）,8（0,2）,C（0,l）,。是線段。4

上的動點，點。與點尸關于直線8對稱.則下列結論正確的是（）

yk

A.當CD//AB時，點P的坐標為Sg）

B.DP?礪的最大值為4

C.當點P在直線回上時，直線DP的方程為4x+3y-8=0

4

D.NQ4P正弦的最大值為一

5

15.（2024?香河縣校級模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,E是3c的中點，尸是。C上的

一點，且。產=2FC,則下列說法正確的是（）

91__,,__

A.AF=-AB+ADB.AF=-AB+ADC.AE-AF=28D.AEAF=32

33

三.填空題（共5小題）

16.（2024?泰安四模）在AABC中，a,6,c分別為內角A,B,C的對邊，若asinB+Z7sinA=4csinAsinB,

且片一。2=4百，則AABC的面積為.

17.（2024?九龍坡區模擬）設AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,其面積為S,已知

?sin-------=csinA,c=2.則。=；S的最大值為.

2------------

_3

18.（2024?和平區校級一模）如圖，在AABC中，AB=2,AC=5,cosZCAB=-,。是邊3c上一點，

5

ABD=2DC.^BP=-AD,記加=2福+〃就（4〃eR）,貝1]彳+〃=；若點P滿足而與而共線，

19.（2024?浙江模擬）己知平面向量花石的夾角為，，方與商的夾角為30,\a\=l,a和方在5上的

投影為x,y,則x（y+sin。）的取值范圍是.

20.（2024?東城區模擬）已知平面內點集4={[,P2,A中任意兩個不同點之間的距離都

不相等.設集合B={PiPjIVme{l,2,〃}（〃[wi）,0<|）必I”Iptpm\,i=l,2,n],M={F>\PReB,

i=\,2,n}.給出以下四個結論：

①若71=2,貝!JA=A/；

②若〃為奇數，則A/A7；

③若〃為偶數，則人=加；

④若{W，耳耳，…，左耳}屋3，則左,5.

其中所有正確結論的序號是—.

四.解答題（共5小題）

21.（2024?長安區一模）AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,設J%sinA=a（2+cos8）.

（1）求3；

（2）若AABC的面積等于g,求AABC的周長的最小值.

22.（2024?一模擬）己知AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且/ID是3c邊上的

高.(sinA-sinB)(a+b)=(c-亞b)sinC.

(1)求角A;

B

(2)^sin(B-C)=—,a=5,求AD.

10

23.(2024?江西一模)在AABC中，已知內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且AABC的面積為班,

點。是線段BC上靠近點3的一個三等分點，AD=1.

(1)若NADC=%,求c；

3

(2)若麻+4°2=11,求sin/fiAC的值.

24.(2024?曲靖模擬)在AABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且c=2ocosC—%.

(1)求A；

(2)線段上一點。滿足詼=,交,|而|=|而|=1,求的長度.

4

25.(2024?回憶版)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,己知sinA+BcosA=2.

(1)求A；

(2)若a=2,\f2bsinC=csin2B,求△ABC周長.

2025年高考數學壓軸訓練11

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2024?長沙模擬）在△ABC中，。為邊5。上一點，ZDAC=—,AD=4,AB=2BD,且△4X7的

3

面積為4石，則sinNABD=（）

A/15—^/1^+百布-布n百十6

A.------------LJ.------------L.----------LJ.-------

8844

【答案】A

【考點】正弦定理；余弦定理；三角形中的幾何計算

【專題】數學運算；方程思想；數形結合法；解三角形

【分析】由已知，解得AC=4,得△"心為等腰三角形，在△ABD中，由正弦定理得sin/BAO=」，從

4

而得cos/A4￡>=巫，再由兩角差的正弦公式即可求得結論.

4

【解答】解：由題意，S△/Aiinjrc=-2xADxACxsinZDAC

=ix4xACx—=4>/3,解得AC=4,

22

所以△4X7為等腰三角形，

則乙M)C=工，故NAD3=3,

66

40BD

在△ABD中，由正弦定理得———=

sinZADBsinZBAD

2BDBD

nPnj_______________________得sinNHAZ)」,

、1~sinZBAD4

2

因為ZAP3=—,所以NR4D為銳角,

6

=-cos/BAD--sinZBAD=岳一6.

228

故選：A.

【點評】本題考查三角形中的幾何計算，考查正弦定理的應用，屬中檔題.

2.（2024?和平區二模）平面四邊形ABCD中，AB=2,AC=2代，ACYAB,ZADC=—,則布?福

3

的最小值為（）

A.-A/3B.-2A/3C.-1D.-2

【答案】D

【考點】平面向量數量積的性質及其運算

【專題】綜合法；數學運算；轉化思想；平面向量及應用

【分析】由已知，得A,B,C,。四點共圓，從而判斷點。的軌跡是以AC為弦，圓周角為生的劣弧

3

（不含A,C兩點），根據數量積的幾何意義，得出結論.

【解答】解：由AB=2,AC=2拒,AC±AB,

可得tanZABC=^=5故NA2C=工，

AB3

又NA￡>C=—,所以NADC+Z4BC=;r,

3

以3c為直徑作圓，則A,B,C,。四點共圓，

如圖所示，故點。的軌跡是以AC為弦，圓周角為竺的劣?。ú缓珹,C兩點），

3

則而?通=|蒞通|<05/841）=21而|<05/34。，

又|而l-cos/BA。表示而在通上的投影數量，

由圖可知，|而|-cos/BAOe[-1,0),

故而?通..-2（此時點。在劣弧AC的中點位置）,

即通?通的最小值為-2.

故選：D.

D

【點評】本題考查平面向量數量積的性質及運算，屬中檔題.

3.（2024?江西一模）如圖，正六邊形的邊長為20,半徑為1的圓O的圓心為正六邊形的中心，若點M

在正六邊形的邊上運動，動點A,3在圓。上運動且關于圓心O對稱，則必?礪的取值范圍為（）

A.[4,5]B.[5,7]C.[4,6]D.[5,8]

【答案】B

【考點】平面向量數量積的性質及其運算

【專題】數學運算；整體思想；平面向量及應用；綜合法

【分析】根據題意，由平面向量數量積的運算化簡，可得加?麗=|歷『-I,再由|屈|的范圍，即可得

到結果.

【解答】解：由題意可得：J^MB=(^+C^(Md+OB)=(Md+OA)(Md-OA)

=|MO|2-|OA|2=|MO|2-1,

當OM與正六邊形的邊垂直時，I詼?|,“加=n，

當點M運動到正六邊形的頂點時，I荻1s=20,

所以|礪后[而,2點],

lUlJ|Md|2e[6,8],

^MA-MB=（\MO^-l）e[5,7].

故選：B.

【點評】本題考查了平面向量數量積的運算，重點考查了平面向量的模的運算，屬中檔題.

4.（2024?新鄭市校級一模）如圖，為了測量某濕地A,3兩點之間的距離，觀察者找到在同一條直線上

的三點C,D,E.從。點測得NADC=67.5。，從C點測得NACD=45。，ZBCE=15°,從E點測得

=60°.若測得DC=2B，CE=y/2（單位：百米），則A,3兩點之間的距離為（）

A.A/6B.3C.2>/2D.2拒

【答案】B

【考點】解三角形

【專題】解三角形；轉化法；數學運算；轉化思想

【分析】根據已知條件，結合三角形的性質，正弦定理，余弦定理，即可求解.

【解答】解：在中，ZACD=45°,ZADC=61.5°,DC=2也,

則ZDAC=180°-45°-67.5°=67.5°,AC=DC=2后

在△3CE中，ZBCE=75°,ZBEC=G0°,CE=0,

則ZEBC=180°-75°一60°=45°,

..CEBC

sinNEBCsin/BEC

&X也

BC=CE2EC=^^=G

sinZEBC屈

T

在△A5c中，AC=243,BC=拒,=180°-ZACD-ZBCE=60°,

貝ijAB2=AC2+BC2-2AC-BC-cosZACB=9,解得AB=3,

故A,3兩點之間的距離為3百米.

故選：B.

【點評】本題主要考查解三角形，考查轉化能力，屬于中檔題.

5.（2024?重慶模擬）已知|那=百，|5|=1,a-b=0,|c+a|+|c-a|=4,d2-4b-d+3=0,則|<-2|

的最大值為（）

A,巫+1B,4C.坦+2D,衛

333

【答案】A

【考點】平面向量數量積的性質及其運算

【專題】轉化思想；轉化法；平面向量及應用；數學運算

【分析】由題意首先得出I忑為兩外切的圓和橢圓上的兩點間的距離，再由三角形三邊關系將問題轉換

為橢圓上點到另一個圓的圓心的最大值即可.

【解答】解：如圖所示:

不妨設m=次=(若,0),B=礪=(0,1),反=(m,n\礪=(p,4),A(-區0),

滿足I刈=5|5|=1，a-b=0,

X|c+a|+|c-a|=4,即?m+6￥+/+而〃一后+/=4=2卜>2c=2//仁川，

由橢圓的定義可知點C在以A1，A為焦點，長軸長為4的橢圓上運動，

a=2,c=b=yja1—c2=,4-3=1,

所以該橢圓方程為三+丁=1，

4

而22-45?才+3=0,即p2+?2-44+3=0,即/+(<?-2)2=1,

這表明了點。在圓爐+(,-2)2=1上面運動，其中點E(0,2)為圓心，/=1為半徑，

又|3-2|=|反-而|=|CD|,,|CE|+|ED|=|CE|+1,等號成立當且僅當C,D,E三點共線，

故只需求|CE|的最大值即可，

因為點。土+丁=1在橢圓上面運動，所以不妨設C(2cosO,sin。)，

4'

所以|CE|=^4COS20+(sin0-2)2=^4(1-sired)+sirrO-4sin6*+4=J-3s加-4sin。+8,

-47

所以當sin6=-----------=——且。，D,石三點共線時，

2x(-3)3

\c-d\W最大值|CE\inax+1=J-3x(-,)2-4x(-g)+8=+1.

故選：A.

【點評】本題主要考查平面向量的數量積運算，考查轉化能力，屬于中檔題.

6.(2024?唐山二模)已知圓C:尤2+(y-3>=4過點(0,4)的直線/與x軸交于點尸，與圓C交于A,8兩

點，則CP?(C5+函的取值范圍是()

A.[0,1]B.[0,1)C.[0,2]D.[0,2)

【答案】D

【考點】平面向量數量積的性質及其運算

【專題】方程思想；直線與圓；分類討論；數學運算；綜合法

【分析】當直線/斜率不存在時，求出點A,B、C的坐標，直接計算即可；當/斜率存在時，設/:>=自+4,

設A(%,%)、B(X2,y2),聯立直線與圓的方程，結合韋達定理表示出。?(瓦+國)關于左的表達式,

由函數的性質即可求解其范圍.

【解答】解：設A(玉，%)、8(無2，％)，,??圓C：/+(y-3)2=4,，C(0,3).

①當直線/斜率不存在時，貝lJ/:x=O,

x=O時，0。+(y-3)2=4,y—3=±2,y=3±2,

設%<%，yi=1>%=5，；.4(0,1)、5(0,5),

與x軸交于(0,0),.-.P(0,0),

.-.CP=(0,-3)>CA=(0,-2)>CB=(0,2),

CP-(CA+CB)=(0,-3).(0+0,-2+2)=0；

②當/斜率存在時，設/:>=履+4,

左=0時，/:y=4與x軸無交點，，不符題意.

44

左時，y=0時，0=fcr+4n%=——，/.P(——,0),

kk

聯立F，="+4,消去y得(公+1)無2+2代一3=0,

[尤~+(>-3)2=4

2k—3

1'k2+lk2+l

—.4—.——.

CP=(一一,-3),CA=(X1，%-3),CB=(x,%-3),

k2

CP(CA+CB)=CPCA+CPCB

44

=一小-3j,+9--X-3y+9

KK-22

4

=—(玉+%)—3(AX)+4+kx?+4)+18

k2

4

=—(3kH—)(玉+/)—6

4—7k

=_(3左+_)(一^)_6

kk2+l

6左2+8-6F+8-6(Jt2+l)

=TL=一門一

_2

=F7I,

2

■：k^Q,:.k2>0,.-.fc2+1>1,0<———<2,

k2+l

0<CP(CA+CB)<2,

^±.CP-(CA+CB)=Q^0<CP-(CA+CB)<2,

0?CP(CA+CB)<2.

則回?（而+屈）的取值范圍為［0,2）.

故選：D.

【點評】本題考查了向量的數量積運算，考查了直線與圓的位置關系，考查了方程思想及分類討論思想,

屬于中檔題.

7.（2024?貴陽模擬）在鈍角AABC中，C=?AC=4,則3c的取值范圍是（）

【答案】C

【考點】解三角形；正弦定理

【專題】解三角形；整體思想；綜合法；數學運算

【分析】利用正弦定理、兩角差的正弦公式和正切函數的性質求解即可.

【解答】解：由正弦定理得空」

sinAsinBsinB

../5兀

.44sin(------B)cosB+——sinB)1

所以8c=3A=--6—

-----------2-=4(—+

sinBsinBsinB2tanB

因為鈍角AABC中，C=-

6

〃A57r八

—<A=--B<TI

26

當3為銳角時，,得0<B<三,則0<tan8V括,

713

0<B<-

2

則一+走>馬回，所以2C=4(^^+

2tanB232tanB

71

—<B<71r-

當3為鈍角時，2，得叁<B<江,貝han3<-組，

5%萬263

0<A=------B<—

[62

貝I]o<—5—+—<—,所以0<BC=4(—5—+—)<2A/3；

2tan5222tan32

綜上：BCe(0,2^)|J(~^,+oo).

故選：C.

【點評】本題主要考查了正弦定理，和差角公式，同角基本關系的應用，屬于中檔題.

8.(2024?啟東市校級模擬)已知點尸在圓(了-講+丁=1上，點A的坐標為(-1,"),。為原點，則通?市5

的取值范圍是()

A.[-3,3]B.[3,5]C.[1,9]D.[3,7]

【答案】D

【考點】平面向量數量積的性質及其運算

【專題】轉化思想；轉化法；數學運算；平面向量及應用；直線與圓；數學建模

【分析】設P(x,y)，利用平面數量積的坐標運算結合直線與圓的位置關系可求得荷?麗的取值范圍.

【解答】解：設尸(x,y)，由圖可知，荷與Q夾角為銳角，故

又加=(1,-A),Q=(x+l,y-?

貝1|荷?麗=x-回+4,

令t=1"一:+4],則t為點尸(羽y)至！]直線X一也y+4=0的距離,

圓心C(l,0)至!J直線X—括y+4=0的距離d=2,

2

所以故而?9e[3,7].

22

故選：D.

【點評】本題考查平面向量數量積，考查直線和圓的位置關系，屬中檔題.

9.(2024?湖北模擬)已知向量萬，b,滿足|。|=出|=除-5|,則無(4+5)=()

A.-a2B.-b2C.」(商+5)2D.-(a-S)2

2222

【答案】C

【考點】平面向量的數量積運算

【專題】綜合法；邏輯推理；數學運算；平面向量及應用；轉化思想；計算題

【分析】根據已知條件可得向量。石的夾角為60。，a-b=-\a^,再利用數量積運算可得解.

2

【解答】解：由|引=出|=|4-5|,可得向量2石的夾角為60。，

「

1.a?b=1-_I2aI，

2

一一1一1一1一3

a-(a+b)=a2+a-b=—a2+a-b+—b~=—(a+b')2=—a2.

2222

故選：C.

【點評】本題考查的知識點：向量的數量積運算，向量的夾角運算，主要考查學生的運算能力，屬于中檔

題.

10.(2024?河北模擬)在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c,若c=3,6=2,44c的

平分線相＞的長為孚，則3c邊上的高線的長等于()

A右

A4R4/2?.n4

333

【答案】B

【考點】三角形中的幾何計算；余弦定理

【專題】數學運算；綜合法；解三角形；轉化思想；計算題

【分析】由SMC=S謝+S4cB可得cosa的值，進而可求得cos2tz、sin2cz的值，結合余弦定理可得a,

由等面積法S△MC=—2feesin2a=—2a-\AH\可求得|AH\.

【解答】解：由題意知，設44Z)=NC4D=a,

則NR4C=2c,如圖所示，

A

B

DC

=lxx^sin?lx2x^sin?

—QQ可得」x3x2sin2a3+

由S8e一丁0ACD

ABA22525

整理得3sin2a=2而sina，BPsin<z(3cosa-^6)=0,

又因為sinawO,

所以cosa=^~，

3

所以cos2a=2cos2a-1=-,

3

所以sin2a=^1-cos1la=,

3

在△ABC中，由余弦定理得/=32+22-2又3義28$2?=13—4=9,

所以a=3,

由兀we=g歷sin2aIAHI，可得gx3x2x半=gx3|AH|,解得|AH|=乎.

故選：B.

【點評】本題考查了三角形的面積公式以及余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思

想，屬于中檔題.

—.多選題（共5小題）

H.（2024?湖北模擬）在AABC中，A,B,C所對的邊為a,b,c,設BC邊上的中點為A1,AA5c的

面積為S,其中。=2能，b2+c2=24,下列選項正確的是（）

A.若4=工，貝|S=3』B.S的最大值為3/

3

C.AM=3D.角A的最小值為工

3

【答案】ABC

【考點】正弦定理

【專題】轉化思想；計算題；數學運算；解三角形；綜合法

【分析】對于A,由余弦定理可求歷的值，進而根據三角形的面積公式即可求解.

對于3,由已知利用基本不等式可求得公,,12,進而根據三角形的面積公式即可求解.

對于C,由題意可得2荀7=福+工，兩邊平方，利用平面向量數量積的運算，余弦定理即可求解.

對于。，利用基本不等式可求得6G,12,利用余弦定理可求cosA.!,結合范圍Ae（0/）,利用余弦函數

2

的性質即可求解.

22

【解答】解：對于A,若4=%，a=2^3,b+c=24,

3

由余弦定理4=b2+c2-2bccosA，可得12=/+c?—be=24—匕c,可得歷=12,

所以AABC的面積為5=!反5苗4=工*12*9=34，故A正確；

222

對于3,因為24=62+。2..2歷，可得物;,12,當且僅當6=c=2退時等號成立，止匕時a=6=c，可得A=工，

3

所以AABC的面積為S=U6csinA,」xl2x走=34，故3正確；

222

對于C,因為3c邊上的中點為M,可得2加=荏+/，

所以兩邊平方，可得4初2=荏2+/2+2福?/，

____,Z.22_2

可得41AM|2=c2+/?2+2bccosA=c2+b2+2bc----------------=2(Z?2+c2)-tz2=2x24-12=36,解得

2bc

IAM|=3,故C正確；

對于。，因為24=/+C2..26C,可得Z?C”12,當且僅當Z?=c=20時等號成立,

所以*4=二三24-12_1

,2x12-2

因為Ae（O,%）,可得Ae（O,-J,

3

所以A的最大值為工，故。錯誤.

3

故選：ABC.

【點評】本題主要考查了余弦定理，三角形的面積公式，基本不等式，平面向量數量積的運算以及余弦函

數的性質在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題.

mD

12.（2024?蘭陵縣模擬）定義運算P=mn-pq.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

qn

a+b+c3

若a,b,c滿足，=0,則下列結論正確的是（）

a+c-b1

A.sinA+sinC=2sinB

B.A:C=1:2

C.角8的最大值為生

3

D.若asinA=4csinC,則AABC為鈍角三角形

【答案】ACD

【考點】行列式；正弦定理；解三角形

【專題】解三角形；整體思想；數學運算；綜合法

【分析】由新定義運算得a+c=?,對于選項A：由正弦定理邊化角后知sinA+sinC=2sinB正確；對于

選項3：可舉反例進行判斷；對于選項C：結合余弦定理及基本不等式，可求得cosB.!,可知C正確;

2

對于選項。：結合條件可得計算cosA即可判斷出A為鈍角.

〃+Z?+c3

【解答】解：由=0可知(a+b+c)-3(a+c-Z?)=0,

a+c-b1

整理可知a+c=2〃，

由正弦定理可知：sinA+sinC=2sinB,

即選項A正確；

因為A=3=C=工滿足a+c=2b9

3

但不滿足A:C=1:2,

即選項6不正確；

22/〃+。、2

Q+C—(----)2?2\c

a2+c2-b22_3(。+c)-2ac6ac—lac__1

由cosB=(當且僅當a=c時取“=)，

2aclacSacSac2

又b<B<7l，

所以3的最大值為工，

3

即選項C正確；

由<2sinA=4csin。可得片=4c2,

解得a=2c9

又a+c=2〃，

74

從而可得c=—=—b9a為最大邊,

33

則<0.(0㈤,

2慶2bxgb)4

即角A為鈍角，

即選項O正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查了正弦定理，重點考查了余弦定理及基本不等式的應用，屬中檔題.

13.(2024?鯉城區校級模擬)如圖，某旅游部門計劃在湖中心。處建一游覽亭，打造一條三角形。EQ游

覽路線.己知他，3c是扇岸上的兩條甬路，ZABC=12Q°,BD=03km,BE=0.5km,/￡>QE=60。(觀

光亭。視為一點，游覽路線、甬路的寬度忽略不計)，貝U()

A.DE=O.lhn

B.當N￡)EQ=45。時，DQ=^~km

C.ADE。面積的最大值為喏加2

D.游覽路線DQ+QE最長為1.46〃

【答案】ACD

【考點】正弦定理；解三角形；三角形中的幾何計算

【專題】綜合法；數學運算；轉化思想；解三角形

【分析】A中，在SBE中，由余弦定理可得上的值，判斷出A的真假；3中，由正弦定理可得。。的

值,判斷出B的真假；C中，在NDQE中，由余弦定理及基本不等式可得QE的最大值,進而求出ADEQ

的面積的最大值，判斷出C的真假；。中，ADQE中，由余弦定理可得。Q+QE的最大值，判斷出。的

真假.

【解答】解：A中，在AD3E中，ZDBE=ZABC=120°,BD=0.3hn,BE0.5km,

由余弦定理可得DE=yjBD2+BE2-2BD-B￡cosl20°=jo.09+0.25-2x0.3x0.5x(-1)=0.75z,所以A正

確；

3中，因為NDQE=60。，DE=0.7,若NDEQ=45。時,

叵

DQDE口"八八sinZ.DEQn?977#,

由正弦定理可得即DQ=--------xO.l=^x—=—^km,所以3不正確;

sinZDEQsinZDQEsinNDQE1030

T

C中，在ADQE中，由余弦定理可得DE?=QD2+QE2-2QD-QECOSZDQE..QD-QE,當且僅當。D=QE

時取等號，

4Q

所以QD.QE,,￡>E2=0.49=—,

100

所以SM)QE=—QD-QEsinADQE?—x----x-^―=—^—km~,所以C正確;

^QE221002400

。中，在ADQE中，由余弦定理可得。序=QD2+QE2-2QO-QECOSZDQE=(QD+QE)2-3QO-QE,

所以（QD+QEf=DE2+3QDQE,,DE2+3?（變答馬？，當且僅當?！?QD時取等號,

所以（QD+QE）；,4DE"BPQD+QE?2DE=2x0.7=lAkm,所以。正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查正弦定理，余弦定理及基本不等式的性質的應用，屬于中檔題.

14.（2024?城廂區校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，已知點4（4,0）,8（0,2）,C（0,l）,。是線段。4

上的動點，點。與點尸關于直線CD對稱.則下列結論正確的是（）

A.當CD//AB時，點P的坐標為（$令

B.的最大值為4

C.當點P在直線3上時，直線DP的方程為4x+3y-8=0

4

D.NQ4P正弦的最大值為-

5

【答案】ABC

【考點】平面向量數量積的性質及其運算；與直線關于點、直線對稱的直線方程

【專題】平面向量及應用；對應思想；數學運算；綜合法

【分析】由題可得點P在以C為圓心，半徑為1的圓上，設./POB=9,則尸（25吊外05仇28$2。），可依

次判斷A,B,C選項，對。，當直線"與圓C相切時，NQ4P正弦的最大，列式計算可求解判斷.

由題意可得點P在以C為圓心，半徑為1的圓上，

設ZPOB=0,0<3<—,貝ijP（2sin6cose,2cos26）,

2

對于A,當CD//AB時，可得NPOB=6=NaLB,

sin0=—,cos6=2叵，此時點P的坐標為（上?）,故A正確;

5555

對于5,OP-OA=2sinxcosx4=4sin2^?4,當且僅當6=工時等號成立，故5正確；

4

對于C,當點尸在直線上時，可得ZPOB=e=NOAB,此時點P的坐標為,

直線。P與圓（?:*+（尸1）2=1相切，所以％=--—=所以直線上的方程為4尤+3y-8=0,故C正

kcp3

確；

對于。，當直線心與圓C相切時，NO4P正弦的最大，設直線AP的斜率為左，則直線”的方程為

y=k（x-4）,

有］=,+4幻,解得左=gptanzOAP=—,從而可得sin/OAP=§,

VFTi151517

所以NQ4P正弦的最大值為色，故O