2025年高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練11

一.選擇題（共10小題）

2萬(wàn)

1.（2024?長(zhǎng)沙模擬）在△ABC中，D為邊BC上一點(diǎn),NZMC=—，4）=4,AB=2BD,且△ADC的

3

面積為4百，則sinNABD=（）

A/15—A/151+A/3下-6n6+百

8844

――O/TT-

2.（2024?和平區(qū)二模）平面四邊形ABCE＞中，AB=2,AC=2近，AC±AB,ZADC=—,則蒞?福

3

的最小值為（）

A.-A/3B.-2A/3C.-1D.-2

3.（2024?江西一模）如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為2&,半徑為1的圓O的圓心為正六邊形的中心，若點(diǎn)”

在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)A,3在圓O上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心O對(duì)稱，則礪?礪的取值范圍為（）

A.[4,5]B.[5,7]C.[4,6]D.[5,8]

4.（2024?新鄭市校級(jí)一模）如圖，為了測(cè)量某濕地A,5兩點(diǎn)之間的距離，觀察者找到在同一條直線上

的三點(diǎn)C,D,E.從。點(diǎn)測(cè)得NADC=67.5。，從C點(diǎn)測(cè)得NACD=45。，ZBCE=75°,從E點(diǎn)測(cè)得

NBEC=6O°.若測(cè)得DC=2若，CE=y/2（單位：百米），則A,3兩點(diǎn)之間的距離為（）

A.A/6B.3C.272D.2拒

5.（2024?重慶模擬）已知|灑=百，|5|=1,a-b=0,\c+a\+\c-a\=4,d2-4b-d+3=0,貝

的最大值為（）

A,坦+1B,4C,坦+2D,衛(wèi)

333

6.（2024?唐山二模）己知圓C:V+（y-3）2=4過(guò)點(diǎn)（0,4）的直線/與x軸交于點(diǎn)P,與圓C交于A,3兩

點(diǎn)，則喬?（&5+函）的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,1)C.[0,2]D.[0,2)

7.（2024?貴陽(yáng)模擬）在鈍角AABC中，C=~,AC=4,則3C的取值范圍是（)

8.（2024?啟東市校級(jí)模擬）已知點(diǎn)P在圓（％-1）2+丁=1上，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（_1,后）,。為原點(diǎn)，則前.Q

的取值范圍是（）

A.[-3,3]B.[3,5]C.[1,9]D.[3,7]

9.（2024?湖北模擬）己知向量4，b,滿足|洲=出|=|6-5],則萬(wàn)?（萬(wàn)+萬(wàn)）=（）

A.-a2B.-b-C.-（a+F）2D.-（a-F）2

2222

10.（2024?河北模擬）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若c=3,6=2,N54C的

平分線4）的長(zhǎng)為孚，則3c邊上的高線AH的長(zhǎng)等于（）

A44忘4石

333

多選題（共5小題）

11.（2024?湖北模擬）在AABC中，A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c,設(shè)邊上的中點(diǎn)為A/,AABC的

面積為S,其中。=2若，b2+c2=24,下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若4=工，貝|S=3j5B.S的最大值為3力

3

C.AM=3D.角A的最小值為工

3

rvir）

12.（2024?蘭陵縣模擬）定義運(yùn)算P=mn-pq.在A4BC中，角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,c,

qn

CLhc3

若a,6,c滿足=0,則下列結(jié)論正確的是（）

a+c—b1

A.sinA+sinC=2sinB

B.A:C=1:2

C.角3的最大值為工

3

D.若asinA=4csinC,則AABC為鈍角三角形

13.（2024?鯉城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，某旅游部門計(jì)劃在湖中心。處建一游覽亭，打造一條三角形。游

覽路線.已知回，3c是扇岸上的兩條甬路，ZABC=120°,BD=Q3km,BE=05km,/DQE=60。（觀

光亭。視為一點(diǎn)，游覽路線、甬路的寬度忽略不計(jì)），貝U（）

A.DE=O.lhn

B.當(dāng)/DE0=45°時(shí)，DQ=^-hn

C.AD￡Q面積的最大值為今》切？

D.游覽路線OQ+QE最長(zhǎng)為1.4物?

14.（2024?城廂區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4（4,0）,8（0,2）,C（0,l）,。是線段。4

上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。與點(diǎn)尸關(guān)于直線8對(duì)稱.則下列結(jié)論正確的是（）

yk

A.當(dāng)CD//AB時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為Sg）

B.DP?礪的最大值為4

C.當(dāng)點(diǎn)P在直線回上時(shí)，直線DP的方程為4x+3y-8=0

4

D.NQ4P正弦的最大值為一

5

15.（2024?香河縣校級(jí)模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,E是3c的中點(diǎn)，尸是。C上的

一點(diǎn)，且。產(chǎn)=2FC,則下列說(shuō)法正確的是（）

91__,,__

A.AF=-AB+ADB.AF=-AB+ADC.AE-AF=28D.AEAF=32

33

三.填空題（共5小題）

16.（2024?泰安四模）在AABC中，a,6,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，若asinB+Z7sinA=4csinAsinB,

且片一。2=4百，則AABC的面積為.

17.（2024?九龍坡區(qū)模擬）設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,其面積為S,已知

?sin-------=csinA,c=2.則。=；S的最大值為.

2------------

_3

18.（2024?和平區(qū)校級(jí)一模）如圖，在AABC中，AB=2,AC=5,cosZCAB=-,。是邊3c上一點(diǎn)，

5

ABD=2DC.^BP=-AD,記加=2福+〃就（4〃eR）,貝1]彳+〃=；若點(diǎn)P滿足而與而共線，

19.（2024?浙江模擬）己知平面向量花石的夾角為，，方與商的夾角為30,\a\=l,a和方在5上的

投影為x,y,則x（y+sin。）的取值范圍是.

20.（2024?東城區(qū)模擬）已知平面內(nèi)點(diǎn)集4={[,P2,A中任意兩個(gè)不同點(diǎn)之間的距離都

不相等.設(shè)集合B={PiPjIVme{l,2,〃}（〃[wi）,0<|）必I”Iptpm\,i=l,2,n],M={F>\PReB,

i=\,2,n}.給出以下四個(gè)結(jié)論：

①若71=2,貝!JA=A/；

②若〃為奇數(shù)，則A/A7；

③若〃為偶數(shù)，則人=加；

④若{W，耳耳，…，左耳}屋3，則左,5.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是—.

四.解答題（共5小題）

21.（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)J%sinA=a（2+cos8）.

（1）求3；

（2）若AABC的面積等于g,求AABC的周長(zhǎng)的最小值.

22.（2024?一模擬）己知AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且/ID是3c邊上的

高.(sinA-sinB)(a+b)=(c-亞b)sinC.

(1)求角A;

B

(2)^sin(B-C)=—,a=5,求AD.

10

23.(2024?江西一模)在AABC中，已知內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且AABC的面積為班,

點(diǎn)。是線段BC上靠近點(diǎn)3的一個(gè)三等分點(diǎn)，AD=1.

(1)若NADC=%,求c；

3

(2)若麻+4°2=11,求sin/fiAC的值.

24.(2024?曲靖模擬)在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且c=2ocosC—%.

(1)求A；

(2)線段上一點(diǎn)。滿足詼=,交,|而|=|而|=1,求的長(zhǎng)度.

4

25.(2024?回憶版)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,己知sinA+BcosA=2.

(1)求A；

(2)若a=2,\f2bsinC=csin2B,求△ABC周長(zhǎng).

2025年高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練11

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2024?長(zhǎng)沙模擬）在△ABC中，。為邊5。上一點(diǎn)，ZDAC=—,AD=4,AB=2BD,且△4X7的

3

面積為4石，則sinNABD=（）

A/15—^/1^+百布-布n百十6

A.------------LJ.------------L.----------LJ.-------

8844

【答案】A

【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理；三角形中的幾何計(jì)算

【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；方程思想；數(shù)形結(jié)合法；解三角形

【分析】由已知，解得AC=4,得△"心為等腰三角形，在△ABD中，由正弦定理得sin/BAO=」，從

4

而得cos/A4￡>=巫，再由兩角差的正弦公式即可求得結(jié)論.

4

【解答】解：由題意，S△/Aiinjrc=-2xADxACxsinZDAC

=ix4xACx—=4>/3,解得AC=4,

22

所以△4X7為等腰三角形，

則乙M)C=工，故NAD3=3,

66

40BD

在△ABD中，由正弦定理得———=

sinZADBsinZBAD

2BDBD

nPnj_______________________得sinNHAZ)」,

、1~sinZBAD4

2

因?yàn)閆AP3=—,所以NR4D為銳角,

6

=-cos/BAD--sinZBAD=岳一6.

228

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中的幾何計(jì)算，考查正弦定理的應(yīng)用，屬中檔題.

2.（2024?和平區(qū)二模）平面四邊形ABCD中，AB=2,AC=2代，ACYAB,ZADC=—,則布?福

3

的最小值為（）

A.-A/3B.-2A/3C.-1D.-2

【答案】D

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算

【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；平面向量及應(yīng)用

【分析】由已知，得A,B,C,。四點(diǎn)共圓，從而判斷點(diǎn)。的軌跡是以AC為弦，圓周角為生的劣弧

3

（不含A,C兩點(diǎn)），根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，得出結(jié)論.

【解答】解：由AB=2,AC=2拒,AC±AB,

可得tanZABC=^=5故NA2C=工，

AB3

又NA￡>C=—,所以NADC+Z4BC=;r,

3

以3c為直徑作圓，則A,B,C,。四點(diǎn)共圓，

如圖所示，故點(diǎn)。的軌跡是以AC為弦，圓周角為竺的劣弧（不含A,C兩點(diǎn)），

3

則而?通=|蒞通|<05/841）=21而|<05/34。，

又|而l-cos/BA。表示而在通上的投影數(shù)量，

由圖可知，|而|-cos/BAOe[-1,0),

故而?通..-2（此時(shí)點(diǎn)。在劣弧AC的中點(diǎn)位置）,

即通?通的最小值為-2.

故選：D.

D

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，屬中檔題.

3.（2024?江西一模）如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為20,半徑為1的圓O的圓心為正六邊形的中心，若點(diǎn)M

在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)A,3在圓。上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心O對(duì)稱，則必?礪的取值范圍為（）

A.[4,5]B.[5,7]C.[4,6]D.[5,8]

【答案】B

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算

【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想；平面向量及應(yīng)用；綜合法

【分析】根據(jù)題意，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算化簡(jiǎn)，可得加?麗=|歷『-I,再由|屈|的范圍，即可得

到結(jié)果.

【解答】解：由題意可得：J^MB=(^+C^(Md+OB)=(Md+OA)(Md-OA)

=|MO|2-|OA|2=|MO|2-1,

當(dāng)OM與正六邊形的邊垂直時(shí)，I詼?|,“加=n，

當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到正六邊形的頂點(diǎn)時(shí)，I荻1s=20,

所以|礪后[而,2點(diǎn)],

lUlJ|Md|2e[6,8],

^MA-MB=（\MO^-l）e[5,7].

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量的模的運(yùn)算，屬中檔題.

4.（2024?新鄭市校級(jí)一模）如圖，為了測(cè)量某濕地A,3兩點(diǎn)之間的距離，觀察者找到在同一條直線上

的三點(diǎn)C,D,E.從。點(diǎn)測(cè)得NADC=67.5。，從C點(diǎn)測(cè)得NACD=45。，ZBCE=15°,從E點(diǎn)測(cè)得

=60°.若測(cè)得DC=2B，CE=y/2（單位：百米），則A,3兩點(diǎn)之間的距離為（）

A.A/6B.3C.2>/2D.2拒

【答案】B

【考點(diǎn)】解三角形

【專題】解三角形；轉(zhuǎn)化法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合三角形的性質(zhì)，正弦定理，余弦定理，即可求解.

【解答】解：在中，ZACD=45°,ZADC=61.5°,DC=2也,

則ZDAC=180°-45°-67.5°=67.5°,AC=DC=2后

在△3CE中，ZBCE=75°,ZBEC=G0°,CE=0,

則ZEBC=180°-75°一60°=45°,

..CEBC

sinNEBCsin/BEC

&X也

BC=CE2EC=^^=G

sinZEBC屈

T

在△A5c中，AC=243,BC=拒,=180°-ZACD-ZBCE=60°,

貝ijAB2=AC2+BC2-2AC-BC-cosZACB=9,解得AB=3,

故A,3兩點(diǎn)之間的距離為3百米.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

5.（2024?重慶模擬）已知|那=百，|5|=1,a-b=0,|c+a|+|c-a|=4,d2-4b-d+3=0,則|<-2|

的最大值為（）

A,巫+1B,4C.坦+2D,衛(wèi)

333

【答案】A

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】由題意首先得出I忑為兩外切的圓和橢圓上的兩點(diǎn)間的距離，再由三角形三邊關(guān)系將問(wèn)題轉(zhuǎn)換

為橢圓上點(diǎn)到另一個(gè)圓的圓心的最大值即可.

【解答】解：如圖所示:

不妨設(shè)m=次=(若,0),B=礪=(0,1),反=(m,n\礪=(p,4),A(-區(qū)0),

滿足I刈=5|5|=1，a-b=0,

X|c+a|+|c-a|=4,即?m+6￥+/+而〃一后+/=4=2卜>2c=2//仁川，

由橢圓的定義可知點(diǎn)C在以A1，A為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上運(yùn)動(dòng)，

a=2,c=b=yja1—c2=,4-3=1,

所以該橢圓方程為三+丁=1，

4

而22-45?才+3=0,即p2+?2-44+3=0,即/+(<?-2)2=1,

這表明了點(diǎn)。在圓爐+(,-2)2=1上面運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)E(0,2)為圓心，/=1為半徑，

又|3-2|=|反-而|=|CD|,,|CE|+|ED|=|CE|+1,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)C,D,E三點(diǎn)共線，

故只需求|CE|的最大值即可，

因?yàn)辄c(diǎn)。土+丁=1在橢圓上面運(yùn)動(dòng)，所以不妨設(shè)C(2cosO,sin。)，

4'

所以|CE|=^4COS20+(sin0-2)2=^4(1-sired)+sirrO-4sin6*+4=J-3s加-4sin。+8,

-47

所以當(dāng)sin6=-----------=——且。，D,石三點(diǎn)共線時(shí)，

2x(-3)3

\c-d\W最大值|CE\inax+1=J-3x(-,)2-4x(-g)+8=+1.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

6.(2024?唐山二模)已知圓C:尤2+(y-3>=4過(guò)點(diǎn)(0,4)的直線/與x軸交于點(diǎn)尸，與圓C交于A,8兩

點(diǎn)，則CP?(C5+函的取值范圍是()

A.[0,1]B.[0,1)C.[0,2]D.[0,2)

【答案】D

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算

【專題】方程思想；直線與圓；分類討論；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法

【分析】當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，求出點(diǎn)A,B、C的坐標(biāo)，直接計(jì)算即可；當(dāng)/斜率存在時(shí)，設(shè)/:>=自+4,

設(shè)A(%,%)、B(X2,y2),聯(lián)立直線與圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示出。?(瓦+國(guó))關(guān)于左的表達(dá)式,

由函數(shù)的性質(zhì)即可求解其范圍.

【解答】解：設(shè)A(玉，%)、8(無(wú)2，％)，,??圓C：/+(y-3)2=4,，C(0,3).

①當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，貝lJ/:x=O,

x=O時(shí)，0。+(y-3)2=4,y—3=±2,y=3±2,

設(shè)%<%，yi=1>%=5，；.4(0,1)、5(0,5),

與x軸交于(0,0),.-.P(0,0),

.-.CP=(0,-3)>CA=(0,-2)>CB=(0,2),

CP-(CA+CB)=(0,-3).(0+0,-2+2)=0；

②當(dāng)/斜率存在時(shí)，設(shè)/:>=履+4,

左=0時(shí)，/:y=4與x軸無(wú)交點(diǎn)，，不符題意.

44

左時(shí)，y=0時(shí)，0=fcr+4n%=——，/.P(——,0),

kk

聯(lián)立F，="+4,消去y得(公+1)無(wú)2+2代一3=0,

[尤~+(>-3)2=4

2k—3

1'k2+lk2+l

—.4—.——.

CP=(一一,-3),CA=(X1，%-3),CB=(x,%-3),

k2

CP(CA+CB)=CPCA+CPCB

44

=一小-3j,+9--X-3y+9

KK-22

4

=—(玉+%)—3(AX)+4+kx?+4)+18

k2

4

=—(3kH—)(玉+/)—6

4—7k

=_(3左+_)(一^)_6

kk2+l

6左2+8-6F+8-6(Jt2+l)

=TL=一門一

_2

=F7I,

2

■：k^Q,:.k2>0,.-.fc2+1>1,0<———<2,

k2+l

0<CP(CA+CB)<2,

^±.CP-(CA+CB)=Q^0<CP-(CA+CB)<2,

0?CP(CA+CB)<2.

則回?（而+屈）的取值范圍為［0,2）.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了方程思想及分類討論思想,

屬于中檔題.

7.（2024?貴陽(yáng)模擬）在鈍角AABC中，C=?AC=4,則3c的取值范圍是（）

【答案】C

【考點(diǎn)】解三角形；正弦定理

【專題】解三角形；整體思想；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】利用正弦定理、兩角差的正弦公式和正切函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：由正弦定理得空」

sinAsinBsinB

../5兀

.44sin(------B)cosB+——sinB)1

所以8c=3A=--6—

-----------2-=4(—+

sinBsinBsinB2tanB

因?yàn)殁g角AABC中，C=-

6

〃A57r八

—<A=--B<TI

26

當(dāng)3為銳角時(shí)，,得0<B<三,則0<tan8V括,

713

0<B<-

2

則一+走>馬回，所以2C=4(^^+

2tanB232tanB

71

—<B<71r-

當(dāng)3為鈍角時(shí)，2，得叁<B<江,貝han3<-組，

5%萬(wàn)263

0<A=------B<—

[62

貝I]o<—5—+—<—,所以0<BC=4(—5—+—)<2A/3；

2tan5222tan32

綜上：BCe(0,2^)|J(~^,+oo).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，和差角公式，同角基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.

8.(2024?啟東市校級(jí)模擬)已知點(diǎn)尸在圓(了-講+丁=1上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,"),。為原點(diǎn)，則通?市5

的取值范圍是()

A.[-3,3]B.[3,5]C.[1,9]D.[3,7]

【答案】D

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；平面向量及應(yīng)用；直線與圓；數(shù)學(xué)建模

【分析】設(shè)P(x,y)，利用平面數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可求得荷?麗的取值范圍.

【解答】解：設(shè)尸(x,y)，由圖可知，荷與Q夾角為銳角，故

又加=(1,-A),Q=(x+l,y-?

貝1|荷?麗=x-回+4,

令t=1"一:+4],則t為點(diǎn)尸(羽y)至！]直線X一也y+4=0的距離,

圓心C(l,0)至!J直線X—括y+4=0的距離d=2,

2

所以故而?9e[3,7].

22

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積，考查直線和圓的位置關(guān)系，屬中檔題.

9.(2024?湖北模擬)已知向量萬(wàn)，b,滿足|。|=出|=除-5|,則無(wú)(4+5)=()

A.-a2B.-b2C.」(商+5)2D.-(a-S)2

2222

【答案】C

【考點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

【專題】綜合法；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算；平面向量及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題

【分析】根據(jù)已知條件可得向量。石的夾角為60。，a-b=-\a^,再利用數(shù)量積運(yùn)算可得解.

2

【解答】解：由|引=出|=|4-5|,可得向量2石的夾角為60。，

「

1.a?b=1-_I2aI，

2

一一1一1一1一3

a-(a+b)=a2+a-b=—a2+a-b+—b~=—(a+b')2=—a2.

2222

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的夾角運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔

題.

10.(2024?河北模擬)在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,若c=3,6=2,44c的

平分線相＞的長(zhǎng)為孚，則3c邊上的高線的長(zhǎng)等于()

A右

A4R4/2?.n4

333

【答案】B

【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算；余弦定理

【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；解三角形；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題

【分析】由SMC=S謝+S4cB可得cosa的值，進(jìn)而可求得cos2tz、sin2cz的值，結(jié)合余弦定理可得a,

由等面積法S△MC=—2feesin2a=—2a-\AH\可求得|AH\.

【解答】解：由題意知，設(shè)44Z)=NC4D=a,

則NR4C=2c,如圖所示，

A

B

DC

=lxx^sin?lx2x^sin?

—QQ可得」x3x2sin2a3+

由S8e一丁0ACD

ABA22525

整理得3sin2a=2而sina，BPsin<z(3cosa-^6)=0,

又因?yàn)閟inawO,

所以cosa=^~，

3

所以cos2a=2cos2a-1=-,

3

所以sin2a=^1-cos1la=,

3

在△ABC中，由余弦定理得/=32+22-2又3義28$2?=13—4=9,

所以a=3,

由兀we=g歷sin2aIAHI，可得gx3x2x半=gx3|AH|,解得|AH|=乎.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積公式以及余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思

想，屬于中檔題.

—.多選題（共5小題）

H.（2024?湖北模擬）在AABC中，A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c,設(shè)BC邊上的中點(diǎn)為A1,AA5c的

面積為S,其中。=2能，b2+c2=24,下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若4=工，貝|S=3』B.S的最大值為3/

3

C.AM=3D.角A的最小值為工

3

【答案】ABC

【考點(diǎn)】正弦定理

【專題】轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；解三角形；綜合法

【分析】對(duì)于A,由余弦定理可求歷的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

對(duì)于3,由已知利用基本不等式可求得公,,12,進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

對(duì)于C,由題意可得2荀7=福+工，兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，余弦定理即可求解.

對(duì)于。，利用基本不等式可求得6G,12,利用余弦定理可求cosA.!,結(jié)合范圍Ae（0/）,利用余弦函數(shù)

2

的性質(zhì)即可求解.

22

【解答】解：對(duì)于A,若4=%，a=2^3,b+c=24,

3

由余弦定理4=b2+c2-2bccosA，可得12=/+c?—be=24—匕c,可得歷=12,

所以AABC的面積為5=!反5苗4=工*12*9=34，故A正確；

222

對(duì)于3,因?yàn)?4=62+。2..2歷，可得物;,12,當(dāng)且僅當(dāng)6=c=2退時(shí)等號(hào)成立，止匕時(shí)a=6=c，可得A=工，

3

所以AABC的面積為S=U6csinA,」xl2x走=34，故3正確；

222

對(duì)于C,因?yàn)?c邊上的中點(diǎn)為M,可得2加=荏+/，

所以兩邊平方，可得4初2=荏2+/2+2福?/，

____,Z.22_2

可得41AM|2=c2+/?2+2bccosA=c2+b2+2bc----------------=2(Z?2+c2)-tz2=2x24-12=36,解得

2bc

IAM|=3,故C正確；

對(duì)于。，因?yàn)?4=/+C2..26C,可得Z?C”12,當(dāng)且僅當(dāng)Z?=c=20時(shí)等號(hào)成立,

所以*4=二三24-12_1

,2x12-2

因?yàn)锳e（O,%）,可得Ae（O,-J,

3

所以A的最大值為工，故。錯(cuò)誤.

3

故選：ABC.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理，三角形的面積公式，基本不等式，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算以及余弦函

數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

mD

12.（2024?蘭陵縣模擬）定義運(yùn)算P=mn-pq.在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

qn

a+b+c3

若a,b,c滿足，=0,則下列結(jié)論正確的是（）

a+c-b1

A.sinA+sinC=2sinB

B.A:C=1:2

C.角8的最大值為生

3

D.若asinA=4csinC,則AABC為鈍角三角形

【答案】ACD

【考點(diǎn)】行列式；正弦定理；解三角形

【專題】解三角形；整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法

【分析】由新定義運(yùn)算得a+c=?,對(duì)于選項(xiàng)A：由正弦定理邊化角后知sinA+sinC=2sinB正確；對(duì)于

選項(xiàng)3：可舉反例進(jìn)行判斷；對(duì)于選項(xiàng)C：結(jié)合余弦定理及基本不等式，可求得cosB.!,可知C正確;

2

對(duì)于選項(xiàng)。：結(jié)合條件可得計(jì)算cosA即可判斷出A為鈍角.

〃+Z?+c3

【解答】解：由=0可知(a+b+c)-3(a+c-Z?)=0,

a+c-b1

整理可知a+c=2〃，

由正弦定理可知：sinA+sinC=2sinB,

即選項(xiàng)A正確；

因?yàn)锳=3=C=工滿足a+c=2b9

3

但不滿足A:C=1:2,

即選項(xiàng)6不正確；

22/〃+。、2

Q+C—(----)2?2\c

a2+c2-b22_3(。+c)-2ac6ac—lac__1

由cosB=(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取“=)，

2aclacSacSac2

又b<B<7l，

所以3的最大值為工，

3

即選項(xiàng)C正確；

由<2sinA=4csin。可得片=4c2,

解得a=2c9

又a+c=2〃，

74

從而可得c=—=—b9a為最大邊,

33

則<0.(0㈤,

2慶2bxgb)4

即角A為鈍角，

即選項(xiàng)O正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理，重點(diǎn)考查了余弦定理及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題.

13.(2024?鯉城區(qū)校級(jí)模擬)如圖，某旅游部門計(jì)劃在湖中心。處建一游覽亭，打造一條三角形。EQ游

覽路線.己知他，3c是扇岸上的兩條甬路，ZABC=12Q°,BD=03km,BE=0.5km,/￡>QE=60。(觀

光亭。視為一點(diǎn)，游覽路線、甬路的寬度忽略不計(jì))，貝U()

A.DE=O.lhn

B.當(dāng)N￡)EQ=45。時(shí)，DQ=^~km

C.ADE。面積的最大值為喏加2

D.游覽路線DQ+QE最長(zhǎng)為1.46〃

【答案】ACD

【考點(diǎn)】正弦定理；解三角形；三角形中的幾何計(jì)算

【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；解三角形

【分析】A中，在SBE中，由余弦定理可得上的值，判斷出A的真假；3中，由正弦定理可得。。的

值,判斷出B的真假；C中，在NDQE中，由余弦定理及基本不等式可得QE的最大值,進(jìn)而求出ADEQ

的面積的最大值，判斷出C的真假；。中，ADQE中，由余弦定理可得。Q+QE的最大值，判斷出。的

真假.

【解答】解：A中，在AD3E中，ZDBE=ZABC=120°,BD=0.3hn,BE0.5km,

由余弦定理可得DE=yjBD2+BE2-2BD-B￡cosl20°=jo.09+0.25-2x0.3x0.5x(-1)=0.75z,所以A正

確；

3中，因?yàn)镹DQE=60。，DE=0.7,若NDEQ=45。時(shí),

叵

DQDE口"八八sinZ.DEQn?977#,

由正弦定理可得即DQ=--------xO.l=^x—=—^km,所以3不正確;

sinZDEQsinZDQEsinNDQE1030

T

C中，在ADQE中，由余弦定理可得DE?=QD2+QE2-2QD-QECOSZDQE..QD-QE,當(dāng)且僅當(dāng)。D=QE

時(shí)取等號(hào)，

4Q

所以QD.QE,,￡>E2=0.49=—,

100

所以SM)QE=—QD-QEsinADQE?—x----x-^―=—^—km~,所以C正確;

^QE221002400

。中，在ADQE中，由余弦定理可得。序=QD2+QE2-2QO-QECOSZDQE=(QD+QE)2-3QO-QE,

所以（QD+QEf=DE2+3QDQE,,DE2+3?（變答馬？，當(dāng)且僅當(dāng)。￡=QD時(shí)取等號(hào),

所以（QD+QE）；,4DE"BPQD+QE?2DE=2x0.7=lAkm,所以。正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理，余弦定理及基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

14.（2024?城廂區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4（4,0）,8（0,2）,C（0,l）,。是線段。4

上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。與點(diǎn)尸關(guān)于直線CD對(duì)稱.則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)CD//AB時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$令

B.的最大值為4

C.當(dāng)點(diǎn)P在直線3上時(shí)，直線DP的方程為4x+3y-8=0

4

D.NQ4P正弦的最大值為-

5

【答案】ABC

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算；與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程

【專題】平面向量及應(yīng)用；對(duì)應(yīng)思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法

【分析】由題可得點(diǎn)P在以C為圓心，半徑為1的圓上，設(shè)./POB=9,則尸（25吊外05仇28$2。），可依

次判斷A,B,C選項(xiàng)，對(duì)。，當(dāng)直線"與圓C相切時(shí)，NQ4P正弦的最大，列式計(jì)算可求解判斷.

由題意可得點(diǎn)P在以C為圓心，半徑為1的圓上，

設(shè)ZPOB=0,0<3<—,貝ijP（2sin6cose,2cos26）,

2

對(duì)于A,當(dāng)CD//AB時(shí)，可得NPOB=6=NaLB,

sin0=—,cos6=2叵，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（上?）,故A正確;

5555

對(duì)于5,OP-OA=2sinxcosx4=4sin2^?4,當(dāng)且僅當(dāng)6=工時(shí)等號(hào)成立，故5正確；

4

對(duì)于C,當(dāng)點(diǎn)尸在直線上時(shí)，可得ZPOB=e=NOAB,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,

直線。P與圓（?:*+（尸1）2=1相切，所以％=--—=所以直線上的方程為4尤+3y-8=0,故C正

kcp3

確；

對(duì)于。，當(dāng)直線心與圓C相切時(shí)，NO4P正弦的最大，設(shè)直線AP的斜率為左，則直線”的方程為

y=k（x-4）,

有］=,+4幻,解得左=gptanzOAP=—,從而可得sin/OAP=§,

VFTi151517

所以NQ4P正弦的最大值為色，故O