2025年高考數學二輪復習測試卷(江蘇專用)

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合A={1,2,3,4,5},且AB=B,則集合B可以是()

2x

A.{1,2,3,4}B.|x|x>1|C.|x|2>11D.1.r|log2(x-2)<21

【答案】C

【解析】因為&B=B,所以A=

A中集合{1,2,3,4}顯然不合題意；

B中集合為卜,2>1}=q|彳<_1或x>1},也不合題意，

C中集合為{尤忙>1=2。}={小>0),滿足題意，

D中集合為{x|log2(x-2)<2=log24}={尤］。<彳-2<4}={尤12cx<6},不合題意.

故選：C.

2.若1+i(i為虛數單位)是關于x的方程必+av+b=0(〃,/?￡R)的一個根，則/?=()

A.0B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】因為1+i(，為虛數單位)是關于1的方程f+QX+b=0(〃,b￡R)的一個根，所以，1-i也是關于工

的方程f+QX+Z?=0(〃,/?GR)的一個根，

-Q=l+i+l-i=2

所以，由韋達定理得:

Z?=(l+i)(l-i)=2

所以,b=2.

故選：B

3.已知函數/（彳）=仙（公+0）（0<9<71）的圖象關于直線./對稱，則。的值為（）

,71_71_71_271

A.—B.一C.—D.—

12633

【答案】B

【解析】由題得：■/伍=±1，故W+9=E+*eZ）,而0<夕<無，所以夕=；

<07326

故選：B.

4.已知向量”，。滿足何=4,慟=2,且〃在“上的投影向量為則cos（a,6）的值為（）

A.--B.《C.--D.-

2288

【答案】A

【解析】因為6在a上的投影向量為-1,所以|叫（4。%=-，

代入忖=4,W=2,化簡得cos（a,?=-；.

故選：A.

22

5.過雙曲線C：三-斗=1（a>0,b>0）的左焦點歹作C的其中一條漸近線的垂線/,垂足為/與

雙曲線C的另一條漸近線交于點N,且MN+MP=0,則C的離心率為（

A.加C.6

【答案】B

【解析】因為MN+M^=0，即MB=MW,

所以點M為FN的中點,

又因為/_LRV,所以NFQW=ZNOM,

又因為/FOM=NF'ON,所以ZF0”=-

3

因為FM=b,FO-c,所以OM=a，

_c_F01

所以,一〃一。"一兀

cos—

3

故選：B.

6.如圖，圓臺的上、下底面半徑分別為小4,且％+弓=12,半徑為4的球與圓臺的上、下底面及每條

母線均相切，則圓臺的側面積為()

【答案】D

【解析】如圖所示，作出軸截面,

。1，。2分別為上下底面圓的圓心，M為側面切點，。為內切球球心,

則。為JO?的中點，

OMlAB^O^OM=4,0}02=8,OtA=MA=^,0,8=MB=r2,

因為2/+々=12,所以4=12-2小

貝IjAB=M4+M8={+弓=12-弓

過點A作AG，。/,垂足為G,

則BG=0_弓=12-3耳，

在RtAABG中，由勾股定理得AG2+3G2=AB"

即82+(12—=(12-j,解得八=2或々=4,

因為所以6=2,4=8,故AB=10,

所以圓臺的側面積為兀X10X(2+8)=100TI.

故選：D.

7.在VA3C中，ZACB=120°,BC=2ACf。為VABC內一點，AD±CDfZBDC=120°,則tanZACD=

()

A.20B.述C.瓜D.B

22

【答案】B

【解析】在RtADC中，設ZTICD=e[o<e<萬]，令AC=x(%>°),

則CB=2x，CD=xcosO,

在△5CD中，可得ZBCD=120。—8,ZCBD=G-60°,

BCCD

由正弦定理

sinZCDBsinZCBD

2x_xcosO_xcosO

得耳―sin(6—60。)-1./百~~

———sine/----cost/

222

4_1

所以百一1A&，

—tan6---

22

可得tan6=±8,即tanZACD='8.

22

故選：B.

8.已知。＞0,beR,若關于x的不等式（6-2乂/+法一8”0在（0,+動恒成立.則。+§的最小值為（）

A.4B.46C.8D.8>/2

【答案】B

【解析】^/(x)=ar-2,g(x)=x2+Zzr-8.

由已知a＞0,〃尤）在（。,+⑹單調遞增，

22

當0cxv—時，/（x）＜0；當工〉一時，/（x）＞0.

由g(尤)圖象開口向上，g(o)=-8,可知方程g(x)=o有一正根一負根,

即函數g(X)在+8)有且僅有一個零點，且為異號零點；

由題意〃尤)g(x)z。，則當0<x<=時，g(x)<0；當尤>,時，gW>0.

所以2是方程爐+Z?x-8=0的根，則[2]+Z;x——8=0,即Z?=4Q—2,且〃>(),

a\ajaa

所以匕+3=4〃+2之2)4〃*2=4&,

aa\a

當且僅當4〃=—,Bpf-2時等號成立.

a[z7=o

4

則b+—的最小值是4近.

a

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知拋物線C:y2=4x,直線/：>=日-左與拋物線C交于P,。兩點，分別過P,。兩點作拋物線準線

的垂線尸河，QN,垂足分別是M,N,下列說法正確的是().

A.直線/過拋物線C的焦點

B.當k=1時，P,。兩點橫坐標的和為5

C.當％=1時，直線/截拋物線所得的弦長為8

D.以為直徑的圓與直線/相切

【答案】ACD

【解析】由題意知拋物線C的交點坐標為(1,0),準線方程為x=T,直線/：y=履-左

過定點(1,0),所以直線過拋物線的焦點，故A正確；

y=x-1

當上=1時，直線的方程為聯立)=4.消去》得，f—6x+1=0,

設尸(&y),Q(x2,y2),貝也+Z=6,所以P,。兩點橫坐標的和為6,故B錯誤；

由拋物線的定義可知，|尸。|=|尸河|+|。2=%+9+2=8,故C正確；

設線段產。的中點為E,貝U|ME|=；(|PM+|QM)=；|PQ|,所以以跖V為直徑的圓與直線/相切，故D正確.

故選：ACD.

10.已知函數f(x),g(x)的定義域均為/,若存在函數P(x)=h;+>(>,6eR),使得函數*x)=/(x)-p(x),

G(x)=p(x)-g(x)在/上有尸，(x)<0,G'(x)<0,F(x)>0,G(x)>0恒成立，則稱〃x),g(x)為一組“雙

向奔赴”函數.下列各組函數中，符合“雙向奔赴”函數的有()

A./(x)=x3,g(x)=?,Z=(l,+oo)

B.=g(x)=-e^,Z=(e,-H?)

e

C./(x)=sin%,g(%)=cosx,/=(7i,-Hx))

D/⑴=xl：x+l,=/=(1,-KO)

inxx

【答案】BD

【解析】由題意可矢口：F\x)=f\x)-k<Q,G'(x)=k-g'(x)<Q,

等價于f'(x)<3g'^)>k.

且產(x)=/(x)-Ax-6>0,G(無)=Ax+ZJ-g(x)>0,

等價于f(x)>"+6，g[x)<kx+b.

對于選項A：因為〃彳)=%3,/=(l,+8),則尸(同=3/在/內的值域為(3,+8),

可知不存在ZeR,使得((無)<左恒成立，不符合“雙向奔赴”函數，故A錯誤；

對于選項B：因為/=(e,+8),

對于"x)==l,則,(力=_(1)’<0,可知〃無)在(e,+向內單調遞減，

ee無

且當X趨近于+8時，/(X)趨近于0,可知〃尤)>。；

對于g(x)=-e-x,則g"(x)=>0且g(x)=-0<0,

可知當k=6=0,滿足題意，

所以符合“雙向奔赴”函數，故B正確；

對于選項C：因為/(%)>依+6,g(x)<kx+b,則〃x)>g(x),

對于/'（x）=sinx,g（尤）=cosx,/=（兀,+8）,

取特值/（2兀）=sin27V=0,g（2兀）=cos2n=1,可知/（2兀）<g（2兀）,

不合題意，即不符合“雙向奔赴”函數，故C錯誤；

對于選項D：因為/（x）=x1x+l,g（x）=_r-L,/=（l,+x）,

In%x

\xlnx+l1,1[八

對于/（%）=----------=%+——，止匕時x>l,lnx>。，

InxIn%

可得〃無）=尤+」>無，且/（無）=1一下

Inxxinx

iii

對于g（%）=x—，止匕時x>1,—>0,-7->0,

可得g（%）=%<%，g'（%）=l+=>1，

XX

可知當《=L>=0,滿足題意，

所以符合“雙向奔赴”函數，故D正確；

故選：BD.

11.從地球觀察，太陽在公轉時會圍繞著北極星旋轉.某蘇州地區（經緯度約12（TE,31°N）的地理興趣小

組探究此現象時，在平坦的地面上垂直豎起一根標桿，光在宇宙中的彎曲效應可忽略不計，則桿影可能的

軌跡是（）

A.半圓形B.雙曲線C.直線D.橢圓

【答案】BC

【解析】根據題意可知，桿影可能的軌跡即太陽的視運動軌跡.

為了得到太陽投影軌跡的表達式，首先先建立竿測影時的觀測站坐標系，

再計算太陽每個瞬間在天球（與地球同球心，并具有相同的自轉軸，半徑無限大的球體）上的位置和觀測

平面上的投影，為投影軌跡的整體推導做好單點公式計算.

蘇州地區位于3/N,即太陽周年回歸運動范圍（23°26^~0°~23°26（8）以北，全年太陽在正午時分位于該地

的正南方.

設地理興趣小組所在的觀測地的右手正交坐標系O-XYZ,立測竿處為原點。，

令q,e；,e3分別是坐標軸X,RZ的單位矢量，正南為X軸，正東為F軸，向上為Z軸（如下圖）.

那么當測竿指向天頂（桿的正上方）時，其太陽投影在XY平面上.

結合蘇州的緯度位置可知，正午時投影指向正北.

Z1

圖中立竿測影觀測站右手坐標系，黃色點為觀測站的位置，緯度為〃；

x軸指向正南，y軸指向正東，z軸指向天頂；

貫穿地球南北極的藍色軸為地軸，從地心出發的紅色軸與觀測站的y軸平行，是以存在如坐標系描述的互余

赤經差計算方式.

球面三角形中，若已知兩邊弧角。涉和夾角/,求對邊的弧角C的大小，

由球面三角邊的余弦定理可得：cosc=cosacosb+sinasinbcosy(1)

由天文知識可知，赤經差(赤經差是指在天球赤道坐標系統中，

兩個天體之間的赤經之差.赤經是描述天體在天球赤道上的位置的一個坐標值，

類似于地球上的經度.赤經差用于確定兩個天體之間的相對位置)是繞天軸(地軸的無限延伸)的二面角，

TTTT

于是有以下替換關系：〃—>耳一-Q-—>C,/—>/(2)

如果天球上相同赤經的A5兩點，赤緯分別為，點B繞天軸旋轉/弧度到達。點，

令AC兩點間大圓弧角為。，那么：cosc=sinasinZ?+cos?cosbcos/(3)

TT

如果太陽直射點緯度為。，那么周日視運動即以地心為原點，圍繞地軸以的夾角做圓周運動.

當與觀測點的經度差為x時，令太陽方向與觀測點的x,y,z三個坐標軸的夾角分別為弘氏7,

則觀測站到太陽的單位矢量為：d=cosaei+cos萬％(4)

應用(2)式時參數系列可得如下的對應關系：

xf,y—>(/7,0,0,5―彳］，z—>(/,乙。,丸)

根據球面三角邊的余弦定理的等價公式(3),代入上述對應關系，

則有：cosa=sini//cos^cosA-cosi//sin(/)(5),

cos，=cos。sinX(6),

cosy=cosi//cos^cosA+sini//sin(7),

令測竿投影p與測竿矢量而分別為：p=xex+ye2,h=he3(8),

由于太陽距離地球距離較遠，其光線可近似視作平行的直射光線,

從桿頂到投影點的指向：q=p-h=xex+ye2-he3（9）,

x=y=h

與太陽方向矢量）平行則有:

cosacos夕cos/

A-”，-//(sin11/cosd)cos2-cost/sin(6)

解特投影坐f標：x=一_cos.cos0cos/l+sin.sin0(10),

"cos。sin4

y=一(11),

cos-cos6cosX+sin〃sin(/)

即立桿測影的太陽投影坐標表達式.

對立竿測影坐標計算公式（10）、（11）,要得到這些坐標點ay）的整體曲線方程,

其關鍵在于消除2這個與時間相關參數，讓投影軌跡只用測竿長度、觀測站和太陽直射點的緯度來表示.

,(hcos-xsini//)sin(b

由（10）式可得:cosZ=---------------------------—

(hcos〃一xsin〃)cos0

再由（11）式并使用上式結果，可得:

sin4—y(cos〃cos°cos/L+sin〃sin°)

/zcos^

通過三角恒等式cos2A+sin2九=1,代入時角正余弦的計算式,

則有：(〃cos〃一;rsin〃)~sin?sin。0=(/zcos"+xsin〃)~cos2°，

兩邊同時加上：（/7cos"+xsin"）~sin2。,

化簡可得：（X?+9+后卜in?0=（xcos0+/zsin"）2（12）,

即立竿見影時在觀測平面上的太陽投影的軌跡公式.

蘇州地區位于31H因此可以將”=31。乂。=23。260~23。265代入式（12）中，得到雙曲線型的太陽投

影（如下左圖）.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知/（尤）是奇函數，且當x<0時，/（》）=-y.若"112）=16,貝lja=

【答案】-4

【解析】因為/(x)是奇函數，且當尤>0時,-x<0,則/(x)=-/(-%)=e-口.

又因為ln2e(0,l),/(In2)=16,

所以廠-2=16,將其化成對數式，-aln2=lnl6=41n2,解得口=4

故答案為：-4.

13.已知甲袋中裝有3個紅球，2個白球，乙袋中裝有2個紅球，4個白球，兩個袋子均不透明，其中的小

球除顏色外完全一致.現從兩袋中各隨機取出一個球，若2個球同色，則將取出的2個球全部放入甲袋中，

若2個球不同色，則將取出的2個球全部放入乙袋中，每次取球互不影響，按上述方法重復操作兩次后，

乙袋中恰有4個小球的概率是.

【答案】*

【解析】若兩次取球后，乙袋中恰有4個球，則兩次取球均為同色；

若第一次取球均取到紅球，其概率為=

565

第一次取球后甲袋中有4個紅球和2個白球，乙袋有1個紅球和4個白球，

4194?

第二次取到同色球概率為+=

OJO33

此時乙袋中恰有4個小球的概率是1玄2=U2；

若第一次取球均取到白球，其概率為=74=4

5615

第一次取球后甲袋中有3個紅球和3個白球，乙袋有2個紅球和3個白球，

第二次取到同色球概率為939331;

oJoJ2

412

此時乙袋中恰有4個小球的概率是不'吳尚；

所以乙袋中恰有4個小球的概率是

故答案為：!|.

14.已知函數設曲線y=/(x)在第一象限內的部分為￡,過。點作斜率為1的直線交￡于用，

X

過4點作斜率為t的直線交無軸于A，再過A點作斜率為1的直線交E于鳥，過鳥點作斜率為-1的直線

交x軸于4,…，依這樣的規律繼續下去，得到一系列等腰直角三角形，如圖所示.給出下列四個結論：

①的長為停；

②點A的坐標為（2百,0）;

③△&B3A3與A3B4A4的面積之比是(6-0):(2-6)；

④在直線x=5與y軸之間有6個三角形.

其中，正確結論的序號是

【答案】②④

【解析】由可得—（u）,A（2,0）

y=x

由y=（可得與（1+應,&_1）,4（2a,0）,

>=尤-2

所以閶閔=J（1一可+（夜一=2-亞,故①錯誤

由<一1可得用（石+0,0）,A（273,0）,故②正確

y=x-2y/2

由可得見（2+括,2-君），4（4,0）

y=x—2^3

所以S.4=g（26-2忘）（6-0）=（石-

5^4A=1（4-2A/3）（2-V3）=（2-V3）\故③錯誤

同理可求3（26,0），4（2#,0），4（2々,0）

因為2?<5<2近，所以共有6個三角形，故④正確

故答案為：②④

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

已知ABC的內角A,B,C的對邊分別為。，b,c,J=L&cosC+?cosB-c=0.

⑴判斷「ABC的形狀；

（2）若匕=4,且A3c的面積為46，求角3.

【解析】（1）由正弦定理，bcosC+acosB-c-0

=sin3cosC+sinAcosB—sin（A+B）=sinBcosC—cosAsinB=O,

因Be（0,兀），則sin3>0,cosC=cosAnC=A,則。ABC為等腰三角形；

（2）由（1）設等腰三角形兩腰，即c,a為x,

則由圖結合勾股定理可得，邊b對應的高為左萬=VZZ，

則2A爐N=4后nx=4,即MC為等邊三角形，則角8為土

如圖，在多面體ABCDFE中，平面ABCD,平面尸CD_L平面ABCD,AB//CD,AB±AD,FCD

為等腰直角三角形，且C/人DF,AD=CD=2AB=2AE.

（1）證明：防〃平面ADE.

⑵求平面BEF與平面DEF的夾角的余弦值.

【解析】（1）取C。的中點。，連接OB,OF.

因為PCD為等腰直角三角形，且CFADF,所以。'LCD.

又平面CDP_L平面ABCD,平面CDPc平面AfiCD=CD,所以OP_L平面ABCD.

因為4E_L平面A3CD,。尸u平面ABCD,所以O尸〃AE.

又OFU平面ADE,AEu平面ADE,所以。尸〃平面ADE.

因為CD=2AB,所以AB=OD,又OD/74

所以四邊形ABOD為平行四邊形，則OB〃AD.

因為030平面AT＞E,AOu平面ADE,所以03〃平面ADE.

又OBcOF=O,。氏。尸u平面。引"所以平面。射〃平面ADE.

因為BFu平面所以BF〃平面ADE.

(2)由題可知AB,AD,AE兩兩垂直，故以A為坐標原點，AB,AD,AE所在直線分別為*軸、＞

軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

設AB=1,則5。,0,0),￡>(0,2,0),磯0,0,1),尸(1,2,1),

BE=(-1,0,1),EF=(1,2,0),DE=(0,-2,1).

設平面BEF的法向量為克=(占,必,4),

BE-m=0,—Xy+Z]—0,

則由＜

EFm=0,X]+2yl=0,

令X=l,得〃?=(一2,1,-2).

設平面DEF的法向量為A=(9，%，Z2)，

DE-n=0,f-2y?+z9=0,

則由得rIn

令%=1,得“=(-2,1,2).

/m-n11

所以COS(〃Z,")=m|,則平面8印與平面DEF的夾角的余弦值為g.

17.(15分)

22

已知橢圓卬：3+方=1(。>6>0)的左、右焦點分別為瓦，招，點P在橢圓卬上，尸到卬的焦點的最

大距離為3+2后，\PFt\+\PF2\=^c.

(1)求橢圓W的標準方程；

11O

(2)若9尸耳?尸6+32=0,判斷點P與曲線尤2-丁=翳的位置關系；

一Q

(3)若橢圓W的右頂點為C,經過點(1,0)的直線與卬交于AB兩點，VABC的面積為:，求直線A3的

方程.

【解析】(1)因為尸到W的焦點的最大距離為3+20，

所以。+。=3+2應，

又|尸圖+|尸閶=o,所以2a=3fc,

即0=述.，所以a+述a=3+2&,解得。=3,所以c=2&,

所以Z>2="-C2=9-8=1,

所以橢圓W的標準方程為y+/=l.

(2)由⑴知橢圓W的方程為>r=1,

所以由一2衣0),馬(2忘,0).

因為9尸片.尸耳+32=0,設尸(x,y),

fV

—+V=1

所以9■

9(-272-x,-y)?(272-x,_y)+32=0

31

T

所以

9尤2+9/-40=0

(3)當直線A8斜率不存在時，|4固=乎，

則以.=：|42,(3-1)='逑*2=逑，不符合題意;

ZAADC2II\/233

當直線AB斜率存在時，設直線A8的斜率為M左20）,

因為直線AB經過點（1,。），

所以直線AB的方程為〉=左（*一1）=丘一人,

聯立〈至+V=1,消去,得（然2+1）^-18^2X+%2-9=0,

y=kx—k

由于直線過橢圓內的點，故必有A>0,

設4（石,乂），B（x2,y2）,由韋達定理得士+尤2=1），a

9k+1

所以[A3]="2+1.J（%1+n2）2—4冗1%2

2

〃

=J/+1?18

9〃+1

因為C為橢圓的右頂點，所以C（3,0）,

由點到直線的距離公式得點C到直線y=履-左的距離為」饕,

收+1

所以YABC的面積為；?6病W?坐號-=6弋+,

29H+17^+19r+1

因為VABC的面積為■!，所以=，

5%2+15

o

整理得71/—62/—9=0,所以公=1,或產=-五（舍去），

所以％=±1,

所以直線AB的方程為y=*_]或y=_x+L

18.（17分）

已知函數/(%)=In------+m(x-l)

2-x

(1)判斷曲線y=/(尤)是否具有對稱性，若是，求出相應的對稱軸或對稱中心，并加以說明；

(2)若/(x)在定義域內單調遞增，求加的取值范圍；

(2Y)X2+1

⑶若函數g(無)=八一;■|+〃2?一■有兩個零點國,々，證明：>e2.

yi1J-X十J.

【解析】(l)令士>°，等價于x(2—x)>0,解得0<x<2,

可知的定義域為(0,2),

丫2_Y

因為/(x)+/(2_%)=ln------Fm(x—l)+ln-------Fm(l—x)=0,

2-xx

可知“X)具有中心對稱，對稱中心為點(1,0),

顯然f(x)不為常函數，可知/(x)不具有軸對稱，

所以y=/(x)具有中心對稱，對稱中心為點(1,0).

(2)因為/(x)=In————I-m(%—1)=Inx—In(2—x)+zn(x-1),

2—%

112

貝1J/'(%)=—+------+m=---------+m,

x2-x2x-x

若y(x)在定義域內單調遞增，則ro)>o在(0,2)內恒成立，

又因為x?0,2),則當且僅當x=l時，等號成立，

2

可得了'(X)=-------+m>2+m>0,解得機2-2,

2x-x

所以加的取值范圍為［-2,+8).

2x

/人,口工+f/\J2%)x2+11i(2x八x2+11

(3)由題后可得：gM=f\-----+m-------=Inxr+—+m\--1+m------=\nx+mx,

<x+l)x+1.2x(x+1)x+1

x+1

2x

令0<-----<2,解得x>0,

x+1

可知g(x)=lnx+/m:,x>0,

令g(%)=lnx+mx=0,貝卜加=12^,

構建尸(司=處，尤>0,貝I)尸(司=上坐，

XX

令尸'(x)>0,解得0<x<e；令尸(x)<0,解得了>e；

可知"無)在(O,e)內單調遞增，在(e,+巧內單調遞減，則尸(同4尸魚)=3,

且當X趨近于0時，F(%)趨近于-8,當X趨近于+8時，F(%)趨近于0,

若函數g(%)有兩個零點石，%，可知V=一機與V=/⑺有兩個交點，

則0<-m<—,即--<m<0；

ee

In再+mx=0Inx-In%]

又因為{兩式相減可得一相=2

Inx2+nvc2=0

三+l]ln三

兩式相加可得In%+In/=-相伍+9）=（%+々）（1眸-1哼）=國