第3講拋體運動

【目標要求】1.掌握運動的合成與分解，掌握解決曲線運動的一般方法。2.會靈活分解平拋、斜拋運動及解決三

維空間中拋體運動問題的方法。

考點一運動的合成與分解

例1(多選)(2024?安徽卷?9)一傾角為30。足夠大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立。孫

直角坐標系，如圖甲所示。從仁0開始，將一可視為質點的物塊從。點由靜止釋放，同時對物塊

施加沿x軸正方向的力B和尸2,其大小與時間/的關系如圖乙所示。已知物塊的質量為1.2kg,

重力加速度g取10m/s2,不計空氣阻力。貝lj()

甲乙

A.物塊始終做勻變速曲線運動

B./=ls時，物塊的y坐標值為2.5m

C.t=ls時，物塊的加速度大小為5V3m/s2

D.Z=2s時，物塊的速度大小為10V2m/s

答案BD

解析根據題圖乙可得Fi=4-Z(N),F2=3Z(N),故兩力的合力為R=4+2f(N)

物塊在)，軸方向受到的力不變，為mgsin30°,x軸方向受到的力R在改變，合力在改變，故物塊做的不是

勻變速曲線運動，故A錯誤；

沿y軸方向物塊做勻加速直線運動，加速度為

2

為,=襁曹30=gsin30°=5m/s

故Z=1s時，物塊的y坐標值為

y弓a/=2.5m

故B正確；

仁1s時，F-6N,故a--=5m/s2

xxm

222

貝lja=Jax+ay=5y/2m/s

故C錯誤；

沿x軸正方向，對物塊根據動量定理得

Fxt=mvx-O

由于E與時間，成線性關系，故可得

(4+2X0)；(4+2X2)x2=L2也

解得v%=10m/s

此時y軸方向速度大小為

vy=gsin300-Z=5x2m/s=10m/s

故此時物塊的速度大小為

2

v=Juj+vy=10y/2m/s

故D正確。

考點二平拋運動

1.平拋運動及研究方法

過初速度沿水平方向，只受重力作用

豆前是勻變速曲線運動

平

拋運國籍勻速直線運動匚/

運動

福源自由落體運動產

動的

合

成

方法

與以拋出點為原點建立適當的

分

解特殊分解法直角坐標系,將加速度a分

一解為酸、％,初速度如分解

為a、vy,然后在x、y方向

列方程求解

2.平拋運動的兩個推論

(1)設做平拋運動的物體在任意時刻的速度方向與水平方向的夾角為仇位移方向與水平方向的夾角為(p,

則有tan敘2tang如圖甲所示。

(2)做平拋運動的物體任意時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點，如圖乙所示。

例2（2024?浙江1月選考⑹如圖所示，小明取山泉水時發現水平細水管到水平地面的距離為水桶

高的兩倍，在地面上平移水桶，水恰好從桶口中心無阻擋地落到桶底邊沿A。已知桶高為九直徑

為。，重力加速度為g,則水離開出水口的速度大小為（）

細水管

'9_

2h

D.(V2+1)DA

解析設出水口到水桶口中心距離為x,則Y,落到桶底A點時x+沁衿,解得v凸咔.

故C正確。

例3（多選）（2024?湖南株洲市一模）為了鍛煉兒童的協調性，父子倆一起玩投擲小球的游戲。如圖

所示，父子分別從43兩點水平拋出一個小球，小球均能從立在地面上的豎直管子的管口O落

入管中，A、B、。三點恰在一條直線上，且A3：80=2：3。從A點拋出的小球初速度大小為0，

在O點的速度與水平方向的夾角為a,從3點拋出的小球初速度大小為丫2,在。點的速度與水平

方向的夾角為6,空氣阻力不計，則下列判斷正確的是（）

A.o>BB.a=0

C.vi:V2=3:2D.vi:V2=V5:V3

答案BD

解析連接ABO,設AO所在直線與水平面的夾角為e,由平拋運動的推論有2tand=tana=tan夕，所以a=Q,

22

故A錯誤，B正確；根據平拋運動的規律有hA=^gtA,hB=1gtB,tana=tan…必,所以也=幺=婚=*,

22Viv2v2tByjhBV3

故C錯誤，D正確。

例4（2024?遼寧省二模）如圖所示，傾角為37。的斜面體固定在水平面上，小球A在斜面底端正上

方以速度VI向右水平拋出，同時，小球B在斜面頂端以速度V2向左水平拋出，兩球拋出點在同一

水平線上，結果兩球恰好落在斜面上的同一點，且A球落到斜面上時速度剛好與斜面垂直，不計

小球的大小，sin37°=0.6,cos37°=0.8。則叨:也等于（）

A.4：3B,5：4C.8：7D.9：8

答案D

解析小球A垂直打在斜面上，如圖所示：

根據幾何關系可得tan37。=也,對于小球B:tan37。=逆二爭，聯立得也：也=9：8,故選D。

r多題歸一」

大多數平拋運動與斜面（曲面）的綜合問題，最終可轉化為

對平拋物體位移方向、速度方向分析，對位移、速度分

解、計算，從而解決問題。

已知速度垂直落在斜面上

無碰撞地進入圓弧形軌道

考點三斜拋運動

斜拋運動是加速度為g的勻變速曲線運動，運動

性質

軌跡是拋物線

研究」

運動的合成與分解、逆向思維法

方法

基本

規律

（以斜

上拋（1）水平方向:vox=vocos0,/合％=0；x=vo^cos9

運動（2）豎直方向：voy=vosin0,方合尸Mg；y=vo^sin0-

為例）?產

常見

圖例

例5（2024?重慶市一模）一學生用兩個顏色不同的球做斜拋運動游戲，如圖所示，第一次出手，紅

色球的初速度與豎直方向的夾角為a=60。；第二次出手，橙色球的初速度與豎直方向的夾角為

后30。。兩次出手的位置在同一豎直線上，結果兩球正好到達相同的最高點C,則紅色球、橙色球

運動的高度之比為（）

一

A.2-B.i1C.-3D.-3

3345

答案B

解析兩個不同顏色的球做斜拋運動，經過相同的最高點，可將其逆運動看成水平向左的平拋運動，運動

軌跡如圖所示，兩平拋運動的水平位移相同，設為x,速度的反向延長線均過水平位移的中點，相交于同

一點。

設兩球下落的高度分別為hi、h2,則

tana=—,tan^=—

解得普=巴更弓,故選Bo

h2tana3

r遷移?歸一」

逆向思維法在物理中的應用

運動示例已知條件逆向思維

物體做斜拋運動，末

斜拋運動物體做平拋運動

速度水平

勻減速直物體做勻減速直線運物體做初速度已知的

線運動動，末速度已知勻加速直線運動

例6（2024?廣東深圳市模擬）小齊在投籃時，投了一個“過橋”。籃球從距離籃筐的左側邊緣

x=54cm處越過籃筐，從右側的對稱位置落下，當籃球球心與籃筐等高度時，球心與籃筐中心在一

條直線上，俯視如圖。已知籃球在最高點時球心距籃筐的高度無=45cm,籃筐的外圈直徑為

D-47.4cm,籃球的直徑為d=24.6cm,重力加速度g=10m/s?。不計空氣阻力和籃球的自轉，求:

(1)籃球球心在籃筐上方飛行的時間t;

(2)籃球在最高點時的速度大小vo；

(3)球心經過A點時的速度大小VA0

答案(1)0.6s(2)3m/s(3)3V2m/s

2

解析(1)根據題意，籃球在最高點時球心距籃筐的高度〃=45cm,豎直方向：h=1gt0

解得r0=0.3s

則籃球球心在籃筐上方飛行的時間:t=2to=Q.6s

(2)水平方向：~+|+x=vofo

解得vo=3m/s

(3)球心經過A點時豎直方向的速度

vy=gto=3m/s

球心經過A點時的速度大小

VA=Ju/+Vy2=3>/2m/s

例7(多選)(2024?山東卷［2)如圖所示，工程隊向峽谷對岸平臺拋射重物，初速度vo大小為20m/s,

與水平方向的夾角為30。，拋出點P和落點。的連線與水平方向夾角為30。，重力加速度大小取

lOmd,忽略空氣阻力。重物在此運動過程中，下列說法正確的是()

A.運動時間為2bs

B.落地速度與水平方向夾角為60°

C.重物離PQ連線的最遠距離為10m

D.軌跡最高點與落點的高度差為45m

答案BD

解析解法一以P點為坐標原點，建立直角坐標系如圖甲所示(PQ為x軸)

將為沿兩個坐標軸分解，則有

vo^=vocos60°=10m/s,vo^vosin60°=10V3m/s

將重力加速度沿兩個坐標軸分解，則有

Q%=gsin30。=5m/s2

的二geos30°=5V3m/s2

從尸點拋出至落到。點的過程中，由對稱性可知仁2替=4s,A錯誤；

重物距PQ連線最遠距離r=^=10V3m,C錯誤；

落至。點時vx=vox+axt=3Om/s

由對稱性得V^VO^IOVBm/s

落至。點時速度方向與x軸夾角設為0

tan0=—=—,貝lj。=30。

vx3

又因尸。與水平方向夾角為30°,

則落地速度方向與水平方向夾角a=60。，B正確；

重物從拋出到最高點所用時間為公鱉電竺=1s

9

從最高點到落地所用時間為/2二"九二3S

2

則軌跡最高點與落點的高度差為A=igt2=45m,D正確。

解法二以P點為坐標原點建立直角坐標系，水平方向為x軸，豎直方向為），軸，如圖乙所示，P，與P等

高

y

vox=vocos30°=10V3m/s

voy=vosin30°=10m/s

從尸一P'

片2=2s

g

XI=VOX^I=2OA/3m

v^=vo%=lOV3m/s

v尸0尸10m/s,

從P—Q

X2=Vxt2

12

y=Vytl+-gt2^

由幾何關系知：

tan30。=^^=當2+5?

Xt+%220V3+10V3t2

解得:t2=2S

t總二九十力=4S

A錯誤；

從最高點至。點時間為%=/總今=3s

Vy'=g/3=30m/s

tan=V3,Q=60°,B正確；

〃=）「32=45m,D正確；

離PQ連線最遠點速度方向與PQ平行，即垂直于PQ連線的分速度為0,最遠距離。=羋=乎曙=10b

2aj_2gcos30

m,C錯誤。

■總結提升

當速度方向與斜面平行,

艮17*二tan0,￡巨斜面

最遠

兩水平方向為x軸,

種當位移方向與斜面平行,

建豎直方向為y軸

即一■二tan0,落在斜

系

方

法面上

專題強化練［分值：60分］

1~6題每題4分，7題14分，8題16分，9題6分，共60分

［保分基礎練］

1.（2023?遼寧卷J）某同學在練習投籃，籃球在空中的運動軌跡如圖中虛線所示，籃球所受合力廠的示意圖

可能正確的是（）

答案A

解析籃球做曲線運動，所受合力指向運動軌跡的凹側，故選A。

2.（2024.江蘇卷4）噴泉“、6形成如圖所示的形狀，不計空氣阻力，則噴泉.、6的（）

A.加速度相同B.初速度相同

C.最高點的速度相同D.在空中的時間相同

答案A

解析不計空氣阻力，噴泉噴出的水在空中只受重力，加速度均為重力加速度，A正確；設噴泉噴出的水

\2h

豎直方向的分速度為,水平方向的分速度為%,豎直方向，根據對稱性可知在空中運動的時間t=2

可知tb>ta,D錯誤；最高點的速度等于水平方向的分速度,由于水平方向的位移大小關系未知，無法

判斷最高點的速度大小關系，根據速度的合成可知無法判斷初速度的大小關系，B、C錯誤。

3.（多選）（2024.江西卷.8）一條河流某處存在高度差，小魚從低處向上躍出水面，沖到高處。如圖所示，以小

魚躍出水面處為坐標原點，龍軸沿水平方向建立坐標系，小魚的初速度為血，末速度v沿x軸正方向。在

此過程中，小魚可視為質點且只受重力作用。關于小魚的水平位置X、豎直位置y、水平方向分速度以和

豎直方向分速度力與時間f的關系，下列圖像可能正確的是（）

Oto

CD

答案AD

解析小魚在運動過程中只受重力作用，則小魚在水平方向上做勻速直線運動，即％為定值，則有水平位

移，故A正確，C錯誤；小魚在豎直方向上做豎直上拋運動，則尸/刎，v^Vy0-gt,且最高點時豎

直方向的分速度為0,故B錯誤，D正確。

4.（2024?福建泉州市模擬）如圖所示，相對且緊挨著的兩個斜面固定在水平面上，傾角分別為a=60。，夕=30。。

在斜面。4上某點將a、b兩小球分別以速度也、也同時向右水平拋出，a球落在M點、b球垂直打在斜面

OC上的N點（“、N在同一水平面上）。不計空氣阻力，則也、也的大小之比為（)

A.1：2B,2：3C,3：4D,3：5

答案A

解析由題可知兩小球做平拋運動下落的高度相同，所以兩小球做平拋運動的時間相同，設為f,由題意

及幾何關系可知，小球a落在斜面上時，位移方向與水平方向的夾角為60°，小球b落在斜面上時，速度

方向與水平方向的夾角為60%根據平拋運動規律，對小球a有tan60。=逆L盧，對小球b有tan60。=空,

vrt2%v2

則也=；,故選Ao

v22

5.（2023?江蘇卷40）達?芬奇的手稿中描述了這樣一個實驗：一個罐子在空中沿水平直線向右做勻加速運動,

沿途連續漏出沙子。若不計空氣阻力，則下列圖中能反映空中沙子排列的幾何圖形是（）

解析以罐子為參考系，沙子在水平方向向左做初速度為零的勻加速直線運動，在豎直方向做自由落體運

動，合加速度恒定，沙子在空中排列在一條斜向左下的直線上，故選D。

6.（2024?湖南衡陽市二模）將一物體以某一初速度沿與水平方向成37。角從A點斜向上拋出，經過B點時速

度與水平方向的夾角為53。。已知A、8之間的水平距離為3忽略空氣阻力的影響，重力加速度為g,sin

53°=0.8,則下列說法正確的是（）

A.從A點拋出時的速度大小為督

B.從A到B過程中速度的最小值為看眉Z

C.從A到3的時間為怪

D.A、3之間的高度差為名

答案A

解析設水平方向分速度為w,物體在A、8位置的速度分解如圖甲、乙所示

由速度分解可知VAy=votan37°=7VO,VB尸otan53°=小0,豎直方向：地尸網+g1,解得仁等2,水平方向：

4312g

L=vot,解得項，則A點的拋出速度為出=$=寫，故A正確；A到B過程中當豎直方向速度為

0時，速度最小，Vminfogj初，故B錯誤；將均代入/中可得f=^x|73^L=f隹，故C錯誤；根據速

度關系可知知=8|病匚*聞:,根據豎直方向位移關系可知h=-vAyt+^，代入數據可得〃=",故D

錯誤。

［爭分提能練］

7.(14分X2024.湖南長沙市調研)作為研制新一代飛行器的搖籃，我國JF-22超高速風洞可以創造出高度達幾

十千米、速度達約三十倍聲速的飛行條件。若將一小球從風洞中地面上的A點以初速度vo豎直向上彈出，

小球受到大小恒定的水平風力作用，到達最高點3時的動能為初始點A動能的白，小球最后落回到地面上

的C點，如圖。不計空氣阻力，重力加速度為g,求：

(1)(4分)小球從彈出到落地所用的時間；

(2)(6分)小球運動的加速度大小；

(3)(4分)小球在空中的最小速度。

答案⑴等(2)1(3)|為

解析(1)豎直方向上，小球只受重力作用,到達最高點3所用的時間f±=曳

9

根據對稱性，從最高點到落地的時間”="

9

則小球從彈出到落地所用的時間t=t±+r下=也

9

(2)到達最高點3時的動能與A點的動能之比為9：16,則速度之比為u水平：vo=3:4

在最高點豎直方向速度為0,由⑴知r=”

9

V水平=〃水平，上,

得a水平二：g

小球運動的加速度大小為q=Ja水平2+g2

聯立解得a=：g

4

(3)小球在重力和風力作用下做類斜拋運動，當小球速度方向與重力和風力的合力方向垂直時，速度最小，

合力與豎直方向夾角正切值為

tan3=4-

最小速度Vmin=vosin0=|vo

8.(16分X2020?山東卷?16)單板滑雪U型池比賽是冬奧會比賽項目，其場地可以簡化為如圖甲所示的模型：

U形滑道由兩個半徑相同的四分之一圓柱面軌道和一個中央的平面直軌道連接而成，軌道傾角為17.2。。某

次練習過程中，運動員以VM=10m/s的速度從軌道邊緣上的M點沿軌道的豎直切面A3CD滑出軌道，速度

方向與軌道邊緣線AD的夾角a=72.8。，騰空后沿軌道邊緣的N點進入軌道。圖乙為騰空過程左視圖。該運

動員可視為質點，不計空氣阻力，取重力加速度的大小g=10m/s2,sin72.8°=0.96,cos72.8°=0.30。求：

(1)(8分)運動員騰空過程中離開AD的距離的最大值d；

(2)(8分)M、N之間的距離L。

答案(1)4.8m(2)12m

解析(1)在M點，設運動員在A3C。面內垂直AD方向的分速度為vi,由運動的合成與分解規律得

Vi=VA^in72.8°①

設運動員在ABC。面內垂直AD方向的分加速度為ai,由牛頓第二定律得

mgcosn.2°=mai②

由運動學公式得占華③

2al

聯立①②③式，代入數據得

d=4.8m