2025年高考數學解密之復數

-.多選題（共15小題）

1.（2024?南通模擬）己知復數z/z2,滿足|zj|z2快0,下列說法正確的是（）

2

A.若IZ]|=|Z2I,則Z；=Z2B.|Z]+z?|[Z]|+1z?|

C.若z,wR,則五￡HD.|斗2|=|Z]|匕I

一Z2

2.（2024?南通模擬）已知％,Z2都是復數,下列正確的是（）

A.若Z]=Z2,貝!）2必2￡「B.若ZK￡R,則4=z2

C.若匕|=%|,則z；=z；D.若z；+z；=0,則|Z]|=|Z2|

3.（2024?貴港模擬）已知復數4,z2,z3,則下列說法中正確的有（）

A.若Ze?=Z1Z3，則4=。或Z2=Z3

B.若z1」+&則茶2416

-------1

122122

若；；

C.z+z=0,貝！Jzx=z2=0

D?Z]Z]—z[z】,則I4|=|z2|

4.（2024?陽江模擬）設復數z在復平面內對應的點為Z,則下列說法正確的有（）

A.若|z|=l,貝!]z=±1或z=土，

B.若|z—（2+i）|=l,貝!J|z|的最小值為百—1

C.若z=J5—21,則|z|=7

D.若掇J|z|母,則點Z的集合所構成圖形的面積為萬

5.（2024?濰坊二模）定義域是復數集的子集的函數稱為復變函數，/（z）=z2就是一個多項式復變函數.給

定多項式復變函數/（Z）之后，對任意一個復數Z。，通過計算公式Zm=/（Z〃），可以得到一列值Z。，

4，z2,...?,....如果存在一個正數使得|zn|vM對任意〃wN都成立，則稱z°為/（z）的收斂

點；否則，稱為f（z）的發散點.則下列選項中是〃z）=z2的收斂點的是（）

A.V2B.-iC.1-iD.---f

22

6.（2024?遼寧模擬）已知z滿足六l—i）=z+①，則（）

A.z=T+i

B.復平面內z對應的點在第一象限

C.zz=17

D.Z的實部與虛部之積為T

7

7.（2024?安徽模擬）已知i為虛數單位，復數z=一下列說法正確的是（）

z（3+i）

A.

B.復數z在復平面內對應的點位于第四象限

3._

C.n

5

為純虛數

D.z+4

5

8.（2024?重慶模擬）已知復數z,w均不為0,貝！］（）

zZ2

A.Z2=|Z『B.N=JC.z—w=z-wD.

z|z|中唱

9.（2024?延邊州模擬）已知4、Z2都是復數,下列正確的是（)

A.若|Z[|=|z21,則Z]=±z2B.\zxz21=|zx\\z21

C.若|4+Z21=|4—Z21,貝!JziZ2=0D.z{-z2=?z2

10.（2024?湖南模擬）已知i為虛數單位,下列說法正確的是（)

A若復數z巖，則,一

B.若|4|>|Z21,則z；>z；

C.若Z2WO,貝力五|二皿

z

z2l2I

D.復數z在復平面內對應的點為Z,若|z+i|+|z-i|=2,則點Z的軌跡是一個橢圓

11.（2024?瓊海模擬）設z-Z2為復數，則下列結論中正確的是（）

A.若工為虛數，則.也為虛數

4

B.若|Zi+i|=l,則|z"的最大值為亞

C.I"|=|"|

D.[Z]—z?[|Z1|+1z?|

12.（2024?安徽模擬）若復數4,Z2是方程f-6》+12=0的兩根，貝1|（）

2

A.4,Z2實部不同

B.4,Z2虛部不同

C.|4|=2』

D.幺士三在復平面內所對應的點位于第三象限

2-z

13.（2024?遵義二模）關于復數z,下列結論正確的是（）

A.z=-----

z

B.若|z|=2,貝！Jz=l+gi

C.z=（1+z）10=a+bi{a,beR）,則6=C：。xP=1。

D.若z+N=l,則z在復平面內對應的點的軌跡為一條直線

14.（2024?河池模擬）已知i為虛數單位，復數z「Z2為方程/-2x+5=0的兩個根，則下列選項中正確

的有（）

A.|z；|=|z21

B.Z[Z]=|zJ

C.復數.在復平面上對應的點在第二象限

D.五?（五）=1

Z]z2

15.（2024?莆田三模）若z是非零復數，則下列說法正確的是（）

A.若z+N=O,則三=iB.若ZN=2|2|,貝!J|Z|=2

Z

C.若4=三，則4=zD.若|z+z/=0,則ZiN+|z『=0

二.填空題（共5小題）

16.（2024?紅橋區一模）i是虛數單位，復數.

1-?------

17.（2024?普陀區校級模擬）設復數z滿足z+6=3彳+161,則|z|=.

18.（2024?松江區二模）在復平面內，復數z對應的點的坐標是（1,2）,貝卜/=.

19.（2024?金溪縣校級模擬）復數z的實部為

n-zi+z—

20.（2024?天津）已知，是虛數單位，復數（后+＞（,-2。=.

三.解答題（共5小題）

3

21.(2024?貴陽模擬)在復數集中有這樣一類復數：z=a+6z?與彳=。(a,6eR),我們把它們互稱為共

輾復數，6x0時它們在復平面內的對應點關于實軸對稱，這是共輔復數的特點.它們還有如下性質：

(1)z+z=2ae7?

(2)z—三=2W(當6中0時，為純虛數)

(3)z=z<=>ze7?

(4)(I)=z

(5)z-z=a2+b2=\z^=\z^.

(6)兩個復數和、差、積、商(分母非零)的共軌復數，分別等于兩個復數的共軌復數的和、差、積、

商.

請根據所學復數知識，結合以上性質，完成下面問題：

(1)設z",|z|=l.求證：二■5是實數；

1+Z

7

(2)已知|z/=3,%|=5,匕―Zzl=7,求，的值；

Z2

(3)設z=x+yi,其中x,y是實數，當|z|二l時，求|z?-z+l|的最大值和最小值.

22.(2024?西山區模擬)我們把%+%尤+〃2工2+…+為/=0(其中%w0,〃wN*)稱為一元〃次多項式方

程.

代數基本定理：任何復系數一元〃(〃$N*)次多項式方程(即4,q,出，…，4為實數)在復數集內至

少有一個復數根；由此推得，任何復系數一元雙〃￡N*)次多項式方程在復數集內有且僅有〃個復數根(重

根按重數計算).

那么我們由代數基本定理可知：任何復系數一元雙〃WN*)次多項式在復數集內一定可以分解因式，轉化為

〃個一元一次多項式的積.

即。0+%%+。2%2+—+。/"=4〃(％—。1)*1(%—%)”..(％—。機盧，其中2,UieN*,匕+/+…+左加=〃，/，

%,a、為方程4+4%+出爐+???+〃/"=。的根?

進一步可以推出：在實系數范圍內(即旬，4,a2,a〃為實數)，方程“0+…=。的

有實數根，則多項式。0+平+。2/+…必可分解因式.例如：觀察可知，X=1是方程三_1=0的一

個根，則(X-1)一^定是多項式1的一'個因式，即1=(%—1)(依2+Zzx+C),由待定系數法可知，

a=b=c=l.

4

(1)解方程：x>-2x+l=0；

23+

(2)/(x)=a0+axx+a2x+a3x,其中旬，%,a2,a3&R,且4+%+02+。3=1.

23

(i)分解因式：x—((70+atx+a2x+a3x)；

(而)記點尸Oo，%)是y=/(x)的圖象與直線y=x在第一象限內離原點最近的交點.求證：當

%+2al+3%,1時，%=1.

23.(2022?上海模擬)設復數z2=cos0+ism0,其中Ce[0,萬].

(1)若復數Z=I"2為實數，求。的值；

(2)求|34+句|的取值范圍.

24.(2021?株洲模擬)2知復數Z“=%+%/(%、b?eR),滿足4=1,Z,.=亥+1+2i(〃eN*),其中(為

虛數單位，益表示Z”的共輾復數

(I)求心|的值；

(II)求Z]。。.

25.(2024?大祥區校級模擬)高中教材必修第二冊選學內容中指出：設復數z=a+沅對應復平面內的點Z,

設NXOZ=g,|OZ|=r,則任何一個復數z=a+>z■都可以表示成：z=r(cos6+isin。)的形式，這種形式

叫做復數三角形式，其中廠是復數z的模，。稱為復數z的輻角，若0”6<2]，則。稱為復數z的輻角主

值，記為argz.復數有以下三角形式的運算法則：若馬=4(cosg+isinq),i=l,2,...n,貝！j：

Z]-z2?…-z”…/[cos?+a+…+q,)+isin(q+q+…+q)],特別地，如果

z；=z2=...zn=r(cos6+isinO'),那么[r(cose+isin。)]"=/'(cos〃e+isin"e),這個結論叫做棣莫弗定理.請

運用上述知識和結論解答下面的問題：

(1)求復數z=l+cos9+isin。，(1,2乃)的模|z|和輻角主值argz(用。表示)；

(2)設&2024,neN,若存在滿足(sine+icos。)'=sin〃e+icos〃e,那么這樣的〃有多少個？

(3)求和：S=cos200+2cos400+3cos60°+...+2034cos2034x20°.

5

2025年菁優高考數學解密之復數

參考答案與試題解析

多選題（共15小題）

1.（2024?南通模擬）已知復數z「z2,滿足IZJ-IZZIHO,下列說法正確的是（）

A.若|劣|=匕|,則z；=Zz2B.|Zj+z21?Izj|+|z21

「z

C.ZjZ2eR,則3D.\ztz2\=\zt\\z2\

一z2-一

【答案】BD

【考點】復數的運算；復數的模

【專題】數學運算；計算題；轉化思想；綜合法；數系的擴充和復數

【分析】對選項A,C,利用特殊值法即可判斷A,C錯誤，對選項3,根據復數模長的性質即可判斷3

正確，對選項。，根據復數模長公式即可判斷。正確.

【解答】解：對選項A,設4=1+，/2=01,

22（）2；

貝力4|=仁21=夜，=<1+0=2z,Z2=^2i=-2,不滿足Z=Z22,故A錯誤；

對選項5,設4，Z2在復平面內表示的向量分別為I，5,且Z1，Z2,O,

當方向相同時，I另+^1=閏1+1日I'

當圣目方向不相同時，IX+KMKI+I^TI，

綜上|馬+Z2||4|+1Z2|,故5正確；

對選項C,設％=l+i,z2=l-i,2仔2=(1+1)(1—i)=2￡R,

Zi_1+z(l+i)2

=i^R故C錯誤;

Z21-Z(1-Od+O

對選項Z),設Z[=a+6i,z2=c+di,a,b,c,d/O,

ZjZ2=(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i,

222222

貝！)|Z[Z21=y1(ac-bd)+(ad+be)=^/(ac)+(bd)+(ad)+(be),

I4||z?|=Va2+t>2■y]c2+d~={(tie)。+(bd?+(adj+(be?=|ZjZ1,

2

故。正確.

故選：BD.

【點評】本題考查了復數的運算，屬于中檔題.

6

2.（2024?南通模擬）已知z一4都是復數，下列正確的是（）

A.若Z]=z?,則ZjZ2eRB.若z/?eR,則z1=z2

C.若|Z1|=|z?I，則z；=z；D.若z；+z；=0,貝力4|=匕|

【答案】AD

【考點】復數的運算；復數的模；共軌復數

【專題】數學運算；綜合法；數系的擴充和復數；整體思想

（分析】結合復數的基本概念及復數的四則運算及復數的運算性質檢驗各選項即可判斷.

【解答】解：若Z[=Z2，則Z]Z2=z??Z2eR,A正確；

當Z=2i,Z2=z?滿足ZKeR,3顯然錯誤；

2

當Z1=l,Z2=Z?時，滿足|21|=匕|,但Z：=l,Z2=-1,C顯然錯誤；

設Z]=o+6i,z2=c+di（a,b,c,d都為實數），

；；22

若z+z=0,則z,=-Z2,

所以|z；R-z??|=匕21,

所以|Z]『=|Z2『，ipIZ11=1z2I,。正確.

故選：AD.

【點評】本題主要考查了復數的基本概念，復數的運算性質的綜合應用，考查了分析問題的能力，屬于中

檔題.

3.（2024?貴港模擬）已知復數zrz2,z3,則下列說法中正確的有（）

A.若z/2=Z,z3,貝!IZ]=0或Z2=Z3

C.若z；+z；=0,則％=z?=0

D.ZjZ]=z2z2,貝|匕|=匕|

【答案】ABD

【考點】復數的運算；復數的模

【專題】數系的擴充和復數；轉化思想；數學運算；計算題；綜合法

【分析】對于A,由題意可得4%-23）=0進而即可得解；

7

對于5,由題意可求Z：以3為周期，進而可得Z；°24=zF74+2=z；=-g—*i,即可得解；

對于C,取Z1=l,z2=/,即可判斷得解；

對于。，利用復數的模的定義即可求解.

【解答】解：對于A,Z1Z2=Z/3OZ1（Z2—Z3）=OOZ1=0或Z2=Z3,故A正確；

對于B,去」一2,z：=l,zt=--+^-i,所以z：以3為周期，

所以zf024=z；*674+2=z；=_!一更i,故3正確；

11122

對于C,取Zi=l,z2=i,

則z；+z；=0,止匕時4WZ2，故。錯誤；

2

對于Z）,44=匕|2,z2z2=|z21,

所以44=Z2z2M4|=|Z21,故。正確.

故選：ABD.

【點評】本題考查了復數的運算，考查了轉化思想，屬于中檔題.

4.（2024?陽江模擬）設復數z在復平面內對應的點為Z,則下列說法正確的有（）

A.若|z|=1,貝！Jz=±1或z=±，

B.若|z-（2+，）|=1,則|z|的最小值為若-1

C.若z=6-2力,則|z|=7

D.若1別z|V2,則點Z的集合所構成圖形的面積為萬

【答案】BD

【考點】復數對應復平面中的點

【專題】數學運算；轉化思想；轉化法；數系的擴充和復數

【分析】對于A，結合特殊值法，即可求解；對于3,結合復數的幾何意義，即可求解；對于C,結合復

數模公式，即可求解；對于￡>,結合復數模公式，以及復數的幾何意義，即可求解.

【解答】解：對于A,令z，+2i,滿足|z|=l,但2=±1或z=±，不成立，故A錯誤；

22

對于5,|z-（2+z）|=1,

則點Z的軌跡為以（2,1）為圓心，1為半徑的圓，

|z|表示圓上的點到原點（0,0）的距離，

8

則|z|的最小值為7(2二故3正確;

對于C,z=6-2i,

則|Z|=J(7W+(_2)2=幣,故C錯誤；

對于￡>,設2=4+此則|z|=4a1+匕2

因為陶|z|0夜，

所以1轟必片+620,

所以點Z的集合所構成的圖形的面積為萬(友產-萬?『=〃，所以。正確.

故選：BD.

【點評】本題主要考查復數的幾何意義，復數模公式，屬于基礎題.

5.(2024?濰坊二模)定義域是復數集的子集的函數稱為復變函數，/(z)=z2就是一個多項式復變函數.給

定多項式復變函數/(z)之后，對任意一個復數4,通過計算公式ZM=/(ZW),“cN可以得到一列值z。，

Z1,z2,...,zn,....如果存在一個正數Al,使得|z,|<M對任意“cN都成立，則稱Z。為/(z)的收斂

點；否則，稱為了⑵的發散點.則下列選項中是f(z)=z2的收斂點的是()

A.0B.-iC.1-zD.—z

22

【答案】BD

【考點】復數的代數表示法及其幾何意義；復數的乘法及乘方運算；復數的模

【專題】綜合法；轉化思想；數學運算；數系的擴充和復數

【分析】根據計算公式Z向=/(z“)=z；結合收斂點的定義判斷即可.

【解答】解：對A,由z“M=z；可得數列2,4,16…不合題意，故A錯誤；

對3,由z“+]=z；可得數列一i,-1,1,1...

則存在一個正數M=2,使得對任意都成立，滿足題意，故3正確；

對C,由Z“M=Z；可得數列l-i,-2i,-4,16…不滿足題意，故C錯誤；

對D,由z,+|=z；可得數列!一走i,一工一走i,一!+走i,一工一走i…

22222222

%1A/31731V3173

因為1:一_，1=|一:_一"=|一二+<，1=|一:一k7|=]，

22222222

存在一個正數M=2,使得|z”|<M對任意”eN都成立，滿足題意，故。正確.

9

故選：BD.

【點評】本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數模的求法，是基礎題.

6.（2024?遼寧模擬）已知2滿足引1-。=2+衛，貝1」（）

2-1

A.z=T+1

B.復平面內彳對應的點在第一象限

c.zz=n

D.Z的實部與虛部之積為T

【答案】ACD

【考點】共輾復數；復數的運算

【專題】方程思想；定義法；數系的擴充和復數；數學運算

【分析】利用復數代數形式的運算法則進行運算，求出復數z,逐一判斷各選項是否正確.

【解答】解：設2=%+歹（%,丫€7?）,

則由已知得（>M）（f=x+M+空，即…-（F）--1+（，+2?，

所以廠…一：解得廣丁

{-x-y=y+2,（y=l,

所以z=Y+i,則彳=Y-i,其對應點為（-4,-1）,在第三象限，故A項正確，8項錯誤;

z2=（T+i）（T-i）=17,z的實部為T,虛部為1,

所以z的實部與虛部之積為T,故C,。項正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查復數的運算，屬于基礎題.

7.（2024?安徽模擬）己知i為虛數單位，復數z=^^,下列說法正確的是（）

i（3+i）

.回

A.|z|=^-

B.復數z在復平面內對應的點位于第四象限

3

C.-Z-z<0

5

D.z+工為純虛數

5

【答案】ABC

【考點】復數的運算

【專題】數學運算；方程思想；數系的擴充和復數；定義法

【分析】化簡復數z,逐一核對選項檢驗即可.

10

【解答】解：z===203i）=U,

z（3+i3）i（3-i）（1+30（1-3z）5

'毋T否A?—1_j1+3z?Jl+9\/10工訴

選項A,zH------=---------=------，正確；

555

選項3,復數Z在復平面內對應的點為《，一|）,位于第四象限，正確;

選項C,-Z-^3L=--<0,正確；

555

選項。，匕匯+1=2-3,，不是純虛數，錯誤.

5555

故選：ABC.

【點評】本題考查復數的運算，屬于基礎題.

8.（2024?重慶模擬）已知復數z,卬均不為0,則（）

A.z2=|z|2B.三C.z-w=~z—wD.|-1=

z\z\wIw\

【答案】BCD

【考點】共甄復數；復數的模；復數的運算

【專題】數系的擴充和復數；數學運算；轉化思想；綜合法

【分析】利用復數的運算性質對四個選項逐一判斷可得答案.

【解答】解：?.?復數z,■均不為0,

對于A,不妨令z=3則z2=-l,|z|2=l,z2z|2,A錯誤;

2

對于5,三=—=J,3正確；

zz-z|z|2

對于C,由復數的運算性質，可得。=彳-刃，C正確；

—I|2

對于D,I三|2=三?（三）====耳，

WWWW-WIw\

故I=|=1￡1,。正確.

WIw|

故選：BCD.

【點評】本題考查復數的運算，屬于中檔題.

9.（2024?延邊州模擬）已知4、Z2都是復數，下列正確的是（）

A.若|Z[|=|z21,則4=±z2B.|乎21=14IIZ2I

C.若I4+Z21=14—Z2I,貝UZ[Z2=0D.zx'z2=zx'z2

【答案】BD

【考點】復數的模；共軌復數；復數的運算

11

【專題】轉化法；轉化思想；數系的擴充和復數；數學運算

【分析】根據已知條件，結合特殊值法，復數模的性質，復數的概念，即可求解.

【解答】解：令4=1,z?=i,滿足|2]|=匕|,但4=±Z2不成立，故A錯誤；

由復數模的性質可知，Iz?|=|4||Z21,故5正確；

令4=1,z2=i,滿足|馬+Z2|=|4-Z21,但乎2=0不成立，故。錯誤；

設4=a+bi(a,beR),z2=c+di(c,dGR),

Z1?Z2=(a+bi)(c+成)=ac—bd+{ad+bc)i，

z2=(a-bi)(c-di)=ac-bd+{ad+bc)i,故D正確.

故選：BD.

【點評】本題主要考查復數的運算，屬于基礎題.

10.(2024?湖南模擬)已知i為虛數單位，下列說法正確的是()

A.若復數z=l±i,則Z3°=T

1-z

B.若|4|>|Z21,則z；>z；

C.若Z,WO,貝力五|=皿

Z2|z21

D.復數z在復平面內對應的點為Z,若|z+i|+|z-i|=2,則點Z的軌跡是一個橢圓

【答案】AC

【考點】復數的運算；復數的模

【專題】數系的擴充和復數；綜合法；轉化思想；數學運算

【分析】根據復數的運算性質逐項判斷即可.

【解答】解：對于A,因為z=蟲=-(1+獷="=i,所以z3°=嚴=臚=-1,故A正確；

1-1(1-0(1+/)2

對于5,取4=21,Z2=1滿足|Z]|,但z；=-4,z；=1,所以z；>z；不成立，故B錯誤；

對于C,若Z2W0,根據模的性質|五|=⑷，故C正確；

Z2lZ2I

對于。，復數z在復平面內對應的點為Z,若|z+i|+|z-i|=2,則點Z的軌跡是線段，故。錯誤.

故選：AC.

【點評】本題考查復數的運算性質，屬于中檔題.

11.(2024?瓊海模擬)設z一句為復數，則下列結論中正確的是()

12

A.若L為虛數，則.也為虛數

zi

B.若|z+i|=l,則|z"的最大值為應

C.|不|=|Z]Zz|

D.[Z]—z?[[Z1|+1z?|

【答案】ACD

【考點】復數的模；復數的運算

【專題】數學運算；定義法；數系的擴充和復數；對應思想

【分析】對于A,由'=二=為虛數，得為虛數，從而可判斷A,對于3,由z=-2i進行判斷，對于

Z[2[.Z]

C,設4=°+方，z2=c+di(a,b,c,deR),然后分別求解|z,|,|zp|進行判斷，對于。，根據復

數的向量表示及向量的不等式分析判斷.

【解答】解：對于A,因為,=」=為虛數，為實數，所以)為虛數，所以4也為虛數，所以A正

Z[Z]?Z]

確，

對于當Z]=-2i時，滿足|Z[+i|=l,此時|Z||=2＞五，所以3錯誤，

對于。，設Zi=a+Z?i,z2=c+di(a,b,c,deR),貝!J

Zi?z2=(a+bi)?(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i,

Z1?Z2=(a+bi)?(c—di)=(ac+bd)+(Jbc—ad)i,

所以IZ]?Z21=J(a人-Id)2+(ad+，c)2=yj(ac)2+(bdf+(ad)2+(be)2,

22

\zx-z21=y/(ac+bd)+(be-ad)={(ac)2+3dy+(ad?+(Jbef,

所以|乎2H4Z21,所以。正確，

對于。，設4，Z2確定的向量分別為西，西，則由向量不等式得I西-鬲I”I西|+|西I，

所以|4-Z2I,,I4I+IZ2I恒成立，所以。正確，

故選：ACD.

【點評】本題考查復數的運算，屬于中檔題.

12.(2024?安徽模擬)若復數4,Z2是方程6%+12=0的兩根，貝1]()

13

A.4,Z2實部不同

B.4,Z2虛部不同

C.|4|二2』

D.幺士三在復平面內所對應的點位于第三象限

2-z

【答案】BC

【考點】復數的除法運算；復數對應復平面中的點；復數的模

【專題】定義法；數系的擴充和復數；方程思想；數學運算

【分析】在復數集內解方程爐-6》+12=0,求出尤=3±也》，再根據復數的模及其幾何意義、共物復數、

復數的代數表示及其幾何意義、復數的除法運算，逐項判定，即可求出結果.

【解答】解：因為方程/-6x+12=0可化為（x-3）2=-3,所以x=3土石，

則z-z?是共軌復數，實部相同，虛部互為相反數，所以A錯誤，3正確；

因為|z"=|3土也i|=2g,所以C正確；

因為幺上2=工=叫+9九

2-z2-z55

所以若1在復平面內所對應的點為（￡3）'

位于第一象限，所以。錯誤.

故選：BC.

【點評】本題考查復數的運算，屬于基礎題.

13.（2024?遵義二模）關于復數z,下列結論正確的是（）

.--

A.z=-----

z

B.若|z|=2,貝！|z=l+y/3i

C.若2=（1+獷°=a+砥a,beR）,則。=C：。xP=10

D.若z+彳=1,則z在復平面內對應的點的軌跡為一條直線

【答案】AD

【考點】復數的代數表示法及其幾何意義；復數的模；復數的運算

【專題】計算題；整體思想；綜合法；數系的擴充和復數；數學運算

【分析】由復數的運算和幾何意義運算可得結果.

【解答】解:對于A,設z=。+加（4,6eR）,則|z,

14

所以2=°-慶，所以|z『=z-2=/+/,故A正確；

對于3，若|z|=2,則/+6?=4,所以z不一定是1+省『，故3錯誤；

對于C,因為2=（1+獷°=[（1+。2]5=（2獷=32?,所以》=32,故C錯誤；

對于D,設z=o+6i（a,6eR）,則彳=a-Z>i,所以z+N=2a=l,所以°=工，所以z在復平面內對應的點

2

的軌跡為一條直線，故。正確.

故選：AD.

【點評】本題主要考查復數的運算，屬于基礎題.

14.（2024?河池模擬）已知i為虛數單位，復數z-Z?為方程尤2-2尤+5=0的兩個根，則下列選項中正確

的有（）

A.|Z1|=|z2|

B.4%=|為『

C.復數為在復平面上對應的點在第二象限

D.五?（2）=1

Z2Z2

【答案】ABD

【考點】復數的模；復數的運算

【專題】數學運算；綜合法；計算題；轉化思想；數系的擴充和復數

【分析】由題意可知：z?=I，進而可判斷A；結合Z與=|z|2可判斷BD；根據復數的幾何意義判斷C.

【解答】解:對于選項A：由方程f-2x+5=0解得x=l±2i,可知:Z2=Z],所以|4|=|z1|=|z?|,故A

正確；

對于選項B：對于任意復數z=a+沅，則三=。-友，可得=（。+慶）（。-應）=/+Z?2=|z『，所以Z[Z]=|Z]|2,

故3正確；

對于選項C：由方程尤2-2尤+5=0解得左=1土2乙即4=l+2i或Z1=l-2i,可知復數為在復平面上對應

的點在第一象限或第四象限，故C錯誤；

對于選項。：由選項3可知：=五.（五）=|五|2=（皿）2=（乃』）2=1.故。正確.

z2z2|z21|z）I

故選：ABD.

15

【點評】本題考查復數運算、復數模，考查數學運算能力，屬于中檔題.

15.（2024?莆田三模）若z是非零復數，則下列說法正確的是（）

z

A.若z+N=O,則二=iB.若z.彳=2|z|,貝!J|z|=2

z

C.若Z]=i\則z=zD.若|z+z"=0,則z/5+|z『=0

【答案】BCD

【考點】復數的乘法及乘方運算

【專題】數系的擴充和復數；定義法；方程思想；數學運算

【分析】利用共軌復數的定義可判定A、C,利用復數的乘法運算法則結合模長公式可判定3、D.

【解答】解：由z+5=0,得二=一1,則A錯誤.

Z

因為z-N=|z『，所以|z『=2[z],解得|z|=2或|z|=0（舍去），則3正確.

設z=a+bi（a，bwR,且w0）,

則4=彳=°-尻，所以Z[=a+6i=z,則C正確.

由|z+4|=0,得.=-z.

設z=a+Z?i(o,bwR,且漏片0),貝!J?彳=—zN=-(/+6?),

\z^=a2+b2,從而z「5+|z『=0,則。正確.

故選：BCD.

【點評】本題考查復數的應用，屬于基礎題.

二.填空題（共5小題）

16.（2024?紅橋區一模）i是虛數單位，復數工1=1+3/

1-z一

【答案】1+3）.

【考點】復數的運算

【專題】數學運算；綜合法；數系的擴充和復數；整體思想

【分析】由已知結合復數的四則運算進行化簡即可求解.

4+2z(4+2z)(l+02+6z>

【解答】解:口=(j)(1+i)=丁*13,

故答案為：1+31.

【點評】本題主要考查了復數的四則運算，屬于基礎題.

17.（2024?普陀區校級模擬）設復數z滿足z+6=35+16"則lz|=5

【考點】復數的模；共輾復數

16

【專題】數學運算；轉化思想；轉化法；數系的擴充和復數

【分析】設2=0+慶，根據復數的共軌復數、復數相等列方程組解得“，b,再根據模長公式求解即可得

答案.

【解答】解：設z=a+6i(a,6eR),則。+初+6=3a-3加+16力，于是I""3a

b=-3b+16

a=3

解得=5.

b=4

故答案為：5.

【點評】本題考查復數的共軌復數、復數相等，屬于基礎題.

18.(2024?松江區二模)在復平面內，復數z對應的點的坐標是(1,2),則3z=_-2+i

【答案】-2+z.

【考點】復數的運算

【專題】對應思想；轉化法；數系的擴充和復數；數學運算

【分析】根據復數的運算性質計算即可.

【解答】解：由題意得：z=l+萬，

故反=汨+2。=-2+i,

故答案為：-2+z.

【點評】本題考查了復數的運算，是基礎題.

19.(2024?金溪縣校級模擬)復數z=±L的實部為史」.

Il-zl+z—3—

【答案】迫二L

3

【考點】復數的運算

【專題】數學運算；轉化思想；數系的擴充和復數；轉化法

【分析】根據已知條件，先對z化簡，再結合實部的定義，即可求解.

【解答】解：因為1=4￡=(lT)(0i)=史匚_叵!,

|1-/|+;近+i333

所以z=4的實部為交二*■.

故答案為：正匚.

3

【點評】本題主要考查復數的運算，屬于基礎題.

17

20.(2024?天津)己知i是虛數單位，復數(如+力?(君-2i)=_7-石i_.

【答案】7-百.

【考點】復數的運算

【專題】轉化法；轉化思想；數學運算；數系的擴充和復數

【分析】根據已知條件，結合復數的四則運算，即可求解.

【解答】解:(y/5+i)-(y/5-2i)=5-2V5i+s/5i+2=7-y/5i.

故答案為：7-也i.

【點評】本題主要考查復數的四則運算，是基礎題.

三.解答題(共5小題)

21.(2024?貴陽模擬)在復數集中有這樣一類復數：z=a+bi與2=a-bi(a,beR),我們把它們互稱為共

物復數，時它們在復平面內的對應點關于實軸對稱，這是共輾復數的特點.它們還有如下性質：

(1)z+z=2a&R

(2)z-2=2fo?(當bwO時，為純虛數)

(3)z=NozwR

(4)(f)=z

(5)z-z=a2+b2=|z|2=|z|2.

(6)兩個復數和、差、積、商(分母非零)的共軟復數，分別等于兩個復數的共輾復數的和、差、積、

商.

請根據所學復數知識，結合以上性質，完成下面問題：

(1)設ZH，，|z|=l.求證：二^是實數；

1+Z

z

(2)已知|z"=3,|z2k5,|Z|-Z2l=7,求」的值；

Z2

(3)設2=%+",其中X,y是實數，當|z|=l時，求|z2-Z+1I的最大值和最小值.

【答案】(1)證明見解答；

Z1335

(2)—=---±----1；

z21010

22

(3)|z-z+l|mav=3,|z-z+l|mi.?=0.

【考點】共軻復數；復數的模；復數的運算

【專題】數學運算；綜合法；數系的擴充和復數；整體思想

18

【分析】(1)設2=々+初(〃/￡&,利用z?N=l,z+z=2a^R,可證得一J■是實數;

1+Z

(2)設幺=p+qi(p,qeR),結合題意，可得關于〃，鄉的方程組，解之即可；

z?

(3)設z=cose+isin9,9QR,依題意，可得|z?-z+l|=|2cos6-1],從而可求得|z?-z+l|的最大值

和最小值.

【解答】解：(1)證明：^z=a+bi(a,b&R),zWi|z|=1,

.'.Z'Z=1z+z—2a^Ry

z_Z2=」;是實數;

l+z2z?z+zz+z

z

(2)^—=pqi(p,qGR),

Z]

貝IjZ1={p+qi)z2,

,44|=3，|z21=5,|4—Z21=7，

/.p2+q2=-

25

又7=|Z\—z?K(7?+^)z2-z2HZ2II(p-l)+qi[=5?p-1尸+.，

.,.(p-l)2+/=_^|②；

聯立①②，解得p=-』，q=±述，

1010

43工3區

z21010

(3)?」z|=l,設z=cos9+，sin9,0^R,

貝！J|z‘-z+11=|z?—z+z?彳|=|z(z+z—1)|=|z||z+z-11=|2cos0—l\,

?.?一瓚bos。1,

二.一3張電cos。一11,

2

」Z2-Z+1K=3,|z-z+l|ra,?=0.

【點評】本題考查復數的運算及其性質的應用，考查轉化與化歸思想及方程思想的綜合運用，屬于中檔題.

22.(2024?西山區模擬)我們把/+平+“2*2+...+。“靖=。(其中。,尸0,"eN*)稱為一元〃次多項式方

程.

代數基本定理：任何復系數一元〃("eN*)次多項式方程(即旬，％,電，…，。"為實數)在復數集內至

19

少有一個復數根；由此推得，任何復系數一元〃SEN*)次多項式方程在復數集內有且僅有〃個復數根(重

根按重數計算).

那么我們由代數基本定理可知：任何復系數一元〃(〃￡N*)次多項式在復數集內一定可以分解因式，轉化為

n個一元一次多項式的積.

即4…=々〃(%—%)6(%—12)”..(1—/找盧，其中左，meN*,匕+左2+…+鼠=〃，4