1.設全集。={-2,-1,0,1,2,3},集合/={-1,2},B={1,3},則G(，UB)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

【答案】D

【解析】由/={T,2},B={1,3},可得/28={-1,1,2,3},

又因為全集U={-2,-1,0,1,2,3),所以Q。0={-2,0},

故選：D

2.若復數(shù)z=；,貝1］忖=()

1—1

V21

A.|B.C.一D.41

~T2

【答案】B

【解析】由題得z=1一=Z(l+0—1+i1i

2-2’2，所以|z|=、

1-1(I-0(1+0心+54

故選：B

3.在“3C中，。是48邊上的中點,則而=（）

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

【答案】C

CB^CA+AB=CA+2AD=CA+2(CD-C%=Q.CD-CA

故選：C

“71371

4.設一<a<—，sina+cosa=—~-，則cos2a=()

442

A.-1

BD

2-T-4

【答案】A

V3-1

【解析】因為sina+cosa=

2

、V3

所以(sina+cosa)2=1+sin2a=1———所以sin2a=—<0,

2

因為十0寸，所以曰<2a售，

第1頁共13頁

一371

又因為sin2a＜0,所以兀＜2。＜彳，

所以cos2a=-V1-sin22a=-

2

故選：A.

5.以邊長為6的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的側(cè)面積為（）

A.18兀B.36兀C.54兀D.72兀

【答案】D

【解析】由題意可得所得幾何體為圓柱體，底面半徑r=6,高〃=6,側(cè)面積S=2兀泌=72兀,

故選：D.

6.下列說法正確的是（）

A.若函數(shù)/（%）為奇函數(shù)，則"0）=0

B.函數(shù)在（一84）D（l，+8）上是減函數(shù)

C.若函數(shù)了=/（2》+1）的定義域為[2,3],則函數(shù)/（X）的定義域為1,1

D.若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且在（0,+8）上是單調(diào)遞增，則/（另在（-叫0）上是單調(diào)遞減

【答案】D

【解析】對于選項A：例如/（%）=：為奇函數(shù)，但/（0）無定義，故A錯誤；

對于選項B：因為/（0）=-1,/（2）=1,所以函數(shù)/（x）在定義域上不是減函數(shù)，故B錯誤；

對于選項C：因為函數(shù)了=/（2尤+1）的定義域為[2,3],即尤e[2,3],則2x+le[5,7],

所以函數(shù)/（x）的定義域為[5,7],故C錯誤;

對于選項D：因為函數(shù)為偶函數(shù)，且在（0,+e）上是單調(diào)遞增,

所以「（X）在（一叱0）上是單調(diào)遞減，故D正確;

故選：D.

7.已知函數(shù)/(x)=sinox+2cos2券儂＞0)在區(qū)間日引上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是()

A.(0,4]B.fo,1-u1,4C.fo,-u1,3D.；,3

【答案】C

【解析]/(%)=sincox+2cos2=sincox+coscox+\=41sin(啰x+:]+1,

因為所以s+生+：,萍+:)

第2頁共13頁

因為函數(shù)〃x）在區(qū)間手）上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)尸,^在；上單調(diào)遞增，且即0<GV4.

371兀，5兀

(x---CDH---?---

函數(shù)>=sinx在0+—0+上單調(diào)遞增等價于學0+或]442

所以,

(2444J442兀兀、3兀

''—CD+—>——

1242

所以，解不等式得。1或六口分所以，。的取值范圍是a；o|,3

故選：C

8.已知數(shù)列也｝滿足q=1,%=貴￡（〃￡泗）.記數(shù)列也｝的前〃項和為s〃，則（

)

199?

A.-<5100<3B.3<S100<4C.4<S100<—D.—<5100<5

【答案】A

aia

【解析】因為q=1，%+1=]+/,所以%>0,%=5，所以品>。>%+。2=5，

111,,、1,n-1n+\4

由累加法可得當"瑯時，衣一衣＜5（”2瓦＜1+丁=丁=%＞而適,

44

又因為當力=1時，％=逅記也成立，所以％開而可（"?N"）,

anann+\

所以<=封

n+\

.%<〃+1..a?."a?-i.?-1...”.2

*an〃+3'a”-n+2an_2〃+1a]4'

,a,,nn—\n—2326~11、

由累乘法可得當"刑時，an=-------X…X?X7=(=6(--——J,

%〃+2〃+1n54(〃+2)(〃+1)n+1n+2

所以Eoo*1+6(-------1---------1--------1-----1------------)=1+6(---------)<1+2=3,所以一<So。<3.

10034455610110231022

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的

得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.體育教育既能培養(yǎng)學生自覺鍛煉身體的習慣，又能培養(yǎng)學生開拓進取、不畏艱難的堅強性格.某校學生參加體育

第3頁共13頁

測試，其中甲班女生的成績X與乙班女生的成績y均服從正態(tài)分布，且X?N（160,900）,y-7V（160,400）,貝1（）.

A.E（X）=160B.￡>（7）=20

C.尸（X<120）+尸（XV200）=1D,尸（XV180）〈尸（yV180）

【答案】ACD

【解析】選項A：由X?N（160,900）,得E（X）=160,故A正確；

選項B：由T?N（160,400）,得。a）=400,故B不正確；

選項C：由于隨機變量X服從正態(tài)分布，該正態(tài)曲線的對稱軸為直線：x=160,

所以尸（X<120）+尸（XV200）=P（X>200）+P（XV200）=l,故C正確；

選項D：解法一:由于隨機變量X,/均服從正態(tài)分布，且對稱軸均為直線：x=160,

D（X）=900>D（y）=400,所以在正態(tài)曲線中，Y的峰值較高，正態(tài)曲線較“瘦高”，

隨機變量分布比較集中，所以P（X4180）（尸（Y4180）,故D正確.

解法二：因為X?N（160,900）,K-2V（160,400）,

所以尸（X4180）=尸（X4160+20）<P（X4160+30）=P（yM160+20）=P（yvl80）,

故D正確.

故選：ACD.

10.己知函數(shù)/（x）=bgi（f+2）-log2（x+4）,下列說法正確的是（）

2

A.函數(shù)/⑴的定義域為（-4,2]

B.函數(shù)/卜-1）為偶函數(shù)

C.函數(shù)/'（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1,2]

D.函數(shù)/（無）的圖像關(guān)于直線x=-l對稱

【答案】BD

/\r—x+2>o/、

【解析】/x的定義域為：/八，?“￡一4,2,

'7〔x+4>0

/（X）=logi（-X+2）-log2（x+4）=-log2（-X+2）-log2（x+4）=_bg?-2x+8）；

對于A,錯誤；

對于B,/（x-1）--log2（-x+3）-log2（x+3）,

第4頁共13頁

/(-x-l)--log2(x+3)-log2(-^+3)=/(x-l)是偶函數(shù)，正確；

對于C,x=2不在定義域內(nèi)，錯誤；

對于D,二次函數(shù)y=-/-2X+8的對稱軸是X=-1,f{x)是關(guān)于x=-l對稱的，正確；

故選：BD.

11.數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為(/+/)3=丫2/，則下

列說法正確的是()

A.四葉草曲線有四條對稱軸

B.設尸為四葉草曲線上一點，且在第一象限內(nèi)，過尸作兩坐標軸的垂線，則兩垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積

的最大值為:

O

C.四葉草曲線上的點到原點的最大距離為;

D.四葉草曲線的面積小于：

【答案】ABD

【解析】對于A,將x換為f方程不變，所以曲線關(guān)于〉軸對稱；

將＞換為方程不變，所以曲線關(guān)于X軸對稱；

將X換為y,V換為X方程不變，所以曲線關(guān)于y=x對稱；

將x換為r,y換為—方程不變，所以曲線關(guān)于＞對稱.故A正確；

對于B,設曲線c第一象限任意一點為(xj),則圍成矩形面積為初，

則1+戶3=/必28(孫)3,

I6

即中V當且僅當='時取得最大值，故B正確；

8-4

對于C,設距離為d/C+V,要求”的最大值，即求/+/的最大值,

第5頁共13頁

22x2y21,11

.cX+y=------------------7=-------------------7----------------r-<-----------7=—

顯然d>0,x2+y2^Q,又(x2+/)12+力pL+1](1+1)4,

當且僅當/=/=：時，等號成立，

O

所以曲線c上的點到原點距離后壽最大值為:，故c錯誤；

對于D,由C可知，得四葉草曲線在以原點為圓心，:為半徑的圓內(nèi)，

故四葉草面積小于故D正確.

4

故選：ABD

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若直線y=3x+a與曲線y=lnx+2x相切，則實數(shù)。的值為.

【答案】-1

【解析】設切點坐標為&lnf+2。,由y=lnx+2x得j//+2,

X

所以切線的斜率為：左=1+2,

t

所以曲線在(f/nt+2f)處的切線方程為：y=]+2j(x—)+ln/+2/,

SPy=^~+2^x+lnZ—1,所以：+2=3,所以，=1,所以a=lnt—1=—1.

故答案為：-1.

22

13.己知雙曲線C:二一==l(a>0,b>0)的左焦點為尸，過尸的直線/交圓/+「=/于A,8兩點，交C的右支

ab

于點0,若|足4|=|/同=忸。|,則C的離心率為.

【答案】叵

5

【解析】設C的半焦距為c(c>0),如圖，設O為坐標原點，的中點為M,C的右焦點為耳，連接。B，。“，AO.

因為照|=|四=忸0],所以“也是尸。的中點.設園|=|四=忸。|=2加(加>0),

第6頁共13頁

由雙曲線的定義得|。盟一|Q年|=2a,所以|Q閶=6加-2d]。初=3切-a,

在RtA/OAf中，由/=（3%-°）2+機2,得m=卷,所以|。9|=4、0用=三，

在RtAQEQ中，由（?；+[?；=4c"得上=率~.

故答案為：恒.

5

14.數(shù)學家高斯在各個領(lǐng)域中都取得了重大的成就.在研究一類二次型數(shù)論問題時，他在他的著作《算術(shù)研究》中首

次引入了二次剩余的概念.二次剩余理論在噪音工程學、密碼學以及大數(shù)分解等各個領(lǐng)域都有廣泛的應用.已知對于

正整數(shù)（〃開2）,若存在一個整數(shù)X,使得"整除--a,則稱。是〃的一個二次剩余，否則為二次非剩余.從1到

20這20個整數(shù)中隨機抽取一個整數(shù)。，記事件/="a與12互質(zhì)"，B="a是12的二次非剩余”，貝!]

尸（/）=；P（B\A）=.

、75

【答案】為?

7

【解析】在1-20內(nèi)與12互質(zhì)的數(shù)有1,5,7,11,13,17,19,所以尸（4）二癡；

根據(jù)定義，對于整數(shù)的％不存在，則q是12的二次非剩余數(shù)，

12

顯然，當。=1時，x=ll；當。=13時，x=7；當a=5,7,11,17,19時，x不存在；

?（刃/）=;

75

故答案為：—.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步果。

15.（13分）記V/BC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為。，b,。，點。在邊ZC上，且滿足。氏。/:。。=2:3:4,

丫/2（7的面積5=處竽哩

2

⑴證明：2e=7ac

⑵求cosN48c.

12

【答案】⑴證明見解析;（2）-Q或-§

【解析】（1）點。在邊4。上，且滿足O5:D4:OC=2:3:4,

234

所以DA=—b,DC=—b,...................................................................................3分

777

BD-b-sin5

S=-acsinB=...............................................................................................4分

22

第7頁共13頁

2

故ac=.,即2"=7ac;................................................................................................6分

(2)由圖可知cosN/DB+cosZCDB=°)小,？-------+17J了？--------=0,.....................7分

2324

2x-bx-b2x-bx-b

7777

2

可得3。2_8。。+4。2=0,角星得Q=2。或〃=,..........9分

1。當。=2c時，b2=^-ac=7c2,cosa480=區(qū)上C二￡=_工；..............11分

22x2cxc2

f2cY272

277—+c-[C

2°當。=丁＜:時，b2=-ac=-c2,cosZABC=3----------=；.....................12分

323.2c3

2x——xc

3

12

綜上所述cos乙4BC=—L或—V................................................13分

23

16.新冠肺炎疫情期間，某市為了了解本地居民對當?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意度，從市居民中隨機抽取若干居民進行評分

(滿分為100分)，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如下頻率分布直方圖，已知評分在［70,90］的居民有2200人.

頻案

(1)求頻率分布直方圖中?的值及所調(diào)查的總?cè)藬?shù)；

(2)從頻率分布直方圖中，估計本次評測分數(shù)的眾數(shù)和平均數(shù)(精確到0.1)；

(3)設該市居民為50萬人，估計全市居民對當?shù)胤酪吖ぷ髟u分在85分以上的人數(shù).

【答案】(1)0.025,4000人;(2)眾數(shù)為85.0,平均數(shù)80.7;(3)212500

第8頁共13頁

【解析】(1)有頻率分布直方圖矢口(0.002+0.004+0.014+0.020+0.035+。)><：10=1

即10x(0.075+a)=l,解得°=0.025...................................................................................2分

2200

設總共調(diào)查了"人，則——=(0.020+0.035)x10,

n

解得“=4000,即調(diào)查的總?cè)藬?shù)為4000人；..................................5分

(2)最高小矩形底邊中點橫坐標即為眾數(shù)，可得眾數(shù)為雙詈=85.0,...................7分

由頻率分布直方圖知各段的頻率分別為：0.02、0.04、0.14、0.20、0.35、0.25,

所以設平均數(shù)為了，

WJx=45x0.02+55x0.04+65x0.14+75x0.2+85x0.35+95x0.25=80.7...................11分

035

(3)由頻率分布直方圖知評分在85分以上的頻率為一「+0.25=0.425....................13分

所以估計該市居民評分在85分以上的人數(shù)為:500000x0.425=212500...................15分

22BF

17.橢圓三+4=l(a>b>0)的右焦點為R右頂點為4,上頂點為2,且滿足

a2b2~AB

(1)求橢圓的離心率e；

(2)直線I與橢圓有唯一公共點M,與丁軸相交于N(N異于M).記。為坐標原點，若10M=|。叫，且的

面積為百，求橢圓的標準方程.

【答案】⑴e=逅⑵工+又=1

362

［解析］(1).^^.=3+。=/。=3=>4/=3伍2+/)=/=3/,

AB揚+。2五+/2')

離心率為5分

(2)由⑴可知橢圓的方程為/+3/=/,

易知直線/的斜率存在，設直線/的方程為y=h+m,....................................................6分

聯(lián)立得(1+3左2卜？+6?x+(3/-/)=o,..................................................8分

由△=36左2/_4(1+3左2乂3歷一/)=0=3療=/0+3左2),①.....................................9分

3km7m

2一罰‘加=甌+"'=自..............................................................................11分

硝9左2+1)

由|(W|=|ON|可得/=②.................................................1..2...分.......................................

第9頁共13頁

由SAOMN二百可得;同?:j-=③.......................................13分

L1\3K

聯(lián)立①②③可得/=!，相=4,/=6,故橢圓的標準方程為止+亡=1.......15分

362

18.（17分）已知四棱錐P-NBC。的底面N8C。是直角梯形，ADHBC,AB1BC,BC=2AD=2,AB=0

⑴證明：平面尸3。，平面ASCD；

JT

（2）若PB=PD,尸C與平面ABC。所成的角為1，試問在側(cè)面尸C。內(nèi)是否存在一點N,使得

師，平面尸C￡>?若存在，求出點N到直線尸。的距離；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴見解析。）半

【解析】（1）由四邊形A8CD是直角梯形，AB=也,8c=24D=2,AB1BC,

jr

可得DC=2,ZBCD=~,從而ABCD是等邊三角形，BD=2,BD平分/ADC.

為CD的中點，：.DE=AD=LBD1AE,..........................3分

又rPBLAE,PBcBD=B,8Du平面尸3D,尸Bu平面尸5。...........4分

.?./￡_L平面尸助，.....................................................5分

/Eu平面/BCD,所以平面尸3D_L平面/BCD...........................6分

（2）在平面PAD內(nèi)作尸O_LAD于。，連接OC,QAE'平面尸50,

又u平面ABCD,二平面PBD_1平面ABCD.

因為平面尸50rl平面48cD=AD,P。u平面尸AD,.?.尸O_L平面48CD

7T

NPCO為PC與平面ABCD所成的角，則/PCO=

4

，由題意得OP=OC=。

?;PB=PD,POLBD,,。為BZ）的中點，OC1BD......................8分

以08,OC,OP所在的直線分別為x,y,Z軸建立空間直角坐標系，

第10頁共13頁

Zj

則8(1,0,0),c(o,V3,o),0(-1,0,0),尸(0,0,6),9分

假設在側(cè)面尸CD內(nèi)存在點N,使得平面尸CD成立,

設PN=APD+"PC(2,//>0,2+//<1),

由題意得N(-九,出—\[^(九+//—1)),10分

BN=_彳-1,瓦，-百+PC=(0,V3,-V3),ra=(-l,0,-73),

BN-PC=03〃+3(4+4—1)=0

由<_______，得

,11分

BNPD=0A+l+3(A+^-l)=0

、

212也2打

大,滿足題意，，可一，。(-1,0,0),

解得彳=不〃=5,-F,-r12分

7

42^/32M、

取,=麗=—,TO=(-1,0,-A/3)=2，

5,55J

一PDc-------k28

，a2=DN=

M5

w~^-47

_一4xJ,

Q?〃=-X15分

52

求出點N到直線PD的距離為：7?2-（?-?）2=16分

所以N點直線PD的距離為姮

17分

5

19.（17分）用數(shù)學的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇，衡量曲線

彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若/''（X）是/（X）的導函數(shù)，/"⑺是/'（X）的導函數(shù)，則曲線

了=/a）在點卜,/（耳）處的曲率“一3

WOT2

⑴求曲線/（X）=lnx+x在（1,1）處的曲率號的平方;

第11頁共13頁

(2)求正弦曲線〃(x)=sinx(xeR)曲率的平方K2的最大值.

⑶正弦曲線Mx)=sinx(xeR),若g(x)=e=2x-〃(x),判斷g(x)在區(qū)間卜會鼻上零點的個數(shù)，并寫出證明過

程.

【答案】(1)圭;(2)1;(3