第38講向量中的隱圓

知識梳理

技巧一.向量極化恒等式推出的隱圓

乘積型：~PAPB=A

定理：平面內，若A,3為定點，且西?麗=2,則P的軌跡是以〃為圓心，為

半徑的圓

證明：由麗?麗=彳，根據極化恒等式可知，PM2—；AB2=2,所以PM=[；AB2+2,

P的軌跡是以〃為圓心JA+^AB2為半徑的圓.

技巧二.極化恒等式和型：PA2+PB-=A

定理：若A,B為定點,尸滿足242+尸爐=彳,則尸的軌跡是以血中點M為圓心，

以"1,

\—1——為半徑的圓。(4一]AB2>O)

L--AB2

證明：92+冏2=2[尸〃2+(；鉆)2]=4,所以加=^——1——，即尸的軌跡是以AB

\A--AB2

中點M為圓心，11--------為半徑的圓.

技巧三.定事方和型

mPA2+PB2=n

若為定點，,「牙+成郎二孔,則F的軌跡為圓.

mPA2+nPB2=2

證明：mPA2+PB2=〃nm[(x+c)2+y2]+[(x-c)2+y2]=n

=^>(m+l)(x2+y2)+2c(m-l)x+(m+l)c2-n=Q

2

222(m-l)cc(m+V)-n八

nx+y+—------x+--------——=0.

m+1m+1

技巧四.與向量模相關構成隱圓

坐標法妙解

必考題型全歸納

題型一：數量積隱圓

例1.（2024?上海松江?校考模擬預測）在中，AC=3,3C=4,/C=90。.尸為AABC所

在平面內的動點，且尸C=2,若蘇=彳e+〃礪，則給出下面四個結論：

4

①幾+〃的最小值為-二；②西?麗的最小值為-6；

3

③幾+〃的最大值為:；④麗.麗的最大值為8.

其中，正確結論的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

例2.（2024?全國?高三專題練習）若正AABC的邊長為4,尸為AABC所在平面內的動點，

且24=1,則而.定的取值范圍是（）

A.[3,15]B.[9-2A/3,9+2^]

C.[9-373,9+373]D.葉4如,9+4我

例3.（2024.山東荷澤?高一統考期中）在中，AC=5,BC=12,NC=90。/為

△ABC所在平面內的動點，且PC=2,則西.方的取值范圍是（）

A.[-22,26]B.[-26,22]C.[-30,22]D.[-22,30]

變式1.（2024?全國?高三專題練習）已知AABC是邊長為4—的等邊三角形，其中心為

O,尸為平面內一點，若OP=1,則可.而的最小值是

A.-11B.-6C.-3D.-15

變式2.（2024.北京.高三專題練習）"WC為等邊三角形，且邊長為2,則旃與前的夾

角大小為120。，若|前|=1,CE=EA，則而.而的最小值為.

變式3.（2024.全國?高三專題練習）已知圓Q：x2+V=16,點尸（1,2）,M、N為圓。上兩個

不同的點，S.PMPN=O^PQ=PM+PN,則匹的最小值為.

題型二：平方和隱圓

例4.（2024?全國?高三專題練習）已知￡,員工,2是單位向量，滿足

a=a+2b,|m-c|2+\m-d\^=20,貝！J|c-2|的最大值為.

例5.（2024?上海?高三專題練習）已知平面向量可、而滿足|向『+|而『=4,

I涵、2,設用=2期+序，則因e.

例6.（2024?江蘇?高二專題練習）在平面直角坐標系中，已知點入（2,0）,3（0,2）,圓

C:（x-a）2+y2=l,若圓C上存在點使得。以則實數。的取值范圍為

（）

A,[1,1+2回B.[1-2夜,1+20]

C.[1,1+20]D,[1-72,1+72]

變式4.（2024.江蘇.高二專題練習）在平面直角坐標系x0v中，已知直線，：x+y+a=0與

點A（0,2）,若直線/上存在點M滿足（。為坐標原點），則實數。的取值

范圍是（）

A.A/5——ljB.[—5/5—1,5/5—1]

C.（-2A/2-1,2A/2-1）D.[-20-1,2五-1]

變式5.（2024?寧夏吳忠?高二吳忠中學校考階段練習）設A（-2,0）,B（2,0）,。為坐標原

點，點尸滿足圖F+閥Me,若直線履-嚴6=0上存在點。使得々QO=,則實數

k的取值范圍為（）

A.[-4X/2,4A/2]B,卜雙-4夜]46+勾

變式6.（2024?江西吉安?高三吉安三中校考階段練習）在平面直角坐標系xOy中，已知圓

C：（x+l『+y2=2,點A（2,0）,若圓C上存在點M,滿足M4?+MO?<10,則點M的縱

坐標的取值范圍是.

題型三：定募方和隱圓

例7.（2024.湖南長沙?高一長沙一中校考期末）已知點A（-l,0）,3（2,0）,直線/：

質7-5k=0上存在點尸，使得如2+2尸52=9成立，則實數上的取值范圍是.

例8.（2024?浙江?高三期末）已如平面向量入b，a，滿足同=34，欠=2,忖=2,

b-c=2>則（a-?.（a-c）的最大值為（）

A.192幣B.192C.48D.4石

例9.（2024.河北衡水.高三河北衡水中學校考期中）已知平面單位向量4的夾角為

60°,向量Z滿足^-（20+1）1+。=0,若對任意的/wR,記|2-百|的最小值為M,則

M的最大值為

A.工+立B.C.1+述D.1+73

2424

變式7.（2024.江蘇.高三專題練習）已知Z，B是兩個單位向量，與石，B共面的向量C滿

足［2一（2+石）./+萬.5=0,則同的最大值為（）

A.2V2B.2C?&D.1

變式8.（2024.浙江舟山.高一舟山中學校考階段練習）已知％、b>工是平面向量，工是單

位向量?若4-4a-e+2e=0，&2—3b-e-\-2e=0,則J—2〃.3+2^2的最大值為

變式9.（2024?四川達州?高二四川省大竹中學校考期中）已知：，%,：是平面向量，：是

單位向量.若非零向量:與［的夾角為?77"，向量］滿足/9_5：4+4=0,則T加f6的最小值是

變式10.（2024?全國?高三專題練習）已知平面向量入b,入配滿足力人問=2慟，

c=a+b，|e|=l,若/-6、工+8=0,則的最大值是.

變式11.（2024.河南南陽.南陽中學校考模擬預測）已知「、力、「是平面向量，同=1,若非

零向量1與8的夾角為三，向量方滿足斤-45心+3=0,則歸-同的最小值是.

題型四：與向量模相關構成隱圓

例10.（2024?遼寧大連?大連二十四中校考模擬預測）已知Z,反工是平面內的三個單位向

量，^alb，貝雨+24+懈+25一24的最小值是.

例11.（2024?上海?高三專題練習）已知5、5、%、Z都是平面向量，且

\a\=\2a-b\=\5a-c\=\,若（a,△）=；■,貝1J|石-31+1c-7］的最小值為.

例12.（2024?上海金山?統考二模）已知13、2、2都是平面向量，且

\^=\2a-t\=\5a-^=},若=則斤@+*@的最小值為.

變式12.（2024?全國?高三專題練習）已知線段"N是圓C:（尤-1）2+;/=8的一條動弦，且

\MN\=2y/3,若點尸為直線2x+y+8=0上的任意一點，則|加+珂的最小值為

變式13.（2024?全國?高三專題練習）已知。為坐標原點，A,8在直線尤-〉-4=0上,

|明=2&,動點M滿足|惻=則閭的最小值為.

變式14.（2024?全國?高三專題練習）已知是單位向量，7B=0.若向量工滿足

\c-a-b\=\,貝！J121的最大值是.

變式15.（2024?新疆?高三新疆兵團第二師華山中學校考階段練習）己知是％、分是單位向

量，a-b=0,若向量"滿足|"-￡+在|=2,貝/2|的最大值為

變式16.（2024.全國?高三專題練習）已知是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量

c滿足（一）@-21）=0,則同的最大值是________.

變式17.（2024?全國?高三專題練習）已知平面向量仄及不滿足：G與B的夾角為

g,伍V）.卜悶=0,同+同=2,記”是卜菖-司的最大值,則M的最小值是

變式18.（2024?全國?高三專題練習）已知向量Z，石滿足|2Z+B|=3,欠=1,貝U

同+2,+目的最大值為.

變式19.（2024?全國?高三專題練習）已知向量Z,瓦工滿足

同=4,忖=2a,＜癡＞=7，伍-4（"-q=-1,貝!|卜-0|的最大值為.

變式20.（2024?全國?高三專題練習）設￡,方為單位向量，則@的最大值是

第38講向量中的隱圓

知識梳理

技巧一.向量極化恒等式推出的隱圓

乘積型：~PAPB=A

定理：平面內，若A,3為定點，且蘇?麗=2,則P的軌跡是以〃為圓心，為

半徑的圓

證明：由麗?麗=2,根據極化恒等式可知，PW=AB2=2,所以PM=,

P的軌跡是以〃為圓心,；AB2為半徑的圓.

技巧二.極化恒等式和型：PA2+PB2=A

定理：若A,2為定點，P滿足以2+尸82=彳,則尸的軌跡是以AB中點用為圓心，

L--AB2

V一1——為半徑的圓。(4一；筋2>0)

L--AB2

證明：上42+冏2=2[尸〃2+(9鉆)2]=4,所以加="——1——，即P的軌跡是以AB

\A--AB2

中點A/為圓心，J--------為半徑的圓.

技巧三.定基方和型

mPA2+PB2=n

若A,B為定點，<PA2+mPB2=^,則p的軌跡為圓.

mPA2+nPB2=4

證明：mPA2+PB2=〃=>m[(x+c)2+^2]+[(x-cf+y2]=n

=^>(m+l)(x2+j2)+2c(m-l)x+(m+l)c2-n=0

222(m-Y)cc2(m+l)-n八

nx+y+—-------x+-------——=0.

m+1m+1

技巧四.與向量模相關構成隱圓

坐標法妙解

必考題型全歸納

題型一：數量積隱圓

例1.(2024?上海松江?校考模擬預測)在AMC中，AC=3,8C=4,/C=90。/為AABC所

在平面內的動點，且PC=2,若岳=4回+〃而，則給出下面四個結論：

4

①2+〃的最小值為-彳；②麗?麗的最小值為-6；

3

③九+〃的最大值為了；④麗.而的最大值為&

其中，正確結論的個數是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】如圖，以c為原點，C4CB所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標系,

則C(0,0),A(3,0),B(0,4),

因為PC=2,所以設尸(2cosa2sin。)，貝I]

CP=(2cos42sin0),CA=(3,0),CB=(0,4)，

所以蘇=ACA+]LICB=(32,4〃),

2-

—cos9=4

2cos6=3/1

所以,即《；(6為任意角),

2sin6=4〃

萬sin8二〃

21

所以丸+〃=]COse+5sin。

43

=-|-cos6*+-sin6?

655

543

=—sin(e+°)(其中sin夕=_,cos°=_),

655

所以2+〃的最大值為3，最小值為一之，

66

所以①③錯誤,

因為陽=(3—2cos6,—2sin6),PB=(-2cos6,4—2sin9),

所以P3=-2cos0(3-2cos0)-2sin^(4-2sin0)

二4一(8sin夕+6cos0)

=4-10sin（6*+?）（其中sinc=M，cosc=y）

因為-10W-10sin（6>+a）<10,

所以一6V4-10sin（6?+（z）V14,

所以西?麗e[-6,14],

所以西?麗的最小值為-6,最大值為14,

所以②正確，④錯誤，

故選：A

例2.（2024?全國?高三專題練習）若正AABC的邊長為4,P為AABC所在平面內的動點,

且厚=1,則麗.正的取值范圍是（）

A.[3,15]B.[9-2A/3,9+2A/3]

C.[9-3G,9+3?]D.[9-4A^,9+4A/3]

【答案】D

【解析】由題知，

以A為坐標原點，以AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖,

則3（4,0）,C（2,2⑹,

由題意設尸（cossin。）（0<6><2K）,

則PB=（4一cos仇-sin。）,

PC=（2-cos仇2代-sin6）,

/.而?PC=（4-cos°）（2-cos6）-sinO（2指-sin6）

=9-6cos0—2\/3sin6=9-2x2ccos9+：sin6

=9-4病in（"3，

o<e<2兀,

兀，八兀7兀

:.—<0+—<—,

333

可得9一4瓜布[+酢[9一4瘋9+4行）.

故選：D

例3.（2024.山東荷澤?高一統考期中）在AASC中，AC=5,BC=12,NC=9（r.P為

△ABC所在平面內的動點，且PC=2,則可.而的取值范圍是（）

A.[-22,26]B.[-26,22]C.[-30,22]D.[-22,30]

【答案】D

【解析】在RtAABC中，以直角頂點C為原點，射線CB,G4分別為x,y軸非負半軸，建立

平面直角坐標系，如圖，

令角。（aeR）的始邊為射線CB,終邊經過點尸，由|尸。=2,得尸（2cos62sine）,而

B(12,0),A(0,5),

于是AP=(2cosa,2sintz-5),BP=(2cosa-12,2sina),

因此AP2P=2cosc(2cosa-12)+2sina(2sina-5)=4-2(5sina+12cosa)

12

=4-26sin(a+°),其中銳角。由tane=不確定，

顯然一1<sin(a+cp)<1,則一22<4-26sin((z+^>)<30,

所以西?麗的取值范圍是[-22,30].

故選：D

變式1.(2024?全國?高三專題練習)已知"LBC是邊長為4—的等邊三角形，其中心為

O,尸為平面內一點，若。尸=1,則麗.麗的最小值是

A.-11B.-6C.-3D.-15

【答案】A

【解析】作出圖像如下圖所示，取A3的中點為。，則OD=4gx且x』=2,因為

23

OP=1,則P在以。為圓心，以1為半徑的圓上，

則可加：(川珂.麗-哂卜珂一(AW

=尸￡>2_12?又尸。為圓。上的點尸到

44

。的距離，貝"％?=2-1=1,

麗?麗的最小值為-n.

故選：A.

變式2.(2024?北京.高三專題練習)為等邊三角形，且邊長為2,則荏與阮的夾

角大小為120。，若|而|=1,CE=EA，則赤.而的最小值為.

【答案】-3-V3

【解析】因為AABC是邊長為2的等邊三角形，且厘=麗，則E為AC的中點，故

BEVAC,

以點3為坐標原點，而、國分別為x、y軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標

系，

則A(后1)、E(50)、5(0,0),設點O(cos6,sin。)，

B￡=(V3,0),A5=(cos6?-5/3,sin6?-l),

所以，AS,BE=V3(COS0-V3)>-A/3-3,當且僅當cos，=-l時，等號成立,

因此，蒞.礪的最小值為-豆-3.

故答案為：-百-3.

變式3.(2024.全國?高三專題練習)已知圓。：必+/=16,點尸(1,2),M、N為圓。上兩個

不同的點，且麗.麗=0若而=而+麗，則匹的最小值為.

【答案】3A/3-A/5/->/5+3A/3

【解析】解法1：如圖，因為兩.麗=0,所以故四邊形?QN為矩形，

設MN的中點為S,連接。S,則OSLMN,

所以時=|0河「_陷2=16-|MS|2,

又APMN為直角三角形，所以網=網,故|0S「=16-|PS「①,

設S(X,y),貝IJ由①可得/+/=16-[G-葉+0-4],

整理得：(支-j+(>T)2=?，

從而點S的軌跡為以為圓心，,為半徑的圓，

顯然點尸在該圓內部，所以附皿產孚_|PT|=孚-李,

因為國=2閥，所以園,「3百-6；

解法2：如圖，因為麗.麗=0,所以PM_LRV,

故四邊形PMQN為矩形,由矩形性質，|。閭2+3「=|0"+|0如,

所以16+16=5+|。2「，從而|09=36，

故。點的軌跡是以。為圓心，36為半徑的圓，

顯然點尸在該圓內，所以阿血「3百-|。尸卜3百一百.

故答案為：3布-布.

題型二：平方和隱圓

例4.(2024?全國?高三專題練習)已知￡,反工,2是單位向量，滿足

a_Lb,m=a+2b,\m-c^+1m-J|2=20,則|c-2]的最大值為

【答案】半

【解析】依題意，￡方可為與x軸、y軸同向的單位向量，設

商二(1,0),石=(0,l),c=(cosx,sinx),J=(cosy,siny)

m=(l,2),.e.|m—c|2+|m—J|2=20=(COSx—l)2+(sinx—2)2+(cosy—l)2+(sinj—2)2

化簡得：4=cosx+2sinx+cosy+2siny

運用輔助角公式得:4=0sin(x+0)+逐sin(y+0),tan0二一10,四

4

=sin(x+0)+sin(y+0)=2sin.+、+3cos――-

忑

x—y2

cos___——_______________

即得：2氐in(亨+#，

cos2-%--—--y-______1______>1

故25sin2[t^+,5;

c-d={(cosx-cosyj+(sinx-siny『=j2-2cos(x-y)=4-4cos

故答案為：w

例5.（2024?上海?高三專題練習）已知平面向量可、而滿足國『+|兩『=4,

|揄=2,設用=2期+渾，則由e

3娓+叵

【答案】

2，2

【解析】因為畫2=府+網丁網H而「一2布.麗=2且圖H而1=4,所以

PAPB=1-

又因為國+痛（=網2+閥2+2麗.麗=6,所以國+而卜指；

由網2=1通-研=|麗一麗|2=2,所以|麗_?=&；

Q1

根據定=2兩+麗=］（而+而）+］（麗一麗）可知：

||PA+PB|--||PA-PB||<|PC|<||PA+PB|+||PA-PB|,

左端取等號時：三點共線且P在線段A3外且尸靠近8點；右端取等號時，P,A,B

三點共線且P在線段AB外且P靠近A點，

所以39后〈巧卜39庭,所以田e3。旦3祈產

故答案為：土丁,*也.

例6.(2024?江蘇?高二專題練習)在平面直角坐標系中，已知點4(2,0),3(0,2),圓

C:(x-a)2+y2=l,若圓C上存在點使得|以4「+|向「=%,則實數。的取值范圍為

()

A,[1,1+2?B.[1-20,1+20]

C.[1,1+2?D.[1-72,1+72]

【答案】B

【解析】先求出動點M的軌跡是圓D,再根據圓D和圓C相交或相切，得到a的取值范圍.

設M(x,y),則(x-2>+_/+%2+(y-2>=12,

所以(1)2+(>-1)2=4,

所以點M的軌跡是一個圓D,

由題得圓C和圓D相交或相切，

所以IVJa-qp+fV3,

所以l-2&WaWl+25/L

故選：B

變式4.(2024.江蘇.高二專題練習)在平面直角坐標系中，已知直線/：*+'+。=。與

點A(0,2),若直線/上存在點M滿足|M4「+|MO『=i0(。為坐標原點)，則實數。的取值

范圍是()

A.(-布-1,布B.[―A/5—1,^5—1]

C.卜20-1,2拒-1)D.[-2A/2-1,2A/2-1]

【答案】D

【解析】設-4)，

,/直線/：x+y+“=0與點A(0,2),直線I上存在點M滿足1MA『+|MO|2=10,

??%2+(%+.)+%2+(—x—a—2)=10,

整理，得4/+2（2。+2卜+片+（。+2）2_10=0①,

?..直線/上存在點M,滿足

方程①有解，

A>0,

解得：-272-1<a<2V2-l

故選D.

變式5.（2024.寧夏吳忠.高二吳忠中學校考階段練習）設A（-2,0）,B（2,0）,。為坐標原

點，點尸滿足忸A『+電"16,若直線履-y+6=0上存在點0使得NPQO=,則實數

上的取值范圍為（）

【答案】C

【解析】設尸（劉y）,

?.?向2+|PB|2<16,

（x+2）~+y1+（x—2）~+y2?16,即x?+y2?4.

???點尸的軌跡為以原點為圓心，2為半徑的圓面.

若直線區-，+6=0上存在點。使得/月。。二丁,

6

則P。為圓爐+產=4的切線時ZPQO最大，

OP21,,

.,sinZP2O=__=_Bp|oe|?4.

,6.

?,.圓心到直線區-y+6=0的距離d=4,

k?-—.

22

故選：c.

變式6.（2024.江西吉安?高三吉安三中校考階段練習）在平面直角坐標系尤Oy中，已知圓

C：（x+iy+y2=2,點A（2,0）,若圓C上存在點滿足跖^+板2＜期，則點M的縱

坐標的取值范圍是.

_77幣

【答案】

【解析】解析：設M（尤,y）,

因為跖干+"02＜io,所以（無一2），;/+%2+,2410,

化簡得/+〉2-2彳一340,

則圓Cf+/+2彳-1=0與圓C'：f+y2-2%-3=0有公共點,

將兩圓方程相減可得兩圓公共弦所在直線方程為x=-g

代入*+丫2一2》-340可得一立4”且，

22

故答案為：一^y^~■

題型三：定幕方和隱圓

例7.（2024?湖南長沙?高一長沙一中校考期末）已知點A（-LO）,5（2,0）,直線/：

H-y-5左=0上存在點尸，使得尸4+2依2=9成立，則實數上的取值范圍是

715y/15

【答案】一/,后

【解析】由題意得：直線/：＞=左（*-5）,

因此直線/經過定點（5,0）；

設點P坐標為（%，%）;,??B42+2PB2=9，

222

年+(x0+1)+2y0+2(%+2)=9

化簡得：-2%=0,

因此點〃為V+y2-2x=0與直線/：y=口彳-5）的交點.

所以應當滿足圓心（L0）到直線的距離小于等于半徑

.1

??C

解得—*昌

故答案為尢e［-吟，吟］

例8.（2024?浙江?高三期末）已如平面向量入b，a，滿足同=3』，欠=2,口=2,

B-c=2>則（4—B）.（“—c）—［（a——c）］的最大值為（）

A.1926B.192C.48D.4右

【答案】B

【解析】如下圖所示，作礪=￡,OB=b，OC=c，取BC的中點。，連接0。，

以點。為圓心，口為半徑作圓。，

COSZBOC=COS<S,C>=T^=1)-.■Q<ZBOC<7V,:.ZBOC=-,

M-H23

所以，ABOC為等邊三角形，

?。為2C的中點，ODL3C,所以，ABOC的底邊2C上的高為|西=2sing=G

11UULUUUULL___________1_____k

a—b=OA—OB=BA，a-c=OA-OC=CA，

所以，僅_,倒_+而總=通./=畫.[/＜：05/班0,

所以，"耳?_蕾—磯2二網2.國2_（網網cosNBAcj

=（阿口用sinN朋C『=（2-J，

由圓的幾何性質可知，當A、。、。三點共線且。為線段AD上的點時，

AABC的面積取得最大值，此時，AABC的底邊3C上的高力取最大值，即

幻ax=|而H聞=，則（S&BC）加=；X2X4g=4若，

因此，（0-石）.（a-c）-的最大值為4*1代）=192.

故選：B.

例9.（2024?河北衡水?高三河北衡水中學校考期中）已知平面單位向量最的夾角為

60°,向量"滿足^-（24+0￡+,=0，若對任意的feR，記|"-居"I的最小值為〃，則

M的最大值為

A.L走B.C.1+述D.1+73

2424

【答案】A

【解析】由忑2一（2.+力1+，=0推出，2/+。]=_』+包&L=J_,所以

'，2（21244

下一出產=:，如圖，忑終點的軌跡是以J為半徑的圓，設至=耳，OB=e2,OC=c，

22/

OD=te[,所以IE-招I表示8的距離，顯然當CD，。1時1^-q1最小，M的最大值為圓

心到Q4的距離加半徑，即=L與1160。+1=2叵，

max224

故選：A

變式7.（2024.江蘇.高三專題練習）已知￡,B是兩個單位向量，與￡,5共面的向量才滿

&c2-（a+b）-c+a-b=0,則同的最大值為（）

A.2A/2B.2C.V2D.1

【答案】C

【解析】由平面向量數量積的性質及其運算得(e-彷，G-B),設

DA=a,DC=b,DC=c,

則6-汗=近，c-b=BC,則點C在以AB為直徑的圓。周上運動，由圖知：當

時，LDCRQCI，^ZADC=0,利用三角函數求同的最值.由^一(G+B).1萬.5=0得：

(c-a)-(c-b)=0,BP(c-a)1.(c—b),

設DA=a,DC=b,DC=c,

貝(]c-b=BC,

則點C在以A8為直徑的圓。上運動，

由圖知：當DCLA2時，|。（7囹。。|,

設ZADC3

則|DC|=|DOI+1AO|=sin0+cos9=A/2sinf+

jr

所以當。=］時，LDC|取最大值行，

故選：C.

變式8.(2024.浙江舟山.高一舟山中學校考階段練習)已知Z、B、2是平面向量，工是單

位向量.若7-47工+2/=0，礦―3祇工+2/=0，則7—27B+2^的最大值為

【答案】7

【解析】因為14￡."+2二=0,則卜-2#=2,即

因為片_3加工+27=0，即倒一可.e一2m=0,

作OA=a，OB—b>OE=e<OC=2e>貝!J，-2e|=|CA|=,

色-4僅-2")=麗.函=0,則EB_LCB,

固定點E,則E為。C的中點，則點B在以線段CE為直徑的圓。上,

點A在以點C為圓心，血為半徑的圓C上，如下圖所示：

/一2￡0+2片=口一單+F=網2+煙2=(回|++倒2,

設ZBCE=O,則函=cos。，

因為|院卜2,OB2=(CB-CO)2=CB2-2|CB|-|cd|cos(9+CO2=4-3cos261,

i^a~-2a-b+2b<(|BC|+A/2^+|(?B|=(COS6+0)+4-3COS20

=-2cos20+2A/2cos0+6=-2cos"*]+7<7,

當cos。=玄時，等號成立，即7_27后+42的最大值為7.

故答案為：7.

變式9.(2024?四川達州?高二四川省大竹中學校考期中)已知:，1,：是平面向量，：是

.TTOff

單位向量.若非零向量;;與W的夾角為(，向量了滿足/_5：3+4=0,則ai的最小值是

【答案]包

4

【解析】由*_5H+4=0得,（。一4e）.（b-e）=0,

故（。一4e）_L（A—e），或〃=e或匕=4e，

設&=06B=。以。為原點，次的方向為了軸正方向，建立如圖所示坐標系,

則A。，。），令C（4,0）,幅二二盛,日一晨二5,

由（。一40）_1（6—￡），或人=e或匕=4e，

53

得5點在以（5,0）為圓心，I為半徑的圓上，

又非零向量：與：的夾角為（，則設，的起點為原點，則終點在不含端點的兩條射線

y=土班兀，（x>0）上，

則a-b的幾何意義等價于圓上的點到射線上的點的距離，則其最小值為圓心（；,0）到直線

的距離減去半徑，不妨以y=A為例，

則a-b的最小值為8x|35二-6

22~4

故答案為：506

4

變式10.（2024?全國?高三專題練習）已知平面向量入加、入配滿足加同=2W，

"=Z+卜|=1,若-62."+8=0，則c,e-]C的最大值是.

【答案】3M-7

6

【解析】因為6￡"+8=0，即7―67工+97=1，可得p—3a=1,

設e=(l,O),a=(x,y),貝!]〃-36=(兀一3,丁)，則(％-3)2+,2=晨

Ix=3+cos0一/、

設jy—sing，則a=(3+cosasin<9),

sin。3+cos。sin。3+cos。

因為日口=2愀，則人=或人=

22~2~2

「八sin。3.八cos。

因為Z=￡+B，貝北=3+cos8------,—+sin0d------或

222

「八sin83.八cos0

3+cos8+-----,——+sm〃------

222

2

=：或(相—3)2+_5

令c=(m,*,貝!J(m—3)=一,

4

2

35

根據對稱性,可只考慮（機-3）2+n

24

上一一1-21/22、13

由十幾2

——c=m——33Vm+n7=——3+“

記點"3,5）、8c、P（m,n）,則lABkJbd=~2~,儼川='

所以，|而卜國+祠.網一網卜非,

當且僅當點M為線段48與圓"-3）2+.-|[=（的交點時，等號成立，

_一]—2"3V2-V53

所以，c-e——c+3」+—

3312；434

3710-7

―_6―

故答案為：3M-7

變式1L（2024?河南南陽?南陽中學校考模擬預測）己知三、力、￡是平面向量，同1,若非

零向量日與Z的夾角為三，向量B滿足廬-4“+3=0,則卜-同的最小值是

【答案】V3-1/-1+V3

【解析】設日=(%y),e二(1,0)3=(兀,〃)，則由］得

a-e=\a\^e\cos^,x=-^ylx2+y2,可得y=土括x,

由廬一4。?5+3=0得病+*一4m+3=0,(m-2)2+n2=1,

因此，-Z?|=y/(x-m)2+(y-n)2表示圓(冽-2)2+*=i上的點(根,〃)到直線,=±J琵上的

點(x,y)的距離；

故其最小值為圓心(2,0)到直線y=土底的距離d=手=6減去半徑1,即班-1.

故答案為：A/3-I

題型四：與向量模相關構成隱圓

例10.(2024?遼寧大連.大連二十四中校考模擬預測)已知Z石工是平面內的三個單位向

量，^alb，則口+2［+|32+23—2《的最小值是.

【答案】26

【解析】?.?及￡］均為單位向量且4；?不妨設a=。,0),5=(0,1),e=(x,y)且

x2+y2=l,

:.a+2c—（^2x+l,2y^,3a+2^-2c=（3-2x,2-2y）,

二.區+2石+桓+25-=J（2x+l『+4y2+^（3-2%）2+（2-2y）2

=2［卜曰+y2+1X~l)+()；~1)2

.??B+2石+桓+2方-2目的幾何意義表示的是點(x,y)到和(|,1)兩點的距離之和的

2倍,

點在單位圓內，點］川在單位圓外,

則點(x,y)到［-川和［|1J兩點的距離之和的最小值即為、;，o］和(1,1)兩點間距離,

所求最小值為2（0-1）2=2技

故答案為：2石.

例11.（2024.上海.高三專題練習）已知￡、石、人，都是平面向量，且

\a\=\2a-b\=\5a-c\=},若=則|B-d|+1c-d|的最小值為

【答案】A/29-2

【解析】

作圖，a=OA，貝122=礪，5a=OC>

因為|2萬-同=1,所以石起點在原點，終點在以8為圓心，1為半徑的圓上；

同理，|5萬-4=1,所以"起點在原點，終點在以C為圓心，1為半徑的圓上，

所以|后-2|+|工-7|的最小值則為（忸。|+|8|）皿-2,

因為@4=?,忸q=忸割，當B',D,C三點共線時，

（\BD\+\CD\lm=\B'C\=4^=4^，所以（忸0+|。|）皿一2=4_2.

故答案為：729-2.

例12.（2024?上海金山?統考二模）已知￡、B、入萬都是平面向量，且

問=悔一.=忸一q=i,若G，2）=3，則忸_1+*@的最小值為.

【答案】技一2/-2+亞

【解析】如圖，設次=2d，OM^5a，OB=b，OC=c>歷=2,

則點3在以A為圓心，以1為半徑的圓上，點C在以M為圓心，以1為半徑的圓上,

所以忸_4+*1卜國+國計詞-1+|網-1=網+1西-2,

作點A關于射線ON對稱的點G,貝I”而卜網，且NGOA=g,

所以網+|而閆兩=（4+25=厲（當且僅當點GQM三點共線時取等號）

所以忸-2|+'-@的最小值為亞-2，

故答案為：A/29-2.

變式12.（2024.全國?高三專題練習）已知線段MV是圓C:（x-l）2+y2=8的一條動弦，且

\MN\=2^/3,若點尸為直線2x+y+8=0上的任意一點，則|兩+所|的最小值為

【答案】26

【解析】如圖，P為直線2x+y+8=0上的任意一點,

過圓心C作CDLMV,連接尸￡>,由|肱V|=26,

可得|CD|==A/5)

^\PM+PN\=2|PD|>2(|PC|-|CD|),當C,尸,O共線時取等號,

又。是MN的中點，所以C尸人肱V,

所以口。小=工”.

貝I］止匕時|W+?V|=2|PD|=2A/5,

；網+碼的最小值為26.

故答案為：2出

變式13.（2024?全國?高三專題練習）已知。為坐標原點，A,8在直線尤-y-4=0上,

\AB\=2s/2,動點M滿足1M=則閭的最小值為.

【答案】述/:0

33

【解析】設M（龍,）卜4（毛,％）,3（蒼,%）,

因為|AB|=2&,所以|48『=（網-々）2+（%-%）2=8,

M\,,

因為血面=2,所以|肱41「7=4眼同19，

22

（%-玉）2+（y-“）2=4（x-x2）+4（y-y2）,