新定義題型01壓軸小題全面歸納與解析

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖?思維引航............................................................3

03知識梳理?方法技巧............................................................4

04真題研析?精準預測............................................................5

05核心精講?題型突破............................................................7

題型一：集合新定義7

題型二：函數與導數新定義9

題型三：立體幾何新定義13

題型四：三角函數新定義17

題型五：平面向量與解三角形新定義21

題型六：數列新定義24

題型七：圓錐曲線新定義28

題型八：概率與統計新定義35

重難點突破：高等數學背景下新定義39

差情;奏汨?日標旦祐

創新意識與創新應用是當下時代的重要主題，也是高中數學教學和學習過程中應當持續融入與培育的

基本精神和能力。通過引入“新定義”，我們能夠巧妙地促進數學知識中概念的類比理解、公式的創新設立、

性質的靈活應用以及知識的拓展與創新實踐等方面的融合與交匯，從而有效融入創新意識與創新應用的培

養。

“新定義”型問題，具體指的是那些在問題中提出了高中數學課程中未曾涉及的一些新概念、新運算方

法或新符號，要求學生能夠準確理解題意，并結合自身已有的知識和能力，根據這些新定義進行相應的運

算、邏輯推理以及知識遷移的一類題型。換言之，這類問題要求學生具備根據新定義進行思維拓展和問題

解決的能力。

考點要求目標要求考題統計考情分析

對于2025年新高考試

卷中的新定義問題，預測

其將繼續考察學生的創新

思維與知識應用能力。題

掌握新定義，運用2024年I卷第11題，6分

圓錐曲線新定義目可能會引入新的數學概

性質解題

念、運算或符號，要求學

生理解并運用這些新定義

進行推理和解答，以檢驗

其綜合數學素養。

〃用識導圖?思維引航\\

㈤3

.n過偏—?—拈工弓

1、代數型新定義問題的主要考察方式：

（1）新定義的概念考查；

（2）新定義的運算方式考查；

（3）新定義的規則應用考查。

2、解決“新定義”問題的策略：

解決這類問題時，核心在于準確捕捉新定義中的關鍵信息，如新概念、新公式、新性質等，并明確其

名稱、符號及法則。接著，將這些信息與已有知識點進行對比，找出相似之處和差異點，從而確定解題思

路。最后，運用相關數學技巧和方法進行分析求解，并合理歸納結果。

0

心真題砒標?精御皿\\

1.（多選題）（2024年新課標全國I卷數學真題）設計一條美麗的絲帶，其造型K可以看作圖中的曲線C的

一部分.已知C過坐標原點。.且C上的點滿足:橫坐標大于-2,到點F（2,0）的距離與到定直線x=a（a<0）的

距離之積為4,則（）

A.a=-2B.點(2A/I,0)在C上

4

c.c在第一象限的點的縱坐標的最大值為1D.當點（%,%）在c上時，r

【答案】ABD

【解析】對于A：設曲線上的動點尸（x,y）,則x"2且J（x_2）2+y2><|…=4,

因為曲線過坐標原點，^^（0-2）2+02x|0-a|=4,解得a=-2,故A正確.

對于B：又曲線方程為J（x-2j+y2x|x+2|=4,而x>—2,

故J（x-2）2+;/x（尤+2）=4.

當無=2應,y=0時，J僅挺一2『x僅夜+2）=8—4=4,

故（2艱,0）在曲線上,故B正確.

216/。\23

對于c：由曲線的方程可得丁二證亓一（％一2），取x=2.

E2641=641,645256-245八???,,

KJy=--------，而-------1=---------=------------->0,故此時/9>],

49449449449x4

故C在第一象限內點的縱坐標的最大值大于1,故C錯誤.

16(^-2)2<—也^

對于D：當點（%,為）在曲線上時，由C的分析可得貨=0

(尤0+2『''伉+2廣

44

故---^7，故D正確.

x0+2XQ+2

故選：ABD.

㈤5

孩心精說，題型突破

題型一：集合新定義

【典例1-1】已知集合X={1,2,3},匕={1,2,3,…,?},（neN+）,設S“={（a,即a整除砥妨整除a,aeX,6e匕},

令/⑺表示集合S”所含元素的個數，則”2024）=.

【答案】3712

【解析】/（2024）表示集合$2。24所含元素的個數，

其中ae{l,2,3},6e{l,2,3…,2024bb整除a的有（1,1）,（2,1）,（3,1）,（2,2）,（3,3）共5個.

。整除6的：

7074709?

①1整除6的有2024個；②2整除匕的有亍=1012個；③3整除b的有三一=674個.重復的有（1,1）,

（2,2）,（3,3）共3個.

所以/（2024）=5+2024+1012+674-3=3038+674=3712.

故答案為:3712

【典例1-2】已知有限集合A={a1,a2,a3,...,an},定義集合2=,+%|1Vi<廠〃,i,/e乂}中的元素的個數

為集合A的“容量”,記為“A）.若集合A={xe乂11Wx<3},貝UL（A）=；若集合A={xe乂11WxV〃},

且L（A）=4047,則正整數"的值是.

【答案】32025

【解析】A={XWN+|14X43}={1,2,3},則集合3={3,4,5},

所以“A）=3.

若集合A={xeN+|lVxV〃},則集合8={3,4,…,（〃_1）+“}={3集,…,2w—l},

故乙（4）=2〃一1一2=2〃-3=4047,解得“=2025.

故答案為：3；2025

【變式1-1】設尸，。為兩個非空實數集合，定義集合4={。+〃aePSe。},若尸={0,1,2},。={1,2,3},

則集合A的子集的個數為

【答案】32

【解析】因為定義集合A={a+〃aeP,6e。},且尸={0,1,2},2={1,2,3},

又0+1=1,0+2=2,0+3=3,1+1=2,1+2=3,1+3=4,2+1=3,2+2=4,2+3=5,

所以集合A中的元素分別為1,2,3,4,5共5個，

則集合A的子集的個數為25=32.

故答案為：32.

【變式1-2]定義集合的商集運算為：：="卜=\,加eA/e",已知集合人={2,4},8=1無x=g-l,左eA

則集合與口8的真子集個數是____.

A

【答案】15

[解析]因為A={2,4},則8=卜》=1_1,左eA卜{0,1},

又因為與=[x|xA,77e3i=[o,：，!],故與U?=,

A[|mJ[42jA〔42J

所以，集合為3有4個元素，故集合為8的真子集個數2,-1=15.

AA

故答案為：15.

命題預測

1.若平面點集"滿足：任意點(尤,y)eM,存在re(0,+oo),都有則稱該點集M是邛介聚合點

集.

①若"={(蒼刈xNy},則/是3階聚合點集

②存在加對任意正數f,使"不是邛介聚合點集

③若M=(x,y)1+y2=l,則"不是：階聚合點集

④“fw[1,+“)”是"M={(%,y)》飛龍}是邛介聚合點集”的充要條件

其中所有正確結論的序號是.

【答案】①③④

【解析】對于①，由x2y可得3x23y,故M是3階聚合點集，即①正確；

對于②，對任意的點集“，總存在7=1,使得M是1階聚合點集，故②錯誤;

丫2(土、2

對于③，因丁+丁=1,而呈+￡)2=￡+f<片+2=］，

4433694

故M不是;階聚合點集，即③正確；

2

對于④，因M={(羽y)|y"}是邛介聚合點集等價于r2y2>tx,

因%>0,可得曠之工,又因丁2之無，依題意可得￡21,反之也成立，

故，知={(龍,丫)b2。}是/階聚合點集”是“江口,+8)”的充要條件，即④正確.

故答案為：①③④

題型二：函數與導數新定義

【典例2-1］定理：如果函數“X)及g(x)滿足：①圖象在閉區間上連續不斷；②在開區間(。力)內可

導；③對Vx?a,b),g'(x)wO,那么在(a,6)內至少有一點c,滿足;潟，；/=置力成立，該定理稱為

丫2b

柯西中值定理.請利用該定理解決下面問題：已知“X)*,若存在正數a*(a4),滿足/(6)=彳叱+

/(a)，則實數幾的取值范圍為()

【答案】A

【解析】由"6)=41n2+Ha)可得：/9)二八嘰2,

alnb-\na

令g(x)=lnx,所以=z

InZ?-Inag(6)-g(o)

/\/(0)—/(〃)/'(c)

由柯西中值定理可知：那么在a,6內至少有一點。，滿足=卞=彳成立,

g(b，)-g^:a)(g(c)

因為小)=1g(x)=lnx,所以/'(x)=g[x)=:，

2x-x2

所以令“同=中=^^=反口,

g(X)1ex

X

令/'(x)>0可得：0<%<l或兀>4,

令尸(%)<0可得：l<x<4,

所以尸(%)在(0,1),(4,+”)上單調遞增，在(1,4)上單調遞減,

又玖1)=：,*4)=子，—0)=0,

當x趨于正無窮時，尸(無)趨近0,

-Q911「321一

所以尸(x)e；，-，所以實數九的取值范圍為.

_eej|_ee_

故選：A.

【典例2?2】英國數學家牛頓在17世紀給出了一種求方程近似根的方法一牛頓迭代法，做法如下：如圖,

設「是/(x)=o的根，選取X。作為r的初始近似值，過點&,〃飛))作曲線y=〃x)的切線

/:y—〃%)=/'(%乂彳一毛)，貝i"與x軸的交點的橫坐標玉=%-坐《(尸(％)/0)

稱/是r的第一次近

J)

似值；過點(和/(占))作曲線y=/(x)的切線，則該切線與X軸的交點的橫坐標為X2,稱尤2是，?的第二次近

似值；重復以上過程，得，?的近似值序列，其中七+1=%“-少4(r(%)w0),稱x,“是r的〃+1次近似值,

J(X"

這種求方程/(耳=。近似解的方法稱為牛頓迭代法.若使用該方法求方程爐=3的近似解，則下列正確的是

()

-^%八2/XiXoX

A.若取初始近似值為1,則過點(1,/。))作曲線y=/(x)的切線y=2x—3

7

B.若取初始近似值為1,則該方程解的第二次近似值為:

/(%o)?/(一)/(%)

rcO-7U)Tw-Tw

nrr〃x°)小)/(xj/U)

…f'Mf'M-⑷…「⑴)

【答案】D

【解析】構造函數“x)=f-3,則/[x)=2x,

,

取初始近似值％=1,/(%)=-2,/(x0)=2,

貝IJy-(-2)=2(x-l),即y=2x-4,則A錯誤;

_fM,1-3___〃占).4-3_7

鑰次;

x0=l^^>=x0--=1--=2,X2=XI--=2--=-,B

/(%0)=/(%)元=xf(X2)/(七)

根據題意,可知石二%一

TW'2"心‘…一w'/'(%)'

fMf(Xl)f(x2)〃玉)

上述式子相加，得玉+1

0f'M-⑺尸伍)

“尤。)/(%)〃無2)

所以無3=%,C不正確，則D正確.

f'M/(占)尸(%)

故選：D.

【變式2-1]函數y=fcr+6,其中左，b(%wo)是常數，其圖象是一條直線，稱這個函數為線性函數，對于

非線性可導函數/'(x),在點與附近一點x的函數值/可以用如下方法求其近似代替值:

/(%卜〃%)+/'5)(十一天).利用這一方法，m=位的近似代替值()

A.一定大于機B.一定小于機

C.等于機D.與“z的大小關系不確定

【答案】A

【解析】令函數〃"=五，則廣(》)=*；

方艮據題意可得m=V1.002=/(1.002)?/(l)+y,(1)(1.002-l)=l+|x0.002=1.001；

又因為L00『=1.002001＞蘇=1.002,

因此近似代替值1.001＞相，近似代替值一定大于心.

故選：A

【變式2-2］對于三次函數〃尤)=加+法2+。龍+外。工0),現給出定義：設廣⑺是函數的導數，/⑴

是/'(X)的導數，若方程/"(%)=0有實數解與，則稱點(%,八％))為函數〃同=/+加+cx+d(aw0)的

“拐點”，經過探究發現任何一個三次函數都有“拐點”，任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱

中心，設函數g(x)=x3—3d+2x+3,則函數的對稱中心為()

A.(1,2)B.(1,3)C.(2,2)D.(2,3)

【答案】B

【解析】由8(%)=三一3/+2%+3,^g'(x)=3x2-6x+2,進而析(x)=6x-6,

令g"(x)=6x-6=0,故x=l,

所以g(l)=F—3xl?+2xl+3=3,故對稱中心為(1,3)

故選：B

命題預測

1.計算器計算e3Inx,sinx,cosx等函數的函數值，是通過寫入“泰勒展開式”程序的芯片完成的.“泰勒

展開式”的內容為：如果函數“X)在含有乙的某個開區間(。,6)內可以進行多次求導數運算，則當時，

有f(x)=：^^(x~xo^+~~(x~xo)+^~~~(x~xo)2+：~~(x~xo)3+^^^^其中/'(X)是/(無)的導數,

尸(力是,⑺的導數,尸(X)是/〃(%)的導數，….取尤。=0,則sinl精確到0.01的近似值為()

A.0.82B.0.84C.0.86D.0.88

【答案】B

【解析】根據題意，/(x)=sinxJ'(x)=cosx,/"(x)=-sinxjm(x)=_cosx,L,

可得〃**粵-+寧

取加=0時,

貝lj/(x)=sinx=0xx。+lxx+0xx2+(-l)x—x3+0xx4+lx—x5H—

…匕+工八…

6120

令x=l,代入上式可得了⑴=sinl=l--+—+???=—+????0.84,

6120120

所以sinleO.84.

故選：B

題型三：立體幾何新定義

【典例3-1】刻畫空間彎曲性是幾何研究的重要內容，用“曲率”亥IJ畫空間彎曲性，規定：多面體頂點的曲率

等于2兀與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制）.例如：正

JTIT

四面體每個頂點均有3個面角，每個面角均為1,則其各個頂點的曲率均為如-3x§=7t.若正四棱錐

S-ABCD的側面與底面所成角的正切值為逝，則四棱錐S-ABCD在頂點S處的曲率為（）

—4兀-5兀-2兀

As.兀B.——C.——D.——

363

【答案】D

【解析】如圖，連接AC,BD,設ACnBD=O,連接SO,則50,平面A3CD,

取8c的中點連接。M,SM,

則由正四棱錐的結構特征可知OM±BC,SMLBC,

所以/SM0為側面與底面所成的角，

^AB=BC=a,則0M=@,

2

sc

在RtzXSOM中，tan/SMO=-----=V2,

OM

所以SO=0OM=￥“，又08=,。，所以5B=JSO2+O32=a，

所以正四棱錐S-ABCD的每個側面均為正三角形，

所以頂點S的每個面角均為

TT27r

故正四棱錐S-ABC。在頂點S處的曲率為2兀-4x==3.

33

故選：D.

【典例3-2】給定兩個不共線的空間向量苕與B,定義叉乘運算萬xB，規定：①NxB為同時與萬,B垂直的

向量；②。，瓦三個向量構成右手系（如圖1）；③|3x5|=|同|小皿〈萬,5〉.如圖2,在長方體中

43。一4片G2中，A8=AD=2,AA=4,則下列說法中錯誤的是（）

圖1圖2

A.ABxAD=AAi

B.ABxAD=Al5xAB

c.[AB+AD^xA^=ABXAA^+ADXAA^

x

D.匕CBD-AB1Gq=(AB,C￡

【答案】B

【解析】對于A,涵同時與通，而垂直，

iuunuuiHi|UUH||Uuoi|/Uimuuai、IUUUI

A3xAD=AB\AD\sin(AB,AD}=2x2xsin90°=4=啊,

且荏，至5,麗構成右手系，即在x55=隨成立，A正確;

對于B,ABX7J）=A^,ADXAB=-A^,貝IJ存X而片而X通，B錯誤;

/Umion、umiiuumuun,

對于C,（AB+ADlxA4=ACxAA,=2后x4xsin900=8后，

而?*招與麗共線，且方向相同，

|通X福卜2x4xsin900=8,通X相■與正共線，且方向相同，

|ADxAA|=2x4xsin900=8,ADxA4；^AB^,且方向相同，

貝”荏X羽+茄X福|=80,通義麗+而又碼與麗共線，且方向相同,

因止匕（福+而）x和'=荏＞＜相'+AZ5x招'，c正確；

對于D,%c-a=2x2x4=16,（ABxA5）.Cq=A4；.CG=42=16,

因止匕匕BCB.ABG=（通*而）?工，D正確.

故選：B

【變式3-1]在空間直角坐標系。肛z中，定義：經過點「（毛,％,2（,）且一個方向向量為7〃=（0力,祖必叱0）的

直線I的方程為亍=■%=三包，經過點P（x0,y0,z0）且法向量為n=（九的平面的方程為

X（x-x0）+〃（y—%）+0（z—z0）=0.已知在空間直角坐標系。.z中，經過點P（2,2,0）的直線/的方程為

2-%=^-1=|,經過點P的平面。的方程為2x+y+2z-6=0,則直線/與平面a所成角的正弦值為（）

【答案】B

【解析】經過點P（2,2,0）的直線/方程為2-x=]-1=：,即3=彳=—

故直線I的一個方向向量為沅=（-1,2,3）,

又經過點P的平面a的方程為2x+y+2z-6=0,

BP2（^-2）+（y-2）+2（z-0）=0,

故a的一個法向量為為=（2,1,2）,

\fh-?ti\|-2+2+6|J14

所以直線/與平面a所成角的正弦值為片白='―1==..

\m\-\n\Jl+4+9xJ4+1+47

故選：B.

命題預測S

1.在《線性代數》中定義：對于一組向量名，…M存在一組不全為0的實數左，笈2，…氏使得:

匕…+%禽=。成立，那么則稱名，尾，…尾線性相關，只有當《=&=g=。時，才能使

匕向+內設2+…+尢寓,=0成立，那么就稱名，M，…M線性無關.若｛戔，弓，痣｝為一組不共面的空間向量，

則以下向量組線性無關的是（）

A.。]+。2，戊1+%+。3，%B.。2，+%，。2—

C.訝1,CCi+OC2,戊1一42D.企1+42，比1一比2，比3

【答案】D

【解析】因為｛跖,2,2｝為一組不共面的空間向量，則氏不能用。2，為線性表示,

即只有當勺=&=%=。時，峪+1k2&2+k3&3=0?

對于A：設匕（&1+%）+&（名+2+%）+&%=0,

整理得:（左+左2）用+（勺+&）a2+（左2+&）2=0,

所以有月+左2=。,無2+無3=0，取匕=%=I%2=-1，

所以氏+夕2，a[+a2+a3,%線性相關，故A錯誤；

對于B：設勺％+%（近2+R3）+&（a2-2）="

整理得：（勺+卷+左3）關2+（&-占）氏=6，

所以有匕+22+%3=。,%2-&=。，取%1=-2,%2=%3=1,

所以西2,氏+痣，氏-比3線性相關，故B錯誤；

對于C：設匕否+k2（&1+%）+匕（兇_%）="

整理得：（勺+&+匕）d+（&-&）々2=0'

所以有匕+左2+43=。/2-&=。，取左1=一2,攵2=/=1,

所以2,ax+a2,名-a2線性相關，故C錯誤；

對于D：設勺（跖+笈2）+左2（跖一比2）+七%=0，

整理得:（匕+內）—+（左一左2）名+匕名=0,

所以有匕+左2=。潟一左2=。，左3=。，解得占=%=%=0，

所以氏+次2，環-氏，戊3線性無關，故D正確.

故選：D

題型四：三角函數新定義

【典例川點”將一條線段.分為兩段加"若景異鋁，則稱點M為線段鉆的黃

金分割點.已知直線y=a(-l<a<l)與函數y=sin(Ox+。)的圖象相交，A,3,C為相鄰的三個交點，則()

A.當。=。時，存在。使點B為線段AC的黃金分割點

B.對于給定的常數。，不存在。使點B為線段AC的黃金分割點

C.對于任意的〃，存在。使點B為線段AC的黃金分割點

D.對于任意的。，存在。使點B為線段AC的黃金分割點

【答案】D

【解析】若吟母則也=/=好匚

MA75-12

即=避二1n點加為線段AB的黃金分割點，

AB2

當1=0時，黑=1,不存在G使點B為線段AC的黃金分割點，故選項A,C錯誤;

BC

ABAn40

如下圖，當時，—^0,當af—1時，竺一+8,則?￡(0,+功，

BCBCBC

則存在一個%e(-M)使得絲=縣土，故選項B錯；

BC2

對于選項D,若y=sinx與y=a(-l<a<l)相交于相鄰的三點A,用C,

/、AB-x,

其橫坐標分別為士,％2，￡(石(尤3)，則了=，

21X3X]

將y=siiu:變換成y=sin(&x+后，點A,B,C分別對應到點A',B',C,

口、田口,X\—(PfXy—(pfx3~(p

且滿足X|=^-^,x3

CDCOCD

故槳==m=三二土=41，即①，夕對比值嬰無影響，故選項D正確.

AC毛―石ACAC

故選：D.

【典例4-2】古人把正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數、正割函數、余割函數、正矢函數、余矢函

數這八種三角函數的函數線合稱為八線.其中余切函數8〃=—二，正割函數sec6=一二，余割函數

esc6=一二，正矢函數yersine=l-cos。，余矢函數vercose=l-sin。.如圖角。始邊為不軸的非負半軸，

sin，

其終邊與單位圓交點尸，A、4分別是單位圓與無軸和〉軸正半軸的交點，過點尸作尸Af垂直光軸，作尸N垂

直y軸，垂足分別為M、N,過點A作龍軸的垂線，過點3作y軸的垂線分別交。的終邊于T、S,其中AM、

PS.BS、八歸為有向線段，下列表示正確的是（）

A.versin3=AMB.esc3=PS

C.cot0=BSD.seed=NB

【答案】C

【解析】根據題意，易得7OMP:YOAT:NSBONPNO,

對于A,因為l-cos8=l—OM=M4,BPversinO=MA,故A錯誤；

對于B,根據三角函數定義結合相似三角形相似比可得，cscO=一二=工=嬰=空=。5,故B錯誤;

sm0MPMPOP

對于C,cotd=-=-------------=BS,故C正確；

tan。tanZOSB

11r）A（~）T

對于D,根據三角函數定義結合相似三角形相似比可得sec，=—====OT,故D錯誤.

cos0OMOMOP

故選：C.

【變式4-1】一般地，任意給定一個角aeR,它的終邊0尸與單位圓的交點尸的坐標，無論是橫坐標彳還是

縱坐標兒都是唯一確定的，所以點尸的橫坐標尤、縱坐標》都是關于角a的函數.下面給出這些函數的定義：

①把點尸的縱坐標y叫作"的正弦函數，記作sina,即sina=y；

②把點尸的橫坐標x叫作。的余弦函數，記作cosa,即cosa=x；

③把點P的縱坐標y的倒數叫作a的余割函數，記作esca,即csca=；；

④把點尸的橫坐標x的倒數叫作a的正割函數，記作seca,gpsectz=-.

下列結論錯誤的是（）

4(1,0)

A.sincr-csca=1

B.sec-=-2

3

C.函數/(X)=sec］的定義域為{,xwE,左￡Z}

D.sec2a+sin2a+esc2a+cos2a>5

【答案】C

11

【解析】由題知，esca=------,seca二-----

sinacosa

.11…

對于A,sma-csca=y-=l,A正確;

y

2兀111

sec——==—2

對于B,3XCOS2"COS71正確;

-cos—,B

33

171

對于C,函數/(%)=sec%=,由far+—GZ

cos%2

所以“X)的定義域為xxwE+W，左EZ：,c錯誤;

222211

對于D,seca+sina+esca+cosa=l+cos2cr+sin2?

14

=1+=1+>5,

sin2crcos2asin22a

當sin2&=±l時，等號成立，D正確.

故選：C.

【變式4-2】由倍角公式cos2%=2cos2%-1,可知cos2x可以表示為cosx的二次多項式，對于cos3x,我們

有cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sin2%sinx=(2cos2%—1)cos%—2sin尤cos%sin%=4cos3x-3cosx,可見

cos3x也可以表示為cosx的三次多項式.一般地，存在一個〃次多項式匕⑺，使得cos=(cos%),這些

多項式匕⑺稱為切比雪夫(P.L.Tschebyschelf)多項式.(提示：18。、3=90。—18。、2)如圖，在等腰NABC中,

已知44C=54。，AB=AC,且VA2C的外接圓半徑0c=1,結合上述知識，可得3C=()

AA/5+1RA/5—10A/5+1八A/5—1

A.-----D.-----C.-----U.-----

2244

【答案】A

【解析】記的中點為。，

BC=2BD=2OBsin54°=2sin54°=2sin(90°-2xl8°)=2cos(2xl8°),

cos54°=4cos3180-3cos18°,sin36°=4cos3180-3cos18°,

2sin18°cos18°=4cos3180-3cos18°,所以2$近18。=4cos?18。-3=1-sii?18。

BPsin218°+2sinl8°-l=0,由sinl8°>0,；.sinl80=叵1，

4

.-.BC=2(l-2sin218°)=2l-2x6"^=^^-,

故選：A

命題預測T

1.正割(secant)及余割(cosecant)這兩個概念是由伊朗數學家阿布爾?威發首先引入的.定義正割

11(左兀

seca=----,余割csca=^—.已知〃[為正實數，且相心＜?尤+tai?尤215對任意的實數了大工，左eZ

cosasma

均成立，則機的最小值為()

A.1B.4C.8D.9

【答案】D

?2?4

【解析】由已知可得加?cscZx+tanOnY—+堊9215,可得根NlSsi/x-羋土

sinxcosxcosx

因為％W+￡Z),則COS2A：G(0,1],

2

,4=15(—)一…葭

sinx-^+16COS2X

因為ISsidx—=17—

27

cosx\COSXCOSX

<17-2./^^.16COS2X=9,

VCOSX

當且僅當cos2》=’時，等號成立，故加29.

4

故選：D.

題型五：平面向量與解三角形新定義

UlirULUi

【典例5-1】在平面直角坐標系無0y中，向量04=。=（埠%=b=（%,%），若瓦B不共線，記以

1I____,uuurrr

05為鄰邊的平行四邊形的面積S（a?）=歸%-%2弘|?已知二k或ON=/I,OP=p=Am+/in，

（%-Rl+〃24）,則辿&乎應=（）

''S（m,n）

A.|A+//|B.\M\C.|2|+|〃|D.,.,,,

IA|+|//|

【答案】C

【解析】依題意設OM=m=（x3,y3）,ON=萬=（%,乂），

則。尸=萬=為〃萬=（%+〃與幾%+〃％），S（成方）=|x3y4一％%|，

S（m,p）=Ix3（2y3+〃％）-（幾七+）y31=|//||x3y4-%4y31,

5（瓦萬）=卜4（為3+-（Ar；+〃％）%|=|即尤3%一|，

則生出甘孕=田+1”

故選：C.

【典例5-2】已知對任意平面向量荏=（x,y）,把通繞其起點沿逆時針方向旋轉6角得到向量

AP-（xcosO-ysin6,xsinO+ycosO）,叫做把點B繞點A沿逆時針方向旋轉6角得到點P.已知平面內點

A（l,2）,B（1+A/2,2-2A/2）,把點8繞點A沿逆時針方向旋轉!■后得到點P,則尸的坐標為（）

A.（0,-1）B.（2,5）C.（4,1）D.（3,-1）

【答案】C

【解析】荏=（0,-20）,把點8繞點A沿逆時針方向旋轉3后得到

舞=仁義與+23冬叵4一2國會弋一1）,

LLUU

設尸（八〃）,則AP=（?i-l,n-2）=（3,-l）,

解得機=4,〃=1,即尸（4,1）.

故選：C.

【變式5-1］幾何定理：以任意三角形的三條邊為邊，向外構造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外

接圓圓心恰為另一個等邊三角形（稱為拿破侖三角形）的頂點.在VABC中，已知A=90。，AC=243,

8。=4指，現以邊AB,BC,CA向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為。，E,F,則。E的長為

（）

A.472B.2A/7C.373D.2若

【答案】B

【解析】在RtAABC中，AB=\lBC2-AC2=6

CL1BC14有“1AB_16_

由題意可知：BE7*嬴/=于正=4,即=于/=于無=2J3,

TT

5.ZEBC=ZCBA=ZABD=30°,可知N￡BD=90。，

所以DE=JBE2+BD?=2"

故選：B.

【變式5-2】克羅狄斯?托勒密（約90-168年）是希臘著名的數學家、天文學家和地理學家.托勒密定理是

歐幾里得幾何中的重要定理，定理內容如下：任意一凸四邊形，兩組對邊乘積的和不小于兩對角線的乘積，

2兀

當且僅當四點共圓時，等號成立.已知在凸四邊形ABCD中，AB=2,BC=6,AD=2CD,ZADC=—,

則3。的最大值為（）

A.5B.3&C.2A/6D.2不

【答案】D