2025年高考數(shù)學(xué)解密之空間向量及其運(yùn)算

一.選擇題（共10小題）

1.（2024?龍崗區(qū)校級(jí)模擬）已知空間向量4=（2,-1,2）,方=（1,-2,1）,則向量B在向量4上的投影向量是（

）

A.B.（2,-1,2）C.D.（1,-2,1）

333333

2.（2024?南湖區(qū)校級(jí)一模）正四面體的棱長(zhǎng)為3,點(diǎn)N是它內(nèi)切球球面上的兩點(diǎn)，P為正四面體表

面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段最長(zhǎng)時(shí)，麗?麗的最大值為（）

95

A.2B.-C.3D.-

42

3.（2024?金安區(qū)校級(jí)模擬）正四面體ABCD棱長(zhǎng)為6,AP=xAB+yAC+zAD,且x+y+z=l,以A為

球心且半徑為1的球面上有兩點(diǎn)M,N,MA=AN,則加2+麗2的最小值為（）

A.24B.25C.48D.50

4.（2024?香坊區(qū)校級(jí)四模）如圖，在所有棱長(zhǎng)均為1的平行六面體4BCD-A4G2中，M為4cl與BQ

交點(diǎn)，NBAD=ZBAA,=ZDAA,=60°,則BM的長(zhǎng)為()

5.（2024?高碑店市校級(jí)模擬）已知空間向量萬(wàn)=（0,1,2）石=（-1,2,2）,則向量方在向量方上的投影向量是（

C.(-2,4,4)

6.（2024?昌黎縣校級(jí)模擬）定義兩個(gè)向量丘與v的向量積日x"是一個(gè)向量，它的模|fix|=|M|-|v|sin（w,v）,

它的方向與正和/同時(shí)垂直，且以日力，為的順序符合右手法則（如圖），在棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中,

貝1|（荏x砌?前）

A.40B.4C.4A/3D.2石

7.（2024?番禺區(qū)校級(jí)二模）已知空間向量汗+石+不=0,|苕|=1,15|=4,cos<a,b>=—,則|己|=（）

2

A.3B.V13C.721D.21

8.（2024?潮陽(yáng)區(qū)校級(jí)三模）己知平行六面體428-44弓2中，A4,=2,BD=3,AD^DC-AB^BC=4,

則cos〈麗，麗〉=（）

2233

A.-B.——C.-D.--

3344

9.（2024?襄城區(qū)校級(jí)模擬）已知直線/過(guò)點(diǎn)A（l,-1,-1）,且方向向量為沆=（1,0,T），則點(diǎn)尸（1,1，1）

到/的距離為（）

A.20B.A/6C.A/3D.后

10.（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)A，4，…，4是空間中給定的〃個(gè)不同的點(diǎn)，則使之（源可）=0成立

i=l

的點(diǎn)"的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.n

C.無(wú)窮多個(gè)D.前面的說(shuō)法都有可能

二.多選題（共5小題）

11.（2024?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）已知正方體ABCD-ABQR邊長(zhǎng)為2,動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足

AM=xAB+yAD+zAA^（x..O,y.0,z..0）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)x=y=l,z=g時(shí)，則直線平面A5D

B.當(dāng)x=：,z=0,ye［0,l］時(shí)，+的最小值為

C.當(dāng)x+y=l,ze［0,1］時(shí)，A"的取值范圍為［0,2拒］

D.當(dāng)x+y+z=l,且AM=2叵時(shí)，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為逑》

"33

12.（2024?煙臺(tái)模擬）已知空間向量麗=（1,2,4）,配=（0,-2,1）,貝!J（)

2

A.BABC=O

B.而在區(qū)上的投影向量為（0,2,-1）

C.若向量屁=（1,0,6）,則點(diǎn)E在平面ABC內(nèi)

D.向量（0,-W，（）是與團(tuán)平行的一個(gè)單位向量

13.（2024?民樂(lè)縣校級(jí)一模）下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.對(duì)空間任意一點(diǎn)。與不共線的三點(diǎn)A,B,C,若而=x05+y礪+z而，其中x,y,zeR且

x+y+z=l,則P,A,B,C四點(diǎn)共面

B.已知。=（1,-1）,5=（d,l）,2與B的夾角為鈍角，則d的取值范圍是d<l

c.若a,B共線，則|商|-|9|=|乙+5|

D.若商，5共線，則一定存在實(shí)數(shù)2使得5=4百

14.（2024?淄博模擬）如圖，在平行六面體ABC￡?-a4CQ中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1,且它

們彼此的夾角都是（，M為AG與局2的交點(diǎn).若通=1，AD=b,麗=1,則下列說(shuō)法正確的是（

)

A.CM=--a--b+cB.<CM,AC[>^C.BD^=a+b+c

22

D.而?也=1

15.（2024?張家界二模）正六棱柱ABCDEF-HBCDF尸的所有棱長(zhǎng)均為2,P為棱上加中點(diǎn)，記正

六棱柱的12個(gè)頂點(diǎn)為耳"=1,2,....12）,則兩?比的值可以是（）

A.0B.-1C.1D.2

3

三.填空題(共10小題)

16.(2024?東湖區(qū)校級(jí)三模)已知空間向量。=(1,0,1),5=(2,-1,2),則向量5在向量4上的投影向量是

17.(2024?太原三模)已知直線/過(guò)點(diǎn)A(l,2,0),且直線/的一個(gè)方向向量為用=(0,-1,1),則坐標(biāo)原點(diǎn)

。到直線/的距離d為—.

18.(2024?廣州模擬)已知A,M,N是棱長(zhǎng)為1的正方體表面上不同的三點(diǎn)，則麗的取值范圍

是—.

19.(2024?中山市校級(jí)模擬)已知正四面體A-2CD的棱長(zhǎng)為2,若球O與正四面體的每一條棱都相切，

點(diǎn)P為球面上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P在正四面體面ACD的外部(含正四面體面ACD表面)運(yùn)動(dòng)，則可?麗的

取值范圍為.

20.(2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模)已知空間向量a=(1,-1,0),5=(0,1,1),忑=(1,2,〃。共面，則實(shí)數(shù)%=.

21.(2024?故城縣校級(jí)模擬)已知向量方=(3,-2,1),&=(-1,3,-2),2=(3,5,2),若5,泮三個(gè)向量

共面，則彳=.

22.(2024?紅河州模擬)如圖，在棱長(zhǎng)均相等的斜三棱柱ABC-A耳G中，幺AB=441AC=5,兩=2甌,

CN=pCQ,若存在4e(0,l),〃e(0,l),使畫(huà)心麗=0成立，則彳+〃的最小值為.

23.(2024?拉薩一模)已知x,y&R,空間向量4=(2,l,x),B=(4,y,-l).若萬(wàn)//方，則2x+y=.

24.(2023?翠屏區(qū)校級(jí)模擬)兩個(gè)非零向量1，b,定義|百xB|=|萬(wàn)||6|sin<H,5>.若方=(1,0,1),B=(0,

2,2),貝(JSx方|=.

25.(2023?浦東新區(qū)三模)空間向量。=(2,2,-1)的單位向量的坐標(biāo)是.

4

2025年高考數(shù)學(xué)解密之空間向量及其運(yùn)算

參考答案與試題解析

選擇題(共10小題)

1.(2024?龍崗區(qū)校級(jí)模擬)已知空間向量2=(2,-1,2),5=(1,-2,1),則向量5在向量日上的投影向量是(

)

A.B.(2,-1,2)C.D.(1,-2,1)

333333

【答案】A

【考點(diǎn)】空間向量的投影向量與投影

【專(zhuān)題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；空間向量及應(yīng)用

【分析】根據(jù)投影向量的求解公式計(jì)算即可.

【解答】解：a-b=6,|<51=3,

故向量5在向量1上的投影向量是：=-(2,-1,2)=.

|a|9333

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量條件下投影向量的計(jì)算，屬于中檔題.

2.(2024?南湖區(qū)校級(jí)一模)正四面體的棱長(zhǎng)為3,點(diǎn)A/,N是它內(nèi)切球球面上的兩點(diǎn)，尸為正四面體表

面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段最長(zhǎng)時(shí)，加?西的最大值為()

95

A.2B.-C.3D.-

42

【答案】C

【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；球

【分析】設(shè)四面體ABCD的內(nèi)切球球心為O,G為ABCD的中心，E為CD的中點(diǎn)，連接AG,BE,則O

在AG上，連接30,根據(jù)題意求出內(nèi)切球的半徑，當(dāng)跖V為內(nèi)切球的直徑時(shí)，MN最長(zhǎng),再化簡(jiǎn)

PMPN=(PO+OM)(PO+ON)可求得其最大值.

【解答】解：設(shè)正四面體ABCD的內(nèi)切球球心為O,G為ABCD的中心，E為8的中點(diǎn)，連接AG,BE,

則。在AG上，連接30,則49=30.

因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為3,所以BG=2BE=2義置義3=百，

332

所以47=辦82-改?2=^/^與=",設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,

5

則（AG-r）2=r~+BG1,（#—r）2=r2+后，解得r=,

4

當(dāng)MN為內(nèi)切球的直徑時(shí)政V最長(zhǎng)，此時(shí)的'+兩=0,加?兩=-（手）2=一|

PMTN=(Pd+OM)(Pd+ON)

3

=PO+PO(OM+ON)+OMON=PO-

8

因?yàn)镻為正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)P為正四體的頂點(diǎn)時(shí)，I所I最長(zhǎng)，I而I的最大值為

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：錐體和球體的關(guān)系，向量的線性運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中

檔題.

3.（2024?金安區(qū)校級(jí)模擬）正四面體ABCD棱長(zhǎng)為6,AP=xAB+yAC+zAD,且x+y+z=l,以A為

球心且半徑為1的球面上有兩點(diǎn)M,N,MA=AN,則可片+麗?的最小值為（）

A.24B.25C.48D.50

【答案】D

【考點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】先由福?死=福?苞=而?跖=36,再由祝=麗，推出|麗7|=|不7|=1,PM=PA+AM,

PN=PA+AN,再由向量的數(shù)量積的計(jì)算公式得到兩2+加=74-72（沖+yz+尤z）,結(jié)合基本不等式,

即可求解結(jié)果.

【解答】解：法一：因?yàn)檎拿骟wABCD的棱長(zhǎng)為6,

所以:W-庶=|35||X^|COS60°=36,

同理可得通||XD|COS6(T=36,AC-AD=|AC||AD|cos60°=36,

6

又因?yàn)橐訟為球心且半徑為1的球面上有兩點(diǎn)M,N,MA=AN,

所以|痂|=|初|=1,

由AP=xAB+yAC+zAD,

22__,

貝IJ兩+PN=(PA+AM)1+(PA+AN^,

--*2--**?2”2?"Q.

=PA+2PA-AM+AM+PA+2PA-AN+AN,

=2(xAB+yAC+zAD)2+2,

=2(%2AB+y2AC+z2AD+2xyAB-AC+2yzAD-AC+2xzAB?AZ))+2,

=2(36x2+36y2+36z2+36xy+36yz+36xz)+2,

=74-72(孫+yz+xz),

因?yàn)閤+y+z=l,所以I=d+y2+z2+2xy+2yz+2xz..3(xy+yz+xz),

當(dāng)且僅當(dāng)％=y=z=!取等號(hào)，

3

此時(shí)肛+yz+xz?；,

所以而2+蕭..74-24=50.

故PM+PN的最小值為50.

法二：由于x+y+z=l,所以點(diǎn)尸在平面3co內(nèi)，

2222

所以加2+麗,^(PA+AM)+(PA+AN)=24+2PA-(AM+AN)+AM+AN,

由于蘇=麗，所以麗7+福=0,

由于尺=1,所以|國(guó)7|=|前|=1,

當(dāng)點(diǎn)尸為點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影時(shí)，|弱|最小，

由于棱長(zhǎng)為6,

所以BP=—xx6=2A/3，AB=6，

32

AP2=AB2-BP2=36-12=24,

所以加之+前..2x24+2=50.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能

7

力，屬于中檔題.

4.（2024?香坊區(qū)校級(jí)四模）如圖，在所有棱長(zhǎng)均為1的平行六面體ABCD-A旦￡“中，"為AG與耳2

交點(diǎn)，ABAD=ZBA^=ZDA^=60°,則的長(zhǎng)為()

6B.V-.----D

A4~T2-f

【答案】C

【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)乘及線性運(yùn)算

【專(zhuān)題】整體思想；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法

【分析】由題意可知的=麗+，擊-!南，再利用|加|=J麗/，結(jié)合空間向量的數(shù)量積運(yùn)算求解.

22

o

【解答】解：由題意可知，ABAD=ABAA^=ADAAI'=lxlxcos60=^,

BM=BB[+BlM=A\+^B^=AA^+^(A^-AlB^)=AAl+^AD-^AB,

2

??.IBM\=>JBM=小國(guó)+；而確2T圃2+；而2+；加+可赤—可痛g彷病二

442可FTFFI等

的長(zhǎng)為好

2

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2024?高碑店市校級(jí)模擬）已知空間向量萬(wàn)=（0,1,2）,5=（-1,2,2）,則向量萬(wàn)在向量方上的投影向量是（

)

122244422

A.B.UH?C.(-2,4,4)D.

【答案】B

【考點(diǎn)】空間向量的投影向量與投影

【專(zhuān)題】空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；轉(zhuǎn)化思想

【分析】根據(jù)已知求出百?瓦|5|,即可根據(jù)投影向量的定義求出答案.

8

【解答】解：因?yàn)?=(0,1,2)力=(-1,2,2),

所以商3=6,出|=3,

所以向量4在向量B上的投影向量為：=—b.

|6|\b\3333

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的數(shù)量積和投影向量，屬于基礎(chǔ)題.

6.(2024?昌黎縣校級(jí)模擬)定義兩個(gè)向量力與爐的向量積小爐是一個(gè)向量，它的模|公記=|詞?舊sin〈》,論，

它的方向與力和力同時(shí)垂直，且以日力,為的順序符合右手法則(如圖)，在棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中,

A.40B.4C.4布D.2指

【答案】A

【考點(diǎn)】平面向量的概念與平面向量的模；空間向量及其線性運(yùn)算

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】根據(jù)題中條件確定I通義而I，設(shè)底面的中心為O,則CO,平面鉆￡),可求得

cos<AC,OC)=cosZACO=,又荏x通的方向與覺(jué)相同，代入計(jì)算可得答案.

【解答】解：由題意，|ASx苞|=|通|.|亦"in〈通砌=2x2x曰=23，

設(shè)底面△ABD的中心為O,連接CO,AO,

則OC_L平面鉆D,又AO,AB,ADu平面ABD,

故OC_LAO,OC±AB,OCYAD,

則AO=-XABX-=^,

233

9

OC=>/AC2-AO2=

2m

在△ACO中，cosZACO=-=^-=—,

AC23

則cos(AC,OC)=cosZACO=g,

又通義礪的方向與無(wú)相同，

所以（福x亞）.*=2』x2x^=4^.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量及其運(yùn)算，考查三角形中的幾何計(jì)算，屬中檔題.

7.（2024?番禺區(qū)校級(jí)二模）已知空間向量4+方+不=6,舊|=1,|5|=4,cos<a,b>=~,貝1]|村=（）

2

A.3B.V13C.歷D.21

【答案】C

【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

【專(zhuān)題】空間向量及應(yīng)用；向量法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算即可求解.

【解答】解：由豆+石+^=0,可得5=—（萬(wàn)+B）,

,.r..1

由|五|=1|萬(wàn)|=4,cos<a,b>=—,

2

可得|E|=正+2上出+后

=Jl+16+2xlx4x；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

8.（2024?潮陽(yáng)區(qū)校級(jí)三模）已知平行六面體428-44弓2中，A4,=2,BD=3,AD^DC-AB[BC=,

則cos〈麗，砌=（）

22

A.-B.——

33

【答案】B

【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

10

【專(zhuān)題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；整體思想；空間向量及應(yīng)用

【分析】利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算求解.

【解答】解

AD^DC-AB^BC=(AD+AA^)AB-(AB+AA^)AD=ADAB+AA^AB-ABAD-AA^AD=AA^AB-A^AD=A^DB=4，

所以祠?麗=-4,

所以cos5，^>=|M||M5|=2x3=-3-

故選：B.

:.工

AB

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量的數(shù)量積運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.

9.(2024?襄城區(qū)校級(jí)模擬)已知直線/過(guò)點(diǎn)4(1,-1,-1),且方向向量為沆=(l,o,-1)，則點(diǎn)尸(1,1,1)

至1"的距離為()

A.2&B.娓C、百D.V2

【答案】B

【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；空間向量的夾角與距離求解公式

【專(zhuān)題】空間向量及應(yīng)用；整體思想；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法

【分析】利用空間中點(diǎn)到直線的距離公式求解.

【解答】解：?.?點(diǎn)4(1,-1,-1),點(diǎn)尸(1,1,1)AP=(0,2,2),

.-.|AP|=7O2+22+22=20,

又?.,直線/的方向向量為m=(1,0,-1),

.?.點(diǎn)P(l,1,1)至打的距離d=J刀『一(千三)2=[8-=娓,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間中點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

10.(2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬)設(shè)A，4，…，4是空間中給定的〃個(gè)不同的點(diǎn)，則使?麗)=0成立

/=1

11

的點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為()

A.1B.n

C.無(wú)窮多個(gè)D.前面的說(shuō)法都有可能

【答案】A

【考點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算

【專(zhuān)題】綜合法；平面向量及應(yīng)用；對(duì)應(yīng)思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算得到方程，表達(dá)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，得到答案.

【解答】解：設(shè)4(%,y,z,.),M(x,y,z),

由之(iMA)=6得f-x,yi-y,zi-z)=O,

i=li=l

所以力?(七-%)=o,￡(z,_z)=o,

z=lz=li=l

￡%EM

所以彳=上1—,y=上一,z=上一,

nnn

所以滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為1個(gè).

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題.

二.多選題(共5小題)

11.(2024?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬)已知正方體ABCD-A^B^D,邊長(zhǎng)為2,動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足

AM=xAB+yAD+zA4f(x.0,y.0,z..O),則下列說(shuō)法正確的是()

A.當(dāng)x=y=l,z=g時(shí)，則直線AWL平面4加)

B.當(dāng)尤=z，z=O,ye[O,l]時(shí)，4河+血的最小值為歷

C.當(dāng)x+y=l,ze[0,1]時(shí)，AM的取值范圍為[0,20]

D.當(dāng)x+y+z=l,且3=空時(shí)，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為生&%

33

【答案】BC

【考點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算

【專(zhuān)題】邏輯推理；空間位置關(guān)系與距離；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法

【分析】由x=y=l,z=g時(shí)，得到M為CG的中點(diǎn)，可判定A錯(cuò)誤；在。C上取點(diǎn)K,得到求得〃點(diǎn)在

HK上,將平面B}HKCX與平面AHKD沿著HK展開(kāi)到同一平面內(nèi)，可判定3正確；證得AC±平面BDD.B,,

12

求得A0的最大值與最小值，可判定C正確；求得點(diǎn)〃的軌跡在△A3。內(nèi)，根據(jù)題意得到M點(diǎn)軌跡是

以P為圓心，逆為半徑的圓的一部分，且NE7f=工，可判定O錯(cuò)誤.

33

【解答】解：對(duì)于A中，由于x=y=l,z=；時(shí)，貝I碗=頒+而+g麗*①'，此時(shí)M為CG的

中點(diǎn)，

在正方體ABCD-a4Gq中，由AC[_L平面所以直線A"不會(huì)垂直平面A3。，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于3中，在"上取點(diǎn)“，itAH=-AB,在DC上取點(diǎn)K,itDK=-DC,

44

因?yàn)閤=Lz=O,ye[O,l],即工通+y而，可得M點(diǎn)在"K上，

44

將平面片"G與平面AHKD沿著"K展開(kāi)到同一平面內(nèi)，如圖（1）（2）所示，

連接4。交"K于尸，此時(shí)3,P,。三點(diǎn)共線，+取到最小值即耳。的長(zhǎng)，

由于布=；通=3，所以8〃=|,則3#=,2?+（|）2=：,

所以做=g+g=3,所以/￡>=MA）2+AD?=J32+2?=屈,

即此時(shí)4M+MZ）的最小值為JB,所以3正確；

對(duì)于C中，當(dāng)尤+y=l,ze[O,1]時(shí)，可得點(diǎn)”的軌跡在平面內(nèi)（包括邊界），

在正方形ABCD中，可得AC_L3D,

因?yàn)?片_L平面ABCD,ACu平面ABCD,所以AC_LBB],

又因?yàn)榍彝撸珺B|U平面8。24，所以AC_L平面8。。畫(huà)，

所以（AM）?,?=|AC=72,又由（=AB,=2點(diǎn),

所以AM的取值范圍為[五,2拒],所以C正確；

對(duì)于。中，當(dāng)無(wú)+y+z=l時(shí)，可得點(diǎn)M的軌跡在△ABD內(nèi)（包括邊界），

由于CC[_L平面ABCD,3Du平面ABCD,可得CC]_LB。，

又因?yàn)锽D_LAC,ACQCQ=C,AC,C￡u平面ACC[，故班）_L平面ACC1，

因?yàn)锳C]U平面ACC-可得BD_LAG，同理可證AB_LA￡,

又因?yàn)?A,B,3￡>u平面43D,所以AC】_L平面4臺(tái)。，

ii4

設(shè)AG與平面交于點(diǎn)P,由于%_ABD=9..=§><5X2X2X2=§，

13

△ABD為邊長(zhǎng)為2四的正三角形，則點(diǎn)A到平面A,BD的距離為AP=當(dāng),

若叵，則MP=JA"_AP2=述,即M點(diǎn)落在以尸為圓心，型為半徑的圓上,

333

此時(shí)尸點(diǎn)到△4處三邊的距離均為且x2四=@＜述，

3233

即M點(diǎn)軌跡是以尸為圓心，逆為半徑的圓的一部分，

3

又由NEPF=^,其軌跡長(zhǎng)度為3倍的弧長(zhǎng)斯=2^萬(wàn)，所以。錯(cuò)誤.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：正方體的性質(zhì),向量的線性運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

12.(2024?煙臺(tái)模擬)已知空間向量麗=(L2,4),BC=(0,-2,l),則()

A.BABC=0

B.而在屈上的投影向量為(0,2,-1)

C.若向量麗=(1,0,6),則點(diǎn)E在平面ABC內(nèi)

D.向量(0,-W，()是與沅平行的一個(gè)單位向量

【答案】ABD

【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

【專(zhuān)題】空間向量及應(yīng)用；向量法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想

【分析】進(jìn)行向量坐標(biāo)的數(shù)量積運(yùn)算即可判斷A的正誤；

根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可判斷3的正誤；

根據(jù)共面向量基本定理判斷而，麗,就是否共面，從而判斷C的正誤；

根據(jù)共線向量基本定理及單位向量的定義即可判斷。的正誤.

【解答】解：,麗=(1,2,4),患=(0,-2,1),ABA-BC=0-4+4=0,A正確;

CACB=(CB+BA)CB=(],4,3)-(0,2,-1)=5,也在區(qū)上的投影向量為：

14

「口c

―—屈=—?((),2,-1)=(0,2,-I),3正確；

|CB|25

x=l

^BE=xBA+yBC,即(1,0,6)=x(l,2,4)+y(0,-2,1),2x—2y=0,方程組無(wú)角軋.?.而，麗，前

4x+y=6

不共面，點(diǎn)E不在平面ABC內(nèi)，C錯(cuò)誤；

向量(。，-乎手是單位向量，且(0,-2,1)=君(0,-坐坐，，向量(0,-乎聿是與就平行的一個(gè)

單位向量，D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量坐標(biāo)的數(shù)量積運(yùn)算，向量加法的幾何意義，共面和共線向量基本定理，單位向量

的定義，是基礎(chǔ)題.

13.(2024?民樂(lè)縣校級(jí)一模)下列命題錯(cuò)誤的是()

A.對(duì)空間任意一點(diǎn)。與不共線的三點(diǎn)A,B,C,若麗=無(wú)西+丁麗+zH,其中x,y,zwR且

x+y+z=l,則P,A,B,C四點(diǎn)共面

B.己知6=(1,-1),B=(d,l),d與方的夾角為鈍角，則1的取值范圍是d<l

c.若&,方共線，則mi-出|=5+共

D.若。，5共線，則一定存在實(shí)數(shù)2使得B=

【答案】BCD

【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)平面向量的夾角；空間向量的共線與共面；空間向量及其線性運(yùn)算

【專(zhuān)題】綜合法；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】直接利用向量共線的充要條件，共面向量基本定理，向量的夾角運(yùn)算判斷A、3、C、。的結(jié)論.

【解答】解：對(duì)于A：由于。尸=xOA+yOB+zOC,其中x,y,z&R_S.x+y+z-1,則

OP=xOA+yOB+(1-x-y)OC,

整理得：OP-OC=x(OA-OC)+y(pB-OC),故守=》①+>屈，所以尸，A,B,C四點(diǎn)共面，故A

正確；

對(duì)于3：由于。=(1,-1),B=(d,i),力與5的夾角為鈍角，故d—i<o,且dw-i,故d的取值范圍為(-00,

-1)U(-1,1),故3錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若萬(wàn)，5共線且方向相反時(shí)，則|方|-|5|=|萬(wàn)+5|,故c錯(cuò)誤；

15

對(duì)于。：若日，B共線，則一定存在實(shí)數(shù);I使得石=力萬(wàn)6/0）,故。錯(cuò)誤.

故選：BCD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量共線的充要條件，共面向量基本定理，向量的夾角運(yùn)算，主要考查學(xué)生

的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

14.（2024?淄博模擬）如圖，在平行六面體ABCD-a4GR中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1,且它

們彼此的夾角都是（，M為AG與片2的交點(diǎn).若麗=m，AD=b,甌=甚，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A.CM=--a--b+cB.<CM,AQ>~C.BD[=a+b+c

2213

D.~ADBDX=\

【答案】AD

【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算；空間向量及其線性運(yùn)算

【專(zhuān)題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想；空間向量及應(yīng)用

【分析】由題意可知，a-b=a-c=b-c=Mxs-=-,再利用空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算逐個(gè)

CO32

判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【解答】解：由題意可知，a-b=a-c=b-c=lx\xcos—=—,

32

對(duì)于A,M=M+^=.+gC]A=閾-；（加+曲=一$一丁+1,故A正確；

對(duì)于5,又因?yàn)殡x=赤+而+麗=萬(wàn)+5+乙

所以CM-AC.=++b+S）=——32--H-b--3-——b-<X--b2--b-f+ck-d*+c*-ZT+ca=O>

22222222

所以<加，AC^>=~,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,BDx=BA+BC+BBx=-AB+AD+A\=-a+b+c,故C錯(cuò)誤；

2

對(duì)于Z>,AD-BD}=b-{—a+b+c）=-a-b+b+b-c=l,故。正確.

故選：AD.

16

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量的線性運(yùn)算進(jìn)而數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

15.（2024?張家界二模）正六棱柱ABCDEF-AQC77E尸的所有棱長(zhǎng)均為2,尸為棱上A4,中點(diǎn)，記正

六棱柱的12個(gè)頂點(diǎn)為￡（i=l,2,....12）,則胡?兩■的值可以是（）

A.0B.-1C.1D.2

【答案】BC

【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算

【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；空間向量及應(yīng)用

【分析】根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)特征與向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，算出當(dāng)與在下底面的某個(gè)頂點(diǎn)處時(shí)，PAPP^l；

當(dāng)與在上底面的某個(gè)頂點(diǎn)處時(shí)，PAPF>=-1,進(jìn)而可得正確答案.

【解答】解：若耳與A重合，則西.國(guó)=玄=1；若金與A，重合，則西?麗=-兩'-I.

若點(diǎn)片在下底面的某個(gè)頂點(diǎn)處（不與A重合）時(shí)，根據(jù)4V與底面垂直，可得

__2___,____,___J2

所以西?國(guó)=麗?（麗+亞）=麗+PAAPt=PA=1.；

同理可得點(diǎn)片在上底面的某個(gè)頂點(diǎn)處（不與4重合）時(shí)，PAPP^-X.

綜上所述，麗?麗的值可以是-1或1.

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的數(shù)量積的定義與運(yùn)算性質(zhì)、正棱柱的結(jié)構(gòu)特征等知識(shí)，考查了計(jì)算能力、概

念的理解能力，屬于中檔題.

三.填空題（共10小題）

16.（2024?東湖區(qū)校級(jí)三模）己知空間向量力=（1,0,1）,5=（2,-1,2）,則向量在在向量商上的投影向量是

17

(2,0,2).

【答案】(2,0,2).

【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

【專(zhuān)題】計(jì)算題；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】由向量5在向量a上的投影向量為151cos<乙，5>高，計(jì)算即可求出答案.

【解答】解:向量萬(wàn)=(1,0,1),5=(2,T2),

貝!)|菊=也，出1=3,a-b=4,

所以向量石在向量之上的投影向量為

|b|cos<a,6>亙<51,"-----=3xx—x(1,0,1)-(2,0,2),

\a\\a\\b\\a\3也應(yīng)

故答案為：(2,0,2).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，投影向量的定義，屬于基礎(chǔ)題.

17.(2024?太原三模)已知直線/過(guò)點(diǎn)A(l,2,0),且直線/的一個(gè)方向向量為用=(0,-1,1),則坐標(biāo)原點(diǎn)

。到直線/的距離d為—由一

【答案】73.

【考點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算

【專(zhuān)題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；空間向量及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化法

【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算即可.

【解答】解：由題知，直線/過(guò)點(diǎn)4(1,2,0),且直線/的方向向量為慶=(0,-1,1),點(diǎn)0(0,0,0),

所以標(biāo)=(-L-2,0)，

所以點(diǎn)0(0,0,0)至IJ/的距離為〃=J(Z0)2—(半F)2=/章/=7^=也.

故答案為：百.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間中點(diǎn)到直線距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

18.(2024?廣州模擬)已知A,M,N是棱長(zhǎng)為1的正方體表面上不同的三點(diǎn)，則汨?福的取值范圍

是［」，3).

一2—一

【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

【專(zhuān)題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；空間向量及應(yīng)用

18

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)可得。=聞0?麗”3cos<R，，AN>,結(jié)合夾角的定義可得6,3,可得其最大

值；根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算可知-二二，可得其最小值.

4

【解答】解：正方體表面上任意兩點(diǎn)間距不超過(guò)體對(duì)角線長(zhǎng)d=,F+儼+F=3,

貝H汨|,,d,\AN\?d,^a=AM-AN?3cos<AM,AN>,

而cos<AM,AN>e[-1,1),故a<3,

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

取0(0,0,0),當(dāng)M,N重合為(1,1,1)時(shí)，

貝1,1).(1,1,1)=3,取得最大值3；

由對(duì)稱(chēng)性，設(shè)A在下底面，AM=(x,y,z),AN=(a,b,c),

由A在下底面知z..0,c..0,zc..O,

當(dāng)且僅當(dāng)N也在下底面時(shí)取等，此時(shí)A,M,N共面，

設(shè)中點(diǎn)為E,則加=-函，

-------.

a^AM-AN=(AE+EM)-(AE+EN)=(AEy-(EN)2...-(EN)2=---------,

4

當(dāng)且僅當(dāng)A,E重合時(shí)取等，

_______.「一MN~1

又因?yàn)閨MN|?友,可得。龐---------，

42

例如ad」,。)，M(I,o,0),N(O,i,0),

22

則”畫(huà)八語(yǔ)?(」」,())=」，

22'222

所以N不重合時(shí)，加?麗的取值范圍是[-，，3).

2

19

故答案為：[-工，3）.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量與立體幾何的綜合應(yīng)用，屬中檔題.

19.（2024?中山市校級(jí)模擬）已知正四面體A-BCD的棱長(zhǎng)為2,若球O與正四面體的每一條棱都相切，

點(diǎn)尸為球面上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)尸在正四面體面ACD的外部（含正四面體面ACD表面）運(yùn)動(dòng)，則序?麗的

取值范圍為—[-

【答案】

3

【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

【專(zhuān)題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；綜合法

【分析】將該正四面體補(bǔ)成正方體，則可得球O為正方體的內(nèi)切球，設(shè)G為AB的中點(diǎn)，結(jié)合向量數(shù)量積

的運(yùn)算律將西.而轉(zhuǎn)化為同2-1,結(jié)合四面體以及正方體和球。的切接問(wèn)題，求出|旃|的最大值以及

最小值，即可求得答案.

【解答】解：由題意知正四面體A-3CD的棱長(zhǎng)為2,故可將該正四面體補(bǔ)成如圖示正方體，

正方體棱長(zhǎng)為后，四面體的每條棱皆為正方體的面對(duì)角線，

由于球O與正四面體的每一條棱都相切，故球O為正方體的內(nèi)切球，

球。的直徑為正方體的棱長(zhǎng)，則半徑r=變；

2

設(shè)G為AB的中點(diǎn)，則G4=GB=1,

則麗?麗=（前+/）?（用+通）=?屈=無(wú)2-1,

由于點(diǎn)尸在正四面體面ACD的外部（含正四面體面ACD表面）運(yùn)動(dòng),

故點(diǎn)尸位于DC的中點(diǎn)處時(shí)，I而I最大，即為正方體內(nèi)切球直徑，