第06講函數與方程

（5類核心考點精講精練）

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關聯考點

2024年新I卷，第7題,5分求函數零點或方程根的個數正弦函數圖象的應用

函數奇偶性的定義與判斷

2024年新II卷,第6題,5分根據函數零點的個數求參數范圍函數奇偶性的應用

求余弦（型）函數的奇偶性

求含sinx（型）函數的值域和最值

2024年新II卷，第9題,6分求函數零點或方程根的個數求正弦（型）函數的對稱軸及對稱中心

求正弦（型）函數的最小正周期

函數對稱性的應用

2024年新II卷，第11題,6分判斷零點所在的區間函數單調性、極值與最值的綜合應用

利用導數研究函數的零點

根據函數零點的個數

2023年新I卷，第15題,5分余弦函數圖象的應用

求參數范圍

2.命題規律及備考策略

【命題規律】本節內容是新高考卷的命題載體內容，通常會結合其他知識點考查，需要掌握函數零點的定

義，難度不定，分值為5-6分

【備考策略】1.結合學過的函數圖象，了解函數的零點與方程解的關系，會判斷函數零點所在區間及零點個

數

2.結合具體連續函數及其圖象的特點，了解函數零點存在定理

3.了解用二分法求方程的近似解，能借助計算工具用二分法求方程近似解

【命題預測】本節內容通常以函數為載體，考查函數零點，是新高考復習的重要內容

知識點1函數的零點

4、41考點3求圖象的交點及交點個數

核心考點

考點4用零點存在性定理判斷零點所在區間

考點5根據零點、方程的根及圖象交點求參數范圍

知識講解

1、函數的零點

一般的，對于函數y=/(%),我們把方程/(x)=0的實數根/叫作函數y=/(x)的零點。

2、零點存在性定理

如果函數y=/(x)在區間可上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有/(。)?/僅)<0,那么函數

y=/(x)在區間(a,。)內必有零點，即％e(a在),使得/(不)=。

注：零點存在性定理使用的前提是/(%)在區間［a,可連續，如果〃尤)是分段的，那么零點不一定存在

3、函數單調性對零點個數的影響

如果一個連續函數是單調函數，那么它的零點至多有一個。因此分析一個函數零點的個數前，可嘗試判斷

函數是否單調

4、幾個“不一定”與“一定”(假設/(%)在區間(a力)連續)

(1)若/(。)?/伍)<0,則/(龍)“一定”存在零點，但“不一定”只有一個零點。要分析/(%)的性質

與圖象，如果/(%)單調，則“一定”只有一個零點

(2)若/(a)―/(Z?)>0,則〃尤)“不一定”存在零點，也“不一定”沒有零點。如果/(%)單調，那么

“一定”沒有零點

(3)如果/(九)在區間(a,。)中存在零點，則/(a)./(/?)的符號是“不確定”的，受函數性質與圖象影響。

如果/(九)單調，則/(a)?/(/?)一定小于0

5、零點與單調性配合可確定函數的符號

/（九）是一個在（。力）單增連續函數，x=x（）是/（光）的零點，且/,則xe（a,%o）時,/（x）<0；

xe（x（）,A）時,/（x）>0

6、判斷函數單調性的方法

（1）可直接判斷的幾個結論：

①若/（x）,g（x）為增（減）函數，則〃x）+g（x）也為增（減）函數

②若/（X）為增函數，則—/（%）為減函數；同樣，若/（%）為減函數，則—/（%）為增函數

③若y（x）,g（x）為增函數，且/（x）,g（x）>0,則/（尤）-g（尤）為增函數

（2）復合函數單調性：判斷y=/（8（司）的單調性可分別判斷y8（"與丁=”。的單調性（注意要利

用x的范圍求出『的范圍），若”g（x）,y=均為增函數或均為減函數，則尸/（g（x））單調遞增；

若/=g（x）,y=一增一減，則y=f（g（x））單調遞減（此規律可簡記為“同增異減”）

（3）利用導數進行判斷一一求出單調區間從而也可作出圖象

7、證明零點存在的步驟

（1）將所證等式中的所有項移至等號一側，以便于構造函數

（2）判斷是否要對表達式進行合理變形，然后將表達式設為函數/（x）

（3）分析函數/（尤）的性質，并考慮在已知范圍內尋找端點函數值異號的區間

（4）利用零點存在性定理證明零點存在

考點一、求函數的零點及零點個數

典例引領

1.（2024?山東青島?二模）函數/（x）=a，—a（a>0,awl）的零點為（）

A.0B.1C.（1,0）D.a

2.（2024?江蘇?一模）函數〃x）=sin12x+3在區間（0,2兀）內的零點個數為（）

A.2B.3C.4D.5

3.（23-24高三下?重慶,階段練習）（多選）已知函數y=x+10'的零點為A，y=x+lgx的零點為x2,則（）

A.工1+12>。B.玉/<0

%1

C.10+lgx2=0D.4再々一2玉+2/<1

1.（2023?上海徐匯?一模）函數y=lg（2x+l）+lgx的零點是.

2.（2024?河北?模擬預測）函數f（x）=cos3x-4sin2x在區間［-2024兀,2024句內所有零點的和為（）

A.0B.-202471C.101271D.-101271

3.（2024?河北?模擬預測）（多選）已知函數/（x）=e'+2x-2,g（x）=21nx+x-2的零點分別為占,三,貝卜）

X'

A.2再+%=2B.xxx2=e+lwc2

4

C.X]+%2>]D.2X1X2<Ve

考點二、求方程的根及根的個數

典例引領

1.（2024?浙江金華三模）若函數…后，則方程（切=3的實數根個數為（）

A.2B.3C.4D.5

入22龍+3T*〉0

（2/一’萬＜0，則關于了方程/（耳=歐+2的根個數不可能

是（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

1.（23-24高三下?遼寧?階段練習）已知函數/（X）=［Y-x+jsin.,則方程=1在區間［一2,3］上的所

有實根之和為（）

A.2B.4C.6D.8

log（l-x）X<\（1\

51

2.（22-23高一上?上海?期末）已知/（%）=?2,則方程/X+--2卜“aeR）的實數根個

-（尤-2）+2X>1\xJ

數不可能為（）

A.5個B.6個C.7個D.8個

考點三、求圖象的交點及交點個數

典例引領

（2024?全國?高考真題）當V[0,2菊時，曲線產sinx與，=25叩尤-2的交點個數為（

1.

A.3B.4C.6D.8

2.（2023?全國?高考真題）函數y=/（x）的圖象由函數y=cos12x+￡的圖象向左平移B個單位長度得到,

0

則y=/（x）的圖象與直線y=的交點個數為（）

A.1B.2C.3D.4

1.（2024?江蘇鹽城?模擬預測）函數丁=85與y=lg|H的圖象的交點個數是（）

A.2B.3C.4D.6

2.（2021?全國?模擬預測）已知函數/（%）=2sin（s;+e）（G>0,—J<e<1）的零點為龍軸上的所有整數，則函數/（元）

44

的圖象與函數g（x）=1x的圖象的交點個數為（）

A.8B.9C.10D.11

考點四、用零點存在性定理判斷零點所在區間

典例引領

1.（2022高三?全國?專題練習）函數=的零點所在的大致區間是（）

X

A.B.（1,2）C.（2,e）D.（2,3）

2.（23-24高三上?浙江寧波,期末）函數〃力=2工+/-9的零點所在區間為（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

1.（23-24高三下?北京?階段練習）函數〃尤）=ln（2x）-’的一個零點所在的區間是（）

X

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

2.（2024?陜西安康?模擬預測）函數〃"=加+/-2的零點所在區間是（）

考點五、根據零點、方程的根及圖象交點求參數范圍

典例引領

1.（2024?全國,高考真題）設函數+g（x）=cosx+2辦，當時，曲線丫=/（尤）與

y=g。）恰有一個交點，則”=（）

A.—1B.—C.1D.2

Q|X-1|[、C

2.（2024?安徽合肥三模）設aeR,函數〃x）=2一"一，若函數y=恰有5個零點，則實

-x0

數。的取值范圍為（）

A.（-2,2）B.（0,2）C.[-1,0）D.（^,-2）

3.（23-24高一上?重慶?期中）已知a>0,若關于x的方程4/一4/+20%-25=0在工2）上有解，則a的取

值范圍為（）

D.MU*

C.u2

1.（2024?全國?高考真題）曲線y=V-3x與y=_（x-l『+a在（0,+動上有兩個不同的交點，則。的取值范

圍為?

2.（22-23高三上,河北張家口,期末）（多選）已知x>l,方程x-（x-l）2*=0,x-（x-l）log2x=。在區間（1,+co）

的根分別為a,b,以下結論正確的有（）

A.b-a-2a-\ogbB.—+-=1

2ab

C.a+Z;<4D.b-a>\

3.（2024?天津?高考真題）若函數〃3=232一依一版一2|+1恰有一個零點,貝心的取值范圍為.

12.好題沖關.

一、單選題

1.（23-24高一上?河北邢臺?階段練習）函數〃x）=lm:+x-8的零點所在的區間為（）

A.（4,5）B.（5,6）C.（6,7）D.（7,8）

2.（2024高三?全國?專題練習）若函數>=0%2+2犬+1有且只有一個零點，則實數。的值為（）

A.1B.0

C.0或1D.一切實數

3.（2024?山西?模擬預測）方程41cost|-〃=0的實數根的個數為（）

A.9B.10C.11D.12

4.（2024高三上?全國?競賽）方程log,（x+2024）=2的實數解的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

X?+xV0

5.（23-24高一下?浙江?期中）已知函數〃x）='一'則函數g（x）=〃x）-3的零點個數為（）

,%>u,

A.1B.2C.3D.4

6.（23-24高二下?安徽蕪湖?期中）已知函數/（x）=3xvlnx存在兩個零點，則實數/的取值范圍為（）

A.1|',+00）B.1S'：）C.（3e,+co）D.（f,3e）

7.（23-24高三下?福建廈門?強基計劃）/（%）=tan%sinx-sin%-tan%+l在［。,2兀］上的零點個數（）

A.1B.2C.3D.4

8.（2024?浙江紹興三模）已知函數〃2x+l）為偶函數，若函數g（x）="x）+2i+2，T-5的零點個數為奇

數個，則/⑴=（）

A.1B.2C.3D.0

二、填空題

9.（2024高三?全國?專題練習）函數〃x）=2sinx-sin2x在［0,2無］所有零點之和為

l,x<0

10.（2024高三?全國?專題練習）已知函數/（x）=h八則使得方程尤+/（x）=機有解的實數機的取值

一,x〉0

范圍是.

一、單選題

1.（2024?山東?模擬預測）已知函數〃同=廣。-卓（尤21）,則使“X）有零點的一個充分條件是（）

A.a<—lB.—l<a<0C.0<?<1D.a>l

2.（2024?甘肅張掖?模擬預測）函數〃無）=叫％-1）-尤-1的所有零點之和為（）

A.0B.-1C.y/3D.2

xlnx,x>0,

3.（2024?河北衡水?模擬預測）已知函數〃x）=，-l,x=0,若關于x的方程〃司=依-1有5個不同

xln（-x）-2,x<0.

的實數根，則〃的取值范圍是（）

A.（l,+oo）B.（2,+oo）C.（l,e）D.（2,2e）

YX

4.（23-24高三下?浙江?階段練習）已知函數（無>1）,g（元）=W7-log/G>1）的零點分別為

X—LX—1

a，B,則'+J的值是（）

ap

A.1B.2C.3D.4

二、多選題

||x+l|-l|,x<0

5.（23-24高三下?云南昆明?階段練習）已知函數〃力=<:X,若方程產(a+2毋(x)-，=。有五

-----,x>0

、x+l

個不相等的實數根，則實數。的值可以為（）

A.-3B,-2C.-1D.0

6.（2024?湖南懷化?二模）已知函數丁=犬+6*的零點為X］,y=x+lnx的零點為巧，貝I］（）

A.玉+工2>°B.玉/<0

%1

C.e+lnx2=0D.xxx2-xx+x2>\

三、填空題

7.（2024?寧夏銀川?二模）函數/（%）=優-logaX（Q>l）有兩個零點，求。的范圍____________

8.（2024?天津?模擬預測）已知函數/（x）=V-依2_|工-4|有3個零點，則實數。的取值范圍為.

JQ——一］x>0

9.（2024?江蘇徐州?模擬預測）若函數/（x）=x'有兩個零點，則實數。的取值范圍為.

ex-a,x,,0

--|x+4|,x<1

10.（2024?天津武清?模擬預測）已知函數〃X）=2：，若函數y=/（x）-l恰有3個不同的零點，

（2X-G）",X>1

則實數a的取值范圍是.

1.（2024?全國,高考真題）設函數/（幻=2%3-362+1,則（）

A.當。>1時，/（力有三個零點

B.當。<0時，x=0是的極大值點

C.存在a,b,使得X=b為曲線y=/（x）的對稱軸

D.存在a,使得點為曲線y=/（x）的對稱中心

2.（2023?全國?高考真題）已知函數f（x）=cos5-13>0）在區間［0,2兀］有且僅有3個零點，則。的取值范

圍是.

3.（2023?天津?高考真題）設aeR,函數〃力=加_2"/一6+1］,若/（無）恰有兩個零點，貝陷的取值范圍

為.

4.（2022?天津?高考真題）設aeR,對任意實數x,記〃對=向11{國-2,尤?-依+3a-5}.若至少有3

個零點，則實數。的取值范圍為.

5.（2022?北京?高考真題）若函數/（x）=Asinx-6cosx的個零點為不則4=；/^=.

6.（2021?北京?高考真題）已知函數〃%）=旭元|一區一2,給出下列四個結論:

①若％=0,/④恰有2個零點；

②存在負數左，使得恰有1個零點；

③存在負數左，使得了（力恰有3個零點；

④存在正數k，使得Ax）恰有3個零點.

其中所有正確結論的序號是.

COS（24X—2;TQ）.x<a,、，…，

7.（2021?天津?高考真題）設aeR,函數f（x）=r-231口+片+5,轉/若小）在區間（。，+⑹內恰有

6個零點，則。的取值范圍是（）

5n5n

A.5'WB.r2r

x.O,

8.（天津?高考真題）已知函數〃尤）=若函數g(x)=f(x)-|hc2-2x|（左eR）恰有4個零點，則左

x<0.

的取值范圍是()

A.1-℃,-：［u(2V^,+00)

B.(0,2A/2)

C.(-8,0)U(0,2回D.(-00,0)|J(2V2,+00)

9.（全國?高考真題）函數/（x）=2sinx-sin2x在［0,2刃的零點個數為

A.2B.3C.4D.5

x,x<0

10.（浙江?高考真題）已知，力￡〃，函數/（%）=<112若函數y=/(x)-ax-Z?恰有

—X3--(CL+1)X+CIX,X0

.32

三個零點，則

A.6i<-l,Z?<0B.a<-l,b>0

C.a>—l,b<0D.a>—l,b>0

第06講函數與方程

（5類核心考點精講精練）

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關聯考點

2024年新I卷，第7題,5分求函數零點或方程根的個數正弦函數圖象的應用

函數奇偶性的定義與判斷

2024年新II卷，第6題,5分根據函數零點的個數求參數范圍函數奇偶性的應用

求余弦（型）函數的奇偶性

求含sinx（型）函數的值域和最值

2024年新II卷，第9題,6分求函數零點或方程根的個數求正弦（型）函數的對稱軸及對稱中心

求正弦（型）函數的最小正周期

函數對稱性的應用

2024年新H卷,第11題,6分判斷零點所在的區間函數單調性、極值與最值的綜合應用

利用導數研究函數的零點

根據函數零點的個數

2023年新I卷，第15題,5分余弦函數圖象的應用

求參數范圍

2.命題規律及備考策略

【命題規律】本節內容是新高考卷的命題載體內容，通常會結合其他知識點考查，需要掌握函數零點的定

義,難度不定，分值為5-6分

【備考策略】1.結合學過的函數圖象，了解函數的零點與方程解的關系，會判斷函數零點所在區間及零點個

數

2.結合具體連續函數及其圖象的特點，了解函數零點存在定理

3.了解用二分法求方程的近似解，能借助計算工具用二分法求方程近似解

【命題預測】本節內容通常以函數為載體，考查函數零點，是新高考復習的重要內容

知識點1函數的零點

4、41考點3求圖象的交點及交點個數

核心考點

考點4用零點存在性定理判斷零點所在區間

考點5根據零點、方程的根及圖象交點求參數范圍

知識講解

4、函數的零點

一般的，對于函數y=/(%),我們把方程/(x)=0的實數根/叫作函數y=/(x)的零點。

5、零點存在性定理

如果函數y=/(x)在區間可上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有/(。)?/僅)<0,那么函數

y=/(x)在區間(a,。)內必有零點，即％e(a在),使得/(不)=。

注：零點存在性定理使用的前提是/(%)在區間［a,可連續，如果〃尤)是分段的，那么零點不一定存在

6、函數單調性對零點個數的影響

如果一個連續函數是單調函數，那么它的零點至多有一個。因此分析一個函數零點的個數前，可嘗試判斷

函數是否單調

4、幾個“不一定”與“一定”(假設/(%)在區間(a力)連續)

(1)若/(。)?/伍)<0,則/(龍)“一定”存在零點，但“不一定”只有一個零點。要分析/(%)的性質

與圖象，如果/(%)單調，則“一定”只有一個零點

(2)若/(a)―/(Z?)>0,則〃尤)“不一定”存在零點，也“不一定”沒有零點。如果/(%)單調，那么

“一定”沒有零點

(3)如果/(九)在區間(a,。)中存在零點，則/(a)./(/?)的符號是“不確定”的，受函數性質與圖象影響。

如果/(九)單調，則/(a)?/(/?)一定小于0

5、零點與單調性配合可確定函數的符號

/(九)是一個在(。出單增連續函數，x=x()是/(光)的零點，且/e(tz,Z?),則xe(a,x())時,/(x)<0；

*6國⑼時，/(X)>0

6、判斷函數單調性的方法

(1)可直接判斷的幾個結論：

①若/(x),g(x)為增(減)函數，則〃x)+g(x)也為增(減)函數

②若/(X)為增函數，則—/(%)為減函數；同樣，若/(%)為減函數，則—/(%)為增函數

③若y(x),g(x)為增函數，且/(x),g(x)>0,則/(尤)-g(尤)為增函數

(2)復合函數單調性：判斷y=/岱(司)的單調性可分別判斷y8("與丁=”。的單調性(注意要利

用x的范圍求出『的范圍)，若”g(x),y=均為增函數或均為減函數，則丁=/(g(x))單調遞增；

若/=g(x),y=一增一減，則y=f(g(x))單調遞減(此規律可簡記為“同增異減”)

(3)利用導數進行判斷一一求出單調區間從而也可作出圖象

7、證明零點存在的步驟

(1)將所證等式中的所有項移至等號一側，以便于構造函數

(2)判斷是否要對表達式進行合理變形，然后將表達式設為函數/(x)

(3)分析函數/(尤)的性質，并考慮在已知范圍內尋找端點函數值異號的區間

(4)利用零點存在性定理證明零點存在

考點一、求函數的零點及零點個數

典例引領

1.(2024?山東青島?二模)函數/卜)=優-陽>0,4W1)的零點為()

A.0B.1C.(1,0)D.a

【答案】B

【分析】令=。=0,解出x即可.

【詳解】因為/(x)=a、'-a(a>0,awl),

令/(x)=a*—a=。，解得尤=1，

即函數的零點為1.

故選：B.

2.（2024?江蘇?一模）函數〃尤）=sin（2x+；J在區間（0,2無）內的零點個數為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】利用三角函數的性質求解即可.

【詳解】令〃x）=sinf2x+M=0,得2x+&=for,則無=一色+如,aeZ：

（362

兀5411

故上=1,%=—;左=2,%=—兀，左=3,%=一兀;左=4,兀=一71,

3636

所以“X）在（。,2兀）共有4個零點，

故選：C.

3.（23-24高三下?重慶?階段練習）（多選）已知函數y=x+10''的零點為y=x+lgx的零點為巧,()

A.+x2>0B.x,x2<0

T1

C.10+lgx2=0D.4xtx2-+2x2<1

【答案】BCD

【分析】將零點問題轉化為交點問題，根據互為反函數的兩個函數的性質逐一判斷即可.

【詳解】回函數y=x+10、的零點為耳，y=x+lgx的零點為巧，

回函數》=一%與函數y=10'圖象的交點的橫坐標為占，

函數y=-X與函數y=lgX圖象的交點的橫坐標為演，

作函數>=-%、函數y=10'、函數y=lg龍的圖象如圖6,點A的橫坐標為七，點3的橫坐標為X2,

圖6

回函數>=10工與函數y=lgx的圖象關于直線y=x對稱，函數的圖象關于直線>=%對稱,

回點A、B關于直線y=x對稱，又回點A、B在直線y=-x上，國點4、B關于原點對稱，

對于A：回占+%=0,故選項A錯誤；

對于B：易知玉々<。，故選項B正確；

對于C：回10''=-為，lgx2=-x2,xt+x2=0,010*'+lg尤2=0,即選項C正確；

對于D：由零點存在定理易知-]<玉<0,0<x<,回[%+]][苫2—]]<。，即不%-萬玉+萬工2-

2<0,

4XJX2-2xx+2x2<1,故選項D正確,

故選:BCD.

1.(2023?上海徐匯?一模)函數y=lg(2x+l)+lgx的零點是.

【答案】1/0.5

【分析】

利用對數運算及零點含義可得答案.

【詳解】由題意可得函數的定義域為(。,+e).

y=lg(2x+l)+lgx=lg(2/+x),令y=0可得2尤2+.”1,解得了=1或4―1(舍)，

故答案為：■

2.(2024?河北,模擬預測)函數/Xx)=cos3尤-4sin2元在區間［-2024兀,2024句內所有零點的和為()

A.0B.-2024KC.1012TTD.-1012K

【答案】B

【分析】利用和角的余弦公式及二倍角公式化簡函數/(X),由零點意義求得cosx=0或sinx=心二，再借

2

助正余弦函數圖象性質求解即得.

【詳解】依題意，/(%)=cos(2x+x)-4sin2x=cos2xcosx-sin2xsinx-8sinxcosx

=(1-2sin2x)cosx-2sin2xcosx-8sinxcosx=cosx(l-4sin2x-8sinx),

由"X)=。，得cosx=0或Sinx=@二或sinx=Xi二(不符合題意，舍去)，

22

函數y=cosx是偶函數，在［-2024兀,2024兀］上的所有零點關于數0對稱，它們的和為0,

正弦函數，=$皿尤的周期為2兀，方程sinx=a(0<a<l)在［0,2兀］的兩根和為無，

在［一2兀,0］上的兩根和為-3兀，因止匕sinx=或二2在［2版,2(左+1)兀］,-1012W左41011水eZ上

2

的兩根和構成首項為"4047兀，末項為40457r的等差數列，共有2024項，所有根的和為-2024兀.

故選：B

3.(2024?河北?模擬預測)(多選)已知函數f(x)=e*+2x-2,g(x)=21nx+x-2的零點分別為冷三,則C)

%,

A.2玉+%=2B.xxx2=e+lnx2

C.x1+x2>—D.2再％2<\/e

【答案】ACD

【分析】對于A,由題意得9+2%=21n/+9=2,進而得d=%即可求解判斷；對于B,先明確零點取值

范圍，由占取值范圍再結合e'=%即％=也々即可求解判斷；對于C,由爐=/即玉=ln%以及零點巧的

取值范圍即可求解判斷；對于D,結合AB以及將2否%轉化成(2-e)爐即可判斷.

［詳解］對于A,由題.+2占一2=0,21n^2+x2-2=0,

所以+2芯=21nx2+W=2即+2Ine*=21nx2+x2=2,

所以e2=%2，故2玉+々=23+d=2,故A正確；

對于B,由/(x)=O,g(x)=O^#ex=-2x+2,lnx=-^x+l,

故函數尸e'與y=-2x+2圖象交點橫坐標和尸也了與尸-;x+1圖象交點的橫坐標即為函數/(x)和g⑺

的零點X，%2，

如圖，由圖象性質可知0<演<2,

又由A得匕西=冗2，故玉=ln%,

%lx,X1

所以再/=<e<e+玉=e+lnx2,故B錯；

對于C,由上2111%2+無2—2=0即21nx2+x2=2,x1=Inx2以及Iv%<2得：

21nx+2x134心

x+x22

i2=Inx2+x2=---------=l+—x2>—>—,故C對；

X|

對于D,由AB得e*=%2，0<Xj<^,2x1=2-e<1,

所以2玉%2=2%e為=(2—9)eX1<eX1<Ve,故D對.

故選：ACD.

【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵一是由9+2占-2=0和215+/-2=0得即％=山%，二是數

形結合明確零點的取值范圍為0<X1<g且接著對所判式子進行變形放縮等即可判斷.

考點二、求方程的根及根的個數

典例引領

1.（2024?浙江金華?三模）若函數…百，則方程（切=3的實數根個數為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】求導得到函數單調性，畫出函數圖象，令〃力=乙則/（。=3,且代（-1,0）12?。」）小?2,+8）,

當/3=%?-1,0）時，結合圖象可知，只有1個解乙，當/（司=/2?。，1）時，結合圖象可知，只有1個解

4，當/（"=/3€（2,+8）時，結合圖象可知，由3個解乙/7，%，從而得到答案.

XH,X>0

【詳解】/(x)=x+l=<X

x—,x<0

x

"了）=尤_工

當x＜0時,，貝i"(x)=l+5>0,

X

此時〃同=尤—-在（-e,0）上單調遞減，

11V2—1

當了＞0時，/（%）=%+一,貝1]7（力=1一--=——,

%xx

故當x＞l時，尸（x）＞0,當0＜》＜1時，r（x）＜0,

故"引=X+J在（0,1）上單調遞減，在（1,+8）上單調遞增,

畫出函數/（x）和＞=3的圖象如下：

故玉e（-l,0）,x,e（O,l）,x,e（2,+oo）,

令=J則〃。=3,且/1G（-1,0），440,1），4?2,+8）,

當〃x）=%?T0）時，結合圖象可知，只有1個解月，

當外力=/2?0,1）時，結合圖象可知，只有1個解％,

當/(%)=1342,+8)時，結合圖象可知，由3個解%,積超，

綜上，方程/[f(x)]=3的實數根的個數為5.

故選：D

入2_2尤+3JC〉0

/'萬＜0,則關于了方程/(x)=?x+2的根個數不可能

(2

是()

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】C

【分析】將原問題轉化為直線＞="+2與函數y=/(x)的圖象交點的個數，作出y=/(x)的圖象，分a＞0、

。=0、。＜0三種情況，結合圖象求解即可.

【詳解】作出函數y=/(x)的圖象，如圖所示：

將原問題轉化為直線、="+2(過定點(0,2))與函數y=/(x)的圖象交點的個數,

由圖可知，當a=0時，直線＞=2與函數y=/(x)的圖象只有一個交點；

當a＜0時，直線丫=辦+2與函數y=/(x)的圖象沒有交點；

當。＞0時，直線y=6+2與函數y=/(x)的圖象有三個交點;

所以直線尸"+2與函數y=/(x)的圖象不可能有兩個交點.

故選：C.

1.(23-24高三下?遼寧?階段練習)已知函數”"[/r+jsinTU,則方程=1在區間[-2,3]上的所

有實根之和為()

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【分析】首先確定〃龍）的圖象關于X對稱，然后分X和兩種情況進行討論，利用數形結合的方

法，在同一直角坐標系中畫出y=sinm、y=-’通過判斷兩函數在日，3］1上的交點個數即可求出

函數/（x）=l的實根和.

【詳解】因為〃x）=sinjLr,

則〃l-x)=sin7Lx=/(x)，

所以/（X）的圖象關于X=g對稱，因為=此時〃x）=l不成立,

當工工工時，由〃龍）二1，即

2

J.

sin3兀=0<------z-=——

4,

1

y------------

在同一平面直角坐標系中畫出與、=$也4，xe［-2,3］的圖象如下所示:

上有且僅有2個交點，圖象都關于x=g,

所以所有的實根之和為1x2=2.

故選：A

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是判斷出了（元）關于X=；對稱，再將方程的解轉化為函數與函數的交點橫坐

標，根據對稱性計算.

|log5(l-x)|X<1(1\

2.(22-23高一上?上海?期末)已知〃尤)=，,則方程，尤+—-2=a(aeR)的實數根個

-(X-2)2+2x>l\xJ

數不可能為()

A.5個B.6個C.7個D.8個

【答案】A

【分析】作出/(尤)的圖象，令g(x)=x+：-2,由對勾函數的性質作出g(x)的圖象，再對。分類討論，將

問題轉化為關于x的方程％+2=%(具體到每種類型時為為常數)的解的個數問題.

X

|log5(l-x)|X<1

【詳解】因為了")=<