2025二輪復習專項訓練19

空間向量與空間角

［考情分析］高考必考內容，常以空間幾何體為載體考查空間角，是高考命題的重點，常與

空間線、面關系的證明相結合，熱點為平面與平面的夾角的求解，均以解答題的形式進行考

查，難度主要體現在建立空間直角坐標系和準確計算上.題目難度為中檔題.

【練前疑難講解】

一、異面直線所成的角

(1)設直線/,"Z的方向向量分別為a=(ai,bl,Cl),5=(。2,i>2,C2),設/,"Z的夾角為仇

n，\a-b\____|402+人13+。心|

'C°S間向<屆+房星+慶+琢

(2)異面直線所成的角的范圍為(0,I.

二、直線與平面所成的角

(1)設直線/的方向向量為。=31,bl,Cl),平面1的法向量為"=(〃2,bl,C2),設直線/與

平面a的夾角為仇則sin6=|cos〈。，〃〉|=華科.

(2)線面角的范圍為［0,2.

三、平面與平面的夾角

(1)設平面a,4的法向量分別為〃=(。3,bi,C3),V=(fl4,MC4),且平面a與平面P的夾

角為0,

貝Ucos6=|cos〈/，v>|=^|.

TT

(2)平面與平面的夾角的取值范圍為［0,2.

一、單選題

7T

1.(2024?湖北武漢?模擬預測)已知菱形ABC￡>,ZDAB=~,將4c沿對角線AC折

起，使以A3,CD四點為頂點的三棱錐體積最大，則異面直線A3與CD所成角的余弦值

為()

A.-B.且C.-D.B

5244

2.(2024?河南?模擬預測)為體現市民參與城市建設、共建共享公園城市的熱情，同時搭建

城市共建共享平臺，彰顯城市的發展溫度，某市在中心公園開放長椅贈送點位，接受市民

贈送的休閑長椅.其中觀景草坪上一架長椅因其造型簡單別致，頗受人們喜歡(如圖1).已

知和是圓。的兩條互相垂直的直徑，將平面A3C沿A3翻折至平面ABC,使得平

面ABC'_L平面ABD（如圖2）此時直線AB與平面C'BD所成角的正弦值為（）

圖1圖2

A.-B.走C.—D.B

3322

二、多選題

3.（2023?廣東深圳?二模）如圖，在矩形AEFC中，AE=2岳,EF=4,B為EF中點,現分

別沿42、BC^AABE,ABC尸翻折，使點從下重合，記為點尸，翻折后得到三棱錐P-

ABC,貝!!（）

A.三棱錐尸-ABC的體積為逑B.直線B4與直線BC所成角的余弦值為近

36

C.直線朋與平面PBC所成角的正弦值為;D.三棱錐P-ABC外接球的半徑為

A/22

2

4.（22-23高二上?山東德州?期中）如圖，已知正方體42a的棱長為2,點瓦廠

分別為棱的中點，^G=2B^（O<2<1）,則（）

A.無論4取何值，三棱錐C-EFG的體積始終為1

B.若彳=乎，則歷?西'=2+0

C.點2到平面石尸G的距離為姮

3

D.若異面直線所與AG所成的角的余弦值為電.則

2210

三、填空題

5.（2024?上海?高考真題）已知四棱柱A2CD-A4c2底面A3C。為平行四邊形,

M=3-BD=4^,AB^BC-AD^DC=5,則異面直線A4與BD的夾角余弦值為.

6.（2024?全國?模擬預測）在棱長為2的正方體ABCD-44G2中，動點N分別在棱

BC,AB±.,且滿足=當％.MNB,的體積最小時，4M與平面AMN所成角的正

弦值是.

四、解答題

7.（2024?湖北武漢?模擬預測）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。是平行四邊形,

PA=PB,DA=DB=&，AB=2,PD=1,點E,尸分別為AB和尸3的中點.

⑵若PE=1,求直線與平面尸所成角的正弦值.

8.（2021?全國?高考真題）在四棱錐。-ABC。中，底面ABCD是正方形，若

AD=2,QD=QA=s/5,QC=3.

Q

(1)證明：平面QA。_L平面ABCD；

(2)求二面角B-QO-A的平面角的余弦值.

【基礎保分訓練】

一、解答題

1.(23-24高三上?山東棗莊?期末)如圖，直四棱柱A2CZ)-A4G，的底面為平行四邊

形，加,"分別為4氏。。的中點.

(1)證明：DM〃平面ABN；

(2)若底面ABC。為矩形，AB=2AD=4,異面直線DM與4N所成角的余弦值為萼，求

用到平面ABN的距離.

2.(2024?天津?二模)如圖，ZM_L平面ABC,ABJ.AC,AD//CE,AB=AC=CE=1,

AD=2,“為AD的中點.

⑴證明：EMLBD；

⑵求平面DBC與平面ABC夾角的余弦值；

⑶設N是棱3c上的點，若硒與C。所成角的余弦值為手，求3N的長.

3.（2024?安徽合肥?二模）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形,

/BAD=60。,“是側棱PC的中點，側面PAD為正三角形，側面PAD底面ABC。.

（1）求三棱錐M-ABC的體積;

⑵求?與平面尸8C所成角的正弦值.

4.（2024?天津河東?一模）在正方體ABC。-AAG2中（如圖所示），邊長為2,連接

A。、BD

（1）證明：AG，平面48D；

⑵求平面ACD｝與平面\BD夾角的余弦值；

⑶底面正方形ABC。的內切圓上是否存在點P使得PB與平面A3。所成角的正弦值為

顯,若存在求尸，長度，若不存在說明理由.

3

5.（2024?天津?二模）如圖，在直三棱柱A3C-4月￡中，

AC1BGAC=BC=2,CQ=3,尸為與G的中點，點。，E分別在棱人4和棱CG上，且

AD=1,CE=2.

(1)求證：4尸〃平面3。￡；

(2)求平面ACG4與平面夾角的余弦值;

⑶求點4到平面的距離.

6.（2024?江蘇?一模）如圖，在四棱錐E-ABCD中，EC_L平面A5C。，DC1.BC,

AB//DC,DC=2AB=2,CB=CE,點P在棱8E上，且BF=gFE.

(1)證明：DE//平面A/C；

⑵當二面角P—AC—。為135。時，求CE.

7.(2024?天津河西?一模)已知三棱錐P-ABC中，E4_L平面ABC,ABJ.AC,

AB=2PA=2AC=4,N為A3上一點且滿足3麗=麗，M,S分別為PB,BC的中點.

⑴求證：CM1SN；

(2)求直線SN與平面CMN所成角的大小；

⑶求點P到平面CMN的距離.

8.（2024?重慶?模擬預測）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，R4,平面ABCD,四邊形

ABC。是矩形，PA=AD,過棱的中點E作EFLPC于點尸，連接AF.

P

(1)證明：PCLAF-,

⑵若CD=2AD=2,求平面AEF與平面R4B所成角的正弦值.

【能力提升訓練】

一、解答題

1.（22-23高三上?湖北?階段練習）如圖，在幾何體ABCDE中，底面ABC為以AC為斜邊的

等腰直角三角形.已知平面ABC_L平面ACD,平面ABC_L平面BCE,DE〃平面

ABC,AD工DE.

⑴證明：DE_L平面AC￡＞；

（2）若AC=2CD=2,設“為棱的的中點，求當幾何體ABCZ汨的體積取最大值時AM與

C。所成角的正切值.

2.（2024?天津薊州?模擬預測）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，己知棱AB,ARAP兩兩垂

直，長度分別為1，2,2,若反=之通，且向量正與前夾角的余弦值為史.

C

(1)求實數九值；

(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；

⑶求平面與平面PCD夾角的余弦值.

3.(2024?山東青島?一模)如圖，在三棱柱中，與8用的距離為名,

C

⑴證明:平面AiABBl1平面ABC；

(2)若點N在棱AC上，求直線AN與平面ABC所成角的正弦值的最大值.

4.(2024?山東濟南?二模)如圖，在四棱錐尸-ABCE＞中，四邊形為直角梯形，

ABB\CD,ZDAB=ZPCB=60°,CD=IAB=3,PC=2^,平面PCS_L平面ABC。，F為線

段BC的中點，E為線段PE上一點.

(1)證明：PF±AD；

(2)當E/為何值時，直線8E與平面抬。夾角的正弦值為立.

4

5.(2021?全國?高考真題)如圖，四棱錐尸-ABC。的底面是矩形，POJ_底面ABCZ),

PD=DC=1,“為BC的中點，且尸

R

（2）求二面角A-PM-3的正弦值.

6.（2024?遼寧葫蘆島?一模）如圖，S為圓錐頂點，。是圓錐底面圓的圓心，AB,CD是

長度為2的底面圓的兩條直徑，ABHCD=O,且SO=3,尸為母線S3上一點.

⑴求證：當P為跖中點時，SA〃平面PCD；

⑵若N4OC=60。，二面角尸―CD-3的余弦值為之叵，試確定尸點的位置.

21

7.（23-24高三上?江蘇淮安?期中）如圖，是半球。的直徑，"=4,M,N是底面半圓弧

AB上的兩個三等分點，尸是半球面上一點，且NPON=60。.

⑵若點P在底面圓內的射影恰在ON上,求直線尸田與平面皿所成角的正弦值.

8.（2024?河南信陽?模擬預測）如圖，在三棱錐尸-ABC中，A，綜G分別是側棱

尸APB,PC的中點，ABLBC,AC_L平面851clC.

(1)求證：平面平面AAG;

4

(2)如果/1^=4(7,42=8。=4,且三棱錐耳-ABC的體積為求二面角A-B4-C的

余弦值.

2025二輪復習專項訓練19

空間向量與空間角

［考情分析］高考必考內容，常以空間幾何體為載體考查空間角，是高考命題的重點，常與

空間線、面關系的證明相結合，熱點為平面與平面的夾角的求解，均以解答題的形式進行考

查，難度主要體現在建立空間直角坐標系和準確計算上.題目難度為中檔題.

【練前疑難講解】

一、異面直線所成的角

(1)設直線/,根的方向向量分別為a=(ai,bl,Cl),5=(。2,bl,c2),設/，根的夾角為仇

n，\a-b\_____++

I“仙I:屆+房+昂^星+4+萬,

(2)異面直線所成的角的范圍為(0,I.

二、直線與平面所成的角

(1)設直線/的方向向量為〃=(41,"，C1),平面1的法向量為"=(〃2,62,。2),設直線/與

平面a的夾角為仇貝1Jsin6=|cos〈Q,"〉1=瑞溫.

(2)線面角的范圍為［0,2.

三、平面與平面的夾角

(1)設平面a,。的法向量分別為"=(。3,t>3,C3),V=(a4,MC4),且平面a與平面P的夾

角為0,

貝Ucos6=|cos<//,v>尸琮^

TT

(2)平面與平面的夾角的取值范圍為［0,2.

一、單選題

JT

1.(2024?湖北武漢?模擬預測)已知菱形ABC3,ZDAB=~,將△D4C沿對角線AC折

起，使以A8,C,。四點為頂點的三棱錐體積最大，則異面直線A3與CD所成角的余弦值

為()

A.-B.且C.-D.B

5244

2.(2024?河南?模擬預測)為體現市民參與城市建設、共建共享公園城市的熱情，同時搭建

城市共建共享平臺，彰顯城市的發展溫度，某市在中心公園開放長椅贈送點位，接受市民

贈送的休閑長椅.其中觀景草坪上一架長椅因其造型簡單別致，頗受人們喜歡(如圖1).已

知AB和CO是圓。的兩條互相垂直的直徑，將平面ABC沿A3翻折至平面A8C',使得平

面ABC'，平面（如圖2）此時直線A3與平面C5Z）所成角的正弦值為（）

圖1圖2

AR6「叵

r\.1D.L.Ln/.^3

3322

二、多選題

3.（2023?廣東深圳,二模）如圖，在矩形AEFC中，AE=2*,EF=A,B為EF中點,現分

別沿A3、BC'^LABE,相叱翻折，使點E、/重合，記為點P,翻折后得到三棱錐P-

ABC,貝U()

A.三棱錐P-ABC的體積為逑B.直線B4與直線BC所成角的余弦值為自

36

C.直線物與平面P2C所成角的正弦值為;D.三棱錐尸-ABC外接球的半徑為

V22

~T

4.（22-23高二上?山東德州?期中）如圖，已知正方體ABC。-A耳G2的棱長為2,點瓦廠

分別為棱A8,AO的中點，^G=2^q（O<A<l）,貝|（）

A.無論4取何值，三棱錐C-EFG的體積始終為1

B.若彳=1,則西?西二2+及

4

C.點R到平面EFG的距離為姮

3

D.若異面直線成與AG所成的角的余弦值為姮.則彳=1

2210

三、填空題

5.（2024?上海?高考真題）已知四棱柱A8CD-AqGR底面ABC。為平行四邊形,

M=3-2。=4且鬲.弱-珂./=5,則異面直線AA|與BD的夾角余弦值為.

6.（2024?全國?模擬預測）在棱長為2的正方體ABC。-AqGR中，動點M,N分別在棱

BC,上，且滿足AN=R0,當％.”解的體積最小時，耳加與平面AMN所成角的正

弦值是.

7.（2024?湖北武漢?模擬預測）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形,

PA=PB,DA=DB=6，AB=2,PD=1,點、E,尸分別為AB和尸3的中點.

（1）證明：CFLPE；

（2）若PE=L求直線C廠與平面尸所成角的正弦值.

8.（2021?全國?高考真題）在四棱錐。-ABCO中，底面ABCD是正方形，若

AD=2,QD=QA=BQC=3.

(1)證明：平面QAD_L平面ABCD；

(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.

參考答案:

題號1234

答案CBBDAB

1.C

【分析】當三棱錐的體積最大時，平面ACD，平面A3C,以￡為原點，

而，床,而分別為龍,yz軸的正方向建立空間直角坐標系，求出向量荏，①的坐標，根據

向量夾角的坐標表示可解.

【詳解】記AC的中點分別為E,因為AD=CD,所以DESAC,

同理，BEVAC,記AB=2a,

因為=所以彳五)AC=BAC=-,

36

所以BE=DE=a,AE=CE=#)a,

TT

易知，當平面ACD,平面ABC時，三棱錐O-ABC的體積最大，此時/臺即二5，

以E為原點，麗，反，而分別為x，%z軸的正方向建立空間直角坐標系，

則4僅，-石a,0),B(a,0,0),C(0,也a,0),O(0,0,a)

所以AB—(a,CD=(0,—6。,。)，

所以cos(4§,?)=3a__j.,

'/x2a4

3

所以異面直線AB與8所成角的余弦值為4.

4

故選：C

2.B

【分析】根據給定條件，建立空間直角坐標系，利用空間向量求出線面角的正弦值.

【詳解】依題意，0cA而平面ABC，平面ABO,平面ABCQ平面

ABD=AB,

又OC'u平面ABC,O￡)u平面則OCU平面ABD,OD±OC,

因此直線OR05OC'兩兩垂直，以點。為原點，直線。ROBOC'分別為x,%z軸建立空間

直角坐標系，

令圓半徑OD=1,則0(0,0,0),"(1,0,0),8(0,1,0),C'(0,0,1),

OB=(0,1,0),5^=(0,-1,1),BD=(1,-1,O),設平面C'BD的一個法向量而=(x,%z),

n-BC=-y+z=Q_

則_-，令y=L得w=(1,1,1),設直線A8與平面C'B。所成的角為e,

n-BD=x-y=0

則sin6=|cos〈［OB)|==—,

\n\\OB\1x733

所以直線A3與平面CBD所成角的正弦值為且.

3

故選：B

3.BD

【分析】證明平面PAC,再根據VPTBCMLJAC即可判斷A；先利用余弦定理求出

cosZAPC,將起用玄，而表示，利用向量法求解即可判斷B；利用等體積法求出點A到

平面板C的距離d,再根據直線必與平面PBC所成角的正弦值為關即可判斷C；利用

正弦定理求出AMC的外接圓的半徑，再利用勾股定理求出外接球的半徑即可判斷D.

【詳解】由題意可得

又APcCP=P,AP,CP=P,AP,CPu平面PAC,

所以3尸，平面PAC,

22

在AR4c中，PA=PC=2^/3,AC邊上的高為26)|-2=20,

所以V-wc=%.PAC=gx；x4x2&x2=af,故A錯誤;

IT-?12+12-161

對于B,在"AC中，COSNAPC=Q百2卮父

8C=J12+4=4

PA-BCTA■(PC-7B)_PAPC-JPA-^B

cos(PA,BC)=

RR2V3X4—8V3

—_2_V_3_x2_V_3_x1—__V_3?

-8>/3-6

所以直線B4與直線BC所成角的余弦值為f,故B正確；

對于c,S“。BC=；PB.PC=2』，

設點A到平面PBC的距離為d,

由為"AC=%"BC，得工義26(1=巫,解得d=述,

333

4A/6

所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值為色=~272,故C錯誤;

PA一2白一3

由B選項知，cosZAPC=1,貝l|sinZAPC=迪，

33

]AC3

所以"UC的外接圓的半徑r=--.=-j=,

2sinZ.APCV2

設三棱錐P-ABC外接球的半徑為R,

又因為平面PAC,

則尺2=2+1=口，所以R=H,

[2}222

即三棱錐P-ABC外接球的半徑為叵，故D正確.

2

故選：BD.

4.AB

【分析】對于A,利用等體積法及棱錐的體積公式即可求解；

對于B,建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，利用空間向量的數量積公式即可求

解；

對于C,由B選項建立的空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，求出平面EFG的法向量，

再利用點到平面的距離公式即可求解；

對于D,由B選項建立的空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，求出直線所與AG的方向

向量，再利用向量的夾角與線線角的關系即可求解；

【詳解】對于A,因為正方體A8C。-ABIGR的棱長為2,點瓦廠分別為棱的中

點，

所以S的c=2x2-\xlxl+；x2xl+；x2xl]=：,

在正方體ABC。—A耳GA中，CCi，平面

入113

=

由等體積法知，V一：棱鏈C-EFG=V-S#G-EFC~,^AEFC'（--C}=—X—X2=l,

所以無論彳取何值，三棱錐C-EFG的體積始終為1,故A正確；

對于B,由題意可知，以。為坐標原點，建立空間直角坐標系&-型，如圖所示

因為正方體A8CL?-4瓦￡2的棱長為2,

所以3（2,2,0）,月（2,2,2）,￡（2,1,0）,Q（0,2,2）,D,（0,0,2）,

由4=孝，得而=亨麗\設G（x,2,2）,則

所以南=（無一2,0,0）,祠=（一2,0,0）,

所以。-2,0,0）=￥（-2,0,0）,所以1一2=孝義（一2）,解得.2-孝,

所以G2-1,2,2,

\7

所以函=一自」,2),西'=(一2,-2,2),

所以函?砌=]一*X(-2)+1X(-2)+2X2=2+V2,故B正確；

對于C,由B選項建立的空間直角坐標系知，￡(2,1,0),F(1,0,0),2(0,0,2),

設G(x,2,2),則麗=(x-2,0,0),*=(-2,0,0),^G=2^q(0</l<l),

所以(x—2,0,0)=2(—2,0,0),所以》一2=彳(一2),解得x=2-24,所以G(2—22,2,2),

所以坊=(—LTO),用=0—242,2),麻=(1,0,—2),,

設平面E尸G的法向量為〃=(%,y,z),則

nEF=0\-x-y=G-1-22

一，即外加一—八，令％=則尸T,z=—

n-FG=0〔(1一22)犬+2y+2z=02

一(—1—2?

所以〃=[l—

|印臼|2+2川

所以點2到平面EFG的距離為忖卜,+2彳：，

由于2無法確定，所以點2到平面EFG的距離無法確定，故C錯誤；

對于D,由B選項建立的空間直角坐標系知，￡(2,1,0),*1,0,0),4(2,0,0),5(2,2,0),

片(2,2,2),G(0,2,2),

設G(%2,2),則麗=(x-2,0,0),祐=(-2,0,0),麗=4跖，

所以(x—2,0,0)=2(—2,0,0),所以》一2=彳(一2),解得尤=2-24,所以G(2—22,2,2),

所以而=(一1,-1,0),而=(一242,2),

因為異面直線斯與AG所成的角的余弦值為巫，則

EFAG而Hn2A-27112..10

|cos<EF,AG>|=-

”，即r1~一~,斛得力;二或2-）（舍），故

EFAG22V2XV4A2+82237

D錯誤.

故選：AB.

5

5.—

12

【分析】將通1,也用不共面的向量通，麗■，前表示出來，從而得到

芭?前-羽?皮=5,然后由公式計算夾角余弦值即可.

【詳解】ABi=AB+A^,AD^=AD+AA^,

;.(AB+AA^-BC-^AD+AA^-DC=5,

ABBC+A^BC-AD；DC-A41-DC=5,

底面ABC。為平行四邊形，所以通.配=而?覺，

所以招?配一瓶?配=5,

福.麗=環西-砌=硒?布-麗?麗=麗.配-麗灰=5.

所以3例/~7~T*皿HH\=同同,BD=而5=55

故異面直線AA與BD的夾角的余弦值為:，，

故答案為：—

6.境

15

【分析】設AN=X(OWX42),結合等積法，可求出當七一MNB,的體積最小時，M,N分別

是所在棱的中點；法一，根據九一4slN二VB「AIMN>可求出點用到平面AMN的距離為兒結

合直線與平面所成角的集合法即可求解；法二，建立空間直角坐標系，應用向量法求解.

【詳解】設4V=x(OVxV2),則

SgMN=2x2-^x2x-^(2-x)x--x2(2-x)=2-^(2-x)x.

由等體積法，得

2

14141(2—x+x

VD-MNR=VB,-DMN=GX2XS*DMN=n(2-x)x>----1=1,

332

當且僅當2-x=x,即尤=1時，等號成立.

所以當/一MNB,的體積最小時，M,N分別是所在棱的中點.

方法一易知AN=B、M=小,4M=3,MN=5.由余弦定理，得

cosZ?VW=3+（后）產）=顯'所以sin/AMN=￥，

2x3x022

所以

設點名到平面上的距離為h.根據VM_A<BiN=VBI一AMN，

11134

^_X_X2X2X1=-X-X/Z,解得力=一.

32323

4

所以B.M與平面&NM所成角的正弦值為h_3_4^.

B、M7515

方法二以點。為原點，以ZM,DC,所在直線分別為無軸、、軸、z軸,

建立空間直角坐標系，

則N（2,l,o）,M（1,2,0）,A（2,0,2）,耳（2,2,2）.

所以加=（1,—1,0）,而=（一1,2,-2）,函=（1,0,2）.

設平面的法向量為元=（X,y,Z）,

n-MN=0,x-y=0,1

則<即令n=1,得y=i,Z-

n-\M=0,—x+2y2z—0.2,

則河=[1,1,g].設修加與平面AMV所成的角為e,

lxl+lx0+—x24^/5

.Z)—」彳6幾.WgL2

rn.isma=cosn,MB.1=-j

則同的22丁?

|p+12+Qjx712+0+2

故答案為：f

7.⑴證明見詳解;

【分析】（1）取PE的中點G,通過證明尸平面CDGb,再由線面垂直的性質定理即可

得到結果.

（2）建立空間直角坐標系，由空間向量求線面角的公式即可得到結果.

【詳解】（1）取PE的中點G,連接DG,尸G,

由。4=￡>8=友,48=2,易知AZMB為等腰直角三角形，

此時￡>E=1,又PD=1,所以尸ELDG.

因為上4=PB,所以PELAB,

由FG//EB,即BG〃AS,所以尸E_LFG,

此時，CD/MB〃尸G,有C2G,尸四點共面，FGC\DG=G,

所以尸E_L平面CDGF,又C/u平面CDGF,所以CF_LPE.

（2）由48，「￡,48_1。凡且尸石0。石=已所以48，平面尸￡見.

由PE=/汨=尸￡）=1,得△/￡>￡■為等邊三角形,

以E為原點，所在直線分別為x軸，y軸，過E且與平面A3CD垂直的直線為z

軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

（1IO

P0,-,^-,D（0,l,0）,B（l,0,0）,C（2,l,0）,F,

DP=0,--,^-,08=(1,-1,0),設平面P3D的法向量元=(x,y,z)

1c

n?DP=0廿『0,取z=L"("?』),

由1一，即

n-DB=0

x-y=0

釬（33⑹

又歹。=日'"一彳j,設直線CV與平面PBD所成角為6,

則sin0二河二產一旦又

H|n|-|FC|V7.q7'

所以直線CP與平面P3D所成角的正弦值為空.

7

2

8.（1）證明見解析；（2）

【分析】（1）取AO的中點為。，連接QO,C。，可證。。,平面ABCD,從而得到面

QA。_L面ABCD

（2）在平面ABC。內，過。作O77/CD,交BC于T,則OT_LA￡）,建如圖所示的空間坐

標系，求出平面QA。、平面2。。的法向量后可求二面角的余弦值.

【詳解】

Q

（1）取的中點為。，連接QO,CO.

因為0A=QD,OA=OD,則。。，仞,

l^AD=2,QA=y/5,故QO=^T=2.

在正方形A3CD中，因為45=2,故。0=1,故C0=石,

因為QC=3,^QC-=QO2+OC-,故AQOC為直角三角形且。OLOC,

因為OCn"）=。，故。。上平面ABC。，

因為QOu平面。A。，故平面QAZ5J■平面ABCD.

（2）在平面ABC。內，過。作O77/CD,交BC于T,則OT_LAD,

結合（工）中的。平面A5CD,故可建如圖所示的空間坐標系.

則￡＞（0,1,0）,（2（0,0,2）,B（2-l,0）,故的=（-2,l,2）,BD=（-2,2,0）.

設平面的法向量］=（x,y,z）,

n?BQ=0—2x+y+2z=0，取光貝!

則=1,Jy=l,z=g,

n-BD=0-2x+2y=0

故

而平面QA。的法向量為五=(1,0,0),故cos(幾”=尸=§.

2

2

二面角B-紗-A的平面角為銳角，故其余弦值為

【基礎保分訓練】

一、解答題

1.(23-24高三上?山東棗莊?期末)如圖，直四棱柱A2CZ)-A4GR的底面為平行四邊

形，加,"分別為4a。2的中點.

(1)證明：皿7〃平面ABN；

(2)若底面A3CZ)為矩形，AB=2AD=4,異面直線DM與4N所成角的余弦值為平，求

用到平面的距離.

2.（2024?天津?二模）如圖，ZM_L平面ABC,ABJ.AC,AD//CE,AB=AC^CE=i,

AD=2,M為AD的中點.

(1)證明：EM工BD；

(2)求平面DBC與平面ABC夾角的余弦值；

⑶設N是棱上的點，若EN與C。所成角的余弦值為回，求BN的長.

10

3.(2024?安徽合肥?二模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形,

/瓦10=60。,“是側棱PC的中點，側面上4。為正三角形，側面上4￡＞，底面ABCD.

⑴求三棱錐M-ABC的體積；

(2)求AM與平面尸BC所成角的正弦值.

4.(2024?天津河東?一模)在正方體4BCZ)-A與G，中(如圖所示)，邊長為2,連接

A。、A3、BD

(1)證明：，平面42。；

(2)求平面ACR與平面硬。夾角的余弦值;

⑶底面正方形ABCD的內切圓上是否存在點P使得尸3與平面42。所成角的正弦值為

生若存在求即長度，若不存在說明理由.

5.(2024?天津?二模)如圖，在直三棱柱ABC-4百￡中,

AC±BC,AC=BC=2,CCl=3,尸為的中點，點O,E分別在棱AA1和棱CQ上，且

(1)求證：AF〃平面應比；

⑵求平面ACC|A與平面3DE夾角的余弦值;

⑶求點A到平面的距離.

6.(2024?江蘇?一模)如圖，在四棱錐E—ABCD中，EC,平面ABCD,DC1BC,

ABHDC,DC=2AB=2,CB=CE,點P在棱防上，S.BF=-FE.

2

(1)證明：DE〃平面AFC；

(2)當二面角歹―AC-。為135。時，求CE.

7.(2024?天津河西?一模)已知三棱錐尸-ABC中，PA_L平面ABC,ABJ.AC,

AB=2PA=2AC=4,N為A3上一點且滿足3次=麗，M,S分別為尸3,BC的中點.

R

B

(1)求證：CM_LSN；

(2)求直線SN與平面CMN所成角的大小；

⑶求點P到平面CMN的距離.

8.(2024?重慶?模擬預測)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，平面ABCD,四邊形

ABCD是矩形，PA=AD,過棱的中點E作歷，PC于點尸，連接AF.

P

(1)證明：PC±AF；

⑵若CD=2">=2,求平面AEF與平面R4B所成角的正弦值.

參考答案：

L⑴證明見解析

(2)也

3

【分析】(1)通過證明。0平行于面內的一條直線，即可證明DM〃平面ABN；

(2)建立空間直角坐標系，設出AA的長并表達出各點坐標，利用異面直線DM與4N所

成角的余弦值得出4,4,N,求出平面A2N的一個法向量，即可得出耳到平面ABN的距

離.

【詳解】(1)連接4月，交4B于點E,連接NE,ME,

則E為AB的中點，

因為M為A3的中點，所以ME〃AA，且=

因為N為。R的中點，所以。N〃AVDNM/AA，

所以ME〃DN,且ME=DN,

所以四邊形EMZW為平行四邊形，

所以EN〃DM,

又因為DM＜Z平面ABV,ENu平面ABN,

所以DAf〃平面ABN.

(2)由題意(1)及幾何知識得，

在直四棱柱ABCZ)-中，AB=2AD=4,

A2,ADA4,兩兩垂直，以A為坐標原點，分別以4氏4。,招所在直線為x軸、＞軸、z軸建

立如圖所示的空間直角坐標系.

設朋=2々＞0）,則3（4,0,0）,0（0,2,0）,A（O,O2）,M（2,O,O）,N（O,2J）,

耳（4,02）,麗7=（2,-2,0）,柄=（0,2,T）,

設異面直線n似與AN所成角為6,則

|W-4/v|

畫?和百十（一2）2.百+55

解得：t=i,

故A（0,0,2）,N（0,2,1）,4（4,0,2）,

則凝=（4,0,—2）,而=（0,2,—1）,甌=（0,0,2）

設平面的一個法向量為元=（%,y,z）,

見到平面ABN的距離為d.

n=0,[4x—2z=0,

即C八取2=2,

Kn=0,[2y-z=0,

得力=（1,1,2）.

—庭詞|0xl+0xl+2x2|42A/6

同5/12+12+22A/63

即用到平面ABN的距離為友.

3

2.⑴證明見解析

⑶*

【分析】⑴建立坐標系，利用前.分0=0，即可證明￡M_L8￡＞；

（2）分別求得平面DBC與平面ABC的法向量，利用法向量即可求解;

（3）設戢=九胡，借助卜os兩網=得，求得2值，即可求解.

【詳解】（1）證明：因為ZM_L平面ABC,ABJ.AC,以A為原點，通為無軸，衣為'

軸，蒞為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：

由已知可得4(0,0,0),5(1,0,0,),C(0,l,0),0(0,0,2),E(0,l,l),

因為M為凡□的中點，所以M（0,0,l）,

所以或=（0,-1,0）,麗=（-1,0,2）,

所以而?或=0，

所以而_L麗，

所以

(2)BD=(-l,0,2),BC=(-l,l,0),

設平面DBC的法向量為=（x,y,z）,則

BDn=0即］\~一x++2尸z=00,令z=l得x=y=2,

BCn=0

所以為=（2,2,1）.

平面ABC的法向量須=(0,0,2),

設平面D3C與平面ABC夾角為6,

cos6=IcosAD,n|=—=—,

II2x33

所以平面￡>8C與平面ABC夾角的余弦值為;.

z\UUUULIU

(3)設N(x,y,z)且=(0W4W1),

(x—1,y,z)=/I(—1,1,0),貝ijx=l—X,>=幾，z=0,

所以N（l—Z40）,所以函=0_；UTT）,CD=（0,-1,2）,

所以卜os前,CD|=J：川=寥，

1175V222-4/l+310

化簡得4萬-16；1+7=0,

17

解得4=或丸=：(舍)，

22

因為3C=&，所以BN=等.

3.(1)|

(2)痘.

11

【分析】(1)作出輔助線，得到線線垂直，進而得到線面垂直，由中位線得到M到平面

ABC。的距離為且，進而由錐體體積公式求出答案；

2

(2)證明出BO_LAD,建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，進而由法向量的夾角

余弦值的絕對值求出線面角的正弦值.

【詳解】(1)如圖所示，取AD的中點。，連接尸O.

因為△PAD是正三角形，所以尸OLAD.

又因為平面_L底面ABCD,POu平面PAD,平面上4￡>c平面ABCD=AD,

所以平面ABC。，且PO=Q.

又因為〃是尸C的中點，M到平面ABCD的距離為正，

2

5AABc=1x2x2xsiny=^