專題2-2三次函數圖像與性質

近5年考情(2020-2024)

考題統計考點分析考點要求

考查頻率：三次函數圖像與性質的考查在近五年高考

年甲卷(文),

2024中保持一定頻率，尤其在新課標全國卷中較為常見。

第題分

16,5考點內容：主要考查三次函數的圖像特征(如中心對(1)理解三次函數的定義

稱性、開口方向)、單調性(通過導數分析)、極值域、值域和圖像特點。

2024年新高考I點(一階導數為零的點)以及圖像與性質的綜合應用。(2)掌握三次函數的導數

卷，第10題,6分題型分布：常以選擇題、填空題或解答題的形式出現，與單調性關系。

涉及三次函數的零點、最值、極值、單調區間等具體(3)判斷三次函數的極值

問題。點及其個數。

2024年新高考II難度變化：隨著高考改革的深入，對三次函數圖像與(4)探究三次函數圖像與x

卷，第11題,6分性質的考查更加注重學生的綜合分析能力和解題技軸的交點個數。

巧，難度可能略有提升。(5)熟練運用三次函數的

備考建議：考生應熟練掌握三次函數的基本性質，靈對稱中心性質。

2022年新高考I活運用導數工具進行分析，同時注重題目類型的多樣

卷，第10題,5分性和綜合應用能力的培養。

模塊一a熱點題型解讀(目錄)

【題型1】求三次函數的解析式

【題型2】三次函數的單調性問題

【題型3】三次函數的圖像

【題型4】三次函數的最值、極值問題

【題型5】三次函數的零點問題

【題型6】三次函數圖像，單調性，極值，最值綜合問題

【題型7】三次函數對稱中心

【題型8】三次函數的切線問題

【題型9】三次函數根與系數的關系

模塊二核心題型?舉一反三(講與練)

【題型1]求三次函數的解析式

核心?技巧

(1)一般式：/(x)=ax3+/?x2+cx+(i(〃/0)

(2)交點式：/(X)=。(工一%)。一々)(元一天)(4于0)

1.若三次函數/(%)滿足/(。)=0,/⑴=1,。(。)=34")=9,則〃3)=()

A.38B.171C.460D.965

【解析】待定系數法，求函數解析式

設/(x)=G^+bx2+cx+d,則/r(x)=3ov2+2Z?x+c,

〃。)="=0”10

f(\)=a-\-b+c+d=\b=-\2

由題意可得：?/(0)=c=3，解付,

c=3

[⑴=3a+2b+c=9d=0

貝1/(%)=10%3—12%2+3%,所以/(3)=10x33—12x32+3x3=171.

【題型2】三次函數的單調性問題

心?技心

三次函數是高中數學中的一個重要內容，其考點廣泛且深入，主要涉及函數的性質、圖像、最值、

零點以及與其他函數的綜合應用等方面。以下是對三次函數常見考點的詳細分析：

i.三次函數的定義與形式

?定義：j[x）=ax3+bx1+cx+d（其中a豐=0）的函數稱為三次函數。

?形式：注意系數a,b,c,d的作用，特別是。的正負決定了函數的開口方向（a>0開口向上，

a<0開口向下）。

2.函數的單調性

?導數應用：利用導數了（x）=3ax2+26x+c判斷函數的單調性。解不等式/（x）>0和了（尤）<0得到函

數的單調遞增和遞減區間。

?極值點：導數等于0的點（/（x）=0）可能是極值點，需結合單調性判斷是否為極大值或極小

值點。

2024?廣東茂名市?一模

2.(多選)若/'(x)=—gx3+gx2+2x+i是區間(機―1,加+4)上的單調函數，則實數m的值可

以是()

A.-4B.-3C.3D.4

【答案】CD

【詳解】由題意，+尤+2=—(%—2)(%+1),

令/'(x)>。，解得一lv%v2,令/'(x)v。，解得x<—1或x>2,

所以/(%)在(—1,2)上單調遞減，在(一8,—1),(2,+8)上單調遞減，

若函數/(X)=—3尤3+g犬2+2尤+1在區間(加一1,加+4)上單調，

rn—12—1_

則根+4<-1或加一122或《，,解得根<—5或機>3或加￡0,

m+4<2

即機<—5或切23.

【鞏固練習】三次函數/(%)=如3_元在(_00,+00)上是減函數，則加的取值范圍是()

A.m<0B.m<\C.m<0D.m￡1

【答案】A

【詳解】對函數/(%)=如？一無求導，得八%)=3加/_1

因為函數/(%)在(f0-00)上是減函數，則廣⑶(。在R上恒成立，

即3mx2-1W0恒成立，

當％2=0,即x=0時，3m：2一1工0恒成立；

當fwo,即xwO時，x2>0,則3根即3根W二,

x1%Jmin

因為二N0,所以3m<0,即mW0;

x

又因為當m=0時，/(x)=r不是三次函數，不滿足題意，

所以mv0.

【題型3】三次函數的圖像

/核心?技巧/

a>0a<0

A>0A<0A>0A<0

三次函數的定義域和值域均為Ro對于值域，可以借助極限的思想。根據函數的解析式可知，

影響其值域范圍的主要是“以3”這一項，因此可得：

當。>0時，X趨近于+co,則/㈤趨近于+co；X趨近于-CO,則/尤）趨近于-CO。

當O<0時，X趨近于+00,則#尤）趨近于-00；尤趨近于-CO,則趨近于+co。

又因為尤尤）是連續的函數，且XGR,所以仆）的值域為R。

由于三次函數的值域為R,則它的函數圖像與x軸至少有一個交點，換句話說三次方程至少有一個

根。

3.設。片0,若。為函數/（x）=a（尤-a）2（x-b）的極大值點，則（）

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【解析】數軸穿根法，根據解析式畫出圖象

若a=6,則/'（x）=為單調函數，無極值點，不符合題意，故〃b.

有。和6兩個不同零點，且在x=a左右附近是不變號，在x=6左右附近是變號的.依題意，a

為函數“X）=（x-b）的極大值點，在尤=。左右附近都是小于零的.

由圖可知人。，a>Q,故ab>a2.

綜上所述，曲>"成立.

4.（2024?全國一卷真題）（多選）設函數〃尤）=（尤-1）2（尤一4）,則（）

A.x=3是了⑴的極小值點B.當0<x<l時，/(x)</(x12)

C.當1cx<2時，-4</(2x-l)<0D.當一l<x<0時，/(2-x)>/(x)

【答案】ACD

【分析】求出函數/(x)的導數，得到極值點，即可判斷A；利用函數的單調性可判斷B；根據函數

“X)在(1,3)上的值域即可判斷C;直接作差可判斷D.

【詳解】對A,因為函數“X)的定義域為R,而「(%)=2(尤-1)(X-4)+(X-1)2=3(X-1)(X-3),

易知當xe(l,3)時，當或xw(3,+oo)時，/(%)>0

函數在(-8,1)上單調遞增，在(1,3)上單調遞減，在(3,+8)上單調遞增，故x=3是函數“X)的

極小值點，正確；

對B,當Ovxvl時，x-x?=x(l-x)>0,所以1>彳>尤2>0,

而由上可知，函數/⑺在(0,1)上單調遞增，所以/(不)>/■(/),錯誤；

對C,當l<x<2時，l<2x-l<3,而由上可知，函數在(1,3)上單調遞減，

所以/。)>/(2%一1)>/(3),即T</(2x_l)<0,正確；

對D,當_]<x<0時，/(2—X)—/(x)=(1—%)2(―2—X)—(%—1)2(%—4)=(x—1)-(2—2%)>0,

所以/(2-無)>/(x),正確

【鞏固練習1】(多選題)(2024?湖北武漢?模擬預測)設函數〃龍)=3/一2/+2彳，則下列結論正確

的是()

A.存在實數%使得/(%)=-(玄)B.方程〃力=3有唯一正實數解

C.方程=有唯一負實數解D.〃力=1有負實數解

【答案】ABC

【分析】求導，分析函數/(X)的圖象與性質，對個選項逐一驗證即可.

13

【詳解】因為=—2f+2%,(x)=—x2-4x+2.

13

由一丁—2x2+2x=—x2—4x+2=>x3—7x2+12x—4=0,

22

設九(%)=13一7%2+12%-4,因為函數定義域為(-a?,+8),且/i(0)=-4<0,/z(7)=80>0,

可知方程/z(力=0一定有實數根，故A正確；

由/'(%)>0n(%-2)(3%-2)>0=>x<§或％>2.

所以函數在(2,+8)上單調遞增，在[g,2)上單調遞減.

且/[1■)=柿為極大值，42)=0為極小值.

做出函數草圖如下:

產3

觀察圖象可知：方程〃x)=3有唯一正實數解，/(力=-1有唯一負實數解，

故BC正確；

又/(。)=。，結合函數的單調性，當x<。時，/(x)<0,所以/(x)=l無負實數解.故D錯誤.

故選：ABC

【鞏固練習2】(2024?全國甲卷(文)真題)曲線y=d-3x與y=-(x-l)~+。在(0,+8)上有兩個不同

的交點，則。的取值范圍為.

【答案】(一2,1)

【分析】將函數轉化為方程，令/一3_￥=-(％-1)2+。，分離參數。，構造新函數g(x)=V+X2-5X+1,

結合導數求得g(尤)單調區間，畫出大致圖形數形結合即可求解.

【詳解】令尤-3x=—(x—I)?，即a=/+/_5x+i,令g(x)=d-5x+l(x>。)，

貝"g'(x)=3x2+2x—5=(3x+5)(x-l),令g'(x)=0(x>0)得x=l,

當xe(0,l)時，g,(x)<0,g(x)單調遞減，

當xe(l,+8)時,g[x)>0,g(x)單調遞增，g(O)=l,g⑴=-2,

因為曲線y=丁-3x與y=-(x-l)2+a在(0,+(?)上有兩個不同的交點，

所以等價于與g(x)有兩個交點，所以a?-2,l).

【題型4】三次函數的最值、極值問題

核心癡

三次函數的極值與最值

極值：通過導數等于0找到可能的極值點，并判斷其類型(極大值或極小值)。

?最值：在閉區間上，最值可能出現在端點或極值點處。需比較這些點的函數值來確定全局最

值。

5.已知三次函數/Q)=g"3+。/+尤+。無極值，且滿足。+提V8,貝1］〃—〃=.

【答案】12

【解析】由題設/'(九)=奴2+2"+1,則A=4"2—4〃40,即〃

所以4+程2"+能'2』^=8,當且僅當“=^=4時等號成立，

又a+jyW8,故。+3=8,可得。=/=4,

所以八〃=16一4=12.

6.已知三次函數兀0=3工3—(4比一1)%2+(15祖2—2加-7)尤+2在定義域7?上無極值點，則機的取值

范圍是()

A.機<2或機>4B.機>2或加44

C.2<m<4D.2<m<4

【答案】C

【詳解】f(x)=x2-2(4m-l)x+15m2-2m-7,

由題意得導函數/(%)=/一2(4根一1)%+15病一2加一7無變號零點，

所以九2—2(4%一1)%+15m2-2加一7〉0恒成立，

...A=4(4/71-I)2-4(15m2-2m-7)=64m2-32m+4-60m2+8m+28=4(m2-6m+8)<0,

解得2K%K4

【鞏固練習1】已知三次函數〃x)=V+涼+6+2,其導函數為廣⑴，存在/￡(1,4),滿足

〃2v)=/?)=r⑺=0.記/("的極大值為則M的取值范圍是.

【答案】(0,32)

［解析］因為/(2_。=/?)=/'?)=0,

所以/是/(%)的零點也是極值點，2T也是“X)的零點，

不妨設/(%)=(x+/-2)(X—/)2,

故f'(x)—(x—方)2+2(x+1-2)(%—/)—(x—/)(X—t+2x+2t-4)=(%—%)(3x+.-4),

因為ZW(1,+8),所以—-—<t,

故當或時，f\x)>0,/(%)單調遞增，

當?<x<r時，/'(x)<0,/(x)單調遞減,

4-t

可得“X)的極大值/=/*5

32

因為fe(l,4),所以屋(0,32).

【鞏固練習2】(2024.全國?模擬預測)已知三次函數/(力=2/+加+6%+1的極小值點為b,極大

值點為北，則a+b等于()

A.4A/2B._4yli

C.±472D.±572

【答案】A

【解析】由題意，得/'(x)=6元?+2依+6,關于x的一元二次方程6%2+2依+6=0的兩根為6,2b,

又極小值點為b,極大值點為2b,所以2b<b,即/<0,

由韋達定理得到，3,所以匕=一注，a=-9b,得到4+匕=-助=4應.

2b2=12

【題型5】三次函數的零點問題

核心?技巧

三次方程f(幻=0的實根個數

設三次函數/(x)=ax3+bx2+cx+d{a^0)

其導函數為二次函數:尸(x)=3ax2+2bx+c(a力0),

⑵若加一3公>0,且/(須)"(％)>0,則f(x)=0恰有一個實根;

(3)若廿-3ac>0,且/(%)"(%)=0,則〃x)=0有兩個不相等的實根;

(4)若/一3ac>0,且/(占)"(馬)<。,則/(x)=0有三個不相等的實根.

說明:⑴（2）f（X）=0含有一個實根的充要條件是曲線y=/（X）與X軸只相交一次，即/（X）在R上為單

調函數（或兩極值同號），所以。2-3改＜0（或從-3。。＞0,且〃％）"%）〉。）;

（5）f（x）=0有兩個相異實根的充要條件是曲線y=f（x）與x軸有兩個公共點且其中之一為切點，所

以廿一3改＞0,且/。）"（%）=0；

（6）/（%）=0有三個不相等的實根的充要條件是曲線y=/（x）與%軸有三個公共點，即/（x）有一個極

大值，一個極小值，且兩極值異號.所以62一3"＞0且/（西）"（％）＜0.

7.（2023?全國?高考真題）函數〃了）=三+依+2存在3個零點，則。的取值范圍是（）

A.(-℃,-2)B.(^?,-3)C.(<-1)D.(-3,0)

【答案】B

【分析】寫出「00=3X2+。，并求出極值點，轉化為極大值大于0且極小值小于0即可.

【詳解】/（x）=%3+ax+2,貝|廣（了）=3x?+a,

若/'（x）要存在3個零點，則/（元）要存在極大值和極小值，則a＜0,

—Cl

故的極大值為,極小值為f

'—+2>0

!—，解得a<-3

若外力要存在3個零點，貝人即

舟<。

8.已知三次函數〃尤）有三個零點4，X”%，且在點（七,以％））處切線的斜率為左。=123）,則

111

——+—+—=

區k2k3，

【答案】0

【解析】令/（x）=〃（x-石）（1一%2）（%-%3），其中awO,花，4，W互不相等.

則—-%3）+（%—%）（了一%3）+（%—玉）（1—々）]-

1111111

——I--------1------=—++

(x1-x2)(x1-x3)(x2-x1)(x2-x3)(x3-x1)(x3-x2)

k[k2k3a

X]—玉+%3一再+再一X?Q

〃（國一兄2）（再一%3）（%2一%3）

9.已知加，"，peR,若三次函數/（力=彳3+儂2+?%+0有三個零點0,b,c,且滿足

3則：的取值范圍是（

1++’)

abc

AriI

-I"cD.

【答案】D

【解析】V/(-l)^/(l)<|,/(0)=/(2)>2

f-l+m-n+p—l+m+n+p(n+l=0

jp=8+4m+2〃+p'\2m+n+4=0

,3

f/l=3

得<2,代入得f(%)=丁一5%2一%+。，

n=-l~

a

/(O)>2

-1-----F1+p<—

?-22,解得2Vp<3,

p>2

設三次函數的零點式為/(^)=(.x-a)(x-b)(x-c),

比較系數得必+兒+ca=-l,abc=-p,

,111ab+be+ca1fl1

故一+工+―=---------=_￡—-

abcabcpI3?2)

【鞏固練習1】已知三次函數〃X）的零點從小到大依次為加，0,2,其圖象在x=-l處的切線/經過

點（2,0）,貝"加=（）

A.--B.-2C.--D.--

532

【答案】B

【解析】由題意可設-根-2）=。［%3一（m+2）/+2awo,

貝ij/'（%）=〃［3X2—2（機+2）%+2根］,

可得/（-1）=一3。（m+1）J'（-1）=<2（4m+7）,

即切點坐標為,切線斜率左=〃（4根+7）,

則切線方程為^+3^（m+l）=tz（4m+7）（x+l）,

代入點（2,0）得=3〃（4帆+7）,

且〃。0,得？n+l=4n?+7,解得m=—2.

32

【鞏固練習2】（2024?全國?一模）已知三次函數“好二力9+伉k+4X+2,^（x）=a2x+b2x+c2x+d

(?1?2N0),且f(x)有三個零點.若三次函數p(x)=3/(x)+g(元)和4(x)=/(x)-g(x)均為R上的單調函

數，且這兩個函數的導函數均有零點，則g(x)零點的個數為()

A.1個B.2個C.3個D.2個或3個

【答案】A

p(x)+式九)

fM=

【解析】由[PQ)=3/(x)+g(x)4

可得,

[q(x)=/(x)-g(x)p(x)-3q(x)

gM=

4

因為三次函數p(x)=3〃x)+g(x)和q(x)=/(x)-g(x)均為R上的單調函數，且這兩個函數的導函

數均有零點，

所以這兩個函數的導函數必為完全平方式，

設"(％)=叫(%—々J,/(%)="(%一%)2,

???/(X)有三個零點，."(X)不單調,即/'(X)必有兩個不相等的實數根,

:.m1m2<0,

==-3加2(x-〃2)1，且叫與-3外同號，二g'(x)不可能有兩

個不相等的實數根，故g("單調，

由于當X趨向于正無窮時，y=V趨向于正無窮的增長速率遠遠大于y=/和y=X趨向于正無窮的增

長速率；當x趨向于負無窮時，y=V趨向于負無窮的增長速率遠遠大于y=/趨向于正無窮和y=x

趨向于負無窮的增長速率；

故當x趨向于正無窮和負無窮時，三次函數兩側都趨向于無窮，且異號，

所以三次函數g(x)必有零點，故g(x)有唯一零點

12x+l|,x<l

【鞏固練習3］已知/。)=g(x)為三次函數，其圖象如圖所示.若y=/(g(x))-

log2(x-l),x>l

有9個零點，則加的取值范圍是.

【答案】0〈機<1

當me(-oo,0),y九與/(x)只有一個交點且xe(l,2)；

當〃?=0,?=利與/(X)有兩個交點且x=-g或x=2；

當me(0,3),，=帆與/(x)有三個交點且xe(-2,-g)u(-：,l)u(2,9)；

當me[3,-Foo),y=相與/(%)有兩個交點且％￡(—OO,—2]D[9,+OO)；

由題圖，要使，=g(x),>=/?)-根有9個零點，則根￡(0,3),re(m-3,m+2)且/(0=加有

-2<-5<G<1<2<亍3<9,

根據"X)解析式：==一m寸+1冉=m掾—1/=2"'+1,

_m+1.

m-3<-----<m+255

2——<m<—

33

_m-1_

綜上，m-3<---<m+2,可得，-5<m<5,故。<用<1

0<m<1

m-3<2w+l<m+2

0<m<3

0<m<3

【鞏固練習4］已知三次函數/(力=彳+辦2-3〃尤+6(。>0)有兩個零點，若方程尸"(創=。有四個

實數根，則實數。的范圍為()

D.住啕

【答案】C

【解析】/'(%)=x2+2ax-3a2(a>0)一定有兩零點。與一3。,所以只需/(%)=。或/(%)=-3。共有四

個根即可.結合了(%)有兩個零點，所以必有/(a)=0或/(-3a)=0.然后分兩種情況結合函數圖象討

論即可.由f\x)=x2+lax-3a2(4Z>0),貝"(尤)=。得元=〃或一3a

三次函數/(x)=]+加_3/x+6(“>0)有兩個零點，且程/'"(初=。有四個實數根,

所以只需/(尤)=。或f(尤)=-3a共有四個根即可，

/(?)=0/(a)<0

所以或<

/(-3?)>0^[/(-3?)=0-

又方程n/W]=0有四個實數根，則/(x)=。或/(%)=-3a共有四個根.

/(x)在(-oo,-3a),(a,+co)上單調遞增，在(-3a,a)單調遞減.

當〃〃)=0時，b=^a3,要滿足條件，作出函數的大致圖像.(如圖①)

則0<〃<f(—3〃),即一9dP+9〃3+9/H—/>a,解得〃>.

38

當/(-3。)=0,得6=-9/,要滿足條件，作出函數的大致圖像.(如圖②)

則/(a)<-3a<0,?p-a3+fl3-3a3-9a3<-3a,解得.>逑.

綜上所述，當時，方程/'"(x)]=。有四個實數根.

8

故選：C

【題型6】三次函數圖像，單調性，極值，最值綜合問題

10.(24-25高三上?云南?階段練習)(多選)已知函數/(力=爐—3x+2,則()

A.f(無)有兩個極值點

B.點(0,2)是曲線y=/(x)的對稱中心

C./(x)有三個零點

D.直線>=。是曲線y=/(x)的一條切線

【答案】ABD

【分析】根據極值點的定義可判斷A；由/z(x)=V-3x為奇函數，根據平移變換可判斷B；由“力

的單調性和最值可判斷C；利用導數的幾何意義可判斷D.

【詳解】由題意，/,(X)=3X2-3,令制x)>0得X>1或*<一1,令/'(力<0得一1<%<1,

所以〃x)在(1,小)上單調遞增，(T1)上單調遞減，

所以x=±l是極值點，故A正確；

令人(%)=一3無，該函數的定義域為R,/?(-力=(-x)3-(-3X)=-X3+3X=-/J(X),

則立(x)是奇函數,(0,0)是/z(x)的對稱中心,

將〃(x)的圖象向上移動兩個單位得到“X)的圖象，

所以點(0,2)是曲線y=/(x)的對稱中心，故B正確；

因為八-1)=4>0"(1)=0,/(-2)=。，所以，函數在(一8,—1)上有一個零點，

當尤>1時,/(x)>/(l)=0,即函數〃x)在(1,+8)上無零點，

綜上所述，函數/(元)有兩個零點，故C錯誤；

令可得x=±l,又/⑴=0,/(-1)=4,

當切點為(1,0)時，切線方程為y=。，當切點為(一1,4)時，切線方程為y=4,故D正確，

故選：ABD.

11.(多選題)(2024?全國?模擬預測)已知函數/(x—V+ovZ+bx+c下列結論中正確的是()

A.若尸(5)=0,則不是/⑺的極值點

B.3XO￡R,使得/(%)=()

C.若X。是“X)的極小值點，則/(X)在區間(-8,%)上單調遞減

D.函數>=/(x)的圖象是中心對稱圖形

【答案】BD

【分析】求出函數的導數，當A=4/-12b>0時，/'(幻=。有兩解，列表表示出導數值的正負以及函

數的單調情況，當A=4/_126V0時，f'(x)>0,即可判斷A,B,C;證明等式

/(一,T)+/(X)=2/(-?成立即可判斷D.

【詳解】A：因為/(x)=丁+以2+樂+。，所以/(工)=3/+2av+Z?,

當△=4/一126=0時，f'^>0,尸1_1]=0,則/(刈在R上單調遞增，毛=一]不是極值點，故A

錯誤;

B：由選項A的分析知，函數/(x)的值域為R,所以lXo￡R,使得〃%o)=O,故B正確；

C:由選項A的分析知，當A〉0時，/(%)在(-應石)上單調單調遞增，在(%,%)上單調遞減，

所以若/為/(%)的極小值點時，/(%)在(-8,不)上先遞增再遞減，故C錯誤；

D:/(———J;)+/(X)=(-——x)3+?(———%)2+/?(-——x)+c+x3+ov2+Z?x+c=—a3—^^+2c,

3333273

丁人a、.a、3/a、？】/a、2ab

而/(一.)=(-.)'+4(-a)-+6(一2)+°=方。3+C,

JJJJ4/J

貝u(-g-x)+/(x)=2/(-9)，

所以點P(-,,/(-§))為y=/(x)的對稱中心，即函數y=/(x)的圖象是中心對稱圖形，故D正確.

【鞏固練習1】函數〃尤)=加+/+6+〃(《,),。,〃€1<)的圖像如圖所示，貝iJa+6+c的取值范圍

是.

【答案】(一名0)

【分析】由圖可知/'(-1)=0,/'⑶=。，列式求解可得。、b、c的關系，再結合((0)<0可得.

【詳解】/z(x)=3ar2+2/zx+c,

由題圖可知，r(—i)=o,r(o)<o,八3)=o,

則/,(0)=c<0,/'(-l)=3a-2Z?+c=0...0,⑶=27〃+6Z?+c=0...②，

②-①得24a+8/?=0,即人=一3。.

3x①+②得3/r(-l)+f(3)=36〃+4c=0,貝寸c=-9a,

所以一9,<0,則a>0.

則a+b+c=a-3a-9a=-\1?<0,

所以a+b+c的取值范圍為：(一8,0)

故答案為：(-8,。).

【鞏固練習2】(23-24高三?廣東清遠?期末)(多選)已知函數/(%)=/—3X+4,%￡[0,2],則下列選

項中正確的是()

A.〃%）的值域為[2,6]

B./(x)在x=l處取得極小值為2

C.在［0,2］上是增函數

D.若方程/(x)=a有2個不同的根，則即［2,4］

【答案】AB

【分析】根據題意，求導可得尸(x),即可得到函數/(x)的單調性以及值域，即可判斷ABC,再結

合函數圖像即可判斷D

【詳解】因為函數/(幻=/-3尤+4,xe［0,2］,貝|/'(力=3尤2-3,

令/=即3--3=3(x+l)(x—1)=。，解得無=1或%=一1(舍)，

當xe(O,l)時，/'(x)<0,則函數單調遞減，

當xe(l,2)時,r(x)>0,則函數〃尤)單調遞增，故C錯誤；

則x=l時，函數有極小值即最小值，即=1-3+4=2,故B正確；

且〃。)=4,〃2)=8-6+4=6,則函數值域為［2,6］,故A正確；

由函數/(%)的單調性以及值域可得函數的大致圖像，如圖所示，

結合圖像可知，若方程有2個不同的根，則ae(2,4］,故D錯誤

【鞏固練習3】2024?金華聯考模擬(多選題)已知函數/(龍)=卜3一4尤+4(;^［0,3］),則()

A.函數/(x)在區間。2］上單調遞減

B.函數"X)在區間。3］上的最大值為1

C.函數73在點(1,7(1))處的切線方程為y=-3x+g

D.若關于x的方程/(x)=a在區間。3］上有兩解，則ae(一川

【答案】AC

【分析】利用導數分析函數f(x)的單調性，進而判斷AB選項；結合導數的幾何意義可判斷C選項;

畫出函數了(無)大致圖象，結合圖象即可判斷D選項.

1,

【詳解】因為/(x)=§d-4x+4,xe［0,3］,

所以f'(x)=x2-4=(x+2)(x-2),

令尸(x)>0,即x>2；令/(x)<0,即0Vx<2,

所以函數/(x)在區間。2］上單調遞減，在［2,3］上單調遞增，故A正確；

因為/'(0)=4,/(3)=1,

所以函數/(X)在區間［0,3］上的最大值為4,故B錯誤；

因為r(1)=一3,/(1)=1,

所以函數/(x)在點(1,/⑴)處的切線方程為y-；=-3(尤-1),

即\=-3彳+弓，故C正確；

要使方程f(x)=。在區間［0,3］上有兩解,

4

則一故D錯誤.

【題型7】三次函數對稱中心

核心?技巧

二階導數的零點即為對稱中心橫坐標，即/"(玉))=0則為函數了(無)的對稱中心

bb

設三次函數/'(尤)=公3+6無2+cx+d(。w0),則對稱中心是；(---,/(----))

3a3a

三次函數的對稱中心為(7,k),則〃r-x)+〃r+x)=2%

12.已知三次函數〃力=2/+加+6X+1的極小值點為6,極大值點為26,貝普+人等于()

A.4>歷B.一4應

C.土40D.±50

【答案】A

【詳解】由題意，得/'(%)=6/+2奴+6,關于x的一元二次方程6/+2辦+6=0的兩根為b,2b,

又極小值點為極大值點為助，所以2b<b,即6<0,

31)=-—萬

由韋達定理得到，3,所以b=-----,a=-9b,得到a+b=-8Z?=4忘.

2b2=12

13.人們在研究學習過程中，發現：三次整式函數/(%)都有對稱中心，其對稱中心為(％,/(%))(其

中尸'(勺))=。).已知函數/(%)=%3一3%2+4%+5.若/(㈤=4J(〃)=10,IJJlJm+n=()

3

A.1B.—C.2D.3

2

【答案】C

【解析】由題意得，/(%)=3%2_6x+4,/"(x)=6x—6,令/”(%)=0,解得：x=l,

所以函數/(%)的對稱中心為：(1,7),又/(叫+/(〃)=14,所以根+〃=2.

14.已知一元三次函數對稱中心的橫坐標為其二階導函數的零點.若/(%)=/_3Y+3X+1,則

A.0B.4C.2-6D.2+血

44

【答案】B

【解析】二級結論：三次函數對稱中心的橫坐標是其二階導數的零點。由題，

f\x)=3x2-6x+3,f\x)=6x-6,故二階導函數的零點為x=l,即對稱中心的橫坐標為1,

設對稱中心為(1,b),則/'(x)=26-/(2—彳)，可解得6=2,

15.(2024?全國2卷?高考真題)(多選)設函數/(x)=2尤3-3辦2+1,則()

A.當。>1時，有三個零點

B.當。<0時，x=0是/⑴的極大值點

C.存在a,b,使得x=b為曲線y=/(x)的對稱軸

D.存在a,使得點⑴)為曲線y=/(x)的對稱中心

【答案】AD

【分析】A選項，先分析出函數的極值點為x=0,x=a,根據零點存在定理和極值的符號判斷出/(%)在

(-1,0),(0,a),(a,2a)上各有一個零點；B選項，根據極值和導函數符號的關系進行分析；C選項，假

設存在這樣的a,b,使得x=b為/(x)的對稱軸，則/(x)=/(28-x)為恒等式，據此計算判斷；D選

項，若存在這樣的。，使得(l,3-3a)為/(x)的對稱中心，則/(x)+/(2-尤)=6-6"，據此進行計算

判斷，亦可利用拐點結論直接求解.

【詳解】A選項，f(x)=6x2-6ax=f>x{x-a),由于a>l,

故xe(r?,0)5a,+co)時f'(x)>0,故/(X)在(一8,0),(a,+e)上單調遞增，

xe(0,a)時，—(無)<0,/(X)單調遞減，

則/(元)在x=0處取到極大值，在尤=。處取到極小值，

由/(0)=1>0,/(a)=l-a3<0,則/(0)/(。)<0,

根據零點存在定理/(X)在(0,。)上有一個零點，

又/(-1)=-l-3a<。，/(2。)=4/+1>0,則/(—1)/(0)<0"(a)/(2a)<0,

則/(X)在(-1,0),(a,2a)上各有一個零點，于是。>1時，/(X)有三個零點，A選項正確；

B選項，/'(x)=6x(x-a),0<0時，%e(t?,0),/,(%)<0,了(無)單調遞減，

xe(0,+oo)時/'(尤)>0,/(X)單調遞增，

此時/(x)在x=0處取到極小值，B選項錯誤；

C選項，假設存在這樣的a,b,使得x=b為/'(x)的對稱軸，

即存在這樣的a,b使得f(x)=f(2b-x),

即2x3-3ax2+1=2(26-x)3-3aQb-%)2+l,

根據二項式定理，等式右邊(26-4展開式含有d的項為2C；(2b)°(r)3=_2V,

于是等式左右兩邊V的系數都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在這樣的6,使得x=b為了(X)的對稱軸，C選項錯誤；

D選項，

方法一：利用對稱中心的表達式化簡

/(l)=3-3a,若存在這樣的a,使得(1,3-3a)為/(x)的對稱中心，

則/(x)+/(2-x)=6-6a,事實上，

/(x)+/(2-x)=2%3-3ax2+1+2(2-%)3-3a(2-x)2+l=(12-6a)%2+(12a-24)%+18-12a,

于是6-6a=(12-6a)x2+(12。-24)x+18-12a

12-6a=0

即112a-24=0,解得a=2,即存在口=2使得(1J⑴)是了。)的對稱中心，D選項正確.

18-12〃=6-6a

方法二：直接利用拐點結論

任何三次函數都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導數的零點，

f(x)=2x3-3ax2+1,f\x)=6x2-6ax,fn(x)=12x-6a,

由f"(x)=0OX=/于是該三次函數的對稱中心為[,U],

由題意(1J⑴)也是對稱中心，故曰=loa=2,

即存在a=2使得(1,/(D)是f(x)的對稱中心，D選項正確.

故選：AD

16.對于三次函數/(力=加+涼+s+d("0),給出定義：尸(力是函數y=/(x)的導數,尸(x)

是函數/(無)的導數，若方程/(X)=o有實數解%,貝麻&,/(5))為函數y=f(x)的“拐點”.

某同學經探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”

04Q

就是對稱中心.若函數〃尤)=彳尤3-尤2_12尤+則下列說法正確的是()

3o

A.的極大值為1號47

O

B./(x)有且僅有2個零點

C.點是〃X)的對稱中心

D.羨H〔壺卜［壺卜?/器］=4046

【答案】ACD

【分析】求得/'(x)=2(x-3)(x+2),得出函數單調性，結合極值的概念，可判定A正確；根據極大

值為