專題15立體幾何綜合解答題型系統化歸類與解析

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

m占nt口馬囪.田攤己I白?rq

03知識梳理?方法技巧............................................................4

04真題研析?精準預測............................................................5

05核心精講?題型突破............................................................9

題型一：非常規空間幾何體為載體9

題型二：立體幾何探索性問題11

題型三：立體幾何折疊問題13

題型四：立體幾何作圖問題15

題型五：立體幾何建系繁瑣問題18

題型六：兩角相等（構造全等）的立體幾何問題20

題型七：利用傳統方法找幾何關系建系22

題型八：空間中的點不好求24

重難點突破：新定義問題26

差情;奏汨?日標旦祐

空間向量是坐標化空間幾何問題的有效工具，且經常作為考試的重點內容。立體幾何解答題通常采用

論證推理與計算相結合的方式，以特定的空間幾何體為基礎，逐步設問，難度逐層遞進。解決這類題目的

基本步驟是建立坐標系、確定點的坐標、進行坐標運算，最后得出幾何結論。空間向量作為求解空間角的

得力助手，常在解答題中出現，其難度屬于中等水平。

考點要求目標要求考題統計考情分析

2024年II卷第17題，15分2025年高考預測中，

掌握三類角的概2023年H卷第20題，12分空間向量與立體幾何仍將

線線角、二面角、線面

念，提升空間推理2023年北京卷第16題，13分

角是重點考查內容，且多以

能力。2022年I卷第19題，12分

解答題的形式呈現。具體

2021年II卷第19題，12分

來說，考試將著重測試以

掌握距離概念，熟

2024年天津卷第17題,15分2023下知識點：距離問題，包

距離問題練進行距離計算

年天津卷第17題，15分括點'線、面之間的各種

與轉化。

距離；異面直線夾角、線

掌握體積公式，準2023年乙卷第19題，12分面角以及二面角的理解和

體積問題確求解幾何體體2022年乙卷第18題，12分計算。在解答題中，第一

積。年上海卷第題，分

20211714小題將主要考查線線、線

面、面面垂直的判定定理

2024年I卷第17題，15分及性質，而第二小題則將

培養空間思維，解2023年I卷第18題，12分

重點放在利用空間向量來

探索性問題決探索性幾何問2021年甲卷第19題，12分

計算線面角或二面角上，

題。2021年I卷第20題，12分

整體難度定位為中等水

2021年北京卷第17題，14分

平。

〃用識導圖?思維引航\\

㈤3

1、用綜合法求空間角的基本數學思想主要是轉化與化歸，即把空間角轉化為平面角，進而轉化為三角

形的內角，然后通過解三角形求得.求解的一般步驟為：

（1）作圖：作出空間角的平面角.

（2）證明：證明所給圖形是符合題設要求的.

（3）計算：在證明的基礎上計算得出結果.

簡稱：一作、二證、三算.

2、用定義作異面直線所成角的方法是“平移轉化法”，可固定一條，平移另一條；或兩條同時平移到某

個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上.

3、求直線與平面所成角的常見方法

（1）作角法：作出斜線、垂線、斜線在平面上的射影組成的直角三角形，根據條件求出斜線與射影所

成的角即為所求.

（2）等積法：公式sin。=M，其中。是斜線與平面所成的角，耳是垂線段的長，是斜線段的長，其中

求出垂線段的長（即斜線上的點到面的距離）既是關鍵又是難點，為此可構造三棱錐，利用等體積法來求

垂線段的長.

（3）證垂法：通過證明線面垂直得到線面角為90。.

4、作二面角的平面角常有三種方法

（1）棱上一點雙垂線法：在棱上任取一點，過這點分別在兩個面內作垂直于棱的射線，這兩條射線所

成的角，就是二面角的平面角.

（2）面上一點三垂線法：自二面角的一個面上一點向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的

點（即垂足），斜足與面上一點連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角.

（3）空間一點垂面法：自空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就

是二面角的平面角.

0

心真題砒標?精御皿\\

1.(2024年北京高考數學真題)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，BC//AD,AB=BC=1,AD=3,點E在AD

上，且尸PE=DE=2.

Bc

(1)若尸為線段PE中點，求證：BF〃平面PCD.

(2)若AB_L平面PAD,求平面上鉆與平面PCD夾角的余弦值.

2.(2024年高考全國甲卷數學(理)真題)如圖，在以A,B,C,D,E,尸為頂點的五面體中，四邊形A8CD

與四邊形ADEP均為等腰梯形，EF//AD,BC//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=MFB=20M

為AD的中點.

F________E

⑴證明：血///平面05號

(2)求二面角廠-BM-E的正弦值.

3.(2024年天津高考數學真題)如圖，在四棱柱ABCD-4由￡2中，A4，平面ABCD,AB1AD,AB//DC,

AB=AAl=2,AD=DC=l.分別為OR,4G的中點,

⑴求證：RN〃平面C瓦〃；

(2)求平面與平面BBCC夾角余弦值;

(3)求點B到平面CB.M的距離.

4.（2024年新課標全國H卷數學真題）如圖，平面四邊形ABCZ）中，AB=8,CD=3,AD=5若，NADC=90°,

__k2___k

NR4￡>=30°,點E,F^S,AE=jAD,AF=-AB,將△AEF沿EP翻折至！PEF,使得尸C=46.

(1)證明：EFYPD-.

(2)求平面PCD與平面P8F所成的二面角的正弦值.

5.(2024年新課標全國I卷數學真題)如圖，四棱錐P-ABCD中，24,底面ABC。，PA=AC=2,

BC=I,AB=6

p

B

(1)若A。，依，證明：A。〃平面尸5C；

(2)若ADLOC,且二面角A-CP-。的正弦值為叵，求AD.

7

6.(2023年高考全國乙卷數學(理)真題)如圖，在三棱錐尸-ABC中，AB±BC,AB=2,BC=2近，

PB=PC=y[6,BP,AP,BC的中點分別為。，E,O,AD=同0,點尸在AC上，BFLAO.

(1)證明：EF〃平面AD。；

(2)證明：平面ADO平面BEP；

(3)求二面角。-AO-C的正弦值.

7.(2023年新課標全國I卷數學真題)如圖，在正四棱柱48co中，A8=2,明=4.點4，星,02

分別在棱AA，B耳,CG,「2上，AA2=l,BB2=DD2=2,CC2=3.

(1)證明：32c2〃4。2；

(2)點尸在棱2瓦上，當二面角尸-4c2為150。時，求星P.

8.(2023年新課標全國II卷數學真題)如圖，三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC,BDLCD,

(1)證明：BC±DA；

(2)點尸滿足瓦?=麗，求二面角尸的正弦值.

題型一：非常規空間幾何體為載體

【典例1-1】如圖，s是圓錐的頂點，。是圓錐底面圓心，AB,C。是底面圓。的兩條直徑，點E在S3上,

AB=近CE=ODE.

⑴求證：AB1CD；

(2)若E為S3的中點，求二面角A-CE-D的余弦值.

【典例1-2](24-25高三上?浙江?期中)如圖，四邊形ABC。為圓臺。02的軸截面，AB=2CD,圓臺的母

線與底面所成的角為60。，母線長為2,P是弧AS上的點，CP=a,E為"的中點.

(1)證明：DE//平面2CP；

(2)求平面ACP與平面BCP夾角的余弦值.

巧

關鍵找出三條兩兩互相垂直的直線建立空間直角坐標系.

【變式1-1](2022.安徽黃山?二模)如圖，側面BCQBI水平放置的正三棱臺ABC-4瓦G,AB=2人4=4,

且側棱長為x/L

⑴求證：44,平面BCC4；

(2)求二面角B-AB.-C的余弦值.

命題預測

1.如圖，弧AEC是半徑為。的半圓，AC為直徑，點E為弧AC的中點，點8和點C為線段AD的三等分

點，平面AEC外點/滿足尸8==,FE=46a：

E

⑴證明：EB±FD；

(2)已知點Q,R為線段尸石,尸8上的點，^FQ=AFE,FR=AFB,求當也＞最短時，平面由汨和平面

所成二面角的正弦值.

題型二：立體幾何探索性問題

【典例2-1】如圖，正三棱柱A2C-AB]G中，48=；然=2,點同為A瓦的中點.

(1)證明：平面8MG，平面①片8

B.Q

⑵在棱2印上是否存在點0,使得AQ1平面若存在’求出涼的值；若不存在‘請說明理由.

【典例2-2](24-25高三上?上海?期中)如圖，尸為圓錐的頂點，。為圓錐底面的圓心，AC為底面直徑，AABD

為底面圓。的內接正三角形，點E為母線尸C的中點，尸為AC上一點，且平面ABD,AB=2EF=3.

p

(1)求直線尸。與平面ABE所成角的正弦值；

(2)在線段O尸上是否存在一點Af,使得二面角為直二面角？若存在，確定點M的位置；若不存

在，請說明理由.

與空間向量有關的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關系；另一類是探究線面角或二面

角滿足特定要求時的存在性問題.處理原則：先建立空間直角坐標系，引入參數(有些是題中已給出)，設

出關鍵點的坐標，然后探究這樣的點是否存在，或參數是否滿足要求，從而作出判斷.

【變式2-1］如圖，在四棱錐S-ABC。中，底面ABCD是直角梯形，側棱SAL底面ABC。，AB±AD,ABLBC,

SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱S3的中點.

(2)求異面直線SD與CM所成角的余弦值；

(3)在線段C。上是否存在一點N,使得直線3N和平面SCD所成角為Ji:？若存在，求出C卷N的值；若不存

在，說明理由.

命題預測T

1.如圖1,在VABC中，D,E分別為AB,AC的中點，AB=AC=2s/5,BC=4.將VADE沿DE折起到

△ADE的位置，使得AC=2粗，如圖2.

(1)求證：平面AQE_L平面BCED；

⑵線段AC上是否存在點尸,使得直線。廠和2C所成角的余弦值為"？若存在’求出養的值；若不存

在，說明理由.

題型三：立體幾何折疊問題

7

【典例3-1】如圖，在矩形ABCD中，點瓦/分別在線段上，隹=￡?=”=:a=4.沿直線石尸將

△AEF翻折成△AEF,使平面4EF_L平面BEF.

(2)求二面角4-￡0-。的余弦值;

(3)點M,N分別在線段FD、3c上，若沿直線"N將四邊形MNCD向上翻折，使C與4重合，求線段

的長.

【典例3-2】如圖1,菱形ABCD的邊長為4,ZBAD=60°,E是C。的中點，將ABCE沿著3E翻折，使點

C到點P處，連接以,PQ,得到如圖2所示的四棱錐尸-ABED.

⑴證明：BELPD；

(2)當PA=2歷時，求平面尸3D與平面PBE的夾角的正弦值.

1、處理圖形翻折問題的關鍵是理清翻折前后長度和角度哪些發生改變，哪些保持不變.

2、把空間幾何問題轉化為平面幾何問題，把握圖形之間的關系，感悟數學本質.

【變式3-1］在平面四邊形ASCD中，ZADC=60°,AD=CD=45AB=BC=4,將AMC沿AC翻折

至△上4C,得到如圖所示的三棱錐尸-ACD.

⑴證明：AC±PD；

(2)當三棱錐尸-ACD的體積為12時，求二面角C-PD-A的余弦值.

命題預測

1.如圖，在平行四邊形ABCD中，A8=28C=2,/ABC=60'E為CD的中點，沿AE將AD4E翻折至△/海

位置得到四棱錐P-ABCE,F為PB上一動點.

(1)若尸為尸3的中點，證明：在翻折過程中均有CR〃平面皿；

(2)若PB=2,①證明：平面尸平面ABCE；

②記四棱錐尸-ABCE的體積為匕，三棱錐尸-ABC的體積為匕，若匕=3%,求點尸到平面PCE的距離.

題型四：立體幾何作圖問題

【典例4-1］如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面A8C。，底面為梯形，AB//CD,ZBAD=60°,

AD=AB=2,CD=4.

(1)在側面PBC中能否作出一條線段，使其與平行？如果能，請寫出作圖過程并給出證明；如果不能,

請說明理由；

(2)若四棱錐尸-ABCD的體積是，求直線8P與平面尸。所成角的大小.

【典例4-2](23-24高三上.河北承德?期中)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD是正方形，O,E,F分

別是8Q,PA,BC的中點.

⑴證明：OE7/平面尸3C；

PH

⑵若平面a經過點尸,2E,且與棱尸8交于點H.請作圖畫出H在棱RB上的位置，并求出的值.

(1)利用公理和定理作截面圖

(2)利用直線與平面平行的性質定理作平行線

(3)利用平面與平面垂直作平面的垂線

【變式4-1]如圖，已知底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，平面MNG”與直線網和直線AC平行,

點E為尸。的中點，點尸在CO上，且止：FC=1:2.

R

(1)求證：四邊形MNG"是平行四邊形；

(2)求作過EF作四棱錐尸-ABCZ)的截面，使尸3與截面平行(寫出作圖過程，不要求證明).截面的定義:

用一個平面去截一個幾何體，平面與幾何體的表面的交線圍成的平面圖形.

命題預測

1.在四棱錐P-ABCD中，底面A5CD為直角梯形，CDHAB,ZABC=90°,AB=2CD,三棱錐3-PCD

的體積為述，平面尸AD與平面尸8c的交線為/.

3

(1)求四棱錐P-ABCD的體積，并在答卷上畫出交線/(注意保留作圖痕跡);

(2)若AB=23C=4,PA=PD,且平面上M)_L平面A3CD,在/上是否存在點N,使平面PDC與平面DCN

所成角的余弦值為理？若存在，求PN的長度；若不存在，請說明理由.

3

題型五：立體幾何建系繁瑣問題

【典例5-1】如圖，已知三棱柱ABC-A與G的底面是正三角形，側面8瓦C。是矩形，MN分別為BC出G

的中點，尸為AM上一點，過B￡和尸的平面交于￡,交AC于P.

二彳C

B

(1)證明：平面\AMN1EBgF；

(2)設。為△AB。的中心，若AO〃平面防。F，且AO=A8,求直線與平面A.AMN所成角的正弦

值.

【典例5-2】《九章算術》是中國古代的一部數學專著，是《算經十書》中最重要的一部，成于公元一世紀

左右.它是一本綜合性的歷史著作，是當時世界上最簡練有效的應用數學，它的出現標志著中國古代數學形

成了完整的體系.《九章算術》中將由四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉腌”，已知在三棱錐尸-MC中，

PA_L平面A3C.

C

(1)從三棱錐尸-MC中選擇合適的兩條棱填空：1，則三棱錐尸-ABC為“鱉席”;

(2)如圖，已知AD_LPB,垂足為O,AE±PC,垂足為E,ZABC=90°.

(i)證明：平面ADE_L平面PAC；

(ii)設平面ADE與平面ABC交線為/,若PA=26,AC=2,求二面角E-/-C的大小.

利用傳統方法解決

【變式5-1］如圖,在三棱柱ABC-^Q中，底面是邊長為2的正三角形，側棱長為a,ZA.AB=jAC=45。,

平行于AA,和8G的平面分別與AB,AC,AG，A瑪交于D,E,F,G四點.

(1)證明：四邊形DEPG是矩形；

(2)求三棱錐A-ABC的體積(用含。的式子表示);

(3)當實數a變化時，求直線BG與平面ABC所成角的正弦值的取值范圍.

:---------------------。■

I命題預測J

1.四面體O4BC,ZAOB=ZBOC=ZCOA=60°,|O/lj=1,|OB\=2,\OC\=4.

(1)求VA3C的面積；

(2)求OC與平面A3C所成角的正弦值；

(3)求四面體OABC的外接球半徑.

題型六：兩角相等(構造全等)的立體幾何問題

【典例6-1】(2018?廣西桂林?二模)如圖，四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為邊長是2的正方形，E,G

分別是CO,AF的中點，AF=4,ZFAE=ZBAE,且二面角尸—AE—3的大小為90。.

G//DE

(1)求證：AEYBG-,

(2)求二面角B-AT-E的余弦值.

【典例6-2】如圖，在三棱錐A-8CD中,VA3C是等邊三角形,N54D=N3CD=90。,點P是AC的中點，連接

BP,DP.

C

(1)證明:平面ACD_L平面BDP;

(2)若8。=布,且二面角A-BD-C為120。,求直線AO與平面BCD所成角的正弦值.

國

構造垂直的全等關系

【變式6-1］如圖，在四面體A3CD中，已知NABr>=NCSZ)=60。，AB=BC=2,

⑴求證：ACJ.BD；

(2)若平面平面C3D,且8。=|,求二面角C-AD-3的余弦值.

命題預測J

1.如圖，四棱錐E-ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，ZDAE=ZBAE=45°,DAB=60°.

B

(1)證明：平面ADE_L平面/WE；

(2)當直線OE與平面W所成的角為30。時，求平面DCE與平面ABE所成銳二面角的余弦值.

題型七：利用傳統方法找幾何關系建系

【典例7-1](24-25高三上?河北衡水?期中)如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形,E,F分別為PA,

尸C的中點，且平面尸3￡>_L平面

(1)證明：PA=PC；

⑵若PB=6PD,當四棱錐P-ABCD的體積最大時，求平面與平面的夾角的余弦值.

【典例7-2】四棱錐中，底面ABCD為等腰梯形，AB=2BC=2CD=4,側面尸AD為正三角形;

(1)當血，尸D時，線段PB上是否存在一點Q,使得直線AQ與平面ABCD所成角的正弦值為正？若存在,

4

求出胃的值；若不存在，請說明理由.

⑵當尸。與平面5CD所成角最大時，求三棱錐P-BCD的外接球的體積.

利用傳統方法證明關系，然后通過幾何關系建坐標系.

【變式7-1］如圖，尸為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，AC為底面直徑，為底面圓。的內接正

三角形，且的邊長為6，點E在母線PC上，且AE=g,CE=l.

(1)求證：直線尸。〃平面3DE；

(2)若點M為線段PO上的動點，當直線加與平面ABE所成角的正弦值最大時，求此時點加到平面加狙的

距離.

命題預測:I

1.在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCZXAB歷的邊長都是1,且它們所在的平面互相垂直,

活動彈子〃、N分別在正方形對角線AC和環上移動，且CM和2N的長度保持相等，記

CM=BN=a(Q<a〈吟.

(1)證明：平面CBE；

(2)當“為何值時，的長最小并求出最小值;

(3)當MN的長最小時，求平面肱\%與平面腦VB夾角的余弦值.

題型八：空間中的點不好求

【典例8-1】如圖，在斜三棱柱ABC-4耳。中，VA3C是邊長為2的等邊三角形，側面BCC4為菱形,

(1)求證：耳

(2)若尸為側棱8用上(包含端點)一動點，求直線PG與平面ACC0所成角的正弦值的取值范圍.

【典例8-2】如圖，在平行六面體ABCD-ABCQI中，底面A38是矩形,

點、E,尸分別為AB,CG，的中點，且布?(豆+春)=0.

(1)證明：平面AEP，平面ABCD；

(2)若AB=2,直線AA與平面ABC1所成角的正弦值為述，求AO的長度.

巧

方程組思想

【變式8-1］如圖，在四棱錐P-ABS中，ZABC=ZBAD=90°,BC=2AD=2g,4皿與△PAD均為

正三角形.

⑴證明：AZ)〃平面尸BC.

(2)證明：P3_L平面尸CD.

(3)設平面R4Bc平面尸CO=/],平面RLDc平面PBC=，2，若直線4與4確定的平面為平面a,線段AC的

中點為N,求點N到平面a的距離.

1.如圖五面體ABCDE中，四邊形A5DE是菱形，VA3C是以角A為頂角的等腰直角三角形，點U為棱AB

的中點，點N為棱C。的中點

E

ND

B

⑴求證：BN〃平面MC￡

（2）若點E在平面ABC的射影恰好是棱3C的中點，點尸是線段ME上的一點且滿足礪=；而?,求平面9Vp

與平面ABC所成角的余弦值.

重難點突破：新定義問題

【典例9-1】離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標，設尸為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點尸

處的離散曲率為①P=1-4（/。1尸。2+/。2尸。3+…+NQiPQk+/2尸2）,其中Q（7=1,2,…總左23）為多面

2兀

體M的所有與尸相鄰的頂點，且平面。，。2，。2尸。3,…平面和平面2尸。為多面體M的所有以P為頂點的

面.現給出如圖所示的三棱錐尸-ABC.

(1)求三棱錐尸-ABC在各個頂點處的離散曲率的和；

3

⑵若平面ABC,ACLBC,AC=BC=2,三棱錐尸-ABCQ—P以在頂點C處的離散曲率為:點。在

O

棱尸8上，直線C。與平面ABC所成角的余弦值為典，求8。的長度

【典例9-2】空間中，我們將至少兩條坐標軸不垂直的坐標系稱為“空間斜坐標系”.類比空間直角坐標系，

7,后分別為“空間斜坐標系“中三條數軸(x軸、》軸、z軸)正方向的單位向量，若向量為=H+0+zA,

則為與有序實數組(％y,z)相對應，稱向量乃的斜坐標為[x,y,z],記作萬=|x