2025屆新京者裁營期末4HL匯務.，占救易導強新拳做

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題型一已知切線(舒軍)求分＜.....................................................1

題型二含參分奏討論求函數的單調區間.............................................2

題型三利用導致研究函數的極值、最值問題..........................................4

題型四利用導數研究不等式.......................................................6

題型五導數與數列不等式綜合問題................................................10

題型六導致中的雙變量、多變量問題...............................................11

題型七利用導數研究函數的零點..................................................13

題型八新定義下的函數與導數^合問題............................................15

題型一巳如切線(斜率)求參數

在語數上某點的切線方程：函數沙=/(⑼在點4g。,f(x0))處的切線方程為y—/(0)=(

%)1-3),聯立求解(紇，”。

I片—J\^07

過點函數外某點的切線方程:設切點為P(g。，。。加)，則斜率k=r(g),過切點的切線方程

為：J—%=/'(3)(劣一g),又因為切線方程過點人(小。，°°n)，所以有九一g()=r(g)(?n—g),

然后解出g的值。

已知切我(斜率)求)數類問題的常用解題思珞：第一步，設直線與曲線相切的切點坐標為P

(g。。%);第二步，根據導數的幾何意義，曲線在切點處的導數等于曲線在該點處切線的斜

率，列出關于參數的方程；第三步，解參數方程，求出參數值O

1.(24—25江蘇蘇州?期末)已知函數/(力)=ax2+(a—2)rc—Inrr.

(1)若a=1,求/(6)的極小值;

(2)若f(x)的圖象與直線y=kx-l切于點瑞,。/(￡)),求k的值.

?M

2.(24-25江蘇無錫?期末)已知函數/(#=x(x-c)2.

(1)若f(i)在尤=2處有極小值，求/(①)的單調遞增區間；

(2)若函數夕=/(1)的圖象與直線y=—rr+c相切,求實數c的值.

題型二含參分類討論求函數的單調區間

在高考導數的綜合題中，所給函數往往是一個含參數的函數,且導函數含有參數，在分析函數

單調性時面臨的分類討論。

1、確定量數的定義城

明確函數的定義域，單調性討論必須是在定義域內進行的。

2、求導數

對函數求導，得到其導函數。導數的符號決定了函數的單調性。

3、分析導數的符號

找出導數為零的點(即臨界點)和導數不存在的點(如分母為零的點)，根據這些點將定義域劃

分為若干個區間。

4、分類討論參數

分析參數取值對導數符號的影響。對參數進行分類討論，通常根據臨界點或導數不存在的點

的位置，以及參數對導數符號的具體影響來劃分情況。

5、磷定單調區間

結合導函數圖象，總結函數在不同參數取值下的單調區間。

6、綠合皺果，清晰完整，不要遺漏

將所有情況綜合起來，寫出完整的單調區間結果。

?M

3.（24—25山東濰坊.期末）已知函數/（力）=ex（x2+ax+l）.

（1）當a=0時,求曲線?=/（力）在點（1,/（1））處的切線方程;

（2）當QWO時,求函數/Q）的單調區間.

4.（24—25山東煙臺?期末）已知函數/（為=alnc+」■丁,aCR.

"力+1

⑴若曲線夕=/（力）在N=1處的切線方程為ax—by+1=0,求實數Q,b的值;

（2）討論函數/（/）的單調性.

題型三利用導數研究函數的極值、最值問題

5.(24-25廣東省東莞市、揭陽市、韶關市?期末)已知函數①〉

⑴當a=2時,求曲線“=/(乃在點(1,/(1))處的切線方程;

⑵若函數/(為有極小值，且/(①)的極小值小于1—a2,求實數a的取值范圍.

6.(24—25湖南長沙?期末)已知函數/(c)=6。町11刀,其中a>0.

(1)若y=f(x)在點(1,0)處的切線與兩坐標軸所圍成三角形的面積為5,求a的值;

(2)若;r=g是/(2)的極小值點，證明:/(g)<—e.

?M

7.（24—25河北滄州?期末）已知函數/（力）=ex—^-ax2—ax（aER）.

o

（1）當Q=3時,求曲線在（0J（0））處的切線方程；

（2）求證:當Q41時，F⑺=xf（x）在（0,+8）不存在最小值;

（3）若g（0=以2在（—8,0）存在極值點,求實數a的取值范圍.

X

題型四利用導教研究不等式

利用導數證明不等式問題，常用解題思珞及注意事事如下：

1、構造函數

通過構造函數，將原不等式轉化為函數的單調性或最值問題；

利用導數的性質研究構造函數的單調性，從而證明原不等式。

【注意事項】

構造函數的技巧性較強，需要根據原不等式的特點進行巧妙構造；

構造函數后，要準確求導并判斷其單調性；

注意構造函數的定義域，確保與原不等式的定義域一致。

2、放婚法

利用導數研究函數的性質，如單調性、最值等，對函數進行放縮；

通過放縮后的函數與原函數進行比較，從而證明原不等式。

【注意事項】

放縮時要保持不等式的方向一致，不能改變原不等式的性質；

放縮后的函數要易于處理，能夠利用導數的性質進行求解；

注意放縮的適度性，過度放縮可能導致結論不成立。

3、切假法

利用導數求出函數在某點的切線方程：

通過切線方程與原函數進行比較，從而證明原不等式。

【注意事項】

切線法通常適用于證明在某點附近的不等式；

要準確求出切線方程，并判斷其與原函數的位置關系；

注意切線法可能只適用于局部范圍，不能推廣到整個定義域。

4、函數凹凸性的應用

利用導數的二階性質判斷函數的凹凸性；

根據函數的凹凸性證明原不等式。

【注意事項】

要準確求出函數的二階導數，并判斷其符號；

根據二階導數的符號確定函數的凹凸性；

利用凹凸性證明不等式時，要注意結合函數的單調性、最值等性質進行綜合分析。

8.(24—25蘇北四市(徐連淮宿)?期末)已知函數/(C)=鏟一asincc,aER.

(1)當a=2時，求曲線"=f(x)在點(0J(0))處的切線方程；

(2)當rcC[0,兀]時,/(乃＞0,求a的取值范圍.

9.(24—25山東淄博?期末)已知函數/Q)=a\nx-x(a<2),曲線g=/Q)在點(1,-1)處的切線與曲

線"=d+22相切.

⑴求Q；

(2)若函數gQ)=[/(十+1)+9+1](2+m),且曲線g=gQ)關于直線2=也對稱，

⑴求力和?2的值；

(u)證明：g(%)>4.

10.(24-25江蘇省鹽城市、南京市?期末)設函數/㈤=ax+ka~x(kER,a>0,a^l).

(1)當R=4時，求/(cc)的最小值；

(2)討論函數/Q)的圖象是否有對稱中心.若有，請求出；若無,請說明理由；

⑶當4=0時，(―8,*)都有/3)&1聶，求實數a的取值集合.

11.(24—25湖南衡陽?期末)已知函數/(a;)=(ea+2e-a)Vs+——泮一,a>0.

y/x

(1)設直線工=4與曲線y=f(x)交于點P,求P點縱坐標的最小值；

(2)a取遍全體正實數時，曲線y=/Q)在坐標平面上掃過一片區域，該區域的下邊界為函數gQ),求

g(c)的解析式；

5.

(3)證明：當力>1時,對任意正實數a,—>2\nx+2.(附:e473.49)

題型五導數與數列不等式綜合問題

12.（24—25深圳市龍崗區?期末）已知函數/（力）=ex—mx,mGR.

（1）討論函數/Q）的單調性；

（2）求證：當九＞2時，J+!H----F—＜lnn；

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（3）當?n=e,力＞0時，/（力）＞ax3—x+2Q恒成立，求實數a的取值范圍.

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題型六導數中的雙變量、多變量問題

對于導數中的雙變量、多變量問題，常用解題思路及注意事項如下：

該類問題常見為要求證明二元或多元不等式，可以通過構造函數將其轉化為一元不等式問題;

利用導數的性質研究構造函數的單調性、最值等，從而證明原不等式。

【注意事項】

構造函數的難度相對較大，需要根據不等式的特點進行巧妙構造；

在研究多元函數的性質時，要注意各個變量之間的關系和相互影響；

注意推導的邏輯性，每一步推導都要有充分的依據和理由，確保推導過程的邏輯性和嚴密性。

13.（24—25山東濟寧?期末）已知函數/（久）=ex+ax2,aER.

（1）討論函數/（0零點的個數；

（2）若/（2）一3a尤＞6,求ab的最大值.

14.（24—25江蘇常州?期末）已知函數=

（1）若/⑸在區間（Q,+00）上單調，求實數a的取值范圍;

（2）若函數gQ）=/（2）一匕砂有兩個不同的零點.

⑴求實數b的取值范圍；

(ii)若(xlnx—bx2)(x2—cx+d)40恒成立，求證：看<b<-^=-.

12

題型七利用導數研究函數的零點

利用導數研究函數的零點問題常見題型：判斷、證明、討論函數零點個數;根據含參函數零點情況，

求參數的值或取值范圍……

利用導數確定由數搴點我方程根個數的常用解題思冷：

1、構建函數gQ)(要求g'Q)易求，g'(x)=0可解)，轉化確定gQ)的零點個數問題求解，利用導數研

究該函數的單調性、極值，并確定定義區間端點值的符號(或變化趨勢)等，畫出g(，)的圖象草圖，數形結

合求解函數零點的個數；

2、利用零點存在性定理：先用該定理判斷函數在某區間上有零點，然后利用導數研究函數的單調

性、極值(最值)及區間端點值符號，進而判斷函數在該區間上零點的個數。

與量數零點有關的余數篦國問題常用解題思廉：

該類問題往往利用導數研究函數的單調區間和極值點，并結合特殊點，從而判斷函數的大致圖象，

討論其圖象與出軸的位置關系，進而確定參數的取值范圍；或通過對方程等價變形轉化為兩個函數圖象

的交點問題。

【注意事項】

1、解決函數夕=/(c)的零點問題,可通過求導判斷函數圖象的位置、形狀和發展趨勢,觀察圖象與土

軸的位置關系，利用數形結合的思想方法判斷函數的零點是否存在及零點的個數等；

2、通過等價變形，可將“函數FQ)=/(x)-g㈤的零點”與“方程/㈤=gQ)的解”問題相互轉化。

15.(24—25山東濟南?期末)已知/(2)=xlnx,g(x)="+arc,其中aCA.

(1)若fQ)&g(c)恒成立，求a的取值范圍；

(2)判斷方程4(c+l)=g(x)解的個數,并說明理由.

16.(24—25安徽阜陽?期末)已知函數/(x)=爐+3±2,直線，：y=ka；+b.

(1)已知函數/(乃的圖象關于點P(m,n)成中心對稱圖形的充要條件是函數。=/0+小)一口是奇函

數，利用上述條件,求函數/(⑼的對稱中心；

(2)判斷“b>-1”是否為“，與/(①)的圖象有3個交點，且交點的橫坐標依次成等差數列”的必要不充

分條件，并說明理由.

題型八新定義下的函數與導教綜合問題

“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據此新定義

去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解。對于新

定義題型中闡述的新概念，對閱讀理解能力有一定的要求。但是，透過現象看本質，它們考查的還

是基礎數學知識，所以說“新題”不一定是“難題”,掌握好相應的基礎知識，以不變應萬變才是制勝