第08講二項分布、超幾何分布及正態分布

(3類核心考點精講精練)

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關聯考點

指定區間的概率

2024年新I卷，第9題,6分/

正態分布的實際應用

2023年全國甲卷(理)，超幾何分布的均值計算幾個數的中位數

第19題,12分超幾何分布的分布列獨立性檢驗解決實際問題

2022年新H卷，第13題,5分正態分布指定區間的概率/

2021年新II卷，第6題,5分正態分布的實際應用/

知識講解

1.獨立重復試驗與二項分布

獨立重復試驗二項分布

在相同條件下重復做的n在見次獨立重復試驗中，用X表示事件A發生的次數，設每次試驗中

定義次試驗稱為n次獨立重復事件A發生的概率為P，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X?

試驗B(n,p),并稱p為成功概率

A,(z=l,2,,,,,〃)表示第i

計算次試驗結果，則在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發生k次的概率為p(X=k)=C^

公式…A")=p\1—0,1,2,…，〃)

P(A1)P(A2)-P(A?)

獨立重復試驗與二項分布問題的常見類型及解題策略

(1)在求“次獨立重復試驗中事件恰好發生上次的概率時，首先要確定好”和左的值，再準確利用公式求概

率.

(2)在根據獨立重復試驗求二項分布的有關問題時，關鍵是理清事件與事件之間的關系，確定二項分布的試

驗次數〃和變量的概率，繼而求得概率.

2.兩點分布

X01

P1—pP

這樣的分布列叫做兩點分布列.

如果隨機變量X的分布列為兩點分布列，就稱X服從兩點分布，而稱p=P(X=l)為成功概率.

3.超幾何分布列

一般地，在含有M件次品的N件產品中，任取力件，其中恰有X件次品，則事件｛X=心發生的概率為尸(X

「kr^n~k

=k)—c.，k—0,1,2,9???,m,其中m=min{M,〃},且〃WN,M〈N,n,M,NGN*,稱分布列為超

幾何分布列.如果隨機變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量X服從超幾何分布.

X01???m

cQ「〃一0

。入N-M???

P「n

5LN5

4.正態分布

正態曲線的特點

(1)曲線位于x軸上方，與無軸不相交；

(2)曲線是單峰的，它關于直線對稱;

⑶曲線在處達至U峰值志;

(4)曲線與x軸之間的面積為1；

(5)當。一定時，曲線的位置由〃確定，曲線隨著〃的變化而沿x軸平移；

(6)當〃一定時，曲線的形狀由。確定，c越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；。越大，曲線越

“矮胖”，表示總體的分布越分散.

正態分布的三個常用數據

⑴尸〃一<7<XW〃+c)=0.6826；

(2)P(Ju-2cj<X^fi+2(T)=0.9544；

(3)尸@一3KxW〃+3Q=0.9974.

考點一、二項分布

典例片闞

1.(2024?全國?三模)甲、乙兩人進行乒乓球比賽，比賽規則：每一局比賽中，勝者得1分，負者得。分,

9

且比賽中沒有平局.根據以往戰績，每局比賽甲獲勝的概率為：，每局比賽的結果互不影響.

⑴經過3局比賽，記甲的得分為X,求X的分布列和期望；

（2）若比賽采取3局制，試計算3局比賽后，甲的累計得分高于乙的累計得分的概率.

2.（2024?安徽?三模）近年來，為了提升青少年的體質，教育部出臺了各類相關文件，各地區學校也采取了

相應的措施，適當增加在校學生的體育運動時間；現調查某地區中學生（包含初中生與高中生）對增加體

育運動時間的態度，所得數據統計如下表所示：

喜歡增加體育運動時間不喜歡增加體育運動時間

初中生16040

高中生14060

⑴在犯錯誤的概率不超過0.01（小概率值《=0。1）的前提下，能否認為學段與對增加體育運動時間的態度

有關聯；

（2）以頻率估計概率，若在該地區所有中學生中隨機抽取4人，記"喜歡增加體育運動時間”的人數為X,求X

的分布列以及數學期望E（X）.

參考公式：*=“其中f+Hc+/

參考數據：

P0.050.010.005

Xa3.8416.6357.879

喜歡增加體育運動時間不喜歡增加體育運動時間總計

初中生16040200

高中生14060200

總計300100400

3.（2024?山東荷澤?模擬預測）荷澤牡丹栽培始于隋，興于唐，盛于明清，自古享有"曹州牡丹甲天下”的美

譽.四月，荷澤大地上牡丹次第綻放，觀賞牡丹擁有9大色系、10大花型、1280余個品種，以最亮眼的姿態恭

迎八方游人.某旅行團帶游客來荷澤觀賞牡丹，游客可自由選擇曹州牡丹園和中國牡丹園的一處游覽，若每

位游客選擇曹州牡丹園的概率是選擇中國牡丹園的概率是:，游客之間選擇意愿相互獨立.

44

⑴從游客中隨機選取3人，記3人中選擇曹州牡丹區的人數為X,求X的分布列、均值與方差；

(2)現對游客進行問卷調查，若選擇曹州牡丹園記2分，選擇中國牡丹園記1分，記已調查過的累計得分為“

分的概率為月，求

4.(2024?湖北?模擬預測)組合投資需要同時考慮風險與收益.為了控制風險需要組合低風險資產，為了擴

大收益需要組合高收益資產，現有兩個相互獨立的投資項目A和B,單獨投資100萬元項目A的收益記為

隨機變量X,單獨投資100萬元項目B的收益記為隨機變量Y.若將100萬資金按％A+(1-2)B進行組合投

資，則投資收益的隨機變量Z滿足Z=4X+(1-2)Y,其中。W4W1.假設在組合投資中，可用隨機變量的期

望衡量收益，可用隨機變量的方差衡量風險.

⑴若y?8(100,0.03),2=0,求Z的期望與方差;

⑵已知隨機變量X滿足分布列：

DXXEXREXEX2

()=￡(,-())2.=(-())2.求證：￡?(z)=^￡>(x)+(i-2)o(y);

i=l

⑶若投資項目X是高收益資產，其每年的收益滿足：有30%的可能虧損當前資產的一半；有70%的可能增

值當前資產的一倍.投資項目y是低風險資產，滿足丫?8(100003).試問2=0.3能否滿足投資第1年的收

益不低于17萬，風險不高于500?請說明理由.

1.(2024?河北邯鄲?模擬預測)某人投擲兩枚骰子，取其中一枚的點數記為點尸的橫坐標X,另一枚的點數

記為點尸的縱坐標V,令事件A="x+y=7",事件為奇數

⑴證明：事件43相互獨立；

(2)若連續拋擲這兩枚骰子三次，求點尸在圓尤?+>2=12內的次數X的分布列與期望.

2.(2024?四川宜賓?模擬預測)某地為調查年齡在35-50歲段人群每周的運動情況，從年齡在35-50歲段人

群中隨機抽取了200人的信息，將調查結果整理如下：

女性男性

每周運動超過2小時6080

每周運動不超過2小時4020

⑴根據以上信息，能否有99%把握認為該地年齡在35-50歲段人群每周運動超過2小時與性別有關？

⑵用樣本估計總體，從該地年齡在35-50歲段人群中隨機抽取3人，設抽取的3人中每周運動不超過2小

時的人數為X,求X的分布列和數學期望E(X).

n(ad-be)2

參考公式：K2=n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

0.100.050.0250.0100.001

2.7063.8415.0246.63510.828

k0

3.(2024?河北?三模)某學校的數學興趣小組對學校學生的冰雪運動情況進行調研，發現約有;的學生喜歡

滑雪運動.從這些被調研的學生中隨機抽取3人進行調查，假設每個學生被選到的可能性相等.

⑴記X表示喜歡滑雪運動的人數，求X的數學期望.

(2)若該數學興趣小組計劃在全校學生中抽選一名喜歡滑雪運動的學生進行訪談.抽選規則如下：在全校學

生中隨機抽選一名學生，如果該學生喜歡滑雪運動，就不再抽選其他學生，結束抽選活動；如果該學生不

喜歡滑雪運動，則繼續隨機抽選，直到抽選到一名喜歡滑雪運動的學生為止，結束抽選活動.并且規定抽

取的次數不超過〃(〃eN*)次，其中“小于當次調查的總人數.設在抽選活動結束時，抽到不喜歡滑雪運動

的學生的人數為y,求抽到y名學生不喜歡滑雪運動的概率.

4.(2024?河南駐馬店?二模)某汽車銷售公司為了提升公司的業績，現將最近300個工作日每日的汽車銷售

情況進行統計，如圖所示.

⑴求。的值以及該公司這300個工作日每日汽車銷售量的平均數(同一組中的數據用該組區間的中點值作

代表);

（2）以頻率估計概率，若在所有工作日中隨機選擇4天，記汽車銷售量在區間［200,250）內的天數為X,求X

的分布列及數學期望；

⑶為增加銷售量，公司規定顧客每購買一輛汽車可以進行一次抽獎活動，規則如下：抽獎區有A1兩個盒

子，其中A盒中放有9張金卡、1張銀卡，8盒中放有2張金卡、8張銀卡，顧客在不知情的情況下隨機選擇

其中一個盒子進行抽獎，直到抽到金卡則抽獎結束（每次抽出一張卡，然后放回原來的盒中，再進行下次

抽獎，中途可更換盒子），卡片結果的排列對應相應的禮品.已知顧客小明每次抽獎選擇兩個盒子的概率相同，

求小明在首次抽獎抽出銀卡的條件下，第二次從另外一個盒子中抽獎抽出金卡的概率.

考點二、超幾何分布

典例引領

1.（2023?陜西榆林?模擬預測）某校體育節組織比賽，需要志愿者參加服務的項目有：60米袋鼠跳、100米、

200米、1500米、3000米、4x100米接力.

⑴志愿者小明同學可以在6個項目中選擇3個項目參加服務，求小明在選擇60米袋鼠跳服務的條件下，選

擇3000米服務的概率；

（2）為了調查志愿者選擇服務項目的情況，從志愿者中抽取了15名同學，其中有9名首選100米，6名首選

4x100米接力.現從這15名同學中再選3名同學做進一步調查.將其中首選4x100米接力的人數記作X,

求隨機變量X的分布列和數學期望.

X0123

8421613520

P

455455455455

2.（2023?全國?高考真題）一項試驗旨在研究臭氧效應.實驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20

只分配到實驗組，另外20只分配到對照組，實驗組的小白鼠飼養在高濃度臭氧環境，對照組的小白鼠飼養

在正常環境，一段時間后統計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.

⑴設X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數，求X的分布列和數學期望；

（2）實驗結果如下：

對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

實驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(i)求40只小鼠體重的增加量的中位數的再分別統計兩樣本中小于根與不小于的數據的個數，完成如下

列聯表：

o<m>m

對照組□□

實驗組

(ii)根□據(i)□中的列聯表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環境中與正常環境中體重的增加量

有差異.

附.y=_______n(ad-bc￥_______

,(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)；

k00.1000.0500.010

可片注)2.7063.8416.635

3.(2024,福建泉州?模擬預測)某學校為了研究不同性別的學生對“村8A”賽事的了解情況，進行了一次抽樣

調查，分別隨機抽取男生和女生各80名作為樣本，設事件M="了解村加"，N="學生為女生”，據統計

1P(MM)=|.

P(M\N)=

16

⑴根據已知條件，補全2x2歹！I聯表，并根據小概率值。=0.001的獨立性檢驗，判斷該校學生對"村崩”的了

解情況與性別是否有關？

了解不了解總計

男生

女生

總計

(2)現從該校不了解"村BA”的學生中，采用分層隨機抽樣的方法抽取10名學生，再從這10名學生隨機抽取

4人，設抽取的4人中男生的人數為X,求X的分布列和數學期望.

2n[ad-bcf

附:“(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)'n=a+b+c+d.

尸(不?＞斗0.0500.0100.0050.001

k3.8416.6357.87910.828

1.(2024?新疆?二模)某人工智能研究實驗室開發出一款全新聊天機器人棋型，它能夠通過學習和理解人類

的語言來進行對話.聊天機器人棋型的開發主要采用RLHF(人類反饋強化學習)技術，在測試它時，如果

輸入的問題沒有語法錯誤，則它的回答被采納的概率為90%,當出現語法錯誤時，它的回答被采納的概率

為50%.

⑴在某次測試中輸入了7個問題，聊天機器人棋型的回答有5個被采納，現從這7個問題中抽取4個，以J

表示抽取的問題中回答被采納的問題個數，求J的分布列和數學期望；

⑵設輸入的問題出現語法錯誤的概率為P，若聊天機器人棋型的回答被采納的概率為80%,求P的值.

2.(2024?湖北?二模)某高中學校為了解學生參加體育鍛煉的情況，統計了全校所有學生在一年內每周參加

體育鍛煉的次數，現隨機抽取了60名同學在某一周參加體育鍛煉的數據，結果如下表：

一周參加體育鍛煉次數01234567合計

男生人數1245654330

女生人數4556432130

合計579111086460

⑴若將一周參加體育鍛煉次數為3次及3次以上的，稱為“經常鍛煉"，其余的稱為"不經常鍛煉請完成以

下2x2列聯表，并依據小概率值。=0.1的獨立性檢驗，能否認為性別因素與學生體育鍛煉的經常性有關系；

鍛煉

性別合計

不經常經常

男生

女生

合計

(2)若將一周參加體育鍛煉次數為0次的稱為“極度缺乏鍛煉"，"極度缺乏鍛煉"會導致肥胖等諸多健康問

題.以樣本頻率估計概率，在全校抽取20名同學，其中"極度缺乏鍛煉"的人數為X,求E(X)和D(X)；

⑶若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學稱為“運動愛好者"，為進一步了解他們的生活習慣，在樣本的

10名"運動愛好者"中，隨機抽取3人進行訪談，設抽取的3人中男生人數為丫，求y的分布列和數學期望.

2

2_n(ad-bc)

附:“(a+Z?)(c+d)(a+c)(O+d)n=a+b+c+d

a0.10.050.01

%2.7063.8416.635

3.（2024?四川成都?模擬預測）為了估計魚塘中魚的數量，常常采用如下方法：先從魚塘中撈出機條魚，在

魚身上做好某種標記后再放回魚塘.一段時間后，再從魚塘中撈出"條魚，并統計身上有標記的魚的數目，

就能估計出魚塘中的魚的總數N.已知m=200,設第二次撈出的〃條魚中身上有標記的魚的數目為隨機變

量X.

⑴若已知N=4000,n=40.

①求X的均值；

②是否有90%的把握認為能撈出身上有標記的魚（即能撈出身上有標記的魚的概率不小于0.9）?

（2）若〃=700,其中身上有標記的魚有30條，估計池塘中魚的總數（將使尸（X=30）最大的N作為估計值）.

參考數據：lg3.76?0.5752,lg3.8?0.5798,lg3.96?0.5977,lg4?0.6021.

考點三、正態分布

典例引領

1.（2021?全國?高考真題）某物理量的測量結果服從正態分布N（10Q2）,下列結論中不正確的是（）

A.b越小，該物理量在一次測量中在（9.9,10.1）的概率越大

B.該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5

C.該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.該物理量在一次測量中落在（9.9,10.2）與落在（10,10.3）的概率相等

2.（2024?廣東江蘇,高考真題）（多選）隨著"一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區多措并舉推動茶葉出

口.為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本

均值元=2」，樣本方差/=0.01,已知該種植區以往的畝收入X服從正態分布N（L8,012）,假設推動出口

后的畝收入y服從正態分布N（元/）,貝式）（若隨機變量Z服從正態分布），尸（Z<〃+<7）a0.8413）

A.P（X>2）>0.2B.P（X>2）<0.5

C.P（r>2）>0.5D,P（r>2）<0.8

3.（2024?湖北?模擬預測）某品牌專賣店統計歷史消費數據發現：進店消費的顧客的消費額X（單位：元）

服從正態分布N（330,252）.為回饋廣大顧客，專賣店對消費達一定金額的顧客開展了品牌知識有獎答題活

動，顧客需要依次回答兩類試題，若顧客答對第一類題，則回答第二類題，若顧客沒有答對第一類題，則

不再答第二類題，直接結束有獎答題活動.對于每一類題，答錯得0分，答對得10分，兩類題總分20分，

答題結束后可減免與得分相同數額的現金（單位：元）.每類試題均有兩次答題機會，在任意一類試題中，

若第一次回答正確，則認為答對該類試題，就不再進行第二次答題.若第一次回答錯誤，則進行第二次答

題，若第二次答題正確，則也認為答對該類試題；若第二次回答錯誤，則認為答錯該類試題.

⑴若某天有200位進店消費的顧客，請估計該天消費額X在（305,+8）內的人數（結果保留整數）；

附：若X?貝（〃一bWXW4+b）a0.6827,P（〃一2bWXW〃+2b）a0.9545.

3

（2）某顧客消費達到指定金額后可參與答題活動，A類題中的兩次答題機會答對的概率都是8類題中的

4

2

兩次答題機會答對的概率都是§,且每次答題相互獨立.若答題結束后可減免的現金數額為X元，求X的

分布列和數學期望.

4.（2024?福建福州?三模）已知某種機器的電源電壓U（單位：V）服從正態分布N（220,202）.其電壓通常

有3種狀態：①不超過200V；②在200V?240V之間③超過240V.在上述三種狀態下，該機器生產的零件

為不合格品的概率分別為0.15,0.05,0.2.

⑴求該機器生產的零件為不合格品時，電壓不超過200V的概率；

⑵從該機器生產的零件中隨機抽取"（77>2）件，記其中恰有2件不合格品的概率為p.，求P”取得最大值

時n的值.

附：若Z?取P（〃-cr<Z<〃+cr）=0.68,P（〃-2cr<Z<〃+2cr）=0.95.

1.（2022?全國?高考真題）已知隨機變量X服從正態分布N（2Q2）,且P（2<X42.5）=0.36,貝|

P（X>2.5）=.

2.（2024?新疆喀什?三模）某企業監控汽車零件的生產過程，現從汽車零件中隨機抽取100件作為樣本，測

得質量差（零件質量與標準質量之差的絕對值）的樣本數據如下表：

質量差（單位：）5458606364

件數（單位：件）52545205

⑴求樣本質量差的平均數已假設零件的質量差X?NJ。?），其中02=4,用1作為〃的近似值，求

尸（62<XW64）的值；

（2）已知該企業共有兩條生產汽車零件的生產線，其中第1條生產線和第2條生產線生產的零件件數比是

3:1.若第1、2條生產線的廢品率分別為0.004和0.008,且這兩條生產線是否產出廢品是相獨立的.現從

該企業生產的汽車零件中隨機抽取一件.

但）求抽取的零件為廢品的概率；

3）若抽取出的零件為廢品，求該廢品來自第1條生產線的概率.

參考數據：若隨機變量X?N(〃,b2),則b<XW〃+b)。0.6827,尸(〃-2b<X<〃+2。)。0.9545,

P(4-3b<XW〃+3cr卜0.9973

3.(2024?河南,模擬預測)某大型公司進行了新員工的招聘，共有10000人參與.招聘規則為：前兩關中的每

一關最多可參與兩次測試，只要有一次通過，就自動進入下一關的測試，否則過關失敗.若連續通過三關且

第三關一次性通過，則成功競聘，已知各關通過與否相互獨立.

543

⑴若小李在第一關、第二關及第三關通過測試的概率分別為求小李成功競聘的概率P；

654

(2)統計得10000名競聘者的得分X?N(420.5,10.752),試估計得分在442分以上的競聘者有多少人.(四舍

五人取整)

附：若隨機變量X?貝l|P(〃一bWXW〃+b)a0.6827,P(〃—2bWXW〃+2b)e0.9545

4.(2024?山東日照?三模)電信詐騙是指通過電話、網絡和短信等方式，編造虛假信息，設置騙局，對受害

人實施遠程詐騙的犯罪行為.隨著5G時代的全面來臨，借助手機、網銀等實施的非接觸式電信詐騙迅速發展

蔓延，不法分子甚至將"魔爪”伸向了學生.為了增強同學們的防范意識，某校舉辦了主題為"防電信詐騙，做

反詐達人”的知識競賽.

(1)已知該校參加本次競賽的學生分數〃近似服從正態分布N(80,25),若某同學成績滿足〃-+

則該同學被評為“反詐標兵"；若〃>M+2b,則該同學被評為“反詐達人

(i)試判斷分數為88分的同學能否被評為“反詐標兵"；

(ii)若全校共有40名同學被評為“反詐達人"，試估計參與本次知識競賽的學生人數(四舍五入后取整).

⑵已知該學校有男生1000人，女生1200人，經調查有750名男生和600名女生了解"反詐"知識，用樣本

估計總體，現從全校隨機抽出2名男生和3名女生，這5人中了解"反詐”知識的人數記為X,求X的分布

列及數學期望E(X).

參考數據：若自N.,吟,則尸(〃一b4j4〃+b)=0.6827,P(〃—2bVj4〃+2b)=0.9545,

P(〃—3cr<"〃+3cr)=0.9973

IN.好題沖關

1.(23-24高二下?安徽宿州?期中)已知隨機變量X~3(4,p),E(X)=；則O(2X_1)=.

2.(2024?上海?三模)設隨機變量X服從成功概率為p(O<p<l)的二項分布，若用X]=30,D[X]=20,

貝|P=.

3.(2024?江西新余?模擬預測)己知連續型隨機變量X與離散型隨機變量V滿足X?

若X與y的方差相同且P（2VXW4）=0.3,則P（XW4）=（）.

A.0.8B.0.5C.0.3D.0.2

4.（2024?廣東廣州?模擬預測）（多選）對某地區數學考試成績的數據分析，男生成績X服從正態分布

N（72,8?）,女生成績y服從正態分布N（74,6）.貝U（）

A.P（X<86）<P（y<86）B.P（X<80）>P（y<80）

c.P（x<74）>P（y<74）D,P（x<64）=P（Y>80）

5.（2024?江蘇?模擬預測）目前，某校采用“翻轉課堂”的教學模式，即學生先自學，然后老師再講學生不

會的內容.某一教育部門為調查在此模式下學生的物理成績與學習物理的學習時間的相關關系，針對本校

49名考生進行了解，其中每周學習物理的時間不少于12小時的有21位學生，余下的人中，在物理考試中平

均成績不足120分的學生占總人數的：，統計后得到以下表格：

大于等于120分不足120分合計

學時不少于12小時821

學時不足12小時

合計49

⑴請完成上面的2義2列聯表，能否有97.5%的把握認為“物理成績與自主物理的學習時間有關"？

（2）若將頻率視為概率，從全校大于等于120分的學生中隨機抽取20人，求這些人中周自主學習時間不少于12

小時的人數的期望和方差.

n^ad-bc^

(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z;+d)

P(K2*）0.1000.0500.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

6.（2024?四川成都?一模）為了進一步推動智慧課堂的普及和應用，A市現對全市中小學智慧課堂的應用情

況進行抽樣調查，統計數據如表：

經常應用偶爾應用或者不應用總計

農村40

城市60

總計10060160

從城市學校中任選一個學校，偶爾應用或者不應用智慧課堂的概率是:.

⑴補全2x2列聯表，判斷能否有99.5%的把握認為智慧課堂的應用與區域有關，并闡述理由；

（2）在經常應用智慧課堂的學校中，按照農村和城市的比例抽取5個學校進行分析，然后再從這5個學校中

隨機抽取2個學校所在的地域進行核實，記其中農村學校有X個，求X的分布列和數學期望.

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(fl+c)(Z?+d)

P(K2>k)0.5000.0500.005

k0.4453.8417.879

7.（2024?陜西西安?三模）每個國家對退休年齡都有不一樣的規定，2018年開始，我國關于延遲退休的話題

一直在網上熱議，為了了解市民對“延遲退休”的態度，現從某地市民中隨機選取100人進行調查，調查情況

如下表：

年齡段（單位：歲）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]

被調查的人數101520m255

贊成的人數612n20122

⑴從贊成"延遲退休"的人中任選1人，此年齡在［35,45）的概率為（，求出表格中加，〃的值；

（2）若從年齡在［45,55）的參與調查的市民中按照是否贊成"延遲退休”進行分層抽樣，從中抽取10人參與某項

調查，然后再從這10人中隨機抽取4人參加座談會，記這4人中贊成"延遲退休"的人數為X,求X的分布

列及數學期望.

8.（23-24高三上?江蘇南通?期末）袋中裝有5個乒乓球，其中2個舊球，現在無放回地每次取一球檢驗.

⑴若直到取到新球為止，求抽取次數X的概率分布及其均值；

⑵若將題設中的“無放回"改為"有放回"，求檢驗5次取到新球個數X的均值.

9.（2024?全國?模擬預測）自2023年12月以來，從各地前往哈爾濱賞冰樂雪的游客絡繹不絕，東北冰雪游

人氣"爆棚某校體育組為了解學生喜歡冰雪運動是否與性別有關，隨機抽取100名學生進行了一次調查,

得到下表.

女男合計

不喜歡冰雪運動15

喜歡冰雪運動75

合計25

⑴請補全2x2列聯表，并依據小概率值e=0.05的獨立性檢驗，分析能否認為學生喜歡冰雪運動與性別有

關？

⑵以頻率估計概率，以樣本估計總體，若從該市學生中隨機抽取3人進行深度調研，記3人中喜歡冰雪運

動的人數為X,求X的分布列和數學期望E（X）.

n(ad-bc)

參考公式及數據：Z27------丁」~77—-------r,n=a+b+c+d.

(a+8)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

10.（2024?江西鷹潭?三模）某校體育鍛煉時間準備提供三項體育活動供學生選擇.為了解該校學生對“三項體

育活動中要有籃球”這種觀點的態度（態度分為同意和不同意），隨機調查了200名學生，數據如下：

單位：人

男生女生合計

同意7050120

不同意305080

合計100100200

⑴能否有99%的把握認為學生對"三項體育活動中要有籃球”這種觀點的態度與性別有關？

⑵現有足球、籃球、跳繩供學生選擇.

①若甲、乙兩名學生從這三項運動中隨機選一種，且他們的選擇情況相互獨立互不影響.記事件A為“甲學

生選擇足球"，事件B為"甲、乙兩名學生的選擇不同"，判斷事件A、8是否獨立，并說明理由.

②若該校所有學生每分鐘跳繩個數X?N（195,169）.根據往年經驗，該校學生經過訓練后，跳繩個數都有明

顯進步.假設經過訓練后每人每分鐘跳繩個數比開始時個數增加10,該校有1000名學生，預估經過訓練后

該校每分鐘跳182個以上人數（結果四舍五入到整數）.

參考公式和數據：%'=-——]'/"哈2~,其中〃=a+/?+c+d.

P（K注x0）0.0250.0100.005

%5.0246.6357.879

若X?N（〃Q2）,則尸（|x-■》0.6827,P（|X-/z|<2cr）?0.9545,尸（國一”<3cr）,0.9973.

1.（2024?浙江金華?模擬預測）比較兩組測量尺度差異較大數據的離散程度時，常使用離散系數，其定義為

標準差與均值之比.某地區進行調研考試，共10000名學生參考，測試結果（單位：分）近似服從正態分布，

且平均分為57.4,離散系數為0.36,則全體學生成績的第84百分位數約為（）

附：若隨機變量Z服從正態分布N3b2）,P（|Z-〃|<0.68.

A.82B.78C.74D.70

2.（2024?河南?三模）已知

P（/j-c<X<〃+<T）=0.6827,P（〃-2crWX<〃+2cr）=0.9545,P（〃-3crVXW〃+3（T）=0.9973.某體育器材

廠生產一批籃球，單個籃球的質量￥（單位：克）服從正態分布N（600,4）,從這一批籃球中隨機抽檢300

個，則被抽檢的籃球的質量不小于596克的個數約為（）

A.286B.293C.252D.246

3.（2024?貴州遵義?二模）商場對某種商品進行促銷，顧客只要在商場中購買該商品，就可以在商場中參加

抽獎活動.規則如下：先賦予參加抽獎的顧客5分的原始分，然后從裝有4個紅球，2個白球，2個黑球的

盒中有放回地隨機取球若干次，每次取出一個球，若為紅球，則加1分，否則扣1分，過程中若顧客持有

分數變為0分，抽獎結束；若顧客持有分數達到15分，則獲得一等獎，抽獎結束.

⑴求顧客3次取球后持有分數Y的數學期望E（Y）；

（2）設顧客在抽獎過程中持有分數為n分最終獲得一等獎的概率為Pn=0,1”，15）；

①證明：｛與｝是等差數列；

②求顧客獲得一等獎的概率.

4.（23-24高三下?全國?開學考試）2023年11月，世界首屆人工智能峰會在英國舉行，我國因為在該領域取

得的巨大成就受邀進行大會發言.為了研究不同性別的學生對人工智能的了解情況，我市某著名高中進行了

一次抽樣調查，分別抽取男、女生各50人作為樣本.設事件4="了解人工智能"，8="學生為男生”，據統計

P（A|B）=-,P（B\A）=~.

57

⑴根據已知條件，填寫下列2x2列聯表，是否有99%把握推斷該校學生對人工智能的了解情況與性別有關？

了解人工智能不了解人工智能合計

男生

女生

合計

（2）①現從所抽取的女生中利用分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機選取3人贈送科普材料，求

選取的3人中至少有2人了解人工智能的概率；

②將頻率視為概率，從我市所有參與調查的學生中隨機抽取20人科普材料，記其中了解人工智能的人數為

X,求隨機變量X的數學期望和方差.

參考公式：/=

訶禺3E.常用的小概率值和對應的臨界值如下表:

a0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

5.（2024?全國?模擬預測）某游戲設計者設計了一款游戲：玩家在一局游戲內，每點擊一次屏幕可以獲得一

張卡片，共有"A"和兩種卡片，每位玩家的初始分數為0,每獲得一張"A"力口1分，每獲得一張"3"減1

分.已知某位玩家在一局游戲內共點擊屏幕i次，設該玩家獲得"A"的次數為X,,最終分數為工.

⑴若玩家每次點擊屏幕時，獲得"A"和"B"的概率均為:，求X3的分布列與數學期望，并直接寫出E（XJ的

值；

⑵若該游戲系統通過一個計數器來控制玩家獲得"A"和"8"的概率.計數器會記錄玩家已經點擊屏幕的次數

”（初始值為0）,若〃為偶數，則玩家下一次點擊屏幕時，獲得"A"和"B"的概率均為g,若〃為奇數，則

71

玩家下一次點擊屏幕時，獲得"A"的概率為：，獲得""’的概率為:.求。（工）.

附：若隨機變量X］和X?的取值是相互獨立的，則。（乂+*2）=。（工）+。（乂2）.

6.（2023?廣東?二模）多巴胺是一種神經傳導物質，能夠傳遞興奮及開心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指

通過服裝搭配來營造愉悅感的著裝風格，通過色彩艷麗的時裝調動正面的情緒，是一種"積極化的聯想”.小

李同學緊跟潮流，她選擇搭配的顏色規則如下：從紅色和藍色兩種顏色中選擇，用"抽小球"的方式決定衣物

顏色，現有一個箱子，里面裝有質地、大小一樣的4個紅球和2個白球，從中任取4個小球，若取出的紅

球比白球多，則當天穿紅色，否則穿藍色.每種顏色的衣物包括連衣裙和套裝，若小李同學選擇了紅色，再

選連衣裙的可能性為0.6,而選擇了藍色后，再選連衣裙的可能性為0.5.

⑴寫出小李同學抽到紅球個數的分布列及期望；

⑵求小李同學當天穿連衣裙的概率.

7.（2023?全國?模擬預測）2023年中秋國慶雙節期間，我國繼續執行高速公路免費政策.交通部門為掌握雙

節期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費點記錄了10月1日上午8:20?9:40這一時間段內通過的車

輛數，統計發現這一時間段內共有1000輛車通過該收費點，為方便統計，時間段8:20?8:40記作區間

［20,40）,8:40?9:00記作［40,60）,9:00?9:20記作［60,80）,9:20?9:40記作［80,100］,對通過該收費點

的車輛數進行初步處理，己知〃?=2〃，8:20?9:40時間段內的車輛數的頻數如下表：

時間段[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

頻數100300mn

⑴現對數據進一步分析，采用分層隨機抽樣的方法從這1000輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取

4輛，設抽到的4輛車中在9：00~9：40通過的車輛數為X,求X的分布列與期望；

⑵由大數據分析可知，工作日期間車輛在每天通過該收費點的時刻T?N（〃02）,其中〃可用（1）中這1000

輛車在8:20?9:40之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，〃可用樣本的方差近似代替（同一組中的

數據用該組區間的中點值代表），已知某天共有800輛車通過該收費點，估計在8:28?9:22之間通過的車輛

數（結果四舍五入保留到整數）.

參考數據：若貝U①尸（〃一b<TW〃+b）=0.6827；②尸（〃一2b<T4〃+2b）=0.9545；③

P（Ju-3cr<T<〃+3cr）=0.9973.

8.（23-24高三上?遼寧大連?期末）某農場2021年在3000畝大山里投放一大批雞苗，雞苗成年后又自行繁

育，今年為了估計山里成年雞的數量N,從山里隨機捕獲400只成年雞，并給這些雞做上標識，然后再放

養到大山里，過一段時間后，從大山里捕獲1000只成年雞，X表示捕獲的有標識的成年雞的數目.

⑴若N=10000,求X的數學期望；

（2）已知捕獲的1000只成年雞中有20只有標識，試求N的估計值（以使得P（X=20）最大的N的值作為N

的估計值）.

9.（2024?山西長治?模擬預測）某汽車公司最新研發了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單

次最大續航里程（理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠里程）的測試.現

對測試數據進行整理，得到如下的頻率分布直方圖：

(I)估計這100輛汽車的單次最大續航里程的平均值元(同一組中的數據用該組區間的中點值代表)；

⑵由頻率分布直方圖計算得樣本標準差S的近似值為49.75.根據大量的汽車測試數據，可以認為這款汽車的

單次最大續航里程X近似地服從正態分布其中〃近似為樣本平均數元，。近似為樣本標準差S.

(0)利用該正態分布，求P(250.25<X<399.5)；

(0)假設某企業從該汽車公司購買了20輛該款新能源汽車，記Z表示這20輛新能源汽車中單次最大續航

里程位于區間(250.25,399.5)的車輛數，求E(Z)；

參考數據：若隨機變量^服從正態分布則P(〃-b<J<〃+b)=0.6827,

P(〃—2cr<J<〃+2cr)=0.9545,P(〃—3cr<J<〃+3cr)=0.99731.

⑶某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現面向意向客戶推出"玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據拋擲

硬幣的結果，操控微型遙控車在x軸上從原點。出發向右運動，已知硬幣出現正、反面的概率都;，客戶

每擲一次硬幣，遙控車向右移動一次，若擲出正面，則遙控車向移動一個單位，若擲出反面，則遙控車向

右移動兩個單位，直到遙控車移到點(59,0)(勝利大本營)或點(60,0)(失敗大本營)時，游戲結束，

若遙控車最終停在"勝利大本營"，則可獲得購車優惠券.設遙控車移到點(凡0)的概率為匕(14”460),試證

明數歹是等比數列(2(〃(59),求出數列{￡}(1W〃W6O)的通項公式，并比較生和耳，的大小.

10.(2024?福建龍巖?三模)某企業對某品牌芯片開發了一條生產線進行試產.其芯片質量按等級劃分為五個

層級，分別對應如下五組質量指標值：45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根據長期檢測結果，得到芯片

的質量指標值X服從正態分布并把質量指標值不小于80的產品稱為A等品，其它產品稱為B等

品.現從該品牌芯片的生產線中隨機抽取100件作為樣本，統計得到如圖所示的頻率分布直方圖.

f頻率/州距

D.O4O....................1~?

D.O25卜----

D.0I5

D.010

455565758595歷易指尿值

⑴根據長期檢測結果，該芯片質量指標值的標準差s的近似值為11,用樣本平均數元作為4的近似值，用

樣本標準差s作為。的估計值.若從生產線中任取一件芯片，試估計該芯片為A等品的概率（保留小數點后面

兩位有效數字）；

（①同一組中的數據用該組區間的中點值代表；②參考數據:若隨機變量4服從正態分布N（〃Q2）,則

P（N—crvj<〃+b）七0.6827,P（ju—2b<^<//+2cr）?0.9545,尸（〃—3<r<^<//+3cr）工0.9973.）

（2）（i）從樣本的質量指標值在［45,55）和［85,95］的芯片中隨機抽取3件，記其中質量指標值在［85,95］的芯

片件數為〃，求〃的分布列和數學期望；

（ii）該企業為節省檢測成本，采用隨機混裝的方式將所有的芯片按:L00件一箱包裝.已知一件A