考點鞏固卷24分布列及三大分布(五大考點)

朦店量覆霓

匿焉4弦巧及考克制代

考點01:分布列均值和方差的性質

1.某城市采用搖號買車的方式，有20萬人搖號，每個月搖上的人退出搖號，沒有搖上的人繼續進入下月

搖號，每個月都有人補充進搖號隊伍，每個季度第一個月搖上的概率為去1，第二個月為小1第三個月為1:，

109o

則平均每個人搖上需要的時間為()個月.

A.7B.8C.9D.10

2.有甲、乙兩個不透明的袋子，甲袋子里有1個白球，乙袋子里有5個白球和5個黑球，現從乙袋子里隨

機取出左WIOKeN*)個球放入甲袋子里，再從甲袋子里隨機取出一個球，記取到的白球的個數為X,

貝U當4(144410水eN*)變大時()

A.E(X)變小B.E(X)先變小再變大

C.E(X)變大D.E(X)先變大再變小

3.克拉麗絲有一枚不對稱的硬幣.每次擲出后正面向上的概率為。(。<。<1),她擲了上次硬幣，最終有10

次正面向上.但她沒有留意自己一共擲了多少次硬幣.設隨機變量X表示每擲N次硬幣中正面向上的次數，現

以使P(X=10)最大的N值估計N的取值并計算E(X).(若有多個N使P(X=10)最大,則取其中的最小N值).

下列說法正確的是()

A.E(X)>10B.E(X)<10

C.E(X)=10D,E(X)與10的大小無法確定

4.下列說法中，正確命題的個數為()

①已知隨機變量X服從二項分布若E(3X+1)=6,則“=5.

②對具有線性相關關系的變量x,V,其線性回歸方程為9=Q3x-m,若樣本點的中心為(租,2.8),則實數

機的值是-4.

③以模型,=。64去擬合一組數據時，為了求出回歸方程，設z=lny,求得線性回歸方程為z=0.3x+4,則

c、上的值分別是e“和Q3.

④若樣本數據再，%,后，…，/的方差為2,則數據:2±-1,2%-1,-,2%-1的方差為16

A.0個B.1個C.2個D.3個

5.下列命題中，不正確的是（）

A.若隨機變量X~《5,鼻，則D（X）=；

B.若隨機變量X~N（5,〃），且P（3WXW5）=Q3,則P（X27）=0.2

]]8

C.若x>0,xy=l,貝|J丁+丁+——的最小值為4

2x2yx+y

D.兩個隨機變量的相關系數「越大，兩個變量的線性相關性越強

6.下列命題錯誤的是（）

A.兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近于1

B.設之即7,p）,若磯<）=30,。⑶=20,則”=90

C.線性回歸直線y=bx+a一定經過樣本點的中心（x,y）

D.一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中不放回地隨機摸出20個球

作為樣本，用隨機變量X表示樣本中黃球的個數，則X服從二項分布，且E（x）=8

7.若隨機變量X的可能取值為L2,3,4,且尸（X=Q=/l左（左=1,2,3,4）,則O（X）=（）

A.1B.2C.3D.4

8.設。，6,c是不全相等的實數，隨機變量J取值為。，6,c的概率都是:，隨機變量〃取值為零手，

b+2023cc+2023。4右相片必.曰1.、

方『，的概率也都是屋n則iI（）

A.E?<E[〃],。團<。同B.E[^E[TJ],。?>以〃]

C.E?<E㈤，D[^]=D[TJ]D.E[^]=E[n],D[^]=D[n]

9.某人在〃次射擊中擊中目標的次數為X,XB（n,p）,其中〃eN*,擊中奇數次為事件A,

則（）

A.若〃=10,p=0.8,則尸（X=/:）取最大值時左=9

B.當時，D（X）取得最小值

C.當0<p<；時，P(A)隨著"的增大而增大

D.當;<p<l時，P(A)隨著，的增大而減小

10.下列說法不正確的是()

A.一組數據1,4,14,6,13,10,17,19的25%分位數為5

B.一組數據加，3,2,5,7的中位數為3,則根的取值范圍是(-8,引

C.若隨機變量X~2(4,；),則方差。(3X+1)=4

D.若隨機變量X~N(LL),且尸(0<X<1)=04,則尸(X>2)=0.1

考點02：超幾何分布

11.一箱蘋果共有12個蘋果，其中有〃(2<〃<7)個是爛果，從這箱蘋果中隨機抽取3個.恰有2個爛果的

概率為U，貝卜2=()

A.3B.4C.5D.6

12.2024年“與輝同行”直播間開播，董宇輝領銜7位主播從“心”出發，其中男性5人，女性3人，現需排

班晚8：00黃金檔，隨機抽取兩人，則男生人數的期望為()

3354

A.—B.—C.—D.一

5443

13.某商場推出一種抽獎活動：盒子中裝有有獎券和無獎券共10張券，客戶從中任意抽取2張，若至少抽

中1張有獎券，則該客戶中獎，否則不中獎.客戶甲每天都參加1次抽獎活動，一個月(30天)下來，發現

自己共中獎11次，根據這個結果，估計盒子中的有獎券有()

A.1張B.2張C.3張D.4張

14.袋中有6個大小相同的黑球，編號為1,2,345,6,還有4個同樣大小的白球，編號為7,8,9,10,現從中任

取4個球，則下列結論中正確的是()

①取出的最大號碼X服從超幾何分布；

②取出的黑球個數Y服從超幾何分布；

③取出2個白球的概率為L；

④若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則總得分最大的概率為」

14

A.①②B.②④C.③④D.①③④

15.下列說法正確的為()

A.某高中為了解在校學生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法從該校三個年級的

學生中抽取一個容量為60的樣本.已知該校高一、高二、高三年級學生數之比為5:4:3,則應從高三年

級中抽取14名學生

B.10件產品中有8件正品，2件次品，若從這10件產品中任取2件，則恰好取到1件次品的概率為g

C.若隨機變量X服從正態分布N（2,〃），P（X<5）=0.86,則尸（XW-1）=（M4

D.設某校男生體重'（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關關系，根據一組樣本數據

（4,）1=1,2,,n）,用最小二乘法建立的回歸方程為5=Q85x-82,若該校某男生的身高為170cm,

則可斷定其體重為62.5kg

16.在一次“概率”相關的研究性活動中，老師在每個箱子中裝了4個小球，其中3個是白球，1個是黑球,

用兩種方法讓同學們來摸球.方法一：在20箱中各任意摸出一個小球；方法二：在10箱中各任意摸出兩個

小球.將方法一、二至少能摸出一個黑球的概率分別記為Pi和2,則（）

A.pt=p2B.>p2

C.px<p2D.以上三種情況都有可能

17.2021年1月18日，國家統計局公布我國2020年GDP總量首次突破100萬億元，這是我國經濟里程碑

式的新飛躍.尤其第三產業增長幅度較大，現抽取6個企業，調查其第三產業產值增長量分別為0.4,0.6,

1.2,1.2,1,8,2.0（單位：十萬元），若增長量超過1.5（十萬元）可評為優秀企業，現從6個企業中隨機抽取兩

個，則恰好有一個優秀企業的概率為（）

,2八3r8

A.—B.-C.—D.—

551515

18.《易?系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術數之源，其中河圖排列結構

是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽數，黑點為陰數.若從

這10個數中任取3個數，則這3個數中至少有2個陽數的概率為（）

o-o-o-o~o~o~o

19.紋樣是中國傳統文化的重要組成部分，它既代表著中華民族的悠久歷史、社會的發展進步，也是世界

文化藝術寶庫中的巨大財富.小楠從小就對紋樣藝術有濃厚的興趣.收集了如下9枚紋樣徽章，其中4枚

鳳紋徽章，5枚龍紋徽章.小楠從9枚徽章中任取3枚，則其中至少有一枚鳳紋徽章的概率為().

20.一個班級共有30名學生，其中有10名女生，現從中任選三人代表班級參加學校開展的某項活動，假

設選出的3名代表中的女生人數為變量X,男生的人數為變量匕則P(x=2)+P(y=2)等于

ARG：+c；。

A，-7^3-7^3

C30C30

CC-+C；?C；oD(Gi+Co),(G,o+Co)

GoCjg

考點03:二項分布及二項分布的概率最大問題

21.在概率論中，全概率公式指的是：設o為樣本空間，若事件A，4,…，4兩兩互斥，4口4口一口4=。，

則對任意的事件3=。，有尸(3)=尸(A)尸(3|A)+尸(4)尸(3|&)++P(An)P｛B\An).若甲盒中有2個白

球、2個紅球、1個黑球，乙盒中有％個白球(xeN)、3個紅球、2個黑球，現從甲盒中隨機取出一個球放

入乙盒，再從乙盒中隨機取出一個球，若從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同的概率大于等于盤,

則x的最大值為.

22.近年來，我國外賣業發展迅猛，外賣小哥穿梭在城市的大街小巷成為一道亮麗的風景線.某外賣小哥

每天來往于4個外賣店(外賣店的編號分別為1,2,3,4),約定：每天他首先從1號外賣店取單，叫做第1次

取單，之后，他等可能的前往其余3個外賣店中的任何一個店取單叫做第2次取單，依此類推.假設從第2

次取單開始，他每次都是從上次取單的店之外的3個外賣店取單，設事件A*=｛第左次取單恰好是從1號店

取單｝，P(4)是事件&發生的概率，顯然尸(4)=1，/4)=。，則網4)=

23.馬爾科夫鏈是概率統計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，為狀態空間中經過從一

個狀態到另一個狀態的轉換的隨機過程，該過程要求具備“無記憶”的性質：下一狀態的概率分布只能由當前

狀態決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關.甲口袋中各裝有1個黑球和2個白球，乙口袋中裝有2

個黑球和1個白球，現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復進行〃（〃eN*）次這樣的

操作，記口袋甲中黑球的個數為X",恰有1個黑球的概率為以，則B的值是；X"的數學期望E（X“）

是.

24.甲、乙、丙三個人去做相互傳球訓練，訓練規則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都

等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出.如果第一次由甲將球傳出，設〃次傳球后

球在甲手中的概率為匕，則鳥=;P“=.

25.如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木

釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到

小木釘后都等可能地向左或向右落下，后落入底部的格子中.記格子從左到右的編號分別為04,2,3,.10,

用X表示小球最后落入格子的號碼，若P（X=k）WP（X=k。）,貝性。=.

26.為銘記歷史、緬懷先烈，增強愛國主義情懷，某學校開展共青團知識競賽活動.在最后一輪晉級比賽

中，甲、乙、丙三名同學回答一道有關團史的問題，每個人回答正確與否互不影響.已知甲回答正確的概

111

率為；，甲、丙兩人都回答正確的概率是三，乙、丙兩人都回答正確的概率是丁.若規定三名同學都回答這

個問題，則甲、乙、丙三名同學中至少有1人回答正確的概率為;若規定三名同學搶答這個問題，已

知甲、乙、丙搶到答題機會的概率分別為《，L則這個問題回答正確的概率為.

263

27.已知一道解答題有兩小問，每小問5分，共10分.現每十個人中有六人能夠做出第一問，但在第一問做

不出的情況下，第二問做出的概率為0.1；第一問做出的情況下，第二問做不出的概率為06用頻率估計概

率，則此題得滿分的概率是;得0分的概率是.

28.甲和乙兩個箱子中各裝有5個大小相同的小球，其中甲箱中有3個紅球、2個白球，乙箱中有4個紅球、

1個白球，從甲箱中隨機抽出2個球，在已知至少抽到一個紅球的條件下，則2個球都是紅球的概率

為;擲一枚質地均勻的骰子，如果點數小于等于4,從甲箱子中隨機抽出1個球；如果點數大

于等于5,從乙箱子中隨機抽出1個球，若抽到的是紅球，則它是來自乙箱的概率是.

29.某單位為了提高員工身體素質，開展雙人投籃比寒，現甲、乙兩人為一組參加比賽，每次由其中一人投

籃，規則如下：若投中，則此人繼續投籃，若未投中，則換為對方投籃，無論之前投籃的情況如何，甲每

次投籃的命中率均為;，乙每次投籃的命中率均為《.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、

乙的概率各為"第2次投籃的人是甲的概率為；已知在第2次投籃的人是乙的情況下，第1次投

籃的人是甲的概率為.

30.學習小組為了研究手機對學生學習的影響，對本學校學生手機使用情況統計分析有以下結果：若學生

前一天沒有玩手機，則接下來一天也不玩手機的概率為0.7,若學生前一天玩手機，接下來一天也玩手機的

概率為0.8.已知一個學生第一天沒玩手機，根據這個統計結果計算，那么他第二天玩手機的概率為,

第三天不玩手機的概率為.

考點04:正態分布常考題型

31.若隨機變量X~N3b2）,且尸（X"）=P（XVl）=0.4,則尸仁4乂<4卜.

32.正態分布N（l,4）在區間（-3,-1）和（3,5）上取值的概率為《，P2,則二者的大小關系為.

33.某生產線正常生產下生產的產品A的一項質量指標X近似服從正態分布N（5,〃），若

P（X<a）=P（X>\+2a）,則實數。的值為.

34.李明記錄了自己50次坐公交車所花的時間為X（單位：分鐘），經數據分析發現X服從正態分布，平

均時間為36分鐘，方差為36,則P（30WXW48）=.

P（〃-5VXW〃+5）=O.6827,P（4-25WX?〃+25）=O.9545

35.某次數學練習中，學生成績X服從正態分布N（115,b2）,若尸（105VXV125）=；,則從參加這次考試的

學生中任意選取3名學生，至少有2名學生的成績高于125的概率是.

1(X-1)2

36.隨機變量X的概率分布密度函數/（x）=11中(xeR),其圖象如圖所示,設尸(XN2)=0.15,

CTA/2TI

則圖中陰影部分的面積為

37.某市統計高中生身體素質狀況，規定身體素質指標值在［60,口)內就認為身體素質合格，在［60,84］內

就認為身體素質良好，在［84,+?)內就認為身體素質優秀，現從全市隨機抽取100名高中生的身體素質指標

100100

值*=1,2,3,...,100),經計算=7200,士才=100x(722+36).若該市高中生的身體素質指標值服從正

Z=1Z=1

態分布則估計該市高中生身體素質良好的概率為.(用百分數作答，精確到Q1%)

參考數據：若隨機變量X服從正態分布貝"(〃-bMX"+bh0.6827,

P("-2cr<X<］LI+2b)?0.9545,P(/z—3cr<X<//+3b)?0.9973.

38.已知某種零件的尺寸(單位：mm)在［83.8,86.2］內的為合格品.某企業生產的該種零件的尺寸X服從

正態分布N(85,(T2),且尸(X<83.8)=0.1,則估計該企業生產的2000個零件中合格品的個數為.

39.某企業生產一種零部件，其質量指標介于(49.6,50.4)的為優品.技術改造前，該企業生產的該種零部件

質量指標服從正態分布N(50,0.16)；技術改造后，該企業生產的同種零部件質量指標服從正態分布

N(50,0.04).那么，該企業生產的這種零部件技術改造后的優品率與技術改造前的優品率之差為.(若

X~N(M，〃)，則尸(|Xcr)=0.6827,尸(|X-4|<2b)=0.9545,尸(|X—〃|<3cr)=0.9973)

40.小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常選擇自駕、公交或地鐵這三種方式.若小明選擇自駕，

則從家里到達公司所用的時間(單位：分鐘)服從正態分布2(38,25)；若小明選擇地鐵，則從家里到達公司所

用的時間(單位：分鐘)服從正態分布N?(45,9)；若小明選擇公交，則從家里到達公司所用的時間(單位：分鐘)

服從正態分布2(36,16).若小明上午8：12從家里出發，則選擇_____上班遲到的可能性最小.(填“自駕”“公

交”或“地鐵”)

參考數據：若則尸(〃一卜68.3%,尸(〃—2bWXW〃+2cr)y95.4%,

P^JU-3CT<X<ju+3o■卜99.7%

考點05:獨立事件的乘法公式

41.目前不少網絡媒體都引入了虛擬主播，某視頻平臺引入虛擬主播A,在第1天的直播中有超過100萬

次的觀看.

(1)已知小李第1天觀看了虛擬主播A的直播，若小李前一天觀看了虛擬主播A的直播，則當天觀看虛擬主

13

播A的直播的概率為:，若前一天沒有觀看虛擬主播A的直播，則當天觀看虛擬主播A的直播的概率為：，

求小李第2天與第3天至少有一天觀看虛擬主播A的直播的概率;

2

(2)若未來10天內虛擬主播A的直播每天有超過100萬次觀看的概率均為§,記這10天中每天有超過100

萬次觀看的天數為X.

①判斷左為何值時，P(X=M最大；

②記y=(T『，求石").

42.甲、乙兩名圍棋學員進行圍棋比賽，規定每局比賽勝者得1分，負者得。分，平局雙方均得。分，比

賽一直進行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽.已知每局比賽中，甲獲勝的概率為

乙獲勝的概率為尸，兩人平局的概率為/(￡+分+7=1,&>0,4>0,720),且每局比賽結果相互獨立.

221

(1)^?=-,求進行4局比賽后甲學員贏得比賽的概率；

⑵當7=0時，

(i)若比賽最多進行5局，求比賽結束時比賽局數X的分布列及期望E(X)的最大值；

(ii)若比賽不限制局數，求“甲學員贏得比賽”的概率(用火月表示).

43.某箱中有M%+l)MwN*)個除顏色之外均相同的球，上己知.箱中1個球為白球，其余為黑球.現在該箱

中進行一取球實驗:每次從箱中等可能地取出一個球，若取出白球或取球上(％+1)次后結束實驗，否則進行相

應操作進行下一次取球.設實驗結束時的取球次數為X.

⑴若取出黑球后放回箱中，求X的數學期望E(X);

(2)若取出黑球后替換為白球放回箱中，求尸(X=7〃)的最大值鼻，并證明:心心我.

44.希望中學高三(8)班擬舉辦為期兩天的氣排球比賽，晏老師從體育室拿了4個排球放入球車中提供使

用，4個排球中有2個新球與2個舊球，比賽當天從球車中隨機取出2個球進行比賽，賽完后新球變成舊球

放回球車.設第1天與第2天賽完后球車中舊球數量分別為X和K

⑴求K的分布列與數學期望E(Y).

⑵求P(y=3|X=3)與P(X=3|y=3).

45.小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了24元，然后發給朋友A,如果A猜中，A將獲得紅包里

的所有金額；如果A未猜中，A將當前的紅包轉發給朋友B,如果B猜中，A、B平分紅包里的金額；如果

8未猜中，8將當前的紅包轉發給朋友C,如果C猜中，A、8和C平分紅包里的金額；如果C未猜中，紅

包里的錢將退回小李的賬戶，設A、B、C猜中的概率分別為:，且A、B、C是否猜中互不影響.

(1)求A恰好獲得8元的概率;

(2)設A獲得的金額為X元，求X的分布列及X的數學期望.

46.小林有五張卡片，他等概率的在每張卡片上寫下1,2,3,4,5中的某個數字.

(1)求五張卡片上的數字都不相同的概率；

(2)證明：這五張卡片上最大的數字最可能是5.

47.甲、乙兩人進行足球射門訓練，設有I、II兩個射門區，約定如下：每人隨機選擇I區內射門或H區內

射門，在I區內射門，進球得1分，不進球得。分；在H區內射門，進球得3分，不進球得。分.已知甲每

21

次在I區內射門進球的概率均為每次在n區內射門進球的概率均為§；乙每次在I區內射門進球的概率

均為g,每次在II區內射門進球的概率均為且甲、乙兩人射門進球與否互不影響(甲、乙各完成一次

射門為一次射門訓練).

(1)在一次射門訓練中，求甲、乙都得0分的概率；

(2)若3次射門訓練中，X表示甲、乙得分相等的射門訓練次數，求隨機變量X的分布列與數學期望.

48.陽春三月，油菜花進入最佳觀賞期，長沙縣江背鎮、望城光明村彭家老屋、瀏陽達滸油菜花田、岳麓

區含泰社區油菜花田都免費向市民、游客開放，長沙某三所高級中學A,B,C組織學生去這四個景區春游，

已知A,8兩所學校去每個景區春游的可能性都相同，C學校去岳麓區含泰社區春游的可能性為:，去其它

三個景區春游的可能性相同.

(1)求望城光明村彭家老屋迎來三所學校春游的概率；

(2)長沙縣江背鎮迎來學校所數的分布列及數學期望.

49.某校甲、乙兩個數學興趣班要進行擴招，經過數學興趣班的海報宣傳，共有4名數學愛好者a,b,c,

d報名參加(字母編號的排列是按照報名的先后順序而定).現通過一個小游戲進行分班，規則如下：在一

個不透明的箱子中放有紅球和黑球各2個，紅球和黑球除顏色不同之外，其余大小、形狀完全相同，按報

名先后順序，先由第一名數學愛好者從箱子中不放回地摸出1個小球，再另取完全相同的紅球和黑球各1

個放入箱子中；接著由下一名數學愛好者從箱子中不放回地摸出1個小球后，再放入完全相同的紅球和黑

球各1個，如此重復，直至4名數學愛好者均摸球完畢.數學愛好者若摸出紅球，則被分至甲班，否則被

分至乙班.

(1)求°,6,c三名數學愛好者均被分至同一個興趣班的概率；

(2)記甲、乙兩個興趣班最終擴招的人數分別為e,力記X=|e-/,求E(X).

50.學校團委和工會聯合組織教職員工進行益智健身活動比賽.經多輪比賽后，由教師甲、乙作為代表進行決

賽.決賽共設三個項目，每個項目勝者得10分，負者得-5分，沒有平局.三個項目比賽結束后，總得分高的

獲得冠軍.已知教師甲在三個項目中獲勝的概率分別為040.6,0.6,各項目的比賽結果相互獨立.甲、乙獲得冠

軍的概率分別記為P”P2.

(1)求甲教師總得分為0分的概率；

⑵判斷甲、乙獲得冠軍的實力是否有明顯差別(若加「0|,小2加；因+0.1，則認為甲、乙獲得冠軍的實力

有明顯差別，否則認為沒有明顯差別.

考點鞏固卷24分布列及三大分布(五大考點)

室考堂登亮

匕切焉顯技巧4考點例體

考點01:分布列均值和方差的性質

離散型隨機變量的均值與方差

1.均值

若離散型隨機變量x的分布列為

X玉%xiXn

pPlPlPiPn

稱E(X)=%n+x2P°++人口++%P“=1為隨機變量X的均值或數學期望，它反映了離散型隨機變量取

值的平均水平.

2.均值的性質

(1)E(C)=C為常數).

(2)若y=+其中a,6為常數，則/也是隨機變量，且E(aX+6)=aE(X)+Z?.

(3)E(Xj+X2)=E(Xt)+E(X2).

(4)如果XrX?相互獨立，則石(區以2)=口用).石儂2).

3.方差

若離散型隨機變量X的分布列為

X王x2%Xn

pPlPiPiPn

則稱￡>(X)=f(x,-E(X))2p,為隨機變量x的方差，并稱其算術平方根向處為隨機變量X的標準差?

1=1

4.方差的性質

(1)^Y=aX+b,其中a,6為常數，則Y也是隨機變量，S.D(aX+b)=a2D(X).

(2)方差公式的變形：D(X)=E(X2)-[E(X)]2.

1.某城市采用搖號買車的方式，有20萬人搖號，每個月搖上的人退出搖號，沒有搖上的人繼續進入下月

一111

搖號，每個月都有人補充進搖號隊伍，每個季度第一個月搖上的概率為;7,第二個月為入，第三個月為：，

109o

則平均每個人搖上需要的時間為（）個月.

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【分析】表示每個人搖上需要的時間及其對應概率后，借助期望公式與錯位相減法計算即可得.

【詳解】設X表示搖上需要的時間，則X可能取1、2、3、L、〃、L,

1O11

則尸(X=1)=—,尸(X=2)=—x—=—

1710'710910

98717

p(X=3)=—x-x-=—,尸(X=4)=——X—X—X——=--------

v7109810v)109810100

7

P(X=5)=UN,

1098109WO

P(X=3k+l)=P(X=3k+l)=P(X=3k+3)=I，（左￡N）,

L

i7

故磯X)F(1+2+3)+礪x(4+5+6)+

+x，x(3/+1+3/+2+3/+3)+.—

2

（左+）：

-6x—+15x—x—+24x—x++96x

10101010￡

23

7171?

則，磯X)=6x—x，+15x—x+24x——1x+

10v7101010A10

k+1

+(9左+6)xjx+

2

故：（）X±X2X±X77

EX=g+9+9++9x—x+

101010101010

32121f7Y-12721f7產

=—H------------x——+..=-----------x——+

51010UoJ1010UoJ

10[2721f7Y-1

即E(x)=——x-----------x——

311010UOj

當k時，E(X)f9,故平均每個人搖上需要的時間為9個月.

故選：C.

2.有甲、乙兩個不透明的袋子，甲袋子里有1個白球，乙袋子里有5個白球和5個黑球，現從乙袋子里隨

機取出左(14左W10#eN*)個球放入甲袋子里，再從甲袋子里隨機取出一個球，記取到的白球的個數為X,

則當變大時()

A.E(X)變小B.E(X)先變小再變大

C.E(X)變大D.E(X)先變大再變小

【答案】A

【分析】運用超幾何分布與兩點分布，求解離散隨機變量的期望，然后判斷選項.

【詳解】由題意可知，從乙盒子里隨機取出個球，其中白球的個數X服從超幾何分布,

則E(X)=Z>^=g.故從甲盒子里隨機取一球，相當于從含有弓+1)個白球的(％+1)個球中取一球，取到白

球的個數為X,

&1

易知隨機變量X服從兩點分布，故p(Y1)一5二、I，

k+122k+2

所以E(X)=P(X=1)=：+不二，隨著左的增加，E(X)減小.

22Z+2

故選：A

3.克拉麗絲有一枚不對稱的硬幣.每次擲出后正面向上的概率為。她擲了上次硬幣，最終有10

次正面向上.但她沒有留意自己一共擲了多少次硬幣.設隨機變量X表示每擲N次硬幣中正面向上的次數，現

以使P(X=10)最大的N值估計N的取值并計算E(X).(若有多個N使尸(X=10)最大，則取其中的最小N

值).下列說法正確的是()

A.E(X)>10B.E(X)<10

C.￡(X)=10D.E(X)與10的大小無法確定

【答案】B

【分析】由題可知X服從二項分布B(N,p),尸(XulOXCtpRl-p)”。，結合

10N10N9

p(1-p)~'°>C^+1p(1-p)~,計算得又Nel+和E(X)=即,E(X)<10,故得E(X)<10.

【詳解】由題，X服從二項分布B(N,p),則尸(*=10)=，0|°(1-「)短。，

P(X=10)最大即為滿足-p)N~10>C，pi°(l-P產9的最小N,

C昵。1N-910

即為Nlo--------------->1^N>——1

4-(1產91-pN+lp

又Ns、,故一-1為整數時，N=—-1,——1不為整數時N為大于一-1的最小整數，

PPPP

而E(X)=Np,E(X)<10oN<W,當W-l為整數時顯然成立，

PP

當”-1不為整數時大于3-1的最小整數為電的整數部分，其小于電，

pppp

故E(X)<10,

答選：B.

4.下列說法中，正確命題的個數為()

①已知隨機變量X服從二項分布21[J,若E(3X+1)=6,則〃=5.

②對具有線性相關關系的變量x,y,其線性回歸方程為9=Q3x-加，若樣本點的中心為(〃?,2.8),則實數

m的值是T.

③以模型〉=。6及去擬合一組數據時，為了求出回歸方程，設z=lny,求得線性回歸方程為z=0.3x+4,則

。、上的值分別是不和。3

④若樣本數據占，0，稅的方差為2,則數據:2%-1,2x2-1,-,2/-1的方差為16

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】D

【分析】根據二項分布的期望公式及期望的性質判斷①；根據回歸直線方程必過樣本中心點，判斷②；將

兩邊取對數，即可判斷③；根據方差的性質判斷④.

【詳解】對于①：因為X服從二項分布所以E(X)=f,

rj

所以E(3X+l)=3E(X)+l=3x§+l=6,解得〃=5,故①正確；

對于②：因為線性回歸直線必過樣本中心點，所以2.8=0.3m-加，可得加=T,故②正確;

對于③：由>=免辰兩邊取對數可得lny=lnc+版,

令z=lny,求得線性回歸方程為z=0.3x+4,所以左=0.3,lnc=4,則左=0.3,c=e4,故③正確;

對于④：若樣本數據否,尤2稔，，占。的方差為2,則數據2占-1,2%-1,,2/-1的方差為22x2=8,故④錯

誤;

故正確的為①②③共3個.

故選：D

5.下列命題中，不正確的是（）

A.若隨機變量則Z）（X）=；

B.若隨機變量X~N（5,〃），且p（34X<5）=0.3,貝UP（XN7）=0.2

][8

C.若x>0,xy=l,則丁+丁+----的最小值為4

2尤2yx+y

D.兩個隨機變量的相關系數「越大，兩個變量的線性相關性越強

【答案】D

【分析】對于A,由二項分布方差公式計算即可；對于B,由正態分布的對稱性計算即可；對于C,由基本

不等式計算即可；對于D,根據相關系數的意義即可判斷.

【詳解】對于A,隨機變量丫~8（5、），由二項分布方差公式得D（X）=77p（l-0）=5x；x；=:,故A正確；

對于B,隨機變量X~N（5,，）,尸（3VXW5）=O.3,由正態分布的對稱性得P（X27）=匕與氾=0.2,故B

正確；

對于C,由％>0,孫=1,貝！Jy>0,

所以丁+丁+丁=皆+丁+丁=5（x+y）+丁22b（x+y）x丁=4

2x2yx+y2x2yx+y2x+yv2x+y

[8x=2+yfi

當且僅當尸則取等號，故C正確;

y=2-6

對于D,線性相關系數〃的范圍在-1到1之間，有正有負，相關有正相關和負相關,

相關系數的絕對值的大小越接近于1,兩個變量的線性相關性越強；

反之，線性相關性越弱，故D錯誤.

故選：D.

6.下列命題錯誤的是()

A.兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近于1

B.設&~2(〃,初，若E(/=30,。?=20,貝緘=90

C.線性回歸直線y=bx+a一定經過樣本點的中心(x,9)

D.一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中不放回地隨機摸出20個球

作為樣本，用隨機變量X表示樣本中黃球的個數，則X服從二項分布，且E(x)=8

【答案】D

【分析】根據相關系數的表示意義、二項分布的有關性質、線性回歸方程和超幾何分布的定義依次判斷選

項即可.

【詳解】A：兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近于1,故A正確；

(np=30

B：由J3(〃成石?=30,。?=20,得〈尸解得〃=90,故B正確；

[np(l-p)=20

C：線性回歸直線y=+e一定經過樣本點的中心",7),故C正確；

D：由于是不放回地隨機摸出20個球作為樣本，

所以由超幾何分布的定義知X服從超幾何分布，得E(X)=」號=8,故D錯誤；

故選：D

7.若隨機變量X的可能取值為123,4,且尸(X=Q=〃："=1,2,3,4),則。(X)=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】先根據概率之和等于1得到方程，求出力=：,計算出期望，進而計算出方差.

【詳解】由題意得彳+24+34+4彳=1,解得2=

1934

故石(X)=lx—+2x—+3x—+4x—=3,

V710101010

D(X)=(l-3)2x—+(2-3)2x—+(3-3)2X—+(4-3)2x—=1.

v7v710v710v710v710

故選：A

8.設“，6,。是不全相等的實數，隨機變量J取值為b,c的概率都是:，隨機變量〃取值為巴端改，

b+2023cc+2023。立m必七pi/、

———?的概率也都17是qg,則nil()

202420243

A.E?＜磯司，。團＜D歷］B.研同=同力，。團團

C.E團〈磯可，。?=。［〃］D.明同=司川，D[^]=D[TI]

【答案】B

【分析】首先求出E?,設”;（。+人+C）,從而得到。團，￡［引、。㈤，再利用作差法判斷。團與。㈤

的大小關系，即可得解.

【詳解】因為隨機變量J取值為。，b,。的概率都是:,

/.石團=g(a+b+c),設f=g(〃+b+c),

貝I明=g[("/—)2+(c-)2]

11

“+b2+c2-6/+3Z2]；

33

a+2023b"2023cc+2023a的概率都是:，

隨機變量〃取值為

202420242024

.￡[〃卜