2025屆吉林省白城市第一中學高三一模數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

氏+2a+etc,20S,i

1.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且一l--=—'則”=（）

CIQICZ/r11DQ

A.-B.-C.—D.-

76114

2.如圖，在水平地面上的圓錐形物體的母線長為12,底面圓的半徑等于4,一只小蟲從圓

錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐側面爬行一周后回到點P處，則小蟲爬行的最短路程為（）

A.12A/3B.16C.24D.24囪

3.若復數(shù)z滿足z（3+4i）=5（其中i是虛數(shù)單位），則目=（）

A.1B.2C.5D.—

4.單位圓。：/+;/=1上有兩個動點Ngy?）,且滿足&w+x%=g，貝1J

網(wǎng)+%+%+丫2的取值范圍為（）

A.^A/2—l,>/2+1JB.|^A/3—1,A/3+1J

C.[也向D.[-訪岡

5.從某市參加升學考試的學生中隨機抽查1000名學生的數(shù)學成績進行統(tǒng)計分析，在這個問

題中，下列說法錯誤的是（）

A.總體指的是該市參加升學考試的全體學生的數(shù)學成績

B.樣本是指1000名學生的數(shù)學成績

C.樣本量指的是1000名學生

D.個體指的是該市參加升學考試的每一名學生的數(shù)學成績

6.已知圓C:尤2+V-2x=0,過圓C外一點尸作圓的兩條切線，切點分別為4氏三角形小

的面積為走，則尸C的長為()

12

A.也B.這C.6D.2

33

7.若數(shù)列｛%｝的前〃項和S,滿足S,=〃2+〃+3,則()

A.數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列

B.數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列

C.S4-S2,S6-S4,1-$6不為等差數(shù)列

q17

D.a,+、的最小值為］

n2

8.設i為虛數(shù)單位，aeR,若Q+i)(l+ai)是純虛數(shù)，則。=()

A.2B.-2C.1D.-1

二、多選題

9.已知隨機變量X,Y,其中y=3X+l,已知隨機變量X的分布列如下表

X12345

13

Pmn

10510

若磯X)=3,則()

A.m=^B.?=1C.E(r)=10D.0(7)=21

10.已知雙曲線C:2-方=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為耳(一G。),巴(G。)，直線

/:反+毆-秘=。與C相交于點M,與C的一條漸近線相交于點N,C的離心率為e,則()

A.若NF\LNF,,則e=2B.若嗎，5，則e=2后

C.若|峭|=2|吟|,則《=忘D.^\MF,\>5\MF2\,則勿應

11.若｛%｝是公比為q(#0)的等比數(shù)列，記S“為｛%｝的前〃項和，則下列說法正確的是()

A.若％>0,0<q<l,則｛q｝為遞減數(shù)列

試卷第2頁，共4頁

B.若可則｛4｝為遞增數(shù)列

C.若4>0,貝電+熊〉？*

71，、

D.若勿=一,則也｝是等比數(shù)列

an

三、填空題

12.函數(shù)丫=(*+5)0+2)->_1)的最小值為_________.

X+1

%+%2

13.等比數(shù)列｛〃“｝的公比為4,其通項為凡,如果(.+%乂i+g3)=>,則4=;數(shù)列

｛(-1)"+log2^)的前5項和為.

14.某校決定從高一、高二兩個年級分別抽取100人、60人參加演出活動，高一100人中

女生占高二60人中女生占:，則從中抽取1人恰好是女生的概率為____.

54

四、解答題

15.在VABC中，CD為邊上的高，已知AC+3C=AB+CD.

C

(1)若AB=2CD,求tan耳的值；

(2)若=k>0,求tanC的最小值及tanC取最小值時上的值.

16.在數(shù)列｛%｝中，a；+l+2a?+1=anan+2+an+an+2,且6=2,g=5.

⑴證明：數(shù)列｛%+斗是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛為｝的前〃項和S”.

17.已知函數(shù)/(x)=e*+cosx-2.

⑴設r(x)為〃x)的導函數(shù)，求/'⑺在[0,+8)上的最小值；

⑵令g(x)=/(x)-辦(acR),證明：當時，在-],01上g(x)<0.

18.已知函數(shù)/(%)=6￡-。111(*+1)，8(*)=$以一%,其中aeR.

⑴證明：當xe[0,4w)時,g(x)<0；

⑵若無>0時，/(X)有極小值，求實數(shù)。的取值范圍;

(3)對任意的xe[0,兀].2〃x)2g，(x)+2恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

19.在三棱錐A-3CD中，瓦H分別是線段4氏">的中點，尸,3分別是線段。民。。上的

點，且空==求證:

BFDG2

(1)四邊形EFGH是梯形;

(2)ACERGH三條直線相交于同一點.

試卷第4頁，共4頁

《2025屆吉林省白城市第一中學高三一模數(shù)學試題》參考答案

題號12345678910

答案DACDCBDCACACD

題號11

答案ABD

1.D

+2a+a.20a.5

【分析】由一l--=77-利用等差數(shù)列的性質可得-^=77,再由求和公式可得結

a3+a611%+411

果.

%+2%+42a+2a74420

【詳解】因為5

。3+4〃3+&〃3+。611

a,

所以七

11

S.,1la,_5

可得

4（4+4）4,

故選：D.

【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質以及等差數(shù)列的求和公式，意在考查學生靈活運用數(shù)

學知識解答問題的能力，屬于中檔題.

2.A

【分析】可先求出側面展開扇形的圓心角，利用余弦定理即可求出.

【詳解】如圖，設圓錐側面展開扇形的圓心角為6,

97T

則由題可得2萬x4=129,則。=看，

在MAPOP中，OP=OP=12,

則小蟲爬行的最短路程為PP,=J122+122-2X12X12X=12互

故選：A.

3.C

【分析】先通過復數(shù)的除法運算算出復數(shù)，再求出模即可.

答案第1頁，共13頁

22

【詳解】2=京=]（3-4i）=3-4i,.-.|2|=^3+（-4）=5.

故選：C.

4.D

【分析】由題意得/MON=；,進一步設M（cos，,sin。），^^cos^+^,sin^+^l

。40,2兀），從而將%+%+%+%表示成與。有關的三角函數(shù)，進一步即可求解.

【詳解】連接OM，ON,因為玉%+%%=：，即OM-ON=],則NMON=T.

不妨設M（cos6,sin。）,A^^cos,sin,6>G[0,2TI）,

則%+/+y+%=cose+cos+；）+sine+sin+g]

6+33-yj3.口rr（A/6+A/2A/6—^/2.

=-----cos〃H-------sinc/=Vo---------cosaH---------sin〃

22I44J

=布（sincos6+cossin"sin,

故-?<xl+x2+yl+y2<46.

故選：D.

5.C

【分析】根據(jù)總體、樣本、樣本容量和個體的定義直接判斷選項即可.

【詳解】總體指的是該市參加升學考試的全體學生的數(shù)學成績，A正確；

樣本是指1000名學生的數(shù)學成績，B正確；

樣本量是1000,C錯誤；

個體指的是該市參加升學考試的每一名學生的數(shù)學成績，D正確.

故選：C

6.B

【分析】根據(jù)已知條件設/APC=。，得Sv=；|PA『sin2a=\,在Rt"PC中，|上4|用

——1表示，由此得到關于。的方程，三角恒等變換化簡解得。==71,即可在Rt^APC中求解

tana3

PC.

【詳解】因為C：x2+y2-2尤=0可化為（x一l）2+y2=l,

答案第2頁，共13頁

設ZAPC=a,S^PAB=；|PA『sin2a,

三角形APC直角三角形，4c=90°,|C4|=1,

所以|PA|=—所以！——sin2a=

tana2tana12

即112sina?cosa所以一^tana_

2tan2asin2cr+cos2a12tanal+tan2cr12

整理可得：tan3?+tana-473=0,(tana-V3)(tan2a+^tana+4)=0

tan2a+y/3tana+4>0,所以tana-g=0,

解得tancif=6，"￡，所以0=];

因此在RtAAPC中，|PC|=」一=2".

sina3

故選：B

7.D

5,n=l

【分析】降次作差即可得到%=c、.，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可判斷A,根據(jù)數(shù)列單

[2n,n>2

調性即可判B,求出相關值即可判斷C,利用對勾函數(shù)的性質即可判斷D.

【詳解】當〃之2時，=S〃一S〃_]=*+“+3—（〃一1）—（〃一1）—3=（2〃-1）+1=2〃，

當"T時'["，?'?%=/壯2

對于A：4=5不滿足a“=2〃，故A不正確;

對于B：4=5>%=4,故B不正確;

對于C：S4-S2=%+%=14,S6-S4=a6+a5=22,S8-S6=a8+a7=30,三項可構成等

差數(shù)列，且公差為8,,故C不正確；

對于D：當〃=1時，Q〃+字=2￡=1。，

n

當〃22時，an+—=2n+"+"+3=3〃+3+1,

nnn

根據(jù)對勾函數(shù)的性質知y=J+1在心2時單調遞增，

317q17

則當〃=2時，3〃+—+1有最小值丁<10,故。“+"的最小值為彳.故D正確.

n2n2

答案第3頁，共13頁

故選：D.

8.C

【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算化簡復數(shù)，進而根據(jù)純虛數(shù)列出關系式即可求解.

【詳解】???（l+i）（l+?i）=l-a+（l+a）i是純虛數(shù)

「?1—。=0,且1+awO，故a=l

故選：C

9.AC

【分析】由分布列的性質和期望公式求出機〃可判斷ABC；由方差公式可判斷D.

1132

【詳解】由機+歷+,+〃+歷=1可得：m+n=—@,

又因為政T）=石（3X+1）=3雙X）+l=10,故C正確.

所以（）冽+13

EX=2x:+3x—+4〃+5x—=3,

510

713

則機+4〃=仿②，所以由①②可得：n=—,m=^,故A正確，B錯誤;

￡＞（X）=（1-3）2X—+（2-3）2X—+（3-3）2X-+（4-3）2X—+（5-3）2X—

v710v710v75v710v710

=4XA+1X±+1X±+4XA=13

10101010y

13117

￡＞（y）=￡?（3X+l）=9D（X）=9xy=—,故D錯誤.

故選：AC.

10.ACD

【分析】根據(jù)題意分析可知：直線/與雙曲線C的一條漸近線平行，求點等］.對于A：

根據(jù)向量垂直分析運算；對于B：可得W%|=26,|A*|=2a,結合雙曲線的定義運算求解;

對于C：可知M為|叫|的中點，則M［不用J，代入雙曲線方程運算求解；對于D：結合

「2_〃2a22

余弦定理可得四司==吆上J,進而列式求解即可.

2。2。

【詳解】由題意可知：雙曲線C的漸近線為耳（-c,0），B（c,0）,y=±1X,

答案第4頁，共13頁

b

因為直線/的斜率k=—,則直線/與雙曲線。的一條漸近線平行,

a

hah

可知ZNOF=ZNFO,tanZNOF=—,cosZNFO=—,sinZNFO=-,

222a2c2c

b

y=-x

聯(lián)立方程a

bx+ay-bc=0

對于選項A：因為不=怦，手I，研=[-]噌,

V22aJv22aJ

若…，則取加=與+答一小叵”=。'

解得。2=4/，即C=2a,所以e=￡=2,故A正確;

a

對于選項B：若MF、_LMF?,貝！||岫|=山月卜in/A^O=%,|Aff^=^8|cosNA^O=2a,

S.\MFt\-\MF2\=2b-2a=2a,可得2=2,

所以e=￡=Jl+(21=非,故B錯誤;

3cbe?

對于選項C：若|意|=2|嗎可知M為的中點，可得M

田2但丫

且〃在雙曲線C上，貝吐4){4a),

?2b2

即三-￡=1，解得彳=2,所以e=￡=0，故C正確;

16〃16〃aQ

對于選項D：因為|嗎|一|叫|=2%^\MF\=\MF^+2a,

22

國用『+W刃2TM■4c+\MF2^-(2a+\MF2\)_a

且cosZNF2O=即

2閨用用4C-\MF2\~c

解得阿國二?,1黨|=”

答案第5頁，共13頁

若|岫|25|皿I，即3a2+c,5"。）解得￡42,

2a2aa

所以e=￡<虛，故D正確；

a

故選：ACD.

【點睛】方法點睛：L橢圓、雙曲線離心率（離心率范圍）的求法

求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關鍵是根據(jù)已知條件確定a,b,c的等量關系或

不等關系，然后把6用。，c代換，求e的值.

2.焦點三角形的作用

在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關系，如正余弦定理、勾股定理結

合起來.

11.ABD

【分析】根據(jù)遞增，遞減數(shù)列的定義即可判斷AB正確，利用特殊數(shù)列可知C錯誤，根據(jù)等

比數(shù)列的定義可知D正確.

【詳解】在等比數(shù)列中，an+｛-an=an（q~^,

當4>0,0<4<1時，顯然有4（4-1）<0,故數(shù)列為遞減數(shù)列，故A正確;

當％<0,0<夕<1,顯然有凡（q-l）>0,故｛4｝為遞增數(shù)列，故B正確;

若等比數(shù)列｛叫滿足4=1,則S’+熊=1。%，2&=10%，，貝',故C不正確;

設等比數(shù)列｛%｝的公比為以470）,若勿=,，則等='=L所以也,｝是等比數(shù)歹U,

an"nan+iq

公比為,，故D正確；

q

故選：ABD.

12.9

【分析】由題意得x+l>0,原函數(shù)表達式可化為關于x+1的表達式，分離常數(shù)，轉化為可

利用基本不等式求最值的問題，即可得答案.

【詳解】因為x>T,貝iJx+l>0,

廠+7x+10(x+1)~+5(x+1)+4

所以y=----------=-——-——-——--

x+lX+1

4I4~

二(X+1)+——+5>2J(x+l)----+5=9,

x+1vx+1

答案第6頁，共13頁

4

當且僅當x+l=—；即％=1時等號成立，

已知函數(shù)的最小值為9.

故答案為：9.

【點睛】本題考查利用基本不等式求最值問題，難點在于將原函數(shù)的表達式中的分子按照分

母的形式進行配湊，分離常數(shù)，轉化為可利用基本不等式求最值的問題.

13.；或2-16或14

【分析】利用給定條件，結合等比數(shù)列通項列出方程，求解方程得4;分類求出

｛(-l)"+log24"｝的通項,再求出前5項和.

【詳解】等比數(shù)歹地,｝的公比為",由肅—『得瑞照

整理得2/一5?+2=0,所以4=：或4=2；

當q時，(一l)"+log2/=(-l)"-”，數(shù)列｛(-l)"+log24"｝的前5項和為

-1+(-1-2-3-4-5)=-16,

當4=2時,(-ir+log2^=(-ir+?,數(shù)列｛(-1)”+七2力的前5項和為

-1+(1+2+3+4+5)=14,

所以數(shù)列｛(-1)"+1海力的前5項和為-吐或14.

故答案為：；或2；-16或14

14.—

32

【分析】根據(jù)條件概率公式即可求解.

【詳解】用4可分別表示取的一人是來自高一和高二，B表示抽取一個恰好是女生，則由已

知可知：P(A)=粵=：,尸口)=黑=,,且尸(叫A)=。,尸(8區(qū))=

160816081514

所以尸(2)=尸網(wǎng)尸但可+可用尸作團］義|+|義：=||

21

故答案為：—

C4

15.(1)tan—=-

答案第7頁，共13頁

（2）tanC的最小值為y24,此時k的值為3|

【分析】（1）由余弦定理可以得到cosC與邊之間關系，結合第一問的條件利用等面積法既可

以求得；（2）參照第一問的解法，再結合第一問的結論，可以求得tan］的取值范圍，再利用

二倍角公式即可求得.

【詳解】（1）設。，b,c分別為角A,B,C所對的邊，CD=h,則a+b=c+/z.

在VABC中，由余弦定理得

c°sc/+〃一一+

2ab2ab2ablab

1+cosC/z2+2ch=iA.

由—absinC=—c/z^ab=—所以-------=----+---

sinCsinC2ch2c

因為鉆=2處所以0°,于是吠=1+（T

萬2sin一cos一

.C??sinC_4

而tan彳二----「

22cos2-1+cosC5

2

?I_i___h_—_____1___

（2）法一：由（1）知，2cC.

tan—

2

如圖，在VABC中，過B作AB的垂線EB,且使EB=2/z,

貝!!CE=CB=a，則AC+CE=〃+Z?NAE=Jc?+4/?,

即（c+/z）02，+4/，所以A7

14

于是即:Vtang<l

tany42

_2

令函數(shù)1=乏，%e（O,l）,則尸匚在（0,1）上單調遞增,

1—XX

X

C3

2tan-2x—24

所以tanC=--------2->-^=此時

故所求tanC的最小值為9日4，此時人的值為3

答案第8頁，共13頁

E

法二：由S=—absinC=—ch=—c(a+b-c],

222'7

得sinA+sinB-sinC=sinA?sinB,即sinA+sinB-sin(A+5)=sinA-sinB,

1-cosA1-cosBAB

化簡得----------+-------=--1--,BPtan—+tan—=1,

sinAsinB22

AB、2

ftan+tan

A22

因為tan,〉。，tan—>0,所以0<tan—?tan—W——,

22224

7

C1

tan——==11-tan—A?tan—>—33C

于是2AB224,即一Wtan—<1

tan—+—42

22

2

鼻，則

令函數(shù)y=xe(O,l),尸匚^在（0,1）上單調遞增,

C

2tan—2x-

o24

所以tanC=------>--——43

2y,止匕時％二,.

1一tan一3'

21-

故所求tanC的最小值為2三4，此時發(fā)的值為全3

16.（1）證明見解析

⑵3-2"-〃-3

-4,+1

【分析】（1）將。3+2%+|=〃同+2+。“+見+2變形并求出工，根據(jù)等比中項法即可得證；

（2）根據(jù)（1）可求出｛《｝的通項，再利用分組求和結合等比數(shù)列的前"項和公式求解即可.

【詳解】（1）證明：因為。3+2an+1-anan+2+4+%+2,

答案第9頁，共13頁

所以(%+1+1)2=(4+1)(。“+2+1),

目口%+i+1=凡+2+1

艮1)11.

a〃+lan+\+1

因為4=2,%=5,所以％+1=3,2+1=6,

所以數(shù)列｛??+1｝是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列.

(2)由(1)知，a?+1=3-2"-',

所以4=3-2修-1,

而z3(1-2")

所以S”=-------------n=3-2"-n—3-

"1-2

17.(1)1

(2)證明見解析

【分析】(1)通過判斷了'(x)的正負得到廣⑺在[0,+A)上的單調性，再利用單調性求出最

小值即可；

(2)因為g(x)=e*+cosx-ox-2(awR),則g'(x)=e*—sin尤一a2e*]]—1+,令

夕。)='等(-gv尤＜0),求導，通過分析夕(x)的正負，得到9(x)的單調性，從而得出夕⑴

的最值及g(x)的正負，即可得到g(x)的單調性和最值，從而得證.

【詳解】(1)由題意知/'(%)=?"-5111%(%20),

令h(x)=e%-sinx,貝ljh\x)=ex-cos%,

xx

因為當X￡[0,+oo)時，e>l,cosx<l,BP/z\x)=e-cosx>0,

所以/i(x)即f\x)在。+8)上單調遞增，

所以/'(%)在。+到上的最小值為f(0)=1.

(2)由題意知g(x)=e"+cosx-以一2(QER),又因為

所以，(%)=ex-sinx-iz>ex-sinx-1=exH-+S^nXj,

答案第10頁，共13頁

A/、1+sinx.兀/八、

令夕(%)=———(--<x<0),

^2cos^x+^-j-1

貝!)，/、cosx-sinx-1

夕⑴=-一---------?

因為無￡一1°1，所以％+所以cos(x+')2

L2J4L44J42

因此9'(x)N0Mx)在-今,。［上單調遞增，

所以當xe-］,()］時，0(x)<p(O)=l,所以g'(x)>0,

所以gG)在-：。［上單調遞增，所以g(x)<g(0)=0,

即當aWl時，在一萬,。［上g(x)<。.

18.(1)證明見詳解

⑵(L+co)

⑶(-8』

【分析】(1)求導，利用導數(shù)判斷g(x)的單調性，結合單調性分析證明；

(2)求導，令Mx)=(x+l)e-a,x>0,利用導數(shù)分析可知網(wǎng)力在(0,+")內單調遞增，分

類討論〃(0)=1-。的符號，進而分析/(x)的極值，即可得結果；

(3)構建*x)=2/(x)-g'(x)-2,分析可知原題意等價于打x)N0對任意xe［0,可恒成立,

根據(jù)端點效應可得,并代入檢驗說明其充分性即可.

【詳解】(1)因為g(x)=sinx-x,則g，(x)=cosx—1V0對任意xw［0,+oo)恒成立，

可知g(無)在［。,+e)內單調遞減，則g(X)Wg(0)=0,

所以當xe［0,+(?)時，g(x)V0.

(2)因為/(x)=