第05講古典概率及概率的基本性質

（6類核心考點精講精練）

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關聯考點

求離散型隨機變量的均值

2024年新I卷，第14題,5分計算古典概型問題的概率

均值的性質

2024年新n卷，第18題,17利用對立事件的概率公式求獨立事件的乘法公式

分概率求離散型隨機變量的均值

利用互斥事件的概率公式求獨立事件的乘法公式

2023年新n卷,第12題,5分

概率獨立重復試驗的概率問題

2022年新I卷，第5題,5分計算古典概型問題的概率實際問題中的組合計數問題

頻率分布直方圖的實際應用

2022年新II卷,第19題,12利用對立事件的概率公式求

由頻率分布直方圖估計平均數

分概率

計算條件概率

2022年全國甲卷（理），

計算古典概型問題的概率組合計數問題

第15題,5分

2022年全國乙卷（理），利用互斥事件的概率公式求

獨立事件的乘法公式

第10題,5分概率

2022年全國乙卷（理），

計算古典概型問題的概率實際問題中的組合計數問題

第13題,5分

2021年全國甲卷（理），

計算古典概型問題的概率不相鄰排列問題

第10題,5分

2.命題規律及備考策略

【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度較低或中等，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握古典概型的定義，并會相關計算

2.理解并掌握概率的基本性質

3.會計算互斥事件及對立事件的概率

【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，一般考查古典概型的概率計算及互斥、對立事件的辨析及

計算，需強化訓練

知識講解

1.古典概型特點

(1)試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個，即有限性.

(2)每個基本事件發生的可能性相等，即等可能性.

2.古典概型概率公式

4包含的基本事件的個數m

尸⑷一-基本事件的總數——

求古典概型概率的步驟

(1)判斷試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件4

(2)分別求出基本事件的總數n與所求事件A中所包含的基本事件個數

(3)利用公式P(A)=￡,求出事件4的概率.

3.概率的幾個基本性質

(1)概率的取值范圍：OWP(A)WL

(2)必然事件的概率P(E)=L

(3)不可能事件的概率尸(嚴=0.

(4)互斥事件概率的加法公式

①如果事件A與事件B互斥，則P(AUB)=P(A)+P(B).

②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)=1-P(B).

概率加法公式的推廣

當一個事件包含多個結果且各個結果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，即

P(A!UA2U-U4)=P(A1)+P(A2)+-+P(A?).

4.判斷互斥、對立事件的兩種方法

(1)定義法

判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅

有一個發生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件.

(2)集合法

①若各個事件所含的結果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥.

②事件A的對立事件N所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集.

考點一、古典概型的概率計算

典例引領

1.（2024?全國?高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（）

1112

A.—B.-C.—D.一

4323

2.（2023?全國?高考真題）某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作

文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為（）

5211

A.—B.-C.—D.一

6323

3.（2023?全國?高考真題）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名.從這4名學生中隨機選2

名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（）

1.（2022?全國?統考高考真題）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區服務工作，則甲、乙都入選的概

率為?

2.（2021?全國?統考高考真題）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）

,1224

A.—B.—C.—D.一

3535

3.（2022?全國?統考高考真題）從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為（）

1112

A.—B.—C.-D.—

6323

4.（2022?全國?統考高考真題）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為.

5.（2022?全國?統考高考真題）從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到

的2張卡片上的數字之積是4的倍數的概率為（）

考點二、有無放回抽樣的概率

.典例引領

1.（浙江?高考真題）在三張獎券中有一、二等獎各一張，另一張無獎，甲乙兩人各抽取一張（不放回），兩

人都中獎的概率為.

2.（浙江?高考真題）盒子里有4個球，其中1個紅球，1個綠球，2個黃球，從盒中隨機取球，每次取1個，

不放回，直到取出紅球為止.設此過程中取到黃球的個數為乙則尸6=0）=；W。）=.

3.（2024?全國?高考真題）有6個相同的球，分別標有數字1、2、3、4、5、6,從中無放回地隨機取3次,

每次取1個球.記機為前兩次取出的球上數字的平均值，〃為取出的三個球上數字的平均值，則加與”之差

的絕對值不大于1的概率為

2

1.（2024?全國?模擬預測）盒中裝有1,2,3,4四個標號的小球.小明在盒中隨機抽取兩次（不放回），則

抽中的兩次小球號碼均為偶數的概率為（）

1111

A.—B.—C.-D.一

4236

2.（2024?山東日照?三模）從標有1,2,3,4,5的5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一張，則出現

重復編號卡片的概率是（）

,12132223

A.—B.—C.—D.——

25252525

3.（2024?廣東廣州?模擬預測）袋子里有四張卡片，分別標有數字1,2,3,4,從袋子中有放回地依次隨機

抽取四張卡片并記下卡片上數字，則有兩張卡片數字之和為5的概率是.

考點三、判斷互斥事件與對立事件

典例引領

1.若干人站成一排，其中為互斥事件的是（）

A."甲站排頭"與"乙站排頭"B."甲站排頭"與"乙站排尾"

C."甲站排頭"與"乙不站排頭"D."甲不站排頭"與"乙不站排頭”

2.（2023?四川宜賓?三模）拋擲一枚質地均勻的骰子一次，事件1表示"骰子向上的點數為奇數"，事件2表

示“骰子向上的點數為偶數"，事件3表示“骰子向上的點數大于3",事件4表示“骰子向上的點數小于3"則

（）

A.事件1與事件3互斥B.事件1與事件2互為對立事件

C.事件2與事件3互斥D.事件3與事件4互為對立事件

3.（2023?山東聊城?模擬預測）（多選）某個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，設止"該

家庭中有男孩、又有女孩"，N="該家庭中最多有一個女孩"，則下列結論正確的是（）

A.若該家庭中有兩個小孩，則M與N互斥

B.若該家庭中有兩個小孩，則M與N不相互獨立

C.若該家庭中有三個小孩，則M與N不互斥

D.若該家庭中有三個小孩，則m與N相互獨立

1.袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是（）

A.至少有一個白球；都是白球B.至少有一個白球；至少有一個紅球

C.至少有一個白球；紅、黑球各一個D.恰有一個白球；一個白球一個黑球

2.（2022?全國?模擬預測）分別擲兩枚質地均勻的硬幣，"第一枚為正面"記為事件A，"第二枚為正面"記為

事件3,“兩枚結果相同"記為事件C,那么事件A與B,A與C間的關系是（）

A.A與B,A與C均相互獨立B.A與3相互獨立，A與C互斥

C.A與8,A與C均互斥D.A與B互斥，A與C相互獨立

3.（2024?山東荷澤?模擬預測）現有甲、乙、丙、丁四名同學同時到A&C三個不同的社區參加公益活動，

每個社區至少分配一名同學?設事件4="恰有兩人在同一個社區"，事件3="甲同學和乙同學在同一個社區”,

事件C="丙同學和丁同學在同一個社區〃，則下面說法正確的是（）

A.事件A與B相互獨立B.事件A與8是互斥事件

C.事件8與C相互獨立D.事件8與C是對立事件

考點四、互斥事件的概率加法公式

典例引領

1.（2023?全國,統考模擬預測）在古典概型中，若A,B為互斥但不對立事件，則（）

A.P（A）+P（B）＜1B.P（A）+P（B）＞1

C.P（A）+P（B）＜1D,P（A）+P（B）=1

2.（天津?高考真題）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是甲獲勝的概率是1,則甲不輸的概率為

23

5211

A.-B.-C.D.

6563

11Q

3.（2023?全國?高三專題練習）已知事件A,B,C兩兩互斥，若尸（A）=M，P（C）=-,P（AuB）=—,則

P(BoC)=().

871

A.—C.—D.

151153

1.（2022?江蘇?高三專題練習）已知隨機事件A,B互斥,且尸（A+3）=0.8,P（A）=0.3,則P（3）=,

2.（2023?全國?高三專題練習）下列說法錯誤的個數為（）

①對立事件一定是互斥事件；

②若A,5為兩個事件，則P（AUB）=P（A）+P（8）;

③若事件A,B,C兩兩互斥,則尸（A）+尸（3）+尸（C）=L

A.0B.1C.2D.3

3.（2023春?上海寶山?高三上海交大附中校考期中）已知事件A與事件8是互斥事件，則（）

A.P（AnB）=0B.P（AnB）=P（A）P（B）

C.P（A）=1-P（B）D.P（AuB）=l

考點五、利用互斥事件概率公式求概率

典例引領

1.（2024高三?全國?專題練習）某單位電話總機室內有兩部外線電話（和心，在同一時間內，刀打入電話的

概率是0.3,T2打入電話的概率是0.4,兩部同時打入電話的概率是0.1,則至少有一部電話打入的概率

是.

11Q

2.（22-23高一下?江西南昌?階段練習）已知事件AB,C兩兩互斥，若尸（A）=§,P（C）=-,P（AUB）=R,

則P（3uC）=（）.

8271

A.——B.一C.—D.-

153153

3.（2024?云南昆明?模擬預測）甲、乙、丙三人參加一次考試，考試的結果相互獨立，他們合格的概率分別

為；2，；3，（3，則三人中恰有兩人合格的概率是（）

291113

A.-B.—C.—D.—

5203030

1.（2022?全國?高三專題練習）一個盒子內裝有大小相同的紅球、白球和黑球若干個，從中摸出1個球，若

摸出紅球的概率是0.45,摸出白球的概率是0.25,那么摸出黑球或紅球的概率是

A.0.3B.0.55C.0.7D.0.75

2.（2023春?新疆烏魯木齊?高三校考階段練習）某家庭電話，打進的電話響第一聲時被接的概率為響第二

321

聲時被接的概率為伍，響第三聲時被接的概率為彳，響第四聲時被接的概率為歷,則電話在響前四聲內被接的

概率為（）

1934

A.—B.—C.—D.一

210105

考點六、利用對立事件的概率公式求概率

中典例引領

1.（2024?陜西?二模）從甲、乙、丙、丁4名同學中任選2人，則甲未被選中的概率為.

2.（23-24高二上?河北石家莊?期中）將一顆骰子連續拋擲兩次，至少出現一次6點向上的概率是（）

111251

A.—B.—C.—D.—

18363636

3.（2024?全國?模擬預測）設是隨機事件，且P（A）=],P⑻==,尸（AU司=:，則尸（Ac月）=____.

842

10

1.（23-24高一上?江西吉安?期末）已知事件A,8是互斥事件，尸⑷=二，PB=-,則尸（AUB）=（）

6'/3

1412

A.—B.-C.—D.一

18923

2.（2023?河北?模擬預測）某醫院需要從4名女醫生和2名男醫生中抽調3人參加社區的老年義診活動，則

至少有1名男醫生參加的概率為（）

5243

A.—B.—C.—D.一

6355

3.（2024?山西太原?模擬預測）由于天氣原因，夏季相關部門加大對水果儲運環節的抽檢力度，堅決杜絕腐

爛變質的水果流入市場，下表是對運到倉儲點的某種水果進行抽檢后得到的數據.

車輛甲乙丙T

抽檢數量/個35605055

合格數量/個32564753

若從運到倉儲點的四車水果中隨機抽出一個，則估計這個水果不能上市的概率為（）

A.0.06B.0.08C.0.1D.0.12

IN.好題沖關

1.（已知隨機事件A,B,C中，A與B互斥，B與C對立，且尸（A）=0.3,P（C）=0.6,貝l]P（A+3）=（）

A.0.3B.0.6C.0.7D.0.8

2.（2024?山西太原?一模）甲，乙兩名同學要從A、B、C、。四個科目中每人選取三科進行學習，則兩人選

取的科目不完全相同的概率為（）

.3353

A.—B.—C.—D.一

16884

3.（23-24高二下?安徽?期中）現有一批產品共9件，己知其中5件正品和4件次品，現從中選4件產品進

行檢測，則下列事件中互為對立事件的是（）

A.恰好兩件正品與恰好四件正品

B.至少三件正品與全部正品

C.至少一件正品與全部次品

D.至少一件正品與至少一件次品

4.（24-25高三上?遼寧鞍山?開學考試）若為隨機事件，且P（M）=0.4,P（N）=0.3,則（）

A.若MN為互斥事件，則尸（"UN）=0.58

B.若為互斥事件，P（McN）=0.12

C.若為相互獨立事件，P（MuN）=0.7

D.若尸（N[而）=0.4,則P（N|M）=0.15

5.（24-25高三上?上海?開學考試）裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內一次取出2個球，有如下的一些

事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球，其中與事件"兩球都為白球”

互斥而非對立的事件是（）

A.①B.①②C.②③D.①②③

6.（24-25高三上?上海?開學考試）已知事件A與事件B是互斥事件，則（）

A.可無口豆）=1B.P（Ar^B）=P（A）P（B）

C.P（A）=1-P（B）D.P（AUB）=1

7.（23-24高一上?廣東佛山?階段練習）（多選）一個人連續射擊2次，則下列各事件關系中，說法正確的是

（）

A.事件"兩次均擊中"與事件"至多一次擊中"互為對立事件

B.事件"最少一次擊中"與事件"最多一次擊中"為互斥事件

C.事件"恰有一次擊中"與事件"兩次均擊中"為互斥事件

D.事件"兩次均未擊中"與事件"至多一次擊中"互為對立事件

8.（2023?河南?模擬預測）從A,8等5處水樣監測點中隨機選3處進行水樣檢測，則48不同時入選的概

率為?

一、單選題

1.（23-24高二上?湖北武漢?階段練習）從甲、乙等7名同學中隨機選2名參加社區服務工作，則甲、乙至

少一人入選的概率為.

2.（23-24高二下?新疆?期中）某校開設美術、書法、籃球、足球和象棋興趣班.已知該校的學生小明和小

華每人報名參加其中的兩種興趣班，且小明至少參加一種球類的興趣班，則小明和小華至少參加同一個興

趣班的概率是（）

2137

A.-B.-C.—D.—

52510

3.（2023?新疆,校聯考二模）下列有關事件的說法正確的是（）

A.若P（A|J3）=尸（A）+P（3）=l,則事件A,8為對立事件

B.事件A,B中至少有一個發生的概率一定比A,2中恰有一個發生的概率大

C.若A,B為互斥事件,則P（A）+P（3）＜1

D.若事件A,B,C滿足條件P（A）＞0,B和C為互斥事件，則尸（（BuC）|A）＞P（B|A）+P（C|A）

4.（2023?福建廈門?廈門一中校考模擬預測）某商場舉行抽獎活動，箱子里有10個大小一樣的小球，其中

紅色的5個，黃色的3個，藍色的2個，現從中任意取出3個，則其中至少含有兩種不同顏色的小球的概

率為.

5.（24-25高二上?江西宜春?階段練習）有一種珍惜物種，對于其每個個體，每天都會發生如下事件：有

1_p1_P

的概率消失，有亍的概率保持不變，有亍的概率分裂成兩個，對所有新產生的生物每天

也會發生上述事件，假設開始只有一個這樣的珍惜生物，若希望最終這種生物滅絕的概率不超過工，則P的

2

最大值為.

1.（全國?高考真題）從1,2,3,4中任取2個不同的數，則取出的2個數之差的絕對值為2的概率是

1111

A.-B.-C.—D.一

2346

2.（山東?統考高考真題）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游覽，約定每人從泰山、孔府這兩處景點

中任選一處，那么甲、乙兩位同學恰好選取同一處景點的概率是（）

3.（遼寧?高考真題）4張卡片上分別寫有數字L2,3,4,從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張

卡片上的數字之和為奇數的概率為

1123

A.—B.-C.-D.一

3234

4.（重慶?高考真題）鍋中煮有芝麻餡湯圓6個，花生餡湯圓5個，豆沙餡湯圓4個，這三種湯圓的外部特

征完全相同.從中任意舀取4個湯圓，則每種湯圓都至少取到1個的概率為

825—4860

A.—B.—C.—D.—

91919191

5.（廣東?高考真題）在一個袋子中裝有分別標注數字123,4,5的五個小球，這些小球除標注的數字外完全

相同.現從中隨機取出2個小球，則取出的小球標注的數字之和為3或6的概率是（）

.1131

A.—B.-C.—D.—

1051012

6.（全國?高考真題）生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標，若從這5只兔子中隨機取出

3只，則恰有2只測量過該指標的概率為

23

A.B.—

35

21

C.—D.-

55

7.（全國?高考真題）兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是

8.（重慶?高考真題）從5張100元，3張200元，2張300元的奧運預賽門票中任取3張，則所取3張中至

少有2張價格相同的概率為（）.

179323

A.—B.---C.-D.—

4120424

9.（遼寧?高考真題）甲、乙兩人獨立地解同一問題，甲解決這個問題的概率是乙解決這個問題的概率

是P2，那么恰好有1人解決這個問題的概率是

A.PtP2B.口（1-。2）+。2（1-0）

C.1-Pip2D.1—（1——。2）

10.（福建?高考真題）在一個口袋中裝有5個白球和3個黑球，這些球除顏色外完全相同，從中摸出3個球，

至少摸到2個黑球的概率等于

2339

A.-B.-C.—D.—

78728

11.（天津?高考真題）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是1,甲獲勝的概率是工，則甲不輸的概率

23

為

4211

A.—B.—C.—D.—

6563

12.（湖北?高考真題）甲：4、&是互斥事件；乙：4、4是對立事件，那么

A.甲是乙的充要條件B.甲是乙的充分但不必要條件

C.甲是乙的必要但不充分條件D.甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件

13.（安徽?高考真題）袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球，2個白球和3個黑球，從

袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于（）

1234

A.—B.—C.-D.一

5555

14.（陜西?高考真題）從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正

方形邊長的概率為

1234

A.-B.-C.-D.一

5555

15.（重慶?高考真題）從編號為1,2,....10的10個大小相同的球中任取4個，則所取4個球的最大號碼

是6的概率為（）

11-23

A.—B.—C.-D.一

842155

16.（江西,高考真題）將1,2,9這9個數平均分成三組，則每組的三個數都成等差數列的概率為（）

1111

A.-----B.C.—D.—

4203367056

17.（江蘇?高考真題）如圖中有一個信號源和五個接收器.接收器與信號源在同一個串聯線路中時，就能接

收到信號，否則就不能接收到信號.若將圖中左端的六個接線點隨機地平均分成三組，將右端的六個接線

點也隨機地平均分成三組，再把所得六組中每組的兩個接線點用導線連接，則這五個接收器能同時接收到

信號的概率是（）.

信號源

18.（湖北,高考真題）投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上"為事件A,“骰子向上的

點數是3"為事件B,則事件A,B中至少有一件發生的概率是

19.（江蘇?高考真題）將一顆質地均勻的骰子（各面上分別標有點數1,2,3,4,5,6）先后拋擲3次，

至少出現1次6點向上的概率是（）.

5253191

A.---B.---C.---D.---

216216216216

20.（全國?統考高考真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立.已知該棋手

與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為P”P2，P3,且必記該棋手連勝兩盤的概率為P，則（）

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關B.該棋手在第二盤與甲比賽，p最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大

21.（四川?高考真題）12在集合｛1,2,3,4,5｝中任取一個偶數。和一個奇數6構成以原點為起點的向量a=（a,b）.

從所有得到的以原點為起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形.記所有作成的平行四邊形的個數為

〃，其中面積不超過4的平行四邊形的個數為加，則%=

n

41,22

A.—B.一（C.-D.—

15353

22.（全國?高考真題）4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參

加公益活動的概率為

1357

A.B.-C.-D.

8SS8

第05講古典概率及概率的基本性質

（6類核心考點精講精練）

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關聯考點

求離散型隨機變量的均值

2024年新I卷，第14題,5分計算古典概型問題的概率

均值的性質

2024年新II卷,第18題,17利用對立事件的概率公式求獨立事件的乘法公式

分概率求離散型隨機變量的均值

利用互斥事件的概率公式求獨立事件的乘法公式

2023年新II卷，第12題,5分

概率獨立重復試驗的概率問題

2022年新I卷，第5題,5分計算古典概型問題的概率實際問題中的組合計數問題

頻率分布直方圖的實際應用

2022年新n卷，第19題,12利用對立事件的概率公式求

由頻率分布直方圖估計平均數

分概率

計算條件概率

2022年全國甲卷（理），

計算古典概型問題的概率組合計數問題

第15題,5分

2022年全國乙卷（理），利用互斥事件的概率公式求

獨立事件的乘法公式

第10題,5分概率

2022年全國乙卷（理），

計算古典概型問題的概率實際問題中的組合計數問題

第13題,5分

2021年全國甲卷（理），

計算古典概型問題的概率不相鄰排列問題

第10題,5分

2.命題規律及備考策略

【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度較低或中等，分值為5分

【備考策略】L理解、掌握古典概型的定義，并會相關計算

2.理解并掌握概率的基本性質

3.會計算互斥事件及對立事件的概率

【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，一般考查古典概型的概率計算及互斥、對立事件的辨析及

計算，需強化訓練

知識講解

1.古典概型特點

(1)試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個，即有限性.

(2)每個基本事件發生的可能性相等，即等可能性.

2.古典概型概率公式

4包含的基本事件的個數m

"A)一基本事件的總數r

求古典概型概率的步驟

(1)判斷試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件A;

(2)分別求出基本事件的總數n與所求事件A中所包含的基本事件個數m；

(3)利用公式P(A)=￡,求出事件A的概率.

3.概率的幾個基本性質

(1)概率的取值范圍：OWP(A)WL

(2)必然事件的概率P(E)=1.

(3)不可能事件的概率P(F)=O.

(4)互斥事件概率的加法公式

①如果事件A與事件B互斥，則P(AUB)=P(A)+P(B).

②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)=1-P(B).

概率加法公式的推廣

當一個事件包含多個結果且各個結果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，即

P(A1UA2U-UA?)=P(A1)+P(A2)+-+P(A?).

5.判斷互斥、對立事件的兩種方法

(1)定義法

判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅

有一個發生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件.

（2）集合法

①若各個事件所含的結果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥.

②事件A的對立事件7■所含的結果組成的集合，是全集中由事件4所含的結果組成的集合的補集.

考點一、古典概型的概率計算

1.（2024?全國?高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（）

]_12

A1B.C.一D.

,4327

【答案】B

【分析】解法一:畫出樹狀圖，結合古典概型概率公式即可求解.

解法二：分類討論甲乙的位置,結合得到符合條件的情況，然后根據古典概型計算公式進行求解.

【詳解】解法一：畫出樹狀圖，如圖,

乙

甲丙丁

AAA

丙丁乙丁乙丙丙丁甲丁甲丙

T丙丁乙丙乙丁丙丁甲丙甲

T

甲乙丙

AAA

乙丁甲丁甲乙乙丙甲丙甲乙

丁乙丁甲乙甲丙乙丙甲乙甲

由樹狀圖可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24種排法,

其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，

Q1

故所求概率尸=%=3-

解法二：當甲排在排尾，乙排第一位，丙有2種排法，丁就1種，共2種；

當甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1種排法，丁就1種，共2種；

于是甲排在排尾共4種方法，同理乙排在排尾共4種方法，于是共8種排法符合題意;

基本事件總數顯然是A：=24,

Q1

根據古典概型的計算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為才“

故選：B

2.(2023?全國?高考真題)某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作

文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為()

5211

A.—B.-C.—D.一

6323

【答案】A

【分析】對6個主題編號，利用列舉列出甲、乙抽取的所有結果，并求出抽到不同主題的結果，再利用古

典概率求解作答.

【詳解】用1