2025年高考數(shù)學(xué)第二次模擬考試（天津卷02）

全解全析

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的）

1.已知集合/={T,0,l,2,3},3=]xeNVeN1,則/口2=（）

A.{2,3}B.{1,2,3}C.{-1,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3）

【答案】A

【分析】先求出集合8,再利用集合的交運算即可求得結(jié)果.

【詳解】易知3={2,3},所以/口8={2,3},

故選：A.

2.已知向量3=（1,2）,b=（k,-\）,則“=-；”是“日〃小的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的共線的坐標(biāo)關(guān)系，即可根據(jù)充要條件的定義判斷.

【詳解】由1=（1,2）,3=（左,-1）,若至〃幾則2左=-1,解得左=-；,

故"左=-:'是"3〃『’的充要條件，

故選：C

3.已知一組數(shù)據(jù)：70,72,75,76,82,83,84,a,90,其中第70百分位數(shù)是84,則該實數(shù)。的取值范

圍是（）

A.（84,90）B.[84,90）C.[84,+8）D.（84,+⑹

【答案】C

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計算即可求解.

【詳解】由題意知前7個數(shù)據(jù)已按從小到大排列，共有9個數(shù)據(jù)，9x70%=6.3,

又第70百分位數(shù)是84,而84剛好是第7個數(shù)，

284.即實數(shù)。的取值范圍為［84,+co).

故選：C.

4.已知函數(shù)〃x)=(x-a)2+ln(e'+l)是偶函數(shù)，貝匹=()

A.；B.yC.0D.1

【答案】A

【分析】由偶函數(shù)定義可得/(力=/(-”,計算即可得解.

【詳解】由題意可得/(x)=〃f),BP(x-a)2+In(e1-+1)=(-x-a)2+In(e-+1),

整理得4ax=Inj=In卜.x，

即(4a-l)x=0恒成立，即a=；.

故選：A.

5.如圖，高度為我的圓錐形玻璃容器中裝了水，則下列四個容器中，水的體積最接近容器容積一半的是

【分析】設(shè)圓錐的頂點到水面的距離為加〃，圓錐的底面半徑為小根據(jù)水體積和容器容積關(guān)系得到

"3=5,再逐項檢驗即可.

【詳解】設(shè)圓錐的頂點到水面的距離為〃仍，圓錐的底面半徑為，,，

則水面半徑為〃斤.當(dāng)水的體積等于容器容積的一半時，

有2?；?〃?訪=；乃/〃,整理得加3=；.

因為OS=0.125,0.63=0,216,0.73=0,343,0.83=0,512,則D選項更接近1.

故選：D.

6.已知a是銳角,V^sina+zV^cosa=VH,則sina=(

立「V55D.姮

A.B.叵

11111111

【答案】B

【分析】由Vasina+2A/2COS?=VH聯(lián)立sin2a+cos2a=1可得.

【詳解】由Vasina+2A/2COS6Z=VfT得cosa=sina,

由sin2a+cos2a=1得sin2a+=1,

化簡得(VHsina-君)=0,Wsina=-

11

故選：B.

7.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前,項和是％前”項積是4,若Se=3,53=6,則()

A.S“無最大值，(無最小值B.S”有最大值，(無最小值

C.S“無最大值，刀,有最小值D.S“有最大值，北有最小值

【答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前〃項和公式求基本量，進(jìn)而確定為=4-〃且S”=-；(〃-1)249

十一討論判斷

8

的值，即可得答案.

3(。1+。3),

$3=--------二O

2［勾+&=4

【詳解】令數(shù)列公差為"，貝!J即作差可得34=-3,

6(%+%)=3［%+&=1

$6二

2―

所以4=7,則％=3,故。*=。］+("-1)4=3_(〃_1)=4_”,

當(dāng)。“>0得1W〃<4,當(dāng)。,,=0得〃=4,當(dāng)。,,<0得〃>4,

顯然，當(dāng)1W〃<4時北>0,時北=0,所以4有最小值，

且，=叢F=-;('L()2+￥，當(dāng)〃=3或4時，S"有最大值.

222o

故選：D

8.如圖，在高為16的圓柱型筒中，放置兩個半徑均為3的小球，兩個小球均與筒壁相切，且分別與兩底

面相切，已知平面a與兩個小球也相切，平面a被圓筒所截得到的截面為橢圓，則該橢圓的離心率為()

【答案】D

【分析】作出截面圖，由圓柱高和球的半徑求出。02，。4,8的長，由勾股定理求得。耳，的長，再由

三角形全等，求得長半軸長。，由圓柱得到短半軸長b,從而求得半焦距長c,然后由離心率公式求得離心

率的值.

【詳解】設(shè)平面a被圓筒所截得到的截面為橢圓「如圖，作出圓柱過橢圓『的長軸的截面圖，

設(shè)長軸45與兩圓的切點是耳月.連接記橢圓長軸與交于點C，

過C作且8交圓柱的母線于點。，連接。山,。2月，

則。］片_148,O2F21AB.

因為圓柱的高為16,球的半徑是3,所以圓柱的底面半徑為3,002=16-2x3=10,0^=3,8=3.

根據(jù)對稱性可知C是的中點，故CQ=5,則5=Cg=4.易得Rt/CO聲RSDBC,故

BC=C01=5,則橢圓的長半軸長。=5.

由題意得橢圓的短半軸長6=3,所以半焦距長c=4,則橢圓的離心率為上=-,

a5

故選：D.

9.已知正方體-44￡口的棱長為2,M是棱CG的中點，空間中的動點P滿足。尸，且。『=1,

則動點尸的軌跡長度為（）

A.—B.3C.27tD.包玩

55

【答案】D

【分析】分別取4,，4G的中點區(qū)尸，連接DE,即,CF,證明瓦必，平面CDEF，從而可得點尸在平面CDEF

內(nèi)，再根據(jù)。尸=1,得點P在以A為球心，半徑為1的球面上，可得動點尸的軌跡為平面CD斯與球"的

球面的交線，求出平面DE尸截球2所得截面圓的半徑，即可得解.

【詳解】如圖，分別取42出￡的中點區(qū)尸，連接DE,EF,CF,

因為CD_L平面8M匚平面8。。百，所以BMLCD,

在RUBCM,RtACCjF中，BC=CC1,CM=CXF,ZBCM=NCC、F=90°,

所以RUBCM=RbCG尸，所以ZCBM=ZFCQ,

又NBCM=NBCF+NFCq=90°,所以ZBW+NCBM=90。，所以BM_LCF,

又CFcCD=C,CF,CDu平面Q)EF,所以_L平面小陰尸，

由DP_L3M,得點P在平面CAE產(chǎn)內(nèi)，

由4尸=1,得點尸在以。為球心，半徑為1的球面上，

因此動點P的軌跡為平面CDEF與球A的球面的交線，即在平面CDEF內(nèi)的圓，

連接。設(shè)點，到平面。E尸的距離為〃，平面。E尸截球2所得截面圓的半徑為

則由V三橇啊.DEF=匕棱錐尸㈤四得”，=]X2X]X2xl,

且SDEF=；X2X&=^，所以/，則廠=『半=9，

因此動點尸的軌跡長度為也.

5

故選：D.

【點睛】思路點睛：涉及立體圖形中的軌跡問題，若動點在某個平面內(nèi)，利用給定條件，借助線面、面面

平行、垂直等性質(zhì)，確定動點與所在平面內(nèi)的定點或定直線關(guān)系，結(jié)合有關(guān)平面軌跡定義判斷求解.

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.

10.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)三的虛部為_______.

3-1

【答案】1/0.2

【分析】對復(fù)數(shù)z進(jìn)行化簡，從而得到復(fù)數(shù)z的虛部，得到答案.

22(3+i)6+2i31.

[詳解]因為尋八=17T='+『，

3-i(3-i)(3+i)1055

21

所以復(fù)數(shù)不一的虛部為口

3-15

故答案為：—

11.(1+X)6-(1+X)5的展開式中，/的系數(shù)是(用數(shù)字作答)

【答案】10

【分析】由二項式展開式的通項公式可求出指定項的系數(shù).

【詳解】由(l+x)6展開式得1=C*3=20X3,再由(1+X)5展開式得；=C%3=10X3,

所以(l+x『-(l+x)5展開式中含十項是：20X3-10X3=10X3,即它的系數(shù)是：10

故答案為：10.

12.已知圓C:(X-1)2+J/=80,點P在直線/：V=h+7(丘R)上.若存在過點P的直線與圓C相交于A,8兩

點，且|A8|=16,AP=^PB,則左的取值范圍是.

【答案】09'+°0]

【分析】由圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑，結(jié)合圓的垂徑定理、勾股定理可以求出|。門=5,這樣可以確

定點P的軌跡是圓，最后根據(jù)直線/與圓P的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【詳解】圓C：(X-1)2+/=80圓心C(l,0),半徑為4石

設(shè)弦中點為。，連接CP,CQ,

—5—

由|力為=16,AP=-PB,可得點P在弦43上，

且|/尸|=5,|5P|=11,\PQ\=3,

又圓心C到弦23所在直線的距離為：

|CQ|=V80-82=4,

貝U|CP\=7|Ce|2+|CP|2=V42+32=5,

則點P在以C為圓心半徑為5的圓上運動，

又點P在直線/：^=h+7/?R)上，

則直線/與以C為圓心半徑為5的圓有公共點，

則,黑^V5,解之得左2：或左,

所以人的取值范圍是，雙-1"口t+s].

故答案為：f_0C，,--|Ut+e)

13.某校舉行科技文化藝術(shù)節(jié)活動，學(xué)生會準(zhǔn)備安排5名同學(xué)到甲、乙、丙三個不同社團(tuán)開展活動，要求

每個社團(tuán)至少安排一人，則不同的安排方案數(shù)為,如果再加上一名同學(xué)且要求甲社團(tuán)安排三人，乙、

丙至少安排一人，則不同的安排方案數(shù)為.

【答案】150120

【分析】5人時，先對學(xué)生分組，然后再把分好的組分到社團(tuán)即可求解；6人時，直接按人數(shù)分配即可求解.

【詳解】由題意可得，5名同學(xué)的分配方式有兩種，第一種為1:1:3分配，方案數(shù)為生值.A；=60,第二

種為1:2:2分配，方案數(shù)為空G.A；=90,故要求每個社團(tuán)至少安排一人，不同的安排方案數(shù)為

2:3

60+90=150.

如果再加上一名同學(xué)且要求甲社團(tuán)安排三人，有兩種情況，若乙社團(tuán)1人,丙社團(tuán)2人，方案數(shù)為C：C；C：=60,

若乙社團(tuán)2人，丙社團(tuán)1人，方案數(shù)為C：C；C；=60,故不同的安排方案數(shù)為60+60=120.

故答案為：150；120.

14.在△/BC中，點，E分別在邊上，BC=3BD,AC=2AE,若AD,BE交于點,則更~=_______；

IE

當(dāng)5。=3,4。=4,/5=2時，zX/H/的面積為.

【答案】1獨1

16

—?1—?1―?BI

【分析】利用平面向量的基本定理，^^AI=-AB+-AC,用待定系數(shù)法可得二的值，再結(jié)合余弦定理

24IE

和三角函數(shù)值計算出sin4,利用三角形的面積公式可得答案.

【詳解】因為4c=2NE,所以近=2次，

因為3C=38D,所以前=3而，

令號=2(2e(0,l)),所以而=彳厲，所以

AI=AB+BI=AB+——BE=AB+——(AE-AB]=-----AC+——AB

1+/L1+彳、)2(1+2)1+2'

因為3,/,￡共線，所以下=/5+(1-月運=啟5+寧衣，①

因為4/,。共線,

所以應(yīng)=W+(l_y)而n力_方=-^方+0_y).:國_畫,

--2—2V'1—V'

所以4=——^AB+—LAC?,

33

-2-2y

x二-------

31

聯(lián)立①②，?：，解出kj

1-x_1-y4

.〒一丁

—、1—?1—?11BI

故4=5"+/0'所以解出八L故而二】；

222

十人.?.

r.,AB+AC-BC4+16-911

在Z\ABI中，由余弦ZE理，cosA=---------------

2AB?AC2x2x4-T6

因為"￡(。,兀)，所以sin4=

11-3岳3巫

v=—Z5?ZCSHL4=—x2x4x-------=--------

Q“BC22164

AABIA￡iA.D\--［，

4lo

故答案為：①1;②巫.

16

x|x-l|-l,x>0,

15.函數(shù)/(x)=,1,若函數(shù)g(x)=/(l-x)-辦+l(a*o)恰有兩個不同的零點，則實數(shù)。的取

-----,x<0,

U-i

值范圍為

【答案】上"1或"-1

【分析】畫出g(x)=/(i-X)+1,的圖象，數(shù)形結(jié)合后可求參數(shù)的取值范圍.

x|x-l|-l,x>0

【詳解】因為/Xx)=:1

---.x<0

.x—1

(l-x)|x|,x<1

所以〃i-x)+i=1II

-----F1,X〉1

X

則函數(shù)g(x)=/(I-X)-狽+1恰有2個零點等價于/(I-X)+1=ax有兩個不同的解,

故y=/(l-x)+l,>的圖象有兩個不同的交點，

(1-x)x,0<x<l

設(shè)g(x)=/(l-元)+1=<-x(l-x),x<0,

111

-----FI,X〉I

X

又y=g（x）,y=A的圖象如圖所示,

由圖象可得兩個函數(shù)的圖象均過原點,

當(dāng)a*0時,

考慮直線廳"與8（尤）=彳-/（04尤41）的圖象相切,

則由ax=x-x?可得△=(a-I)：-0=0,即。=1,

考慮直線蚱"與8。）=」+1（無21）的圖象相切，

X

由ax=-'+l可得ax2-x+l=0,則A=l-4“=0,即a=；.

x4

考慮直線蚱?與8（》）=/7（》＜0）的圖象相切，

由ax=x2-x可得--（a+l）x=0,則A=（a+1『-0=0,即。=-1,

結(jié)合圖象可得當(dāng)］＜a＜l或。＜-1時，兩個函數(shù)的圖象有兩個不同的交點,

4

綜上，，＜。＜1或a＜-l.

4

故答案為：：＜a＜l或a＜-1.

4

【點睛】方法點睛：數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.解決本問題的方法是把方程根的問題

轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）與直線＞=◎交點個數(shù)問題，作出圖形，結(jié)合圖形求解，并注意臨界值的取舍問題.

四、解答題：本題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

16.（本小題滿分14分）

在銳角△4BC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c.已知°=3,6=20,△48。的面積為3.

⑴求c的值；

⑵求sinS的值；

（3）求sin（28-C）的值.

【答案】⑴逐

⑵手

⑶嚕

【分析】(1)利用三角形面積公式成smc可得角C'再用余弦定理求C；

bc

(2)根據(jù)正弦定理一玄=一二即得;

smBsinC

(3)先用二倍角公式求出sin2B,cos25,然后再用兩角差的正弦公式求值.

【詳解】(1)S^ABC=—absinC=x3x2V2sinC=3V2sinC=3,

B

sinC=—,又△4SC是銳角三角形，

2

7T

又由三角形余弦定理得:

c2=a2+b2-2abcosC=9+8-2x3x2^2cos—=5,

4

:.c=M?

2也逐

bc

(2)由三角形正弦定理得:，即sinB.兀?

sin^sinCsin-

4

272x

275.

sinB=------/=-2

V55

(3)又?.?五"微)cosB=Vl-sin2B=

-5'

sin23=2sinScos5=2x—x—=-

555

43

cos25=cos2^-sin25=—

555

又?Q：，

(3、V2772

/.sin25-C)=sin25cosc-cos25sinC=-^xx----=-----

5210

17.(本小題滿分15分)

如圖所示，在幾何體48coMG中，四邊形4BCD和4蘇E均為邊長為2的正方形，ADHEG,底面

ABCD,M、N分別為。G、跖的中點，EG=l.

(1)求證：MN//平面CFG；

(2)求直線AN與平面CFG所成角的正弦值；

(3)求平面CDG與平面CFG所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵*

(3)還

5

【分析】(1)依據(jù)題意建立以工為原點，分別以方，萬，下方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直

角坐標(biāo)系砂z,求出加和平面BG的一個法向量，計算加.以即可得證.

(2)由(1)得直線/N的方向量京，平面C尸G的一個法向量1=(1,2,2),設(shè)直線NN與平面CFG所成

角為8,則由sind=kos4,/N|即可得解.

(3)求出平面CDG的一個法向量％,計算gs*,,,則由計算結(jié)果即可得解.

【詳解】(1)如圖，以/為原點，分別以方，而，下方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)

^A-xyz,

由題意可得2（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,2,0）,￡＞（0,2,0）,￡（0,0,2）,p（2,0,2）,

G（0,l,2）,N（l,0,2）,

則麗=（0,-2,2）,西=（-2,-1,2）,7W=H,-1,1

一/、n\J-CF

設(shè)平面CFG的一個法向量為々=(再,用,2j,則」―

々±CG

嘉:即二二句則仁

令句=2,得]=(1,2,2),

所以小麗=(l,2,2>[l,-g,l]=lxl+2x[-￡|+2xl=0,

所以疚_L或，又MNa平面C尸G,

所以MN//平面C尸G.

(2)由(1)得直線NN的一個方向向量為麗=(1,0,2),平面CFG的一個法向量為1=(1,2,2),

設(shè)直線/N與平面WG所成角為凡

7而|「晨網(wǎng)|lxl+0：2+2x2|_5，下

則sing=|

COS〃1P?同,由712+22712+22+223753，

所以直線/N與平面WG所成角的正弦值為正.

3

(3)設(shè)平面CDG的一個法向量元=(9,%,Z2),由⑴可得而=(-2,0,0),CG=(-2,-l,2),

n2J_CD古n2CD=0艮f—2x2=0fx2=0

n2J_CGn2CG-0[—2x2—y2+2z2=01%=2z2

令Z2=l,得〃2=(021),

雇稔_|0xl+2x2+lx2|6275

所以卜os/,41

時?121722+12Vl2+22+22逐x3—5

所以平面CDG與平面CFG所成角的余弦值為正.

5

18.(本小題滿分15分)

已知橢圓C：M+4=l(a>6>0)的離心率為左，右焦點分別為公，居，過點片的直線與橢圓相交

ab2

于點A,B,且的周長為8.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)橢圓C的左，右頂點分別為4，4,上頂點為D,若過4且斜率為左的直線/與橢圓C在第一象限相交

于點。，與直線4。相交于點P，與〉軸相交于點“，且滿足I尸4"兒@|=5|。4"〃口，求直線/的方程.

丫2

【答案】⑴土+/=1

4

⑵y=-2（x-2）

【分析】（1）根據(jù)題意，由條件可得。，再由離心率可求得C,從而求得6,即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）根據(jù)題意，設(shè)出直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可表示出。的坐標(biāo)，再由直線4。的

方程表示出點尸的坐標(biāo)，再由等量關(guān)系，即可得到結(jié)果.

【詳解】（1）由題設(shè)得4。=8,所以。=2,

又離心率為解得c=g,b=l,

2

丫2

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y+/=l.

（2）因為4（2,0）,所以設(shè)直線/的方程為＞=Mx-2）,且左＜-；，

y=k（x-2）

聯(lián)立小,整理可得：（4/+1）/-16廿》+16左2-4=0,

—+y=1、'

[4，

則%+2=署3，故聞=8--2

4A2+1

-4k8r-2-4k｝

貝I]＞。=左（演一2）=所以。

4F<I,4r+1'4/+1'

y=k(x-2)

又直線4。的方程y=；x+i,聯(lián)立＜4左+24k)

1,整理可得：P2k-l'2k—lJ'

V=-X+1

I2

4k8后2-2

PA2\MQ\_ypxQ船左則=一且滿足左<一:.

所以4=1-2=5,a2,

4k+22

04\MP\yQxP-4A-

2k—14r+1

貝I直線/的方程為y=-2（x-2）.

19.（本小題滿分15分）

已知數(shù)列｛%｝,也｝電是數(shù)列｛%｝的前“項和，已知對于任意“eN*,都有3%=2s,+3,數(shù)列也｝是等差數(shù)

列，4=logs%,且打+5也+1也-3成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛%｝和也｝的通項公式.

b-1

(2)記4=甫—，"6N*,求數(shù)列｛""｝的前"項和7；.

unun+\u'n

為奇數(shù)2n

⑶記g=々，〃為偶數(shù),求2。左。%+1.

k=l

【答案】(1)%=3〃,bn=2n-l

1

⑵1=52(2?+1).3"

(3)—+4°”-25.9?+i

1648

【分析】（1）首先根據(jù)。"與S"的關(guān)系得到%,再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可得到4；

（2）利用裂項相消法即可得結(jié)果;

（3）將分組求和與錯位相減法相結(jié)合即可得結(jié)果.

【詳解】（1）當(dāng)〃=1時，3“]=2%+3,解得%=3.

當(dāng)“22時，3O“T=2S“T+3,

所以3a“一3a“_[=2a,n―2-=3,

a?-i

即｛6｝是以首先％=3,公比為3的等比數(shù)列，即%=3".

因為瓦=log33=1,打+5也+1也一3成等比數(shù)列，

所以+1)2=(%+5)(%-3),即(l+3d+l『=(l+d+5)(l+5d-3),解得d=2.

所以”=1+2(1)=21.

4+2-12(〃+2)-2

(2)由(1)得4,=

b也(2/7-1)(277+1)-3"

2?+21I___________[

-(2?-1)(2?+1)-3""2(2"1>3"T—(2〃+1).3"'

貝[]T,=d[+d)+&+,,,+*

lrz11、/1111、/11lz11

21x3°3x3“3x315x325x327x33(2n-l)-3n-1(2〃+l>3〃21x3°(2〃+l>3〃

_11

一2一2(2〃+l>3"

2n

(3)ZCkCk+\=C\C2+02c3C2nC2n+\，

k=\

221

因為，2”臼，+C2?C2?+1=C2?(C2?_,+C2?+1)=(2H-1)(3-+3-)=#(2〃-1)?9",

設(shè)d“=(2〃-l)-9",前"項和為&,

貝iJK'=lx9i+3x92+..?+(2〃-1)x9〃,

9K“=1x9?+3x93+-?+(2〃-3)x9〃+(2〃一l)x9〃+:

—8(=9+2(92+…+叫_(2”1).9向+

K=45J8"59“+i

〃3232

io7540/7-25??

所以-9"+1

k=i31o48

20.(本小題滿分16分)

已知函數(shù)/(x)=xlnx-a(x-l),其中aeR.

(1)當(dāng)。=1時，求函數(shù)/卜)在點(ej(e))上的切線方程.(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))

(2)已知關(guān)于x的方程"+@有兩個不相等的正實根占，x2,且西<9.

XX

(i)求實數(shù)。的取值范圍；

(ii)設(shè)左為大于1的常數(shù)，當(dāng)。變化時，若"馬有最小值e，，求人的值.

【答案】(l)x-"e+l=0

(2)(i)(0,-)；(ii)2-2e.

ee

【分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，求出在點(e,/⑻)處的斜率，最后求切線方程即可；

(2)(i)方程""+。="+區(qū)有兩個不相等的正實根，等價于函數(shù)廠(幻=皿的圖象與直線了=。有兩個

交點，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求出極值，再結(jié)合圖象求出。的取值范圍即可；

(ii)結(jié)合(i)及指對互化得ln』=二，\nx2=^-,從而把"七最小值化為出上半的最小值，多次構(gòu)

造函數(shù)，求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，利用最值即可求解.

【詳解】(1)當(dāng)a=l時，/(x)=xlnx-(x-l),所以尸(x)=lnx,

所以■/''(e)=lne=l,又/(e)=e-(e-l)=l,

所以函數(shù)/'(x)在點(ej(e))上的切線方程為>-l=x-e,即x-y-e+l=0；

(2)(i),3+°=辦+@即Inx=ax,則有x>0,

XXx

設(shè)尸(x)=匣，x>0,則/(x)=E少，令尸(x)=0,^x=e,

XX

令尸'(x)>0,得0<x<e,令尸得x>e,

所以函數(shù)尸(X)=里Iny在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+a))上單調(diào)遞減，

X

又X趨向于0時，尸(X)趨向負(fù)無窮，X趨向于正無窮大時，尸(X)無限趨向0,且尸(e)=L

e

x

函數(shù)尸(x)=」In的圖象如下：

e

ox

由題意，方程°@有兩個不相等的正實根,

X