第12講橢圓【題型歸納目錄】題型一：橢圓的定義題型二：求橢圓的標準方程題型三：橢圓的綜合問題題型四：軌跡方程題型五：橢圓的簡單幾何性質(zhì)題型六：求橢圓的離心率題型七：求橢圓離心率的取值范圍題型八：由橢圓離心率求參數(shù)的取值范圍題型九：橢圓中的范圍與最值問題題型十：焦點三角形【知識點梳理】知識點一：橢圓的定義平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù)()，這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.知識點詮釋：若，則動點的軌跡為線段；若，則動點的軌跡無圖形.知識點二：橢圓的標準方程1、當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；2、當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；知識點詮釋：（1）這里的“標準”指的是中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，才能得到橢圓的標準方程；（2）在橢圓的兩種標準方程中，都有和；（3）橢圓的焦點總在長軸上.當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，；當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，；（4）在兩種標準方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上.知識點三：求橢圓的標準方程求橢圓的標準方程主要用到以下幾種方法：（1）待定系數(shù)法：①若能夠根據(jù)題目中條件確定焦點位置，可先設出標準方程，再由題設確定方程中的參數(shù)a，b，即：“先定型，再定量”.②由題目中條件不能確定焦點位置，一般需分類討論；有時也可設其方程的一般式：.（2）定義法：先分析題設條件，判斷出動點的軌跡，然后根據(jù)橢圓的定義確定方程，即“先定型，再定量”。利用該方法求標準方程時，要注意是否需先建立平面直角坐標系再解題.知識點四：橢圓的簡單幾何性質(zhì)我們根據(jù)橢圓來研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的范圍橢圓上所有的點都位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標滿足|x|≤a，|y|≤b.橢圓的對稱性對于橢圓標準方程，把x換成-x，或把y換成-y，或把x、y同時換成-x、-y，方程都不變，所以橢圓是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。橢圓的頂點①橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。②橢圓（a＞b＞0）與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）。③線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。橢圓的離心率①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作.②因為a＞c＞0，所以e的取值范圍是0＜e＜1。e越接近1，則c就越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這時橢圓就越接近于圓。當且僅當a=b時，c=0，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a2。知識點五：橢圓標準方程中的三個量a、b、c的幾何意義橢圓標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。可借助下圖幫助記憶：a、b、c恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。和a、b、c有關(guān)的橢圓問題常與與焦點三角形有關(guān)，這樣的問題考慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進行計算與解題，將有關(guān)線段、、，有關(guān)角()結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系.知識點六：橢圓兩個標準方程幾何性質(zhì)的比較標準方程圖形性質(zhì)焦點，，焦距范圍，，對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點對稱頂點，，軸長軸長=，短軸長=離心率知識點詮釋：橢圓，（a＞b＞0）的相同點為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關(guān)系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同點為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點坐標也不相同；橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上。【典例例題】題型一：橢圓的定義【例1】（2023·四川南充·高二四川省南充高級中學校考期末）設定點，，動點P滿足條件，則點P的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．不存在 D．橢圓或線段【對點訓練1】（2023·高二課時練習）設分別為橢圓的左右焦點，過的直線交橢圓于A、B兩點，則的周長為（

）A．12 B．24 C． D．【對點訓練2】（2023·高二課時練習）已知，動點C滿足，則點C的軌跡是（）A．橢圓 B．直線C．線段 D．點【對點訓練3】（2023·上海靜安·高二校考期中）設是橢圓上的動點，則到該橢圓的兩個焦點距離之和為（

）A． B． C．4 D．題型二：求橢圓的標準方程【例2】（2023·甘肅武威·高二校考開學考試）（1）已知橢圓的焦點為，，點是橢圓上的一個點，求橢圓的標準方程；（2）已知橢圓中，且，求橢圓的標準方程．【對點訓練4】（2023·高二課時練習）求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)，，焦點在x軸上；(2)，，焦點在y軸上；(3)，．【對點訓練5】（2023·四川資陽·高二四川省資陽中學校考期中）求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)一個焦點坐標為（2，0），短軸長為2；(2)經(jīng)過點和點．【對點訓練6】（2023·廣東梅州·高二校考階段練習）求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)焦點在軸上，長軸長為4，焦距為2；(2)經(jīng)過兩點.(3)經(jīng)過點，且與橢圓有共同的焦點；題型三：橢圓的綜合問題【例3】（多選題）（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習）已知橢圓的兩個焦點為是橢圓上的動點，且的面積最大值是，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．橢圓的離心率是B．若是左，右端點，則的最大值為C．若點坐標是，則過的的切線方程是D．若過原點的直線交于兩點，則【對點訓練7】（多選題）（2023·云南楚雄·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓：的焦點分別為，，為上的動點，則（

）A．的周長為 B．的最大值為C．的長軸長為 D．的離心率為【對點訓練8】（多選題）（2023·吉林長春·高二校考期末）設橢圓的左右焦點為，，P是C上的動點，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．B．P到最小的距離是2C．面積的最大值為6D．點P到直線的最小距離是【對點訓練9】（多選題）（2023·福建·高二福建師大附中校考期中）已知點F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，點P是橢圓上的一點（異于左、右頂點），若存在以為半徑的圓內(nèi)切于，則該橢圓的離心率可能為（

）A． B． C． D．【對點訓練10】（2023·廣西·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，且橢圓C經(jīng)過點．(1)求橢圓C的方程；(2)設O為坐標原點，過右焦點F的直線l與橢圓C交于A，B兩點．求使面積最大時直線l的方程．【對點訓練11】（2023·高二課時練習）在橢圓內(nèi)有一點，過點A的直線l的斜率為－1，且與橢圓交于B，C兩點，線段BC的中點恰好是A，試求橢圓的方程．【對點訓練12】（2023·廣東江門·高二臺山市華僑中學校考期中）已知橢圓的長軸長是，焦點坐標分別是，.(1)求這個橢圓的標準方程及離心率；(2)如果直線與這個橢圓交于兩不同的點，求的取值范圍.【對點訓練13】（2023·浙江寧波·高二校考期中）已知橢圓的焦點在軸上，長軸長為4，離心率.(1)求橢圓的標準方程；(2)直線：與橢圓有兩個交點，求實數(shù)的取值范圍.【對點訓練14】（2023·全國·高二專題練習）已知點P在橢圓上，為橢圓的兩個焦點，求的取值范圍．題型四：軌跡方程【例4】（2023·高二課時練習）已知的三邊a，b，c成等差數(shù)列，且，A、C兩點的坐標分別為，則頂點B的軌跡方程為__________．【對點訓練15】（2023·高二課時練習）的兩個頂點坐標分別是和，邊，所在直線的斜率的乘積是，則頂點A的軌跡方程是________．【對點訓練16】（2023·上海靜安·高二校考期中）已知為橢圓上一動點，記原點為，若，則點的軌跡方程為______．【對點訓練17】（2023·福建泉州·高二統(tǒng)考期末）已知P是圓上任一點，，線段PA的垂直平分線l和半徑CP交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡方程為___________.【對點訓練18】（2023·青海西寧·高二期末）一個動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則這個動圓圓心的軌跡方程為__________．【對點訓練19】（2023·高二課時練習）到直線x＋3y＝0和x－3y＝0的距離的平方和為18的動點P的軌跡方程為______.【對點訓練20】（2023·上海·高二專題練習）一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為______．【對點訓練21】（2023·遼寧大連·高二大連八中校考期中）在平面直角坐標系中，若動點始終滿足關(guān)系式，則動點的軌跡方程為__________.題型五：橢圓的簡單幾何性質(zhì)【例5】（2023·上海虹口·高二上海市復興高級中學校考期中）橢圓的焦距為______.【對點訓練22】（2023·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的左、右焦點分別為點、，若橢圓上頂點為點，且為等腰直角三角形，則______.【對點訓練23】（2023·天津?qū)幒印じ叨？茧A段練習）橢圓的一個焦點是，則實數(shù)的值為________.【對點訓練24】（2023·河北石家莊·高二正定中學校考階段練習）若橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為___________.【對點訓練25】（2023·高二課時練習）橢圓的內(nèi)接正方形的周長為__________．【對點訓練26】（2023·高二課時練習）已知點(m,n)在橢圓8x2＋3y2＝24上，則m的取值范圍是________．題型六：求橢圓的離心率【例6】（2023·陜西西安·高二長安一中校考期末）已知過橢圓的左焦點的直線與橢圓交于不同的兩點，，與軸交于點，若點，是線段的三等分點，則該橢圓的離心率為_______.【對點訓練27】（2023·江蘇南京·高二南京市第一中學校考階段練習）設，是橢圓E：的左、右焦點，過點且傾斜角為的直線l與直線相交于點P，若為等腰三角形，則橢圓E的離心率e的值是______.【對點訓練28】（2023·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）如圖所示，為完成一項探月工程，某月球探測器飛行到月球附近時，首先在以月球球心F為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月球飛行，然后在P點處變軌進入以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月球飛行，最后在Q點處變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月球飛行，設圓形軌道Ⅰ的半徑為R，圓形軌道Ⅲ的半徑為r，則橢圓軌道Ⅱ的離心率為_________.（用R、r表示）【對點訓練29】（2023·福建廈門·高二廈門一中校考階段練習）直線不與軸重合，經(jīng)過點，橢圓上存在兩點、關(guān)于對稱，中點的橫坐標為.若，則橢圓的離心率為_________.【對點訓練30】（2023·浙江·高二浙江省開化中學校聯(lián)考期中）已知橢圓的左右頂點為，，點為直線上一點，若的外接圓的面積的最小值為，則該橢圓的離心率為______.【對點訓練31】（2023·河南洛陽·高二校考階段練習）已知橢圓，是它的右焦點，是它的左頂點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的離心率為________．題型七：求橢圓離心率的取值范圍【例7】（2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知O為坐標原點，直線與橢圓交于A，B兩點，P為的中點，直線的斜率為，若，則橢圓的離心率的取值范圍為_____________．【對點訓練32】（2023·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）橢圓上有且僅有4個不同的點滿足，其中，則橢圓C的離心率的取值范圍為________．【對點訓練33】（2023·全國·高二專題練習）已知，是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在點，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______【對點訓練34】（2023·高二課時練習）已知橢圓C：（），點A，B為長軸的兩個端點，若在橢圓上存在點P，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．【對點訓練35】（2023·全國·高二專題練習）已知，是橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，，則橢圓離心率的取值范圍為____．【對點訓練36】（2023·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的兩個焦點是,滿足的點總在橢圓的內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是_______________.【對點訓練37】（2023·河南·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓的半焦距為，且滿足，則該橢圓的離心率的取值范圍是__________．【對點訓練38】（2023·北京海淀·高二統(tǒng)考期末）橢圓的左、右頂點分別為、，若橢圓上存在點，使，則橢圓的離心率的取值范圍為__________．題型八：由橢圓離心率求參數(shù)的取值范圍【例8】（2023·廣東陽江·高二校考期末）已知焦點在軸上的橢圓的離心率為，則的值為______.【對點訓練39】（2023·四川樂山·高二校考期中）已知焦點在y軸上的橢圓，其離心率為，則實數(shù)m的值是___________.【對點訓練40】（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓C的離心率為，則橢圓C的長軸長與短軸長的比值為______．【對點訓練41】（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，右頂點為，且離心率為，求短軸長為______.題型九：橢圓中的范圍與最值問題【例9】（2023·上海寶山·高二上海市行知中學校考期中）橢圓的焦點為，點為其上的動點，當為銳角時，點橫坐標的取值范圍為_______.【對點訓練42】（2023·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學校考階段練習）已知橢圓C：，，為橢圓的左右焦點．若點P是橢圓上的一個動點，點A的坐標為（2，1），則的范圍為_____．【對點訓練43】（2023·全國·高二專題練習）已知分別是橢圓的左、右焦點，點是圓上的一個動點，則的取值范圍是_________.【對點訓練44】（2023·全國·高二專題練習）已知為橢圓的左焦點，P為橢圓上一點，則的取值范圍為_________．【對點訓練45】（2023·上海浦東新·高二上海南匯中學校考期中）設P是橢圓上任意一點，F(xiàn)為C的右焦點，的最小值為，則橢圓C的長軸長為______．【對點訓練46】（2023·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習）已知橢圓的右頂點為A，上頂點為B，則橢圓上的一動點M到直線AB距離的最大值為______．【對點訓練47】（2023·貴州遵義·高二習水縣第五中學校聯(lián)考期末）已知點是橢圓上一動點，是圓上一動點，點，則的最大值為__________.【對點訓練48】（2023·陜西寶雞·高二校聯(lián)考階段練習）已知點在橢圓上運動，點在圓上運動，則的最大值為______【對點訓練49】（2023·四川遂寧·高二遂寧中學校考階段練習）已知F是橢圓的左焦點，P為橢圓上的動點，橢圓內(nèi)部一點M的坐標是，則的最大值是______．題型十：焦點三角形【例10】（2023·高二課時練習）已知橢圓的兩個焦點是、，M是此橢圓上一點，且，則的面積為______．【對點訓練50】（2023·上海黃浦·高二上海市大同中學校考期中）設和為橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且滿足，則的面積是__________.【對點訓練51】（2023·廣西南寧·高二統(tǒng)考開學考試）已知點是橢圓上的一點，且位于第一象限內(nèi)，以點及焦點、為頂點的三角形的面積等于1，則點的坐標為______.【對點訓練52】（2023·河南開封·高二校考階段練習）設，是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上的點，且，則的面積為________.【對點訓練53】（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學校考期中）設，是橢圓：的兩個焦點，為橢圓上的點，當時，的面積為_______.【對點訓練54】（2023·北京海淀·高二北京市十一學校校考期中）設是橢圓的左，右焦點，點在上，為坐標原點，且，則的面積為___________.【對點訓練55】（2023·廣東深圳·高二深圳中學校考期末）已知橢圓的兩個焦點分別為，，為橢圓上一點，且，則的值為__．【對點訓練56】（2023·高二單元測試）橢圓的焦點為點在橢圓上，若則的大小為___．【對點訓練57】（2023·高二單元測試）橢圓的兩個焦點為?，點P在橢圓C上，且，，，則橢圓C的方程為___________.【對點訓練58】（2023·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)桂城中學校考階段練習）橢圓（為非零常數(shù)）的焦點分別為，點在橢圓上.如果線段的中點在軸上，那么等于_________．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·四川宜賓·高二宜賓市敘州區(qū)第一中學校校考期末）設為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．52．（2023·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）下列橢圓中最接近于圓的是（

）A． B． C． D．3．（2023·江蘇揚州·高二統(tǒng)考開學考試）若將一個橢圓繞其中心旋轉(zhuǎn)90°，所得橢圓短軸兩頂點恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點，這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”．下列橢圓中是“對偶橢圓”的是（

）．A． B．C． D．4．（2023·高二課時練習）橢圓與橢圓的關(guān)系為（

）A．有相同的長軸長與短軸長 B．有相同的焦距C．有相同的焦點 D．有相同的離心率5．（2023·高二課時練習）若橢圓的中心為原點，對稱軸為坐標軸，短軸的一個端點與兩焦點構(gòu)成個正三角形，焦點到橢圓上點的最短距離為，則這個橢圓的方程為（

）A． B．或C． D．以上都不對6．（2023·貴州遵義·高二統(tǒng)考期中）已知是橢圓的右焦點，直線與橢圓交于，兩點，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．7．（2023·四川廣安·四川省廣安友誼中學校考模擬預測）油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，廣安市文化宮于春分時節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié)．活動中將油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為3的圓，圓心到傘柄底端距離為3，陽光照射油紙傘在地面形成了一個橢圓形影子（春分時，廣安的陽光與地面夾角為），若傘柄底端正好位于該橢圓的焦點位置，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．8．（2023·高二課時練習）若點在橢圓上，則的最小值為（）A．1 B．C． D．以上都不對二、多選題9．（2023·高二課時練習）若方程表示焦點在軸上的橢圓，則的可能取值為（）A．1 B． C．2 D．310．（2023·江西宜春·高二上高二中校考階段練習）已知方程表示橢圓，下列說法正確的是（

）A．m的取值范圍為 B．若該橢圓的焦點在y軸上，則C．若，則該橢圓的焦距為4 D．若，則該橢圓經(jīng)過點11．（2023·江蘇連云港·高二校考階段練習）設橢圓的左、右焦點分別為，，是橢圓上的動點，則下列結(jié)論正確的是