機密★啟用前

2025屆湖南省長沙市雷鋒學校高三一模

數學

滿分150分，時間120分鐘

注意事項：

L答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息.

2.請將答案正確填寫在答題卡上.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

/(x)=cos|(yx+—、

L將函數I6J的圖象向右平移3個單位長度后得到函數g(力的圖象，若函數

上單調遞減，則口的最大值為()

A.6B.5C.3D.2

2.已知正四棱錐底面邊長為2,且其側面積的和是底面積的2倍，則此正四棱錐的體積為()

R2#>C逑

D.------D.273

33'亍

3.設尤GR,向量a=(x,-l),b=(x,4),則x=-2是。工匕的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.設函數r(x)是函數/(%)(%GR)導函數，若/(X)—/(—X)=2X3,且當尤20時，f\x)>3x2,則

不等式/(x)-/'(x+l)+3x2+3x+l〉0的解集是()

A.B.(-oo,-2)D.(-2,+oo)

5.已知/(x)=<則不等式〃X+3)</(爐+3%)的解集是()

in(JL%j,x&u,

A.(-3,1)B.(0,1)C.(f,—3),(1,+a))D.(l,+8)

6.已知向量滿足忖=L卜+20=2,且僅一2a)_LZ?,則卜卜()

A.；B.—C.正D.1

222

7.在VABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若Z?=c,。為AC的中點，

bsinA=2sinNABD,則3￡)=()

A.1B.72C.百D.2

8.已知集合4={刈％-1|<1},B=|x|y=lg(x2+x-2)|,則4B=()

A[-2,1)B,[0,1)C.[0,2]D,(1,2]

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題6分，共24分，在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知〃>2,且〃eN*，下列關于二項分布與超幾何分布的說法中，錯誤的有()

A.若X則E(2X+l)=g〃+l

14

B.若X5(H,-),則。(2X+1)=§”

C若X則P(X=1)=尸(X=〃—1)

D.當樣本總數遠大于抽取數目時，可以用二項分布近似估計超幾何分布

10.函數/(x)=0sin(ox+。)0<2,—的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的有()

c.的表達式可以寫成/(%)=J5cos卜尤+學

(37c97c

D.若關于X方程/(%)=1在(0,m)上有且只有4個實數根，則加e萬,彳

11.已知函數/(%)=285(。％+。)[0>0,附<引的部分圖象如圖所示，則()

A.co=2

(兀7兀\

B./(%)的單調遞減區間為[防r+五,E+五)左eZ

TT

C./(x)的圖象可由函數y=2cos2x的圖象向右平移一個單位得到

6

D.滿足條件>0的最小正整數x為2

12.已知6GR,雙曲線C：x2cos^+y2sin2^=l,則()

A.夕可能是第一象限角B.夕可能是第四象限角

C.點(1,0)可能在C上D.點(0,1)可能在C上

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知(X+6)5=,若％=40,則Z?=.

14.三棱錐P—ABC中，AB=AC=s/2,AB±AC,平面PBC平面ABC,且尸B=PC.記

21

P-ABC的體積為V,內切球半徑為小則-----的最小值為.

rV

15.已知數列也｝的通項公式為2=〃2(磔莖，7；是數列也｝的前〃項和，則&=.

16.設函數/(x)=sin|(?x+：卜0>0)

①給出一個口的值，使得〃尤）的圖像向右平移上后得到的函數g（x）的圖像關于原點對稱，。=

6

②若丁（%）在區間（0,兀）上有且僅有兩個零點，則。的取值范圍是.

三、解答題：本題共6小題，共66分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.設“eN,數對（4,4）按如下方式生成：（4，瓦）=（0,0）,拋擲一枚均勻的硬幣，當硬幣的正面朝上

時，若a“〉d，則（%+1也+1）=（%+1也+1），否則（4+i也+）=（4+1也）；當硬幣的反面朝上時，若

bn>an,則（%+］也+J=（4+1也+1）,否則（4+i，々J=（。“也+1）.拋擲〃次硬幣后，記。“=包的概

率為匕.

（1）寫出（七，4）的所有可能情況，并求耳，￡；

（2）求匕;

18.在概率統計中，我們常常通過觀測到的實驗結果應用極大似然估計法來估計某參數的取值.設X為其

分布列與未知參數機有關的離散型隨機變量，其中機的取值范圍為S.若對己知結果X=左，有/es,

且V嗎eS,有P（X=4m=%））2P（X=左|加=4）成立，則稱加o為正在X=左下的一個極大似然估

計.

（1）（i）若X服從二項分布5（2,m），求機在X=1下的極大似然估計；

（ii）若X服從二項分布5（私g）,求機在X=3下的極大似然估計.

（2）若某臺抽獎機上有一個按鈕，參與者需要連續快速點擊按鈕來累積積分換取獎品.已知每次點擊按

鈕后，獲得1積分的概率為。（0<。<1）,不獲得積分的概率為小麗參加這個抽獎活動后總共獲得

了左積分，用極大似然估計的方法估計她點擊按鈕的總次數機的取值為加°,證明：m0<-,并指出等號

P

成立的條件.

19.若數列｛4｝的各項均為正數，且對任意的相鄰三項。一1，%生+1，都滿足則稱該數列為

“對數性凸數列”，若對任意的相鄰三項%,at,a,,都滿足4T+am<2at則稱該數列為“凸數列”.

（1）已知正項數列｛%｝是一個“凸數列”，且a“=e0,（其中e為自然常數，〃eN*），證明：數列｛?｝

是一個“對數性凸數列”；

(2)若關于尤的函數/(%)=4+/》+么/+"/有三個零點，其中2>0(i=l,2,3,4).證明：數列

4,。2,。3，。4是一個“對數性凸數列”；

(3)設正項數列4,%,L，q是一個“對數性凸數列”證明：

n、n-1A

(1立11

J+1n—15

i=07

20.已知雙曲線C:工—「=1(。〉0力〉0)的左，右焦點分別為耳,工，雙曲線C的虛軸長為2,有一條

ab

漸近線方程為y=如圖，點A是雙曲線C上位于第一象限內的點，過點4作直線/與雙曲線的右

支交于另外一點2,連接AO并延長交雙曲線左支于點P,連接尸耳與Pg,其中/垂直于/耳P8的平分

(2)求證：直線機與直線QA的斜率之積為定值；

(3)求的最小值.

^/XAPD

21.設拋物線。：丁=2.式.>0)的焦點為尸，已知點尸到圓E:(x+3)2+V=1上一點的距離的最大值

為6.

(1)求拋物線C方程.

(2)設。是坐標原點，點P(2,4),AB是拋物線C上異于點尸的兩點，直線PAP3與y軸分別相交于

M,N兩點(異于點。)，且。是線段的中點，試判斷直線A3是否經過定點.若是，求出該定點坐

標；若不是，說明理由.

22.如圖（1）所示，在平面四邊形S3CD中，58。是邊長為2的等邊三角形，BD±BC,ZBCD=30,A

為邊SD的中點，將二S3。沿折成直二面角，得到如圖（2）所示的四棱錐S-A3CD.

（1）若〃為棱宓的中點，證明：5M//平面S4Q；

（2）求二面角O—SB—C的正弦值.

參考答案

L將函數以3cos(ox+—口〉0）兀

I6的圖象向右平移孑個單位長度后得到函數g（x）的圖象，若函數

上單調遞減，則口的最大值為（)

A.6B.5C.3D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根據“左加右減，上加下減”求出函數g（無）的解析式，再利用函數的單調性即可求出。的最大值.

【詳解】由題可知，g（x）=cos[￡=cosla）x-^+^

G兀兀兀兀兀

(OX-----F—€一,一g+一.

36666）

因為g（x）在區間匕，3〃沉71

上單調遞減，所以——+-<7i,所以0<。45,

66

°的最大值為5.

故選：B

2.已知正四棱錐底面邊長為2,且其側面積的和是底面積的2倍，則此正四棱錐的體積為（）

A.立B.C.D.2-73

333~

【答案】C

【解析】

【分析】根據已知得出斜高，從而可得正四棱錐的高，由體積公式可得正四棱錐的體積.

【詳解】如圖，正四棱錐S—A5CD,BC=2,0為底面正方形中心，E為BC中點、,

由已知可得4x,x2xS￡=2x2x2,

2

所以S￡=2,

又OE=l,所以SO=JS￡2—=百，

所以正四棱錐的體積為V=1x2x2xg=3".

33

故選：C.

3.設XGR,向量&=(%,-1),b=(x,4),則％=—2是aJ./?的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】利用是否推出關系來判斷充要關系即可.

【詳解】當x=—2時，向量。=(%,—1)=(—2,—1),〃=(羽4)=(—2,4),

此時有a2=(—2,-1)?(—2,4)=—2x(—2)—1x4=0,所以。工匕，故是充分條件;

當時，a-b=(x,-1)?(x,4)=x2-4=0,解得x=±2,故不是必要條件;

所以x=-2是。的充分不必要條件,

故選：B.

4.設函數r(x)是函數/(%)(%eR)的導函數，^f(x)-f(-x)=2x3,且當X20時，f\x)>3x2,則

不等式/'(x)-/(x+l)+3x2+3x+l〉0的解集是()

A.(—00,——)B.(―℃>,—2)C.(—―,+oo)D.(―2,+co)

【答案】A

【解析】

【分析】先構造函數令尸(無)=/(》)-三，由題意判斷出尸(龍)的奇偶性和單調性，將不等式轉化成

f(x)-x3>/(x+l)-(x+l)3,即尸(x)>尸(x+1),由函數單調性和奇偶性可得到I尤l>|x+l|,解得即可.

【詳解】令尸(X)=/(無)一無3,

可知F(X)的定義域為R,且F\x)=f\x)-3尤2,

因為f(x)-f(-x)=2x3，則/(%)-x3=/(-%)-(-%)3，

可得F(-x)=F{x),故F(九)為偶函數，

當X20時,f\x)>3x2,即尸'(x)>0,

可知F(九)在［0,+8)上為增函數，

對于不等式/(%)-于(x+1)+3%2+3%+1>0,

可得y(x)一9>于(x+l)-(x+l)3,即F(x)>F{x+1),

由函數單調性和奇偶性可知：I尤|>|x+l|,解得％<-!，

2

故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵在于構建/(?=/(尤)-尤3,分析其奇偶性和單調性，根據函數性質解

不等式.

5.己知=則不等式/(%+3)</(/+3”的解集是()

in11%j,x&L/,

A.(-3,1)B.(0,1)C.(f,—3)J(l,y)D.(l,+8)

【答案】A

【解析】

【分析】判斷/(X)在R上的單調性，將不等式等價于％+3>爐+3力由一元二次不等式的解法即可得解.

/、[-2X2,X>0,

【詳解】/(x)=〈\/c，可得當時，/(%)單調遞減，當尤>0時，/(%)單調遞減，且

ln(l-x),x<0,

x=0時函數連續，則/(%)在R上單調遞減，

不等式/(x+3)</(f+3%),可化為尤+3>k+3光，HPx2+2%-3<0>

解得：—3<x<l,則原不等式的解集為：(-3,1),

故選：A

6.已知向量滿足忖=1,卜+20=2,且僅一2a)_Lb,則卜卜()

A.|B.立C.BD.1

222

【答案】B

【解析】

【分析】由僅一2a)J_b得片=2°.匕，結合忖=1,卜+20=2,得1+4￡.4+4片=1+6片=4,由此即

可得解.

【詳解】因為僅-所以僅-2a)力=0,^b=2a-b，

又因為卜|=1,卜+24=2,

所以1+4。,/?+4/?=1+6。=4，

從而

故選：B.

7.在VABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若6=0,。為AC的中點，

bsinA=2sinNABD,則應)=()

A.1B.72C.百D.2

【答案】A

【解析】

【分析】在△ABD中，由正弦定理得BD=---------,JiAD=—AC=—bKbsinA=2smZABD,

sinAsinZABD22

簡可得的值.

【詳解】由已知AD=O=/C=m,在△的中,由正弦定理得色=」^=^^

sinAsinZABDsinZABD

bsinAZ?sinA

所以M=又Z?sinA=2sinZABD,故50==1.

2sinZABD2sinZABZ)

故選：A.

8.已知集合A={x||x—l]<1},B=|x|^=lg(x2+x-2^,則4B=()

A.[-2,1)B,[0,1)C.[0,2]D,(1,2]

【答案】D

【解析】

【分析】根據解絕對值不等式得到集合A,由真數為正得到集合8,從而得到AcB.

【詳解】由4={*|,—1|<1}={%|0<%<2},

3=卜卜=1g（X?+X-2）}={%卜2+%-2〉o}={x[x<-2或x>1},

所以4^^6=（1,2].

故選：D.

二、多選題:

9.已知”>2,且〃eN*，下列關于二項分布與超幾何分布的說法中，錯誤的有（）

A.若X則E(2X+l)=g〃+l

14

B.若X則。(2X+1)=§”

C.若X3(%g),則P(X=1)=尸(X=〃-1)

D.當樣本總數遠大于抽取數目時，可以用二項分布近似估計超幾何分布

【答案】BC

【解析】

【分析】利用二項分布的期望、方差公式及期望、方差的性質計算判斷AB；利用二項分布的概率公式計算

判斷C；利用二項分布與超幾何分布的關系判斷D.

119

【詳解】對于A,由X得E（X）=§〃，則E（2X+l）=g〃+l,A正確；

11228

對于B,由X得。（X）=§X§〃=3〃，則。（2X+1）=4D（X）=3〃，B錯誤；

11221

對于C,由XB（n,-）,得P（X=1）=c>-X（-）"-1,P（x=H-1）=C：1x-x（-）"-）,故

P（X=1）#P（X=〃—1）,C錯誤；

對于D,當樣本總數遠大于抽取數目時，可以用二項分布近似估計超幾何分布，D正確.

故選：BC

10.函數/（x）=Jisin（s+。）0<?<2,-^<^9<|的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的有（

A.(D=------

4

B.

；(

/（X）的表達式可以寫成/（X）=瓜'os2x+?

（3兀QJT

D.若關于X的方程/（x）=1在（0,上有且只有4個實數根，則冽e彳,工

IZ4

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據函數圖象過（0,-1）,,建立方程組求出了（X）的解析式，再根據正弦函數的圖象和性

質逐項判斷即可.

兀。

【詳解】由函數圖象可知/（0）=夜sin0=-LL=n。,

因為/（尤）在x=0，x=9附近單調遞增,

8

LL-7兀.TICD-7

所以0=--F2kli,-—(p—2kli,kGZ,

JTTTTT

又因為O<0<2,——<(p<~,所以夕=——,0=2,

224

所以/(x)=0si?2x-：J,A說法正確;

TtIn713兀3兀

當XC時，2x——G

2'T4T?T

3兀3兀717兀

所以由y=sinx在單調遞減可知“X）在

T'T2，-8~上單調遞減，B說法正確;

因為/(x)=0sin]2x—：]3兀3兀

=6sin2X+--TI=—J^sin2x+：,所以C說法錯誤;

44

4-/(x)=V2sinf2x-^1=K#

sin(2x-：=,解得x=—+kji^x=—+kn,

242

方程/（x）=l在（0,加）上有且只有4個實數根，從小到大依次為日,g,

9兀3Q71

而第5個實數根為一，所以一＜根《——，D說法正確;

424

故選：ABD

11.已知函數/0）=2（：05（⑺+。）［。＞0,|司＜力的部分圖象如圖所示，則（

)

A.co=2

(JI7兀\

B./(x)的單調遞減區間為［防r+五,E+五)左eZ

TT

C./(%)的圖象可由函數y=2cos2%的圖象向右平移一個單位得到

6

D.滿足條件［⑺—f［―t—f>°的最小正整數X為2

【答案】ABD

【解析】

13

【分析】觀察函數圖象，確定函數/(%)的周期，由此可求。，判斷A,再結合％=—兀時，函數取最大值，

12

列方程求。，根據正弦函數的單調性求/(幻的單調遞減區間，判斷B,根據函數圖象變換結論，判斷C,

先求/(一弓),/(g)，化簡不等式可得/(%)范圍，解不等式確定x的范圍，判斷D.

【詳解】設函數/(%)的周期為T,

313TI7i37i

觀察函數圖象可得，-T=----------=—

41234

2兀

所以17二兀，又力>0,

所以69=2,A正確,

13

因為X=五兀時，函數/(%)=2cos(s+0)取最大值，(0=2,

所以2x+(p=2mit,meZ,|^?|<—,

122

所以/=_兀￡,故/(%)=2COS(2%_FJ,

6

TT

由2E<2x-—<2左兀+兀，左GZ,

jrjr7IT

可得E+—<2x——<kji+一eZ,

12612

(兀7兀、

所以函數/(無)的單調遞減區間為［E+五,而+五J,左eZ,B正確,

TT

函數，=2cos2x的圖象向右平移一個單位得到函數y=2cos的圖象，C錯誤,

6

所以|/(+小1)")一信］>0可化為(/(%)—1)/(%)>0,

所以〃x)>l或〃x)<0,

/71I171J[7C

由/(九)>1可得,cos2x--->—,所以2〃兀-----<2x-----<2wi+—,nGZ,

I6j2363

即mr-----<x<rm+—eZ,

124

取〃=0可得<x<一，取〃=1可得<x<—，

124124

由/(x)<0可得，cos^2%-^<0,所以2機+］<2x—W<2/7i+^JeZ,

口r兀5兀?

即機+一<x<——JeZ,

36

取f=0可得，x<決，

36

所以滿足條件［(%)—f(―—f(g)>0的最小正整數X為2,D正確,

故選：ABD.

12已知6eR,雙曲線C：x2cos^+y2sin2^=l,則()

A.夕可能是第一象限角B.，可能是第四象限角

C.點(1,0)可能在C上D.點(0,1)可能在C上

【答案】BD

【解析】

【分析】根據雙曲線標準方程的特征，可得cosesin26><0,即。在第三象限或第四象限，分情況討論得

解.

【詳解】根據題意，可得cos6sin2e<0,即singcos?，<0,即sin8<0且cosOwO,

所以。在第三象限或第四象限.故A錯誤，B正確；

當d在第三象限時，有一l<sin6<0,-1<cos0<0,sin28>0,

222

yxT5兀丫2_工=1

雙曲線方程為11,當51112，=1即9=---卜2kn,時，方程為,

-----4—

sin20cos0--------------------------------------------------2

所以點(0,1)在雙曲線上，故D正確；

當。在第四象限時，有一l<sin6<0,0<cos<Lsin26<0,

22

%y71

雙曲線方程為11一，因為——>1,所以點(1,。)不在雙曲線上，故c錯誤.

---X--.“cos0

cosUsin26

故選：BD.

三、填空題：

13.已知(X+Z?)5=+。3%3+。2%2+。1%+。0，若。3=40,則Z?=.

【答案】±2

【解析】

【分析】由二項展開式的通項公式即可求解

【詳解】(X+))5展開式的通項公式為<+|=C)5f〃，

55432

由(x+Z?)=a5x+a4x+a3x+a2x+axx+a0,故Y的系數為C；/

而生=40,得C〉/=40,解得/?=±2.

故答案為：±2

14.三棱錐P—ABC中，AB=AC=j2,AB±AC,平面平面A5C,且~8=尸。.記

21

尸-A5C的體積為V,內切球半徑為「，則-----的最小值為.

rV

【答案】V6+2##2+V6

【解析】

【分析】根據等體積法可得2=2'+2+2‘2/?+1=2也/?+1+2+2,即可構造函數

rhh

272^+1-1c

f(x)=-------------+2

x

利用導數求解單調性，即可求解最值.

【詳解】設三棱錐P—ABC的高為〃，依題意，可取中點0,

連接。4,0P,則

由于AB=AC=0,A5_LAC,則BC=VL1B=2,

則OA=OB=OC=1,OP=h,

由于平面PBC，平面ABC,且交線為BC,OP±BC,OPu平面PBC,

故OP,平面P6C,故PA=PB=PC

11

則公PBC的面積為e力?BC=〃,VA3C的面積］。4-3C=1,

由R4=尸5=PC=正+1可得△P5A和Q4c的面積為

科?巧口肥+1-目

于是三棱錐P-ABC的表面積為，22+1+〃+1，

而222A+2+242/+1242"+1+2、

所以一=-----------------=--------------F2?

rhh

212123「—「—

———----;-------------------2A/2/Z2+1+2_32\2/?2+1—1.

故rVrJ_qIrh=—..................+2——=—................+2.

ABcnhhh

設函數/(x)=2,2/+1-1+2,且%>o.

X

亞丁+1-22X2-3

則/①K7T7，2￡+1(，23+1+2)

⑴＜。"⑶單調遞減,

x〉["'(x)〉O,/(%)單調遞增，

所以/(》)之/[|；=#+2,

所以/z=—―時，-----取得最小值y/6+2，

2rV

故答案為：^/6+2.

點睛】關鍵點點睛：利用等體積法得至U2=2/?+2+2也h1+1=2也h1+1+2+2,構造函數

rhh

上(、2,2%2+1—1卡日

/(%)=-------------+2，求導.

x

r\

15.已知數列也｝的通項公式為么=n2cos^,7“是數列也｝的前n項和，則&=

9H24-4"

【答案］

2

【解析】

【分析】設或=4*_2+&1，根據所給通項求出與，則4"=。1+。2+。3+-?+1，利用分組求和法

計算可得.

2?77r

【詳解】因為a="cos-----,

3

設q=4左一2+4"i+b3k

=(3Z—2)2.COS2H+(3左一I)?-cos2kit+4k)2-cos2^7t

19x(3左_l)2+(3左)2=9左_g,

--X(3^-2)2+

所以4=q+。2+。3+???+C?

cn(l+n)59/+4”

=9x------——n=--------

22

遼去心、，9n2+4n

故答案為：--------

2

16.設函數/(x)=sin[tyx+；J(0〉O)

①給出一個①的值，使得"％)的圖像向右平移工后得到的函數g(x)的圖像關于原點對稱，。=

6

②若丁(%)在區間(0,兀)上有且僅有兩個零點，則切取值范圍是.

3(71T

【答案】①.-(答案不唯一)②.

2144J

【解析】

【分析】根據變換法則得8(司=5：111，%+：—矢],則:—加=也，左”取左=0計算即可，確定

71(7171171

0X+-G-,07T+-,根據零點個數得到2兀＜0兀+—＜3兀，解得答案.

4144J4

【詳解】由題意可得g(x)=sin[o[x—[+：=sin[tyx+(一,

因為g(x)的圖像關于原點對稱，所以=即0=9—6左左eZ,

3

當左=0時，a＞=—；

2

jrITT7T?

若xe(O,兀)，貝(J0x+]e匕，M+工)，/(%)有且僅有兩個零點，

7[1(7]]

則2兀＜。兀+—＜3兀，解得一＜。＜一，故。的取值范圍為|.

444144

3（7111

故答案為：一（答案不唯一）；二,二

2144」

四、解答題：

17.設〃eN,數對（4,2）按如下方式生成：（4,%）=（0,0）,拋擲一枚均勻的硬幣，當硬幣的正面朝上

時,若4則（a“+i，d+i）=（%+l，d+l）,否則（a”+i也+1）=（。”+1,2）；當硬幣的反面朝上時,若

則（%,%）=（%+M+1）,否則（4+1也+1）=（%，2+1）.拋擲"次硬幣后,記為=2的概

率為

（1）寫出（%,4）的所有可能情況，并求斗巴；

（2）求只;

【答案】（1）可能情況見解析，6=0,￡=g

【解析】

【分析】（1）列出所有（4,4）和（4,4）的情況，再利用古典概型公式計算即可;

（2）依題構造遞推關系與+1-；=-；］匕-；）,再利用等比數列公式可得答案.

【小問1詳解】

當拋擲一次硬幣結果為正時,（%，4）=。,0）；

當拋擲一次硬幣結果為反時,=（0,1）；

當拋擲兩次硬幣結果為（正,正）時，（出也）=（2，1）；

當拋擲兩次硬幣結果為（正，反）時,（%也）=（1,1）；

當拋擲兩次硬幣結果為（反，正）時,（%也）=（1,1）；

當拋擲兩次硬幣結果為（反，反）時,（。2,4）=（1,2）.

所以，q=O,R=?=!；

~42

【小問2詳解】

由題知，I%-%Al,

當a“〉d，且擲出反面時，有(4+1，2+1)=(。〃,々+1)，此時""+1-"〃+1'

當見<2，且擲出正面時，有(為+i，2+i)=(為+L2)，此時"〃+1—bn+i,

所以加=口(4濁)+3Pm<2)=3［網4>2)+*為<優)］=。(1—匕)，

所以匕+「74［一3

所以［匕―3｝是以6—;為首項，一;為公比的等比數列，

w^4=4xH)'所以q=**卜().

【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是由已知推得匕+1-3=-3］匕-g),再利用等比數列定義解題.

18.在概率統計中，我們常常通過觀測到的實驗結果應用極大似然估計法來估計某參數的取值.設X為其

分布列與未知參數加有關的離散型隨機變量，其中機的取值范圍為S.若對已知結果X=左，有加oeS,

且V/^eS,有P(X=用機=6機=4)成立，則稱加o為加在X=上下的一個極大似然估

計.

(1)(i)若X服從二項分布網2,加)，求機在X=1下的極大似然估計；

(ii)若X服從二項分布5(/n,g),求機在X=3下的極大似然估計.

(2)若某臺抽獎機上有一個按鈕，參與者需要連續快速點擊按鈕來累積積分換取獎品.已知每次點擊按

鈕后，獲得1積分的概率為p(O<p<D，不獲得積分的概率為1-夕.小麗參加這個抽獎活動后總共獲得

了左積分，用極大似然估計的方法估計她點擊按鈕的總次數的取值為加°，證明：并指出等號

P

成立的條件.

【答案】(1)(i)|；(ii)5或6

(2)證明見解析，等號能成立的條件為&eN*.

P

【解析】

【分析】(1)(i)根據二項分布的定義寫出尸(x=l)的表達式，再求其最值即得;

(ii)根據二項分布的定義求得p(x=3)=袱=”2),利用數列a二-----八-----的單調性,

m6.2m

即得%;在m=5或nt=6時取得最大值，即得；

⑵先判斷X服從二項分布5(狐同，求得尸(X=左)=C>/(1—0"修，求出3=1~,

cim-K\L

判斷｛%“｝的單調性，按照1是否為整數分情況討論推理得到加0即可.

pP

【小問1詳解】

(i)由題意可得P(X=1)=-m)=~~2(m—―)2+—,

故當機=工時取最大值，其極大似然估計為：.

22

(ii)由題得根wN*，且加23,

P(X=3)=Cl±=z=m(m-l)(m-2)

I7m2m3!-(rn-3)!-2m6-2m

+—1)

6.2W+1m+1

6.2m''42m-4

其中相>3,2加一4>0.當機<5時，m+1>2m—4,則。冽+1>。加；

當根=5時，有。5=4；當加26時，品+1<am，故。加在根=5或加=6時取得最大值，

則加在X=3下的極大似然估計為5或6.

【小問2詳解】

顯然有機>左，設機次點擊后獲得的積分為隨機變量X，由題可知X服從二項分布5(75P),

則p(x=o=C”(i—p；r，

設am=C,pkQ-p)"i,

W+1）!

貝七=C"（l-p嚴y=左!（"，+—）!=（，"+l）（l-，）=（If—°

、amC:pkQ—p）%km!m-k+1m-k+1'

k!（m-k）!

k

當（1—p）m+1—夕<〃z—Z+l，即加〉---1時，am+i<am,

k.k、

當機<——1時，am+i>amf當機=——1時，am+i=am.

PP

①若K-l為整數，則對加的極大似然估計人為七T和七，滿足相。《幺，當XeN*時等號成立，

PPPPP

②若1不為整數，記N為小于1的最大整數，則N+l>&-1,

P