機(jī)密★啟用前

2025屆湖南省長沙市雷鋒學(xué)校高三一模

數(shù)學(xué)

滿分150分，時間120分鐘

注意事項：

L答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息.

2.請將答案正確填寫在答題卡上.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

/(x)=cos|(yx+—、

L將函數(shù)I6J的圖象向右平移3個單位長度后得到函數(shù)g(力的圖象，若函數(shù)

上單調(diào)遞減，則口的最大值為()

A.6B.5C.3D.2

2.已知正四棱錐底面邊長為2,且其側(cè)面積的和是底面積的2倍，則此正四棱錐的體積為()

R2#>C逑

D.------D.273

33'亍

3.設(shè)尤GR,向量a=(x,-l),b=(x,4),則x=-2是。工匕的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.設(shè)函數(shù)r(x)是函數(shù)/(%)(%GR)導(dǎo)函數(shù)，若/(X)—/(—X)=2X3,且當(dāng)尤20時，f\x)>3x2,則

不等式/(x)-/'(x+l)+3x2+3x+l〉0的解集是()

A.B.(-oo,-2)D.(-2,+oo)

5.已知/(x)=<則不等式〃X+3)</(爐+3%)的解集是()

in(JL%j,x&u,

A.(-3,1)B.(0,1)C.(f,—3),(1,+a))D.(l,+8)

6.已知向量滿足忖=L卜+20=2,且僅一2a)_LZ?,則卜卜()

A.；B.—C.正D.1

222

7.在VABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若Z?=c,。為AC的中點(diǎn)，

bsinA=2sinNABD,則3￡)=()

A.1B.72C.百D.2

8.已知集合4={刈％-1|<1},B=|x|y=lg(x2+x-2)|,則4B=()

A[-2,1)B,[0,1)C.[0,2]D,(1,2]

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題6分，共24分，在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知〃>2,且〃eN*，下列關(guān)于二項分布與超幾何分布的說法中，錯誤的有()

A.若X則E(2X+l)=g〃+l

14

B.若X5(H,-),則。(2X+1)=§”

C若X則P(X=1)=尸(X=〃—1)

D.當(dāng)樣本總數(shù)遠(yuǎn)大于抽取數(shù)目時，可以用二項分布近似估計超幾何分布

10.函數(shù)/(x)=0sin(ox+。)0<2,—的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的有()

c.的表達(dá)式可以寫成/(%)=J5cos卜尤+學(xué)

(37c97c

D.若關(guān)于X方程/(%)=1在(0,m)上有且只有4個實數(shù)根，則加e萬,彳

11.已知函數(shù)/(%)=285(。％+。)[0>0,附<引的部分圖象如圖所示，則()

A.co=2

(兀7兀\

B./(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為[防r+五,E+五)左eZ

TT

C./(x)的圖象可由函數(shù)y=2cos2x的圖象向右平移一個單位得到

6

D.滿足條件>0的最小正整數(shù)x為2

12.已知6GR,雙曲線C：x2cos^+y2sin2^=l,則()

A.夕可能是第一象限角B.夕可能是第四象限角

C.點(diǎn)(1,0)可能在C上D.點(diǎn)(0,1)可能在C上

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知(X+6)5=,若％=40,則Z?=.

14.三棱錐P—ABC中，AB=AC=s/2,AB±AC,平面PBC平面ABC,且尸B=PC.記

21

P-ABC的體積為V,內(nèi)切球半徑為小則-----的最小值為.

rV

15.已知數(shù)列也｝的通項公式為2=〃2(磔莖，7；是數(shù)列也｝的前〃項和，則&=.

16.設(shè)函數(shù)/(x)=sin|(?x+：卜0>0)

①給出一個口的值，使得〃尤）的圖像向右平移上后得到的函數(shù)g（x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，。=

6

②若丁（%）在區(qū)間（0,兀）上有且僅有兩個零點(diǎn)，則。的取值范圍是.

三、解答題：本題共6小題，共66分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.設(shè)“eN,數(shù)對（4,4）按如下方式生成：（4，瓦）=（0,0）,拋擲一枚均勻的硬幣，當(dāng)硬幣的正面朝上

時，若a“〉d，則（%+1也+1）=（%+1也+1），否則（4+i也+）=（4+1也）；當(dāng)硬幣的反面朝上時，若

bn>an,則（%+］也+J=（4+1也+1）,否則（4+i，々J=（。“也+1）.拋擲〃次硬幣后，記。“=包的概

率為匕.

（1）寫出（七，4）的所有可能情況，并求耳，￡；

（2）求匕;

18.在概率統(tǒng)計中，我們常常通過觀測到的實驗結(jié)果應(yīng)用極大似然估計法來估計某參數(shù)的取值.設(shè)X為其

分布列與未知參數(shù)機(jī)有關(guān)的離散型隨機(jī)變量，其中機(jī)的取值范圍為S.若對己知結(jié)果X=左，有/es,

且V嗎eS,有P（X=4m=%））2P（X=左|加=4）成立，則稱加o為正在X=左下的一個極大似然估

計.

（1）（i）若X服從二項分布5（2,m），求機(jī)在X=1下的極大似然估計；

（ii）若X服從二項分布5（私g）,求機(jī)在X=3下的極大似然估計.

（2）若某臺抽獎機(jī)上有一個按鈕，參與者需要連續(xù)快速點(diǎn)擊按鈕來累積積分換取獎品.已知每次點(diǎn)擊按

鈕后，獲得1積分的概率為。（0<。<1）,不獲得積分的概率為小麗參加這個抽獎活動后總共獲得

了左積分，用極大似然估計的方法估計她點(diǎn)擊按鈕的總次數(shù)機(jī)的取值為加°,證明：m0<-,并指出等號

P

成立的條件.

19.若數(shù)列｛4｝的各項均為正數(shù)，且對任意的相鄰三項。一1，%生+1，都滿足則稱該數(shù)列為

“對數(shù)性凸數(shù)列”，若對任意的相鄰三項%,at,a,,都滿足4T+am<2at則稱該數(shù)列為“凸數(shù)列”.

（1）已知正項數(shù)列｛%｝是一個“凸數(shù)列”，且a“=e0,（其中e為自然常數(shù)，〃eN*），證明：數(shù)列｛?｝

是一個“對數(shù)性凸數(shù)列”；

(2)若關(guān)于尤的函數(shù)/(%)=4+/》+么/+"/有三個零點(diǎn)，其中2>0(i=l,2,3,4).證明：數(shù)列

4,。2,。3，。4是一個“對數(shù)性凸數(shù)列”；

(3)設(shè)正項數(shù)列4,%,L，q是一個“對數(shù)性凸數(shù)列”證明：

n、n-1A

(1立11

J+1n—15

i=07

20.已知雙曲線C:工—「=1(。〉0力〉0)的左，右焦點(diǎn)分別為耳,工，雙曲線C的虛軸長為2,有一條

ab

漸近線方程為y=如圖，點(diǎn)A是雙曲線C上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過點(diǎn)4作直線/與雙曲線的右

支交于另外一點(diǎn)2,連接AO并延長交雙曲線左支于點(diǎn)P,連接尸耳與Pg,其中/垂直于/耳P8的平分

(2)求證：直線機(jī)與直線QA的斜率之積為定值；

(3)求的最小值.

^/XAPD

21.設(shè)拋物線。：丁=2.式.>0)的焦點(diǎn)為尸，已知點(diǎn)尸到圓E:(x+3)2+V=1上一點(diǎn)的距離的最大值

為6.

(1)求拋物線C方程.

(2)設(shè)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(2,4),AB是拋物線C上異于點(diǎn)尸的兩點(diǎn)，直線PAP3與y軸分別相交于

M,N兩點(diǎn)(異于點(diǎn)。)，且。是線段的中點(diǎn)，試判斷直線A3是否經(jīng)過定點(diǎn).若是，求出該定點(diǎn)坐

標(biāo)；若不是，說明理由.

22.如圖（1）所示，在平面四邊形S3CD中，58。是邊長為2的等邊三角形，BD±BC,ZBCD=30,A

為邊SD的中點(diǎn)，將二S3。沿折成直二面角，得到如圖（2）所示的四棱錐S-A3CD.

（1）若〃為棱宓的中點(diǎn)，證明：5M//平面S4Q；

（2）求二面角O—SB—C的正弦值.

參考答案

L將函數(shù)以3cos(ox+—口〉0）兀

I6的圖象向右平移孑個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)

上單調(diào)遞減，則口的最大值為（)

A.6B.5C.3D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”求出函數(shù)g（無）的解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出。的最大值.

【詳解】由題可知，g（x）=cos[￡=cosla）x-^+^

G兀兀兀兀兀

(OX-----F—€一,一g+一.

36666）

因為g（x）在區(qū)間匕，3〃沉71

上單調(diào)遞減，所以——+-<7i,所以0<。45,

66

°的最大值為5.

故選：B

2.已知正四棱錐底面邊長為2,且其側(cè)面積的和是底面積的2倍，則此正四棱錐的體積為（）

A.立B.C.D.2-73

333~

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)已知得出斜高，從而可得正四棱錐的高，由體積公式可得正四棱錐的體積.

【詳解】如圖，正四棱錐S—A5CD,BC=2,0為底面正方形中心，E為BC中點(diǎn)、,

由已知可得4x,x2xS￡=2x2x2,

2

所以S￡=2,

又OE=l,所以SO=JS￡2—=百，

所以正四棱錐的體積為V=1x2x2xg=3".

33

故選：C.

3.設(shè)XGR,向量&=(%,-1),b=(x,4),則％=—2是aJ./?的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】利用是否推出關(guān)系來判斷充要關(guān)系即可.

【詳解】當(dāng)x=—2時，向量。=(%,—1)=(—2,—1),〃=(羽4)=(—2,4),

此時有a2=(—2,-1)?(—2,4)=—2x(—2)—1x4=0,所以。工匕，故是充分條件;

當(dāng)時，a-b=(x,-1)?(x,4)=x2-4=0,解得x=±2,故不是必要條件;

所以x=-2是。的充分不必要條件,

故選：B.

4.設(shè)函數(shù)r(x)是函數(shù)/(%)(%eR)的導(dǎo)函數(shù)，^f(x)-f(-x)=2x3,且當(dāng)X20時，f\x)>3x2,則

不等式/'(x)-/(x+l)+3x2+3x+l〉0的解集是()

A.(—00,——)B.(―℃>,—2)C.(—―,+oo)D.(―2,+co)

【答案】A

【解析】

【分析】先構(gòu)造函數(shù)令尸(無)=/(》)-三，由題意判斷出尸(龍)的奇偶性和單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化成

f(x)-x3>/(x+l)-(x+l)3,即尸(x)>尸(x+1),由函數(shù)單調(diào)性和奇偶性可得到I尤l>|x+l|,解得即可.

【詳解】令尸(X)=/(無)一無3,

可知F(X)的定義域為R,且F\x)=f\x)-3尤2,

因為f(x)-f(-x)=2x3，則/(%)-x3=/(-%)-(-%)3，

可得F(-x)=F{x),故F(九)為偶函數(shù)，

當(dāng)X20時,f\x)>3x2,即尸'(x)>0,

可知F(九)在［0,+8)上為增函數(shù)，

對于不等式/(%)-于(x+1)+3%2+3%+1>0,

可得y(x)一9>于(x+l)-(x+l)3,即F(x)>F{x+1),

由函數(shù)單調(diào)性和奇偶性可知：I尤|>|x+l|,解得％<-!，

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵在于構(gòu)建/(?=/(尤)-尤3,分析其奇偶性和單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)解

不等式.

5.己知=則不等式/(%+3)</(/+3”的解集是()

in11%j,x&L/,

A.(-3,1)B.(0,1)C.(f,—3)J(l,y)D.(l,+8)

【答案】A

【解析】

【分析】判斷/(X)在R上的單調(diào)性，將不等式等價于％+3>爐+3力由一元二次不等式的解法即可得解.

/、[-2X2,X>0,

【詳解】/(x)=〈\/c，可得當(dāng)時，/(%)單調(diào)遞減，當(dāng)尤>0時，/(%)單調(diào)遞減，且

ln(l-x),x<0,

x=0時函數(shù)連續(xù)，則/(%)在R上單調(diào)遞減，

不等式/(x+3)</(f+3%),可化為尤+3>k+3光，HPx2+2%-3<0>

解得：—3<x<l,則原不等式的解集為：(-3,1),

故選：A

6.已知向量滿足忖=1,卜+20=2,且僅一2a)_Lb,則卜卜()

A.|B.立C.BD.1

222

【答案】B

【解析】

【分析】由僅一2a)J_b得片=2°.匕，結(jié)合忖=1,卜+20=2,得1+4￡.4+4片=1+6片=4,由此即

可得解.

【詳解】因為僅-所以僅-2a)力=0,^b=2a-b，

又因為卜|=1,卜+24=2,

所以1+4。,/?+4/?=1+6。=4，

從而

故選：B.

7.在VABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若6=0,。為AC的中點(diǎn)，

bsinA=2sinNABD,則應(yīng))=()

A.1B.72C.百D.2

【答案】A

【解析】

【分析】在△ABD中，由正弦定理得BD=---------,JiAD=—AC=—bKbsinA=2smZABD,

sinAsinZABD22

簡可得的值.

【詳解】由已知AD=O=/C=m,在△的中,由正弦定理得色=」^=^^

sinAsinZABDsinZABD

bsinAZ?sinA

所以M=又Z?sinA=2sinZABD,故50==1.

2sinZABD2sinZABZ)

故選：A.

8.已知集合A={x||x—l]<1},B=|x|^=lg(x2+x-2^,則4B=()

A.[-2,1)B,[0,1)C.[0,2]D,(1,2]

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)解絕對值不等式得到集合A,由真數(shù)為正得到集合8,從而得到AcB.

【詳解】由4={*|,—1|<1}={%|0<%<2},

3=卜卜=1g（X?+X-2）}={%卜2+%-2〉o}={x[x<-2或x>1},

所以4^^6=（1,2].

故選：D.

二、多選題:

9.已知”>2,且〃eN*，下列關(guān)于二項分布與超幾何分布的說法中，錯誤的有（）

A.若X則E(2X+l)=g〃+l

14

B.若X則。(2X+1)=§”

C.若X3(%g),則P(X=1)=尸(X=〃-1)

D.當(dāng)樣本總數(shù)遠(yuǎn)大于抽取數(shù)目時，可以用二項分布近似估計超幾何分布

【答案】BC

【解析】

【分析】利用二項分布的期望、方差公式及期望、方差的性質(zhì)計算判斷AB；利用二項分布的概率公式計算

判斷C；利用二項分布與超幾何分布的關(guān)系判斷D.

119

【詳解】對于A,由X得E（X）=§〃，則E（2X+l）=g〃+l,A正確；

11228

對于B,由X得。（X）=§X§〃=3〃，則。（2X+1）=4D（X）=3〃，B錯誤；

11221

對于C,由XB（n,-）,得P（X=1）=c>-X（-）"-1,P（x=H-1）=C：1x-x（-）"-）,故

P（X=1）#P（X=〃—1）,C錯誤；

對于D,當(dāng)樣本總數(shù)遠(yuǎn)大于抽取數(shù)目時，可以用二項分布近似估計超幾何分布，D正確.

故選：BC

10.函數(shù)/（x）=Jisin（s+。）0<?<2,-^<^9<|的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的有（

A.(D=------

4

B.

；(

/（X）的表達(dá)式可以寫成/（X）=瓜'os2x+?

（3兀QJT

D.若關(guān)于X的方程/（x）=1在（0,上有且只有4個實數(shù)根，則冽e彳,工

IZ4

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象過（0,-1）,,建立方程組求出了（X）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性

質(zhì)逐項判斷即可.

兀。

【詳解】由函數(shù)圖象可知/（0）=夜sin0=-LL=n。,

因為/（尤）在x=0，x=9附近單調(diào)遞增,

8

LL-7兀.TICD-7

所以0=--F2kli,-—(p—2kli,kGZ,

JTTTTT

又因為O<0<2,——<(p<~,所以夕=——,0=2,

224

所以/(x)=0si?2x-：J,A說法正確;

TtIn713兀3兀

當(dāng)XC時，2x——G

2'T4T?T

3兀3兀717兀

所以由y=sinx在單調(diào)遞減可知“X）在

T'T2，-8~上單調(diào)遞減，B說法正確;

因為/(x)=0sin]2x—：]3兀3兀

=6sin2X+--TI=—J^sin2x+：,所以C說法錯誤;

44

4-/(x)=V2sinf2x-^1=K#

sin(2x-：=,解得x=—+kji^x=—+kn,

242

方程/（x）=l在（0,加）上有且只有4個實數(shù)根，從小到大依次為日,g,

9兀3Q71

而第5個實數(shù)根為一，所以一＜根《——，D說法正確;

424

故選：ABD

11.已知函數(shù)/0）=2（：05（⑺+。）［。＞0,|司＜力的部分圖象如圖所示，則（

)

A.co=2

(JI7兀\

B./(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為［防r+五,E+五)左eZ

TT

C./(%)的圖象可由函數(shù)y=2cos2%的圖象向右平移一個單位得到

6

D.滿足條件［⑺—f［―t—f>°的最小正整數(shù)X為2

【答案】ABD

【解析】

13

【分析】觀察函數(shù)圖象，確定函數(shù)/(%)的周期，由此可求。，判斷A,再結(jié)合％=—兀時，函數(shù)取最大值，

12

列方程求。，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求/(幻的單調(diào)遞減區(qū)間，判斷B,根據(jù)函數(shù)圖象變換結(jié)論，判斷C,

先求/(一弓),/(g)，化簡不等式可得/(%)范圍，解不等式確定x的范圍，判斷D.

【詳解】設(shè)函數(shù)/(%)的周期為T,

313TI7i37i

觀察函數(shù)圖象可得，-T=----------=—

41234

2兀

所以17二兀，又力>0,

所以69=2,A正確,

13

因為X=五兀時，函數(shù)/(%)=2cos(s+0)取最大值，(0=2,

所以2x+(p=2mit,meZ,|^?|<—,

122

所以/=_兀￡,故/(%)=2COS(2%_FJ,

6

TT

由2E<2x-—<2左兀+兀，左GZ,

jrjr7IT

可得E+—<2x——<kji+一eZ,

12612

(兀7兀、

所以函數(shù)/(無)的單調(diào)遞減區(qū)間為［E+五,而+五J,左eZ,B正確,

TT

函數(shù)，=2cos2x的圖象向右平移一個單位得到函數(shù)y=2cos的圖象，C錯誤,

6

所以|/(+小1)")一信］>0可化為(/(%)—1)/(%)>0,

所以〃x)>l或〃x)<0,

/71I171J[7C

由/(九)>1可得,cos2x--->—,所以2〃兀-----<2x-----<2wi+—,nGZ,

I6j2363

即mr-----<x<rm+—eZ,

124

取〃=0可得<x<一，取〃=1可得<x<—，

124124

由/(x)<0可得，cos^2%-^<0,所以2機(jī)+］<2x—W<2/7i+^JeZ,

口r兀5兀?

即機(jī)+一<x<——JeZ,

36

取f=0可得，x<決，

36

所以滿足條件［(%)—f(―—f(g)>0的最小正整數(shù)X為2,D正確,

故選：ABD.

12已知6eR,雙曲線C：x2cos^+y2sin2^=l,則()

A.夕可能是第一象限角B.，可能是第四象限角

C.點(diǎn)(1,0)可能在C上D.點(diǎn)(0,1)可能在C上

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，可得cosesin26><0,即。在第三象限或第四象限，分情況討論得

解.

【詳解】根據(jù)題意，可得cos6sin2e<0,即singcos?，<0,即sin8<0且cosOwO,

所以。在第三象限或第四象限.故A錯誤，B正確；

當(dāng)d在第三象限時，有一l<sin6<0,-1<cos0<0,sin28>0,

222

yxT5兀丫2_工=1

雙曲線方程為11,當(dāng)51112，=1即9=---卜2kn,時，方程為,

-----4—

sin20cos0--------------------------------------------------2

所以點(diǎn)(0,1)在雙曲線上，故D正確；

當(dāng)。在第四象限時，有一l<sin6<0,0<cos<Lsin26<0,

22

%y71

雙曲線方程為11一，因為——>1,所以點(diǎn)(1,。)不在雙曲線上，故c錯誤.

---X--.“cos0

cosUsin26

故選：BD.

三、填空題：

13.已知(X+Z?)5=+。3%3+。2%2+。1%+。0，若。3=40,則Z?=.

【答案】±2

【解析】

【分析】由二項展開式的通項公式即可求解

【詳解】(X+))5展開式的通項公式為<+|=C)5f〃，

55432

由(x+Z?)=a5x+a4x+a3x+a2x+axx+a0,故Y的系數(shù)為C；/

而生=40,得C〉/=40,解得/?=±2.

故答案為：±2

14.三棱錐P—ABC中，AB=AC=j2,AB±AC,平面平面A5C,且~8=尸。.記

21

尸-A5C的體積為V,內(nèi)切球半徑為「，則-----的最小值為.

rV

【答案】V6+2##2+V6

【解析】

【分析】根據(jù)等體積法可得2=2'+2+2‘2/?+1=2也/?+1+2+2,即可構(gòu)造函數(shù)

rhh

272^+1-1c

f(x)=-------------+2

x

利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，即可求解最值.

【詳解】設(shè)三棱錐P—ABC的高為〃，依題意，可取中點(diǎn)0,

連接。4,0P,則

由于AB=AC=0,A5_LAC,則BC=VL1B=2,

則OA=OB=OC=1,OP=h,

由于平面PBC，平面ABC,且交線為BC,OP±BC,OPu平面PBC,

故OP,平面P6C,故PA=PB=PC

11

則公PBC的面積為e力?BC=〃,VA3C的面積］。4-3C=1,

由R4=尸5=PC=正+1可得△P5A和Q4c的面積為

科?巧口肥+1-目

于是三棱錐P-ABC的表面積為，22+1+〃+1，

而222A+2+242/+1242"+1+2、

所以一=-----------------=--------------F2?

rhh

212123「—「—

———----;-------------------2A/2/Z2+1+2_32\2/?2+1—1.

故rVrJ_qIrh=—..................+2——=—................+2.

ABcnhhh

設(shè)函數(shù)/(x)=2,2/+1-1+2,且%>o.

X

亞丁+1-22X2-3

則/①K7T7，2￡+1(，23+1+2)

⑴＜。"⑶單調(diào)遞減,

x〉["'(x)〉O,/(%)單調(diào)遞增，

所以/(》)之/[|；=#+2,

所以/z=—―時，-----取得最小值y/6+2，

2rV

故答案為：^/6+2.

點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用等體積法得至U2=2/?+2+2也h1+1=2也h1+1+2+2,構(gòu)造函數(shù)

rhh

上(、2,2%2+1—1卡日

/(%)=-------------+2，求導(dǎo).

x

r\

15.已知數(shù)列也｝的通項公式為么=n2cos^,7“是數(shù)列也｝的前n項和，則&=

9H24-4"

【答案］

2

【解析】

【分析】設(shè)或=4*_2+&1，根據(jù)所給通項求出與，則4"=。1+。2+。3+-?+1，利用分組求和法

計算可得.

2?77r

【詳解】因為a="cos-----,

3

設(shè)q=4左一2+4"i+b3k

=(3Z—2)2.COS2H+(3左一I)?-cos2kit+4k)2-cos2^7t

19x(3左_l)2+(3左)2=9左_g,

--X(3^-2)2+

所以4=q+。2+。3+???+C?

cn(l+n)59/+4”

=9x------——n=--------

22

遼去心、，9n2+4n

故答案為：--------

2

16.設(shè)函數(shù)/(x)=sin[tyx+；J(0〉O)

①給出一個①的值，使得"％)的圖像向右平移工后得到的函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，。=

6

②若丁(%)在區(qū)間(0,兀)上有且僅有兩個零點(diǎn)，則切取值范圍是.

3(71T

【答案】①.-(答案不唯一)②.

2144J

【解析】

【分析】根據(jù)變換法則得8(司=5：111，%+：—矢],則:—加=也，左”取左=0計算即可，確定

71(7171171

0X+-G-,07T+-,根據(jù)零點(diǎn)個數(shù)得到2兀＜0兀+—＜3兀，解得答案.

4144J4

【詳解】由題意可得g(x)=sin[o[x—[+：=sin[tyx+(一,

因為g(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以=即0=9—6左左eZ,

3

當(dāng)左=0時，a＞=—；

2

jrITT7T?

若xe(O,兀)，貝(J0x+]e匕，M+工)，/(%)有且僅有兩個零點(diǎn)，

7[1(7]]

則2兀＜。兀+—＜3兀，解得一＜。＜一，故。的取值范圍為|.

444144

3（7111

故答案為：一（答案不唯一）；二,二

2144」

四、解答題：

17.設(shè)〃eN,數(shù)對（4,2）按如下方式生成：（4,%）=（0,0）,拋擲一枚均勻的硬幣，當(dāng)硬幣的正面朝上

時,若4則（a“+i，d+i）=（%+l，d+l）,否則（a”+i也+1）=（。”+1,2）；當(dāng)硬幣的反面朝上時,若

則（%,%）=（%+M+1）,否則（4+1也+1）=（%，2+1）.拋擲"次硬幣后,記為=2的概

率為

（1）寫出（%,4）的所有可能情況，并求斗巴；

（2）求只;

【答案】（1）可能情況見解析，6=0,￡=g

【解析】

【分析】（1）列出所有（4,4）和（4,4）的情況，再利用古典概型公式計算即可;

（2）依題構(gòu)造遞推關(guān)系與+1-；=-；］匕-；）,再利用等比數(shù)列公式可得答案.

【小問1詳解】

當(dāng)拋擲一次硬幣結(jié)果為正時,（%，4）=。,0）；

當(dāng)拋擲一次硬幣結(jié)果為反時,=（0,1）；

當(dāng)拋擲兩次硬幣結(jié)果為（正,正）時，（出也）=（2，1）；

當(dāng)拋擲兩次硬幣結(jié)果為（正，反）時,（%也）=（1,1）；

當(dāng)拋擲兩次硬幣結(jié)果為（反，正）時,（%也）=（1,1）；

當(dāng)拋擲兩次硬幣結(jié)果為（反，反）時,（。2,4）=（1,2）.

所以，q=O,R=?=!；

~42

【小問2詳解】

由題知，I%-%Al,

當(dāng)a“〉d，且擲出反面時，有(4+1，2+1)=(。〃,々+1)，此時""+1-"〃+1'

當(dāng)見<2，且擲出正面時，有(為+i，2+i)=(為+L2)，此時"〃+1—bn+i,

所以加=口(4濁)+3Pm<2)=3［網(wǎng)4>2)+*為<優(yōu))］=。(1—匕)，

所以匕+「74［一3

所以［匕―3｝是以6—;為首項，一;為公比的等比數(shù)列，

w^4=4xH)'所以q=**卜().

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是由已知推得匕+1-3=-3］匕-g),再利用等比數(shù)列定義解題.

18.在概率統(tǒng)計中，我們常常通過觀測到的實驗結(jié)果應(yīng)用極大似然估計法來估計某參數(shù)的取值.設(shè)X為其

分布列與未知參數(shù)加有關(guān)的離散型隨機(jī)變量，其中機(jī)的取值范圍為S.若對已知結(jié)果X=左，有加oeS,

且V/^eS,有P(X=用機(jī)=6機(jī)=4)成立，則稱加o為加在X=上下的一個極大似然估

計.

(1)(i)若X服從二項分布網(wǎng)2,加)，求機(jī)在X=1下的極大似然估計；

(ii)若X服從二項分布5(/n,g),求機(jī)在X=3下的極大似然估計.

(2)若某臺抽獎機(jī)上有一個按鈕，參與者需要連續(xù)快速點(diǎn)擊按鈕來累積積分換取獎品.已知每次點(diǎn)擊按

鈕后，獲得1積分的概率為p(O<p<D，不獲得積分的概率為1-夕.小麗參加這個抽獎活動后總共獲得

了左積分，用極大似然估計的方法估計她點(diǎn)擊按鈕的總次數(shù)的取值為加°，證明：并指出等號

P

成立的條件.

【答案】(1)(i)|；(ii)5或6

(2)證明見解析，等號能成立的條件為&eN*.

P

【解析】

【分析】(1)(i)根據(jù)二項分布的定義寫出尸(x=l)的表達(dá)式，再求其最值即得;

(ii)根據(jù)二項分布的定義求得p(x=3)=袱=”2),利用數(shù)列a二-----八-----的單調(diào)性,

m6.2m

即得%;在m=5或nt=6時取得最大值，即得；

⑵先判斷X服從二項分布5(狐同，求得尸(X=左)=C>/(1—0"修，求出3=1~,

cim-K\L

判斷｛%“｝的單調(diào)性，按照1是否為整數(shù)分情況討論推理得到加0即可.

pP

【小問1詳解】

(i)由題意可得P(X=1)=-m)=~~2(m—―)2+—,

故當(dāng)機(jī)=工時取最大值，其極大似然估計為：.

22

(ii)由題得根wN*，且加23,

P(X=3)=Cl±=z=m(m-l)(m-2)

I7m2m3!-(rn-3)!-2m6-2m

+—1)

6.2W+1m+1

6.2m''42m-4

其中相>3,2加一4>0.當(dāng)機(jī)<5時，m+1>2m—4,則。冽+1>。加；

當(dāng)根=5時，有。5=4；當(dāng)加26時，品+1<am，故。加在根=5或加=6時取得最大值，

則加在X=3下的極大似然估計為5或6.

【小問2詳解】

顯然有機(jī)>左，設(shè)機(jī)次點(diǎn)擊后獲得的積分為隨機(jī)變量X，由題可知X服從二項分布5(75P),

則p(x=o=C”(i—p；r，

設(shè)am=C,pkQ-p)"i,

W+1）!

貝七=C"（l-p嚴(yán)y=左!（"，+—）!=（，"+l）（l-，）=（If—°

、amC:pkQ—p）%km!m-k+1m-k+1'

k!（m-k）!

k

當(dāng)（1—p）m+1—夕<〃z—Z+l，即加〉---1時，am+i<am,

k.k、

當(dāng)機(jī)<——1時，am+i>amf當(dāng)機(jī)=——1時，am+i=am.

PP

①若K-l為整數(shù)，則對加的極大似然估計人為七T和七，滿足相。《幺，當(dāng)XeN*時等號成立，

PPPPP

②若1不為整數(shù)，記N為小于1的最大整數(shù)，則N+l>&-1,

P