專題12直線與圓（講義）

目錄

oi考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................1

02知識(shí)導(dǎo)圖思維引航............................................................3

03知識(shí)梳理方法技巧............................................................3

04真題研析?精準(zhǔn)預(yù)測(cè)............................................................8

05核心精講題型突破............................................................9

題型一：直線方程'過定點(diǎn)及與坐標(biāo)系圍成的面積問題9

題型二：直線與圓涉及的對(duì)稱問題14

題型三：直線與圓涉及距離最值問題19

題型四：直線與圓位置關(guān)系綜合求參數(shù)25

重難點(diǎn)突破：圓與圓位置關(guān)系綜合求參數(shù)32

0

—視?一標(biāo)導(dǎo)航

平面解析幾何中直線與圓是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是考查考生學(xué)科素養(yǎng)的重要載體，高考對(duì)解析幾何的

1/35

考查一般以課程學(xué)習(xí)情境與探索創(chuàng)新情境為主，注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)性、綜合性和應(yīng)用性的考查，主要考查

圓與方程,直線位置關(guān)系及其綜合問題，主要考查考生的運(yùn)算求解能力和邏輯思維能力，從近三年的高考試題

來看，本專題考查內(nèi)容覆蓋直線、圓，突出考查考生理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索等學(xué)科素養(yǎng)

考點(diǎn)要求目標(biāo)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

預(yù)測(cè)2025年高考，平

面解析中直線與圓主要以

考查基礎(chǔ)知識(shí)為主，同時(shí)

2024年北京卷第3題4分

熟練掌握直線與

鍛煉學(xué)生的運(yùn)算求解能

2022年北京卷第3題4分

圓的位置關(guān)系；點(diǎn)

直線與圓2021年北京卷第9題4分力'邏輯思維能力等.重點(diǎn)

到直線的距離；弦

2020年北京卷第5題4分考查學(xué)生對(duì)直線與圓基礎(chǔ)

長(zhǎng)公式；參數(shù)問題

2019年北京卷第8題4分知識(shí)的掌握程度及靈活應(yīng)

2018年北京卷第7題4分

用，同時(shí)也要重視對(duì)通性通

法的培養(yǎng)問題

2/35

寓2

傾斜角與斜率的計(jì)算

㈤3

1.直線方程的五種形式

技巧總結(jié)

名稱方程適用范圍

點(diǎn)斜式y(tǒng)-y^k^x-x^不含垂直于X軸的直線

3/35

斜截式y(tǒng)=kx+b不含垂直于x軸的直線

y-y

兩點(diǎn)式l不含直線x=%i（X］，％2）和直線＞=?（乂。＞2）

》2一》%2一%

截距式—不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線

ab

Ax+By+C=0

一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用

(A2+笈w0)

2.求曲線（或直線）方程的方法：

技巧總結(jié)

在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：

（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個(gè)點(diǎn)，

或者一點(diǎn)一斜率

（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方程，然后再利用條

件解出參數(shù)的值（通常條件的個(gè)數(shù)與所求參數(shù)的個(gè)數(shù)一致）

3.線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式

技巧總結(jié)

再+%

X=

2

若點(diǎn)耳，￡的坐標(biāo)分別為（國(guó)，乂），（x2,%）且線段65的中點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（x,y），則，此公式

X+%

y=

2

為線段斗鳥的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.

4.兩直線的夾角公式

技巧總結(jié)|

若直線y=+bx與直線y^k2x+b,的夾角為a,則tana=?/

\Y+kxk2\

5.三種距離

技巧總結(jié)

①兩點(diǎn)間的距離

平面上兩點(diǎn)耳（%,必）,乙（3,力）的距離公式為mi=J?-%）2+（%一%）2.

特別地，原點(diǎn)O（0,0）與任一點(diǎn)尸（x,y）的距離|OP|=jY+r.

②點(diǎn)到直線的距離

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點(diǎn)《（X。,％）到直線l-.Ax+By+C=O的距離d=1為+叫+。

yJA2+B2

特別地，若直線為/：x=m,則點(diǎn)《（X0/0）到/的距離d=|加-/|；若直線為/：y=n,則點(diǎn)《（x。,打）到/的

距禺d二|〃一九|

③兩條平行線間的距離

已知4人是兩條平行線，求4,4間距離的方法：

（1）轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點(diǎn)到另一條直線的距離.

(2)設(shè)<:Ax+By+C=0,ZAx+By+C=0，則K與/,之間的距離d=一―二

x22S+外

注：兩平行直線方程中，x,y前面對(duì)應(yīng)系數(shù)要相等.

④雙根式

雙根式"X）=+貼+G土&X+&尤+C2型函數(shù)求解，首先想到兩點(diǎn)間的距離，或者利用單調(diào)性求解.

6.對(duì)稱問題

技巧總結(jié)

①點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的本質(zhì)是中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)P區(qū)，/）關(guān)于點(diǎn)0（%,為）的對(duì)稱點(diǎn)為「（馬,為），則根據(jù)中點(diǎn)

,X]+X2

2

坐標(biāo)公式,有可得對(duì)稱點(diǎn)尸H，y2）的坐標(biāo)為（2%-X],2%-%）

②點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱

點(diǎn)尸（西，必）關(guān)于直線/:4r+2y+C=O對(duì)稱的點(diǎn)為P（z,%），連接尸P，交/于M點(diǎn)，則/垂直平分尸產(chǎn),

%,kpp.=—1

所以尸產(chǎn)'_L/，且M為PP中點(diǎn)，又因?yàn)镸在直線/上，故可得Jx+xy+y，解出（x,,%）

A——二+B—~—+C=0-

I22

即可.

③直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

法一：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直

線方程；

法二：求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩對(duì)稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程.

④直線關(guān)于直線對(duì)稱

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求直線/]：ox+勿+c=0，關(guān)于直線4：力+ey+/=0(兩直線不平行)的對(duì)稱直線％

第一步：聯(lián)立/「/?算出交點(diǎn)尸(%，%)

第二步：在4上任找一點(diǎn)(非交點(diǎn))。區(qū)，%)，利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的秒殺公式算出對(duì)稱點(diǎn)0(%，%)

第三步：利用兩點(diǎn)式寫出4方程

⑤常見的一些特殊的對(duì)稱

點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x,-y)，關(guān)于N軸的對(duì)稱點(diǎn)為(-x,y)■

點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線V=X的對(duì)稱點(diǎn)為(y,X)，關(guān)于直線>=-X的對(duì)稱點(diǎn)為(-y,-x).

點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x=a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a—x,y))關(guān)于直線y=h的對(duì)稱點(diǎn)為(x,1b—y).

點(diǎn)(x,y)關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a-x,2b—y)■

點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x+y=左的對(duì)稱點(diǎn)為(4-y,k-x),關(guān)于直線x-y=左的對(duì)稱點(diǎn)為(左+y,x-k)-

7.直線系方程

技巧總結(jié)

過定點(diǎn)直線系過已知點(diǎn)尸(%，為)的直線系方程y-%=Mx-x。)(左為參數(shù)).

斜率為定值直線系斜率為k的直線系方程y=kx+b(b是參數(shù)).

平行直線系與已知直線Ax+By+C=Q平行的直線系方程Ax+By+A=0(2為參數(shù)).

垂直直線系與已知直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程Bx-Ay+A=0為參數(shù)).

過兩直線交點(diǎn)的直線系

過直線4：Axx+Bxy+G=0與:A^x+B,y+C2=0的父點(diǎn)的直線系方程：

Alx+Bly+Cl+A(A2x+B2y+C2)=0(/I,為參數(shù)).

8.直線與圓的位置關(guān)系判斷

技巧總結(jié)

(1)幾何法(圓心到直線的距離和半徑關(guān)系)

圓心(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離，則d=坐十劭十。：

JI+爐

d<ro直線與圓相交，交于兩點(diǎn)尸,。，\PQ\=2^r2-d2；

d=ro直線與圓相切；直線與圓相離

(2)代數(shù)方法(幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個(gè)數(shù))

6/35

由1^x+By+C02，消元得到一元二次方程？/+gx+f=o,px2+/+/=0判另（J式為△,貝!J：

［（x-a）+（y-b）=r~

△>0o直線與圓相交；A=0o直線與圓相切；A<0o直線與圓相離.

9.兩圓位置關(guān)系的判斷

技巧總結(jié)

用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：

設(shè)兩圓。”。2的半徑分別是尺/，（不妨設(shè)尺>/），且兩圓的圓心距為d，貝I：

d<R+ro兩圓相交；d=7?+ro兩圓外切；R—r<d<R+ro兩圓相置it/=R—廠=兩圓內(nèi)切；

OWd<R-ro兩圓內(nèi)含（d=0時(shí)兩圓為同心圓）

設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為R>r,圓心距為4,則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：

位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

d>R+d=R-\-rR-r<d<R+d=R-r

幾何特征d<R-r

無實(shí)一組實(shí)一組實(shí)

代數(shù)特征兩組實(shí)數(shù)解無實(shí)數(shù)解

數(shù)解數(shù)解數(shù)解

公切線條數(shù)43210

10.常用結(jié)論

技巧總結(jié)

（1）過圓/+/=/上一點(diǎn)產(chǎn)（%,%）的圓的切線方程為XoX+%y=/.

（2）過圓（x-a）2+（y-b）2=r2上一點(diǎn)尸（x。,％）的圓的切線方程為（x（）-a）（x-a）+（%-6）（y-6）=1

（3）過圓/+/+.+現(xiàn)+尸=0上一點(diǎn)PG。,％）的圓的切線方程為

xox+yoy+D-+E-'+F=0

（4）求過圓/+/=產(chǎn)外一點(diǎn)尸（%,外）的圓的切線方程時(shí)，應(yīng)注意理解：

①所求切線一定有兩條；

②設(shè)直線方程之前，應(yīng)對(duì)所求直線的斜率是否存在加以討論.設(shè)切線方程為y-%=后（》-%）,利用圓心到

切線的距離等于半徑，列出關(guān)于左的方程，求出左值.若求出的左值有兩個(gè)，則說明斜率不存在的情形不符

合題意；若求出的左值只有一個(gè)，則說明斜率不存在的情形符合題意.

7/35

㈤4

〃原題砒卷精準(zhǔn)旗IL、

1.（2024?北京?高考真題）圓/+/-2%+6了=0的圓心到直線x-y+2=0的距離為（）

A.72B.2C.3D.3也

【答案】D

【詳解】由題意得Y+/-2x+6y=0,即(尤-1)~+(y+3/=10,

”(-3)+斗

則其圓心坐標(biāo)為（1,-3）,則圓心到直線x-y+2=0的距離為=372

Ji")?

故選：D.

2.（2021?北京?高考真題）已知直線丫=履+加（加為常數(shù)）與圓/+/=4交于點(diǎn)N,當(dāng)人變化時(shí)，若I的VI

的最小值為2,則機(jī)=

A.+1B.±72C.±73D.±2

【答案】C

【詳解】由題可得圓心為（0,0）,半徑為2,

\m\

則圓心到直線的距離d=,

收+1

則弦長(zhǎng)為“v|=2J4--上一，

則當(dāng)上=0時(shí)，I九w|取得最小值為2代群=2，解得機(jī)=±6.

故選：C.

3.（2020?北京?高考真題）已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)（3,4）,則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（）.

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【詳解】設(shè)圓心C（x/），則J"-）?=1,

化簡(jiǎn)得（X—3）2+（y_4）2=1,

所以圓心C的軌跡是以M（3,4）為圓心，1為半徑的圓，

8/35

所以|。。|+14四|=行百=5,所以|OC|25-1=4,

當(dāng)且僅當(dāng)C在線段OM上時(shí)取得等號(hào)，

故選：A.

4.（2022?北京?高考真題）若直線2x+y-l=0是圓。-。）2+/=1的一條對(duì)稱軸，則。=（）

11

A.-B.—C.1D.—1

22

【答案】A

【詳解】由題可知圓心為（。,0）,因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，即2“+0-1=0,解得。=；.

故選：A.

㈤5

題型一：直線方程、過定點(diǎn)及與坐標(biāo)系圍成的面積問題

【典例1-1】已知直線過點(diǎn)N（l,0）,3（0,-6）,則直線的傾斜角為（）

7171_7T

A.—B.—C.-D.

634

【答案】B

【詳解】直線過點(diǎn)N0,0）,3（0,-6）,則直線的斜率為左=\±素=6，

設(shè)直線的傾斜角為凡所以tan。=6,。e[0,兀），

所以直線的傾斜角為

故選：B.

9/35

【典例1-2】已知直線/：2x-3y+6=0,則直線/的傾斜角的正切值為（）

,32「23

A.—B.—C.-D.-

2332

【答案】c

2

【詳解】直線方程2x-3y+6=0化為斜截式y(tǒng)=：x+2,

則直線的斜率為:，

因?yàn)橹本€的斜率等于傾斜角的正切值，

所以直線/的傾斜角的正切值為:.

故選：C.

回國(guó)目國(guó)

已知直線上任意兩點(diǎn)，4再，%），2（%，%）則左=三二互

%2一%

若直線y=左尤+乙與直線y=斤2》+"的夾角為a,貝!）tana=?,>.

1+左隹

已知4,4是兩條平行線，求4,間距離的方法：

（1）轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點(diǎn)到另一條直線的距離.

,Ic,-CJ

（2）設(shè)4:/x+3y+G=0/：Nx+8y+G=。，則，與\之間的距離”=口一”

7A-+B-

注：兩平行直線方程中，x,y前面對(duì)應(yīng)系數(shù)要相等.

【變式1-1】若直線4x+2y-l=0與直線4x+叼=0平行，則兩平行線間的距離（）

A275?375<、&nV5

510510

【答案】D

【詳解】因?yàn)橹本€4、+2>-1=0與直線4x+沖=0平行，

所以4義加=2x4,

所以加=2,

此時(shí)兩直線方程為4x+2y-1=0,4x+2y=0,兩直線平行，

直線4x+2y—1=0與直線4x+2y=0的距離為=正.

V42+2210

故選：D.

【變式1-2］已知直線的傾斜角為60。，且過點(diǎn)尸（0,1）,則直線的方程為（）

10/35

C.y=y[?>x-1D.y='fix+1

【答案】D

【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為60。，所以直線的斜率4=tan60。=6,

又直線過點(diǎn)所以直線的方程為y=6x+l.

故選：D

命題預(yù)測(cè)

1.已知直線x+y=3與圓尤?+/-2了-2=0相交于48兩點(diǎn)，貝！1|48|=（）

B.V2C.V3

【答案】D

【詳解】因?yàn)閳A。：/+（廣1）2=3的圓心C（0,l）,半徑「=唐,

所以圓心C到直線/：x+y-3=0的距離為〃=叱上斗=0，

故弦長(zhǎng)|/同=2y/r*2—d2—243-2=2.

故選：D.

7T7T

2.如圖，在直角三角形045中，A=~,邊。4所在直線的傾斜角為2，則直線48的斜率為（）

x

A.—y/i

C.-1

【答案】A

【詳解】邊。4所在直線的傾斜角為則斜率為心,

63

4=三,即4BLQ4,故kg2=7,

2AB3

11/35

解得kAB--A/3.

故選：A.

3.已知A(-l,0),5(1,0),若點(diǎn)尸滿足PA1PB,則點(diǎn)P到直線+n(y-1)=0的距離的最大值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【詳解】因?yàn)槭渣c(diǎn)尸的軌跡為以線段N2為直線的圓，

因?yàn)?(-1,0),8(1,0),所以圓心為0(0,0),半徑為1,

又直線/:m(x-V3)+ra(j-l)=0,其過定點(diǎn)JJ,1),

\OM\={(0-可+(o-l)2=2

故點(diǎn)尸到直線/:m(x-V3)+n(j-l)=0的距離的最大值為2+1=3.

故選：C.

4.已知。為直線/：尤+2夕+1=0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)p滿足/=(1,-3),記尸的軌跡為E,貝！］()

A.E是一個(gè)半徑為近的圓

B.E是一條與/相交的直線

C.E上的點(diǎn)到/的距離均為6.

D.E是兩條平行直線

【答案】C

【詳解】設(shè)尸(x,y),由中=0,-3),則。(xT,y+3),

由。在直線/：x+2y+l=0上，故無一1+2(V+3)+1=0,

化簡(jiǎn)得x+2y+6=0,即P的軌跡E為直線且與直線/平行,

E上的點(diǎn)到I的距離d=/L故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.

VI+22

故選：C.

5.如圖，在VN8C中，AACB=90°,AC=2,BC=\,當(dāng)點(diǎn)A、C分別在x、歹軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)8到原點(diǎn)。的

最大距離是()

12/35

D.3

【答案】A

【詳解】取/C的中點(diǎn)。，連接2。，0D,

BD=Vl2+12=V2>

由圖可知，忸。區(qū)忸回+口。|=亞+1,

當(dāng)3,O,。三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立,

所以點(diǎn)8到原點(diǎn)O的最大距離是血+1.

故選:A

6.已知直線4：〃行一〉=0（〃2€1＜）過定點(diǎn)人，直線4：X+7町+4-2優(yōu)=0過定點(diǎn)8,4與4的交點(diǎn)為C,貝UV4BC

面積的最大值為（）

A.V10B.2石C.5D.10

【答案】C

【詳解】由題可知，/（0,0）,8（-4,2）,直線4，/2,

所以/C_L8C,|/卻2=20,

所以|/C「+忸=即「=20,

所以V/8C的面積為JNCI忸C|＜：x/丁12=5,

當(dāng)且僅當(dāng)|/C|=忸C|=歷時(shí)等號(hào)成立.

13/35

故選：c

題型二：直線與圓涉及的對(duì)稱問題

【典例2-1】若點(diǎn)（。/）關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)在了軸上，則6滿足的條件為（）

A.4（2-3ZJ=0B.3a—4b=0

C.2a-3b=0D.3。-26二0

【答案】B

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)（。1）關(guān)于直線歹=2x的對(duì)稱點(diǎn)在〉軸上，

設(shè)點(diǎn)伍⑼關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)為（0,0，

b-t

x2=-l

(7—0

則有<，解得3。-46=0.

b+t-a+0

-----=2x-------

故選：B.

【典例2-2】已知直線/:辦+（。+1萬+2=0,圓。：/+/=16,下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.對(duì)任意實(shí)數(shù)。，直線/與圓。有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；

B.當(dāng)且僅當(dāng)。=時(shí)，直線/被圓。所截弦長(zhǎng)為4后；

C.對(duì)任意實(shí)數(shù)。，圓。不關(guān)于直線/對(duì)稱；

D.存在實(shí)數(shù)。，使得直線/與圓O相切.

【答案】D

[x+y=0[x=2

【詳解】直線/：a（x+y）+y+2=0,由；解得即直線/恒過定點(diǎn)4（2,-2）,

[y+2=0（y=-2

圓。的半徑r=4,I0*=,2?+（-2）2=26<4,即點(diǎn)/（2,-2）在圓。內(nèi)，

對(duì)任意實(shí)數(shù)。，直線/與圓。有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，A正確，D錯(cuò)誤；

直線/不過圓。的圓心，因此對(duì)任意實(shí)數(shù)。，圓O不關(guān)于直線/對(duì)稱，C正確；

直線。4的斜率左=-1,當(dāng)。=-工時(shí)，直線/的斜率為———=1,因此直線

2a+1

此時(shí)直線/被圓。所截弦是過點(diǎn)A的最短弦，最短弦長(zhǎng)為2）爐_104『=4貶,

因此當(dāng)且僅當(dāng)。=-g時(shí)，直線/被圓。所截弦長(zhǎng)為40，B正確.

故選：D

14/35

國(guó)OE3

點(diǎn)尸（西，必）關(guān)于直線/：Nx+W+C=O對(duì)稱的點(diǎn)為尸'區(qū)，力）,連接尸P,交/于"點(diǎn)，貝!）/垂直平分

k（,kpp,=—1

PP',所以PP」/,且M為PP中點(diǎn)，又因?yàn)镸在直線/上，故可得乂+%八八，解出

I22

（%2，%）即可.

【變式2-1】過直線y=x-l上一點(diǎn)尸作圓（尤-5）?+/=2的兩條切線小12,切點(diǎn)分別為48,當(dāng)直線/2

關(guān)于y=x-l對(duì)稱時(shí)，線段力的長(zhǎng)為（）

A.4B.272C.屈D.2

【答案】C

【詳解】如圖所示，圓心C（5,0）,連接CP,

因?yàn)橹本€4，4關(guān)于直線y=x-i對(duì)稱,

所以b垂直于直線y=xT,

故|。尸|=畢=2百，

11V2

而|/C|=拒，

貝1||尸/卜JcPFfcf=新,

故選：C.

15/35

【變式2-21V/3C的三個(gè)頂點(diǎn)為2（-2,2）、2（-2,1）、C（0,3）,已知V/8C與關(guān)于直線4x-3y-l=0

對(duì)稱，八。分別是V/3C與”E。上的點(diǎn)，則戶。|的最小值為（）

1224

A.2B.—C.4D.—

55

【答案】C

1-8-6-11

【詳解】點(diǎn)A至I」直線4、一3歹一1二0的距離為叁=〃+（彳=3，

j1-8-3-1112

點(diǎn)5至I」直線4x_3y_]=0的距離為或二〃+（3了=,，

1-9-11

點(diǎn)C至U直線4x_3y-]=0的距離為"c="+（彳=2,則會(huì)＜服＜dA,

所以，當(dāng)點(diǎn)P、。分別與C、。'重合時(shí)，P。與直線4x-3y-1=0垂直，

故同L="=4.

故選：C

命題預(yù)測(cè)7

1.已知圓的方程/+/=25,過”（-4,3）作直線朋Z,九刈與圓交于點(diǎn)48,且朋Z,九必關(guān)于直線y=3對(duì)稱,

則直線的斜率等于

A.—B.—C.—]

344

【答案】A

【詳解】設(shè)4（占,%）,8（々,%）,

因?yàn)橹本€M4、關(guān)于直線y=3對(duì)稱，故兩直線斜率互為相反數(shù)，

設(shè)直線跖4方程的斜率為左，則直線斜率為-左，

所以，直線M4方程為：y-3=/（x+4）,

y-3=k(x+4)

整理得：（1+后z）x2+（8左2+6k）x+16左2+24左一16=0,

x2+y2=25

p-epl.8r+6左

所以：X,-4=----------

11+F

一4左2一6左+4,-3/+8左+3

即:1+P,%一1+P

16/35

2

/一4/-6左+4-3尸+8左+3、,,mJ-4k+6k+4-3左？一8左+3)

所以同理

—3k~+3k+3—3k~—8k+3

KCpIU_1+-21+-2_16k__4

所以“B--4尸-6加4_一止+6:+4--121§，

l+k21+k2

故選A.

2.已知圓C1：(x+1)2+0-1)2=1,圓C?與圓q關(guān)于直線x-y-l=0對(duì)稱，則圓C2的方程為

A.(x+2)2+(y-2)2=lB.(x-2)2+(y+2)2=1

C.(X+2)2+(7+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=l

【答案】B

【詳解】試題分析：在圓Q上任取一點(diǎn)(尤)),則此點(diǎn)關(guān)于直線x-y-l=0的對(duì)稱點(diǎn)(y+l,x-l)在圓

a：(x+l)2+(y_］『=］上,所以有(y+l+l)2+(x_］_l)2=l,即(62)，(7+2)2=1,所以答案為

(x-2『+(y+2『=l,故選B.

考點(diǎn)：曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線方程的求法.

3.點(diǎn)尸(2,0)關(guān)于直線/:尤+了+1=0的對(duì)稱點(diǎn)。的坐標(biāo)為()

A.(-1,-3)B.(-1,-4)C.(4,1)D.(2,3)

【答案】A

【詳解】設(shè)點(diǎn)—2,0)關(guān)于直線x+y+l=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(。力)，

f(-…

a—2a——I

則,解得

Q+2b1八b=—3.

----+—+1=0

2--2

所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-1,-3)

故選：A.

4.過直線尸、上的一點(diǎn)0作圓(、-5)2+(歹-1)2=2的兩條切線4，/2,切點(diǎn)分別為48,當(dāng)直線4,4關(guān)于

y=%對(duì)稱時(shí)，線段尸z的長(zhǎng)為()

A.4B.272C.V6D.2

【答案】C

17/35

因?yàn)橹本€4，4關(guān)于N=X對(duì)稱，所以CP垂直于直線y=x,

故|CP|=W=2及，而|/C卜也，

所以|尸/卜=V6.

故選：C

3

5.在平面直角坐標(biāo)系］。＞中，角。與角力均以必為始邊，它們的終邊關(guān)于直線V=x對(duì)稱.若sin1=《，

則cos/?=()

4433

A.—B.—C.一一D.一

5555

【答案】D

【詳解】：/二》的傾斜角為工，\c與〃滿足a+/?=2xf+2版=5+2版代eZ),

442

A(7107)(乃3

/.cosp=cosI—+2k7i-a1=cosI—a\=sma=—.

故選：D.

6.若直線＞=履與圓(x-2『+/=i的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線2x+y+6=0對(duì)稱，則左，6的直線分別為()

A.k=-b=-4B.k=--,6=4

2f2

C.k=—,b=4D.k=——,b=—4

22

【答案】A

【詳解】因?yàn)橹本€〉=米與圓(x-2『+/=l的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線2x+y+b=0對(duì)稱，

故直線＞=履與直線2x+y+b=0垂直，且直線2x+y+b=0過圓心(2,0),

所以左x(-2)=-1,2x2+0+6=0,所以A=b=—4.

故選：A

18/35

題型三：直線與圓涉及距離最值問題

【典例3-1】瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條

直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.若VN3C滿足/C=BC,頂點(diǎn)/（0,1）,3（2,-1）,且其“歐拉線”與圓M：

5-4）2+3?=/相切，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.題中的“歐拉線”方程為了-〉-1=0

B.圓/上的點(diǎn)到直線無7=0的最小距離為交

2

C.若圓M與圓％2+（夕_〃）2=8有公共點(diǎn)，則。?-4,4]

D.若點(diǎn)（無,力在圓M上，則白的最大值是包

x+141

【答案】C

【詳解】線段48的中點(diǎn)坐標(biāo)為[等,即（18），

直線的斜率為匕㈢=-1,

0-2

因?yàn)?C=3C,所以V/8C為等腰三角形，

三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，其歐拉線過點(diǎn)。,0）,且與直線垂直,

故VN8C的歐拉線斜率為1,則方程為>=x-l,即x-y-1=0,A正確；

VABC的歐拉線與M：（x-4y+）?=/相切，

,,|4-0-1|3亞

Sfer=J—-----，

V1+12

圓心M（4,0）到直線x-y=0的距離為1=4』=2也，

<1+1

則圓M上的點(diǎn)到直線x-y=0的最小距離為“_廠=2行-逑=包，B正確；

22

若圓W:（x-4>+J?=g與圓/+（y-df=8有公共點(diǎn)，

則2母一亭■<^（4-0）2+（0-a）2<2>/2+竽,

解得：一叵&a〈叵,C錯(cuò)誤；

22

19/35

By為點(diǎn)(xj)與(TO)兩點(diǎn)的斜率，

當(dāng)過(TO)的直線/與M：(x-4)2+V=，相切，且直線/的斜率為正時(shí)，3,取得最大值，

X+1

設(shè)直線/：y=%(x+l),由*^=孚，解得：k=匹,

ViTF241

故—的最大值是巫，D正確.

x+141

故選：C.

【典例3-2】已知?jiǎng)訄AC的半徑為r=1,其圓心到點(diǎn)，(2,3)的距離為2,點(diǎn)。為圓。上的一點(diǎn)，則點(diǎn)。到直

線-5=0距離的最大值為()

A.3^2B.372+1C.372+2D.3收+3

【答案】D

【詳解】如圖：

亂

°Z"

12-3-51r-

點(diǎn)A至U直線x-y—5=0的距離為：.——'=372.

Vi+i

所以點(diǎn)P到直線x-y-5=o距離的最大值為：372+2+1=372+3.

故選：D

國(guó)國(guó)目國(guó)

,IAx.+By.+CI

點(diǎn)%％)到直線/"x+QC=。的距離心田

20/35

特別地，若直線為1：x=m,則點(diǎn)g（%,%）到1的距離，=舊-％|；若直線為1：y=n,則點(diǎn)l（%,外）到

1的距離d=|?-JoI

雙根式〃x）=而，+3+%土施型函數(shù)求解,首先想到兩點(diǎn)間的距離，或者利用單調(diào)性

求解.

7IAu+Bb+CI

圓心（a,b）到直線Nx+助+C=0的距離，則d="1？、，：

yJA2+B2

【變式3-1】點(diǎn)尸為圓/+了2_2尤+6了+2=0上一點(diǎn)，點(diǎn)。為直線尤-了+2=0上一點(diǎn)，則|尸口的最小值為（）

A.V2B.272C.3GD.472

【答案】A

【詳解】/+/_2關(guān)+6夕+2=0n（x-iy+（夕+3丫=8,故圓心為C（l,-3）,半徑廠=2后,

|1+3+2|

其中C（l,-3）到直線x-了+2=0的距離為d==3A/2>2>/2,

Vi+i

則|尸。|的最小值為d-r=4i.

故選：A

【變式3-2】四邊形4BCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)?是正方形內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|與+而+而+萬？r4,

則|N|的最大值是（）

A.1+72B.V2-1C.272-1D.272+1

【答案】D

【詳解】根據(jù)題意，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

設(shè)尸（x,y）,/（0,0）,8（4,0）,C（4,4）,Z）（0,4）.

所以/尸=（無,y）,8尸=（x_4,y）,CP=（x_4,y_4）,DP=（x,y_4）,

所以N+/+屈+麗=（4x-8,4尸8）,

21/35

因?yàn)榛?而+瓦+而卜+（4"8'=4,

即（尤-2）2+（了-2『=1,

故點(diǎn)P在以點(diǎn)（2,2）為圓心，半徑為r=l的圓周上運(yùn)動(dòng),

所以|不|的最大值為".=萬方+1=2亞+1.

故選：D.

命題預(yù)測(cè)

1.已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)（5,12）,則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（）

A.11B.12C.13D.14

【答案】B

【詳解】設(shè)圓心為尸,C（5,12）,則|PC|=1,

可知點(diǎn)P的軌跡為以。（5,12）為圓心，半徑廠=1的圓，

且|OC|=13>r,即點(diǎn)0（0,0）在圓外，

所以圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為|。。|-廠=12.

故選：B.

2.已知定點(diǎn)』（3,0）,5（0,4）,若點(diǎn)C在圓=4上運(yùn)動(dòng)，則2|G4|+|C目的最小值為（）

A.2廂