微拓展2蒙日圓與阿基米德三角形

[考情分析]在近幾年全國各地的解析幾何試題中可以發現許多試題涉及蒙日圓與阿基米德三角形，這些

問題聚焦了軌跡方程、定值、定點、弦長、面積等解析幾何的核心問題，難度為中高檔.

考點一蒙日圓

22

在橢圓泌＞0)上，任意兩條相互垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓的中心，半

徑等于橢圓長半軸與短半軸平方和的算術平方根，這個圓叫蒙日圓.

例1(1)已知橢圓M的方程為亍+、2=1,過平面內橢圓〃外的點尸作橢圓M的兩條互相垂直的切線，

則點月的軌跡方程為()

A.x2+y2=5B.x1+y2=4

CM+y2=3DM+y2=|

答案A

解析設點P(xo,加),當切線斜率存在且不為0時，府#2,y(#±l,

設切線方程為y-yo=Mx-%o),

聯立[7+y=L

,y-y0=k(x-&),

消去y得(4乃+l)x2+8(yo-fcro)fct+4(yo-fcvo)2-4=O,

則/=64產(yo-fcto)2-4x(44+l)[4(yo-fcto)2-4]=O,

即(4-就點+2和證+1-羽=0,兩切線垂直，故其斜率之積為一1,則由根與系數的關系知蹙=-1,即詔+詔=5.

4To

當切線斜率不存在或為0時，此時點P坐標為(2,1),(-2,1),(-2,-1),(2,-1),滿足方程就+無=5,故

所求軌跡方程為/+y2=5.

(2)(多選)已知焦點在無軸上的橢圓C的長軸長為4,離心率為e=%P為蒙日圓上任一點，則以下說法

正確的是()

A.過點尸作橢圓C的兩條切線PA,PB,則有PALM

B.過點尸作橢圓的兩條切線，交橢圓于點A,B,。為原點，則kOP必B=[

C.過點尸作橢圓的兩條切線，切點分別為A,B,則SMPB的取值范圍為卷，y]

D.過點P作橢圓的兩條切線，切點分別為A,B,O為原點，則SAAOB的最大值為VI

答案ACD

解析由題意知橢圓C：馬+昌=1（4泌＞0）的長軸長為4,離心率為e=l,

故a=2,-=l,

a2

所以C=1,加=〃2_/=3,

22

則橢圓方程為千+5=1蒙日圓”的方程為/+/7.

43

對于A,由蒙日圓的定義知PAVPB,A正確；

對于B,設AS,力），B（X3,第），貝IPA的方程為資+等=1,

P3的方程為卓+第=1,

43

兩切線過點尸（羽，-），故竽+胃1=1,等+第=1,

4343

即點A,B在直線號+第=1上，因為兩點確定一條直線，

43

故直線AB的方程為等+號=1,則N二等,

434yl

而kop^—,故kop-kAB=-~,B錯誤；

工14

27

對于C,由于直線A3的方程為等+箸=1,聯立,

得（3者+4yH-24xix+48-16資=0,

J=（24xi）2-4（3%i+4yf）（48-16yf）

=64資（3以+4無-12）＞0,

貝IJ%2+%3=,

3若+4比2

故|AB|=J1+歐（無2+久3尸一軌2K3

3好+4*

又點P到直線AB的距離小」3：:4比-121,

」9好+16比

故S^APB=^AB\di

9*+16y/3好+4光-125宣+4*-12|

3好+4弁

一12)13好+4光一12

3好+4及

又％田+*=7,故令03說+4比-12=Jy/+9,

貝IJS^APB=-^=T^2.

tt3

令財*券，顯然曲在［3,4］上單調遞減，

故V=r4在［3,4］上單調遞增,

則(Sz\AP3)min=7^W

八”/

1_16

(%AP8)max=

7(4)7'

即SAAPB的取值范圍為E，黑，C正確；

對于D,由C的分析可知

29好+16免3好+4比一12

\AB\=-

3好+4光

1-121

而點。到直線AB的距離d2=,

9好+16—

故S/\AOB=^AB\d2

916*J3+4*—12

好+好|T2|

3好+4弁

4+16比

123*+4*-12

3好+4比

又以+資=7,

故令Z=J3M+4資-12='資+9,fC[3,4],

12t12

則S^AOB='

t2+12-t+^，

而f+y^2V12-4V3，當且僅當仁芳，即Z=2V3G［3,,等號成立，

=

故SAAOB=~^2-^^V3,即SAAOB的最大值為V5,D正確.

［規律方法］（1）設P為蒙日圓上任一點，過點P作橢圓的兩條切線，交橢圓于點A,B,。為原點.

性質1PA.LPB.

u2

性質2kop'kAB---^2-

性質3kOA-kpA=-^,%0B?腔B=*（垂徑定理的推廣）?

性質4P。平分橢圓的切點弦A區

性質5延長PA,PB分別交蒙日圓。于兩點C,。，則CD//AB.

性質6&AOB的最大值為學，&AOB的最小值為黑.

2az4-Dz

n4L.4

性質7SaAPB的最大值為-―^2，S/XAPB的最小值為W—Q

a2+Z?2az+bz

（2）蒙日圓在雙曲線、拋物線中的推廣

22

雙曲線'翥=1（°>6>0）的兩條互相垂直的切線PA,PB交點尸的軌跡是蒙日圓：/+盧，22（只有當a>b時才

有蒙日圓）.

⑶拋物線/2夕助>0）的兩條互相垂直的切線PA，尸3交點P的軌跡是該拋物線的準線：尸?可以看作半

徑無窮大的圓）.

22

跟蹤演練1（多選）已知橢圓C：2+-=1，。為原點，則下列說法中正確的是（）

54

A.橢圓C的蒙日圓方程為x2+y2=9

B.過直線/：x+2y-3=0上一點P作橢圓C的兩條切線，切點分別為M,N,當NMPN為直角時，直線

OP的斜率為一

C.若尸為蒙日圓上一點，過點P作橢圓C的兩條切線，切點分別為M,N,則尸O平分橢圓的切點弦

MN

D.若尸為蒙日圓上一點，過點尸作橢圓C的兩條切線，切點分別為N,且0,尸到的距離分

別為di,必，則d\d2=-^-

答案ACD

22

解析對于A,橢圓C:》一二1的蒙日圓方程為x*2+*y2=9,A正確；

54

對于B,依題意，點尸是直線/與蒙日圓的交點，則—V

解得尸(Y'蔡)或尸(3，0),

直線。尸的斜率為?或0,B錯誤；

對于C,設P點坐標為(松，外)，直線OP斜率ko/,

x0

由切點弦公式得到腦V的方程為警+督=1,-孕,kop-kMN=--^,

zz2z

abay0a

由點差法可知,PO平分MN,C正確；

對于D,設P(Va2+b2cos9,Va2+b2sin9),

則直線MN的方程為xZ?2Va2+b2cosd+ycP^Ja2+/72sin3-a2b2=0,

則原點O到直線MN的距離

7___________a2b2____________

1J(a2+b2)(a4sin2e+b4cos2e)'

則點尸到直線MN的距離

j|b2(a2+b2)cos20+a2(a2+D2)sin20-a2b2|

Cl2---------/-------

7(a2+b2)(a4sin20+b4cos20)

_a4sin20+b4cos2O

224242

y/(a+b')(<asin0+bcosd')

_la4sin20+b4cos20

[a2+b2'

故did2=2#,D正確.

az+bz9

考點二阿基米德三角形

拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.

例2⑴過拋物線尤2=2°加>0)上一點M(x0,則)的切線方程為.

答案xox=p(y+y(i)

2

解析產在，y'T,由導數的幾何意義得所求切線的斜率少,

‘2p'pp

.??所求的切線方程為y-y0=^x-X0）,

艮口x?x=Xo+py-pyo,又就=2pyo,

.，.過拋物線上一點M（xo,州）的切線方程為xox=p（y+yo）.

（2）（多選）已知A8,%）,3（X2,>2）是拋物線丁=20必9>0）上的兩點，在兩點處的切線相交于點。，則下

列說法中正確的是（）

A.當阿基米德三角形的頂角為直角時，阿基米德三角形頂點的軌跡為蒙日圓

B.若M為弦A3的中點，則加。與x軸平行（或重合）

C.若弦A3過拋物線的焦點，則點。在拋物線的準線上

D.若阿基米德三角形的底邊A3過焦點，V為弦A3的中點，則該三角形的面積最小值為2P

答案ABC

解析對于A,由蒙日圓的定義知A正確；

對于B,過A的切線方程為y\y-p{x+xi）,

過8的切線方程為yiy=p（.x+x2）,

yl—2P久i，

聯立方程，諺=2p久2,解得兩切線交點°（箸，等），又〃（弩，江產），

與x軸平行（或重合），B正確；

對于C,設Q（xo,To）,則直線AB的方程為yoy=p（x+xo）,又直線AB經過焦點FQ,0）,

，0=0（|+尤0）,,C正確；

對于D,若底邊AB過焦點，則。點的軌跡方程是,易驗證總4?38=-1,即QA±QB,故阿基米德三角

形為直角三角形，且。為直角頂點，

署+§=城羋,由B項分析可知，與x軸平行（或重合），

224P24p2

QMIy1-竺1邦QM?JI212P之，當且僅當乃=-小時，等號成立，

2

.??阿基米德三角形面積的最小值為p,D錯誤.

［規律方法］（1）阿基米德三角形的常見性質

性質1阿基米德三角形底邊上的中線平行(或重合)于拋物線的對稱軸.

性質2若阿基米德三角形的底邊即弦過拋物線內的定點C,則另一頂點。的軌跡為一條直線.

性質3拋物線以C點為中點的弦平行于。點的軌跡.

性質4若直線/與拋物線沒有公共點，以/上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點.

性質5底邊為。的阿基米德三角形的面積最大值為叁.

性質6若阿基米德三角形的底邊過焦點，則頂點Q的軌跡為準線，且阿基米德三角形的面積最小值為爐.

(2)橢圓和雙曲線也具有多數上述拋物線阿基米德三角形類似性質.

(3)當阿基米德三角形的頂角為直角時，阿基米德三角形頂點的軌跡為蒙日圓.

跟蹤演練2若直線/與拋物線沒有公共點，以/上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點，若直

線I方程為ax+by+c=O,則定點的坐標為.

答案仁，_越)

解析任取直線I:ax+by+c=O上的一點Q(xo,加),則有axo+byo+c=O,即yo=-，o?,①

過點。作拋物線產=2抄的兩條切線，切點分別為A,B,則弦A3所在的直線方程為先產p(xo+x),把①式

代入可得(-￡%0-￡)y=p(xo+x),

即(一打-P)o=px+,，

令-%N=0且Px+”=。，

可得弦A3所在的直線過定點仔，-巧.

\aa/

—I思維提升拓展練習

1.已知。0：/+/1,若在直線廣花+2上總存在點P,使得過點P的。。的兩條切線互相垂直，則實數上

的取值范圍為()

A.[l,+co)B,(l,+co)

C.[2,+oo)D.(2,+oo)

答案A

解析由題分析可知的蒙日圓方程為好+戶2,即點P的軌跡方程為好+戶2,又點尸在直線產花+2

上，所以直線產花+2與圓%2+/=2必有交點，即島WVI,解得kA.

22____

2.已知雙曲線上存在一點過點M向圓爐+貨=1作兩條切線M4，MB,若M4砒=0,則實

數a的取值范圍是()

A.(l,V2)B.(l,V21

C.[V2,+00)D.(V2,+00)

答案B

22

解析雙曲線%%im>l)上存在一點M,過點“向圓好+戶:!做兩條切線MA,MB,

若.麗=0,可知M4O8是正方形，MO=y[2,

所以雙曲線的實半軸長的最大值為近，

所以。的取值范圍是(1,V2].

3.若經過拋物線步=?的焦點的一條弦為AS“阿基米德三角形”為△PAB且點尸的縱坐標為4,則直

線A3的方程為()

A.x-2y-1=0B.2x+y-2=0

C.x+2y-1=0D.2x-y-2=Q

答案A

解析設拋物線的焦點為產，

由題意可知，拋物線/=心的焦點坐標為F(1,0),準線方程為x=-l,

因為△PA3為“阿基米德三角形”，且線段A3經過拋物線V=4x的焦點，

所以點尸必在拋物線的準線上，

因為點尸的縱坐標為4,

所以點P(-l,4),

所以直線PF的斜率為上上=2.

-1-1

又因為PF1AB,

所以直線A3的斜率為2,

所以直線AB的方程為y-0=|(x-l),即x-2y-l=0.

4.(2024?六安模擬)在圓(x-4)2+(y-3)2=/(r＞0)上存在點P,使得過點尸能作橢圓＜+岸=1的兩條相互垂直的切

線，則r的取值范圍是()

A.[l,7]B.[l,9]

C.[3,7]D.[3,9J

答案C

解析根據題意可知橢圓f+?=l的蒙日圓方程為x2+y2=4,圓心為原點，半徑為2,

圓(%-4)2+(y-3)2二戶(廠＞0)的圓心為(4,3),半徑為r,

則圓(x-4)2+(y-3)2=/(r＞0)與x2+y2=4必有交點才符合題意，

即兩圓圓心距d=d(4—0)2+(3-0)2=5,

貝iJ|r-2|WdW|r+2|,故/的取值范圍是[3,7].

5.(多選)若橢圓八?+/=1(4泌＞0)的蒙日圓為C：x2+/=|a2,過C上的動點”作「的兩條切線，分別與C

交于P,。兩點，直線尸。交「于A,5兩點，貝取)

A.橢圓廠的離心率為亨

B.AMPQ面積的最大值為

C.M到「的左焦點的距離的最小值為(2-/加

D.若動點。在「上，將直線D4,的斜率分別記為自，心，貝丘伏2=]

答案ABD

解析由蒙日圓的定義可知a2+b2=^a2,得a2=2b2,

所以橢圓廠的離心率e=?=J1—合乎，故A正確；

因為點M,P,。都在圓C上，且/尸河。=90。，所以尸。為圓C的直徑，

所以|PQ|=2xJl^=y/6a,

所以△MP。面積的最大值為:|PQ|x反=粵、國=%2，故B正確；

2Al22Al22

設M（x0,泗），廠的左焦點為F（-c,0）,

因為,二/一加二1次，

所以|A/bF=(%o+c)2+y1=就+光+2%0(?+(?2=|次+2]0*呼〃+、2=2層+魚〃配,又-當aWxoW乎a,

所以（2-8）42二|.|2名（2+百加2,

則〃到廣的左焦點的距離的最小值為歧浮，故C不正確；

由直線PQ經過坐標原點，易得點A,B關于原點對稱，設A（xi,%）,D（X2,J2）,

則5（8,乎）‘白言考'fe=-”+丫2

%1+比2

磊+餐=1,

又

彘+*L

所以芽+討=。,

2b2b2

所以M一禿二%一乃為+%=」

好一媛X1~X2%1+%22

所以kik?=T'故D正確?

6.（多選）（2024?廊坊模擬）如圖，ARAB為阿基米德三角形.拋物線r=2外仍＞0）上有兩個不同的點4（即，%）,

3（X2,m），以A,3為切點的拋物線的切線尸A,P5相交于點P.給出如下結論，其中正確的為（）

A.若弦AB過焦點，則AABP為直角三角形且ZAPB=90°

B.點尸的坐標是（李，券）

C.APAB的邊AB所在的直線方程為（%1+尤2）%-2刀-乃%2=0

D.APAB的邊AB上的中線與y軸平行（或重合）

答案ACD

解析由題意設A&,,B(X,g)

2,X1<X2,

2

由x2=2/?y,得y=f-,貝IJy'=；,

所以kpA=—,kpB=—,

PP

若弦AB過焦點，設AB所在直線為y=kx-^,聯立％2=2py，得x2-2pkx-p2=0,

__2

則X1X2=~P2,所以kpA-kpB=-n^-=-l,

所以PA,尸3，故A正確；

以點A為切點的切線方程為y-^（x-xi）,以點3為切點的切線方程為廣學=這（尤國），

J2ppJ2pp

聯立消去y得產警，

將11詈代入瑤李苫為），

得號,

所以「（中,詈），故B錯誤；

設直線AB的斜率為

X2_xl

:丫2-yj2p2pdl+02

x2-xrx2-xr2p，

故直線AB的方程為y-f|=^（x-xi）,

化簡得（xi+%2）x-2〃y-xiX2=0,故C正確；

設N為拋物線弦A3的中點，N的橫坐標為以=亨，因此直線PN平行于y軸（或與y軸重合），故D正確.

7.已知雙曲線C：馬弓|=1（4>力0）的離心率為咚，若過點出1,0）的雙曲線C的兩條切線互相垂直，則雙曲

線C的標準方程為.

2

答案yV=l

解析由蒙日圓的定義得點￡的軌跡方程為d+盧內加，點￡在圓（+產出方上，則42_/=1,因為

e=J1+%=孚,所以〃=2,b2-l.

故其標準方程為羨-V=i

8.過拋物線y2=8xg>0）的焦點/作拋物線的弦，與拋物線交于A,3兩點，分別過A,3兩點作拋物線的切

線伍/2相交于點尸，則△PA3的面積的最小值為.

答案16

解析由題意知三角形為阿基米德三角形，根據性質可知三角形面積的最小值為16.

9.如圖，過點尸（加，力作拋物線C：/=2小0>0）的兩條切線PA,PB,切點分別是A,B,動點。為拋物線

C上在43之間的任意一點，拋物線C在點。處的切線分別交PA,PB于點M,N.

(1)^AP±PB,證明：直線AB經過點(0,Q；

(2)若分別記△A3Q的面積為N,S2,求詈的值.

⑴證明設A(xi,以)，B(X2,"),直線AB的方程為y=kx+b,

由02=2pyf

[y=kx+b,

消去y并整理得x^-Zpkx-2Pb=0,有xix?=-2pb,

令拋物線C：%2=2〃y在點A處的切線方程為y-y\=t{x-x\),

由y-％=七(汽一％1),

1%2=2py,

消去y并整理得x2-2ptx+2ptx\-2pyi=0,

則有/=4〃2己4(20即-2川D

-4p2t2-4(2ptxi-%i)=0,解得仁藁,

同理，拋物線C:42刀在點8處的切線斜率為溫，

因為AP±PB,則有包這二邛二1,

pppz

解得b=l,

所以直線AB：戶&+強過定點(0,Q.

⑵解由(1)知，切線PA的方程為

y-yi=^x-xi),

整理得丫=,平，

同理切線尸3的方程為產手x-竺,

設點2(xo,yo),則切線MN的方程為y=^-x-yo,

而點P(m，幾)，即有n=—m-y\,n=—m-y2,

pp

因此直線A5的方程為y=^x-n,

2

有IABI=JI+g\X]-X2\,

點Q(%o,yo)至1)直線AB的距離

_^x0-y0-n\

2-Tir

n

貝|JS2=||Xl-X2||^%0-yo-\>

=x0x-py0,

=xx—py

Crlf

解得點”的橫坐標羽尸中.

同理點N的橫坐標網=中.

有1四川=Ji+C、I—x0-n-y0|

,點P(m,〃)到直線MN的距離片耳：,

則Si=jxi-Q|片-y0-?|>

所以我q

、22

22

10.已知圓。：/+/5,橢圓C：方會l(a>6>0)的左、右焦點分別為B，F2,過萬1且垂直于X軸的直線被

橢圓和圓所截得弦長分別為1和2近.

(1)求橢圓C的標準方程;