專題10填空壓軸題

一、填空題

1.（2024?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）如圖，在A/WC中，AB=BC,tanZB=2，。為

一12

上一點，且滿足=過。作QEIAZ）交AC延長線于點E，則工互=_________.

CD5AC

3

2.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，=,tanB=一，點。為

4

上一動點，連接AD,將△A3。沿AD翻折得到VADE,DE交AC于點G,GE<DG,

且AG:CG=3:1，則:三角琢GE=_____.

?三角形ADG

3.（2022?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）已知△回€：是直角三角形，

ZB=90°,AB=3,=5,AE=2后,連接CE以CE為底作直角三角形CDE且

CD=DE,F是AE邊上的一點，連接3D和BF,5。且NFBD=45°,則AF長為—

4.（2024?廣東深圳?鹽田區(qū)一模）如圖，在中，AB=AC,點。是邊的中點,

過點。作邊AB的垂線，交AB于點E,連接CE,若DE=2,AE=4,則CE=.

A

5.（2024?廣東深圳?福田區(qū)三模）如圖，正方形ABCD的邊長為4,尸為對角線AC上一動

點，延長班AD交于點E,若BFBE=24,則CF=

6.（2024?廣東深圳?33校聯(lián)考二模）在HQABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,

Q

點。在邊AC上，8=3,連接BD，過點A作AELBD于點E,且AE的延長線交

邊于點E則8尸=

7.（2024?廣東深圳-33校聯(lián)考一模）如圖，在直角坐標系中，已知A（4,0）,點8為y軸

正半軸上一動點，連接A8,以AB為一邊向下作等邊△ABC,連接OC,則OC的最小值為

8.（2024?廣東深圳?南山區(qū)一模）如圖，在RtZvWC中，4AC=90°，AB=272?AC=6,

點E在線段AC上，且AE=1,。是線段8C上的一點，連接OE,將四邊形ABDE沿直

線。E翻折，得到四邊形bGDE,當點G恰好落在線段AC上時，AF=.

9.（2024?廣東深圳?寶安區(qū)二模）如圖，矩形ABCD的對角線AC和交于點。，鉆=3,

BC=4.將八4。。沿著AC折疊，使點。落在點E處，連接交BC于點尸，AE交

10.（2024?廣東深圳?寶安區(qū)三模）如圖，已知AB=10,點C,D在線段AB上，且

AC=DB=2.P是線段CD上的動點，分別以AP,PB為邊在線段A3的同側(cè)作等邊

△AEP和等邊APEB,連接EF,設(shè)所的中點為G,則CG+GD的最小值是.

11.（2024?廣東深圳?福田區(qū)二模）如圖，矩形ABC。，AB=4,5c=8,E為AB中點，

廠為直線上動點，B、G關(guān)于所對稱，連接AG,點尸為平面上的動點，滿足

NAPB=-ZAGB,則DP的最小值

12.（2024?廣東深圳?光明區(qū)二模）在中，12113=±4。3+2/3=90°,線段CD

2

平分NACB.已知8=4行，則線段的長為

13.（2024?廣東深圳-33校三模）如圖RtaA3C,NACfi=90。，AD垂直/ABC外角角

平分線于。點，過。作5c的垂線，交CB延長線于點E,連接。C交A3于點F,

-=-,DE=45,那么郎的長為________.

CF4

14.（2024?廣東深圳?龍華區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,尸是A。邊上一點,

將APCD沿CP折疊，若點。的對應(yīng)點E恰好是AABC的重心，則的長為

4

15.（2024?廣東深圳?羅湖區(qū)二模）如圖，直線丁=一x+a與反比例函數(shù)y=—（x>0）只有

k

唯一的公共點4與反比例函數(shù)y=—（x>0）交于點C,與x軸交于點B,如果AB=23C,

JC

則人的值為

16.（2024?廣東深圳?羅湖區(qū)三模）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AB=9,cotA=2,

點。在邊A3上，點E在邊AC上，將AABC沿著折痕翻折后，點A恰好落在線段3C

的延長線上的點尸處，如果NBP￡>=NA,那么折痕DE的長為.

17.（2024?廣東深圳?南山區(qū)三模）如圖，在矩形ABC。中，AD=3,AC=6,點E是AB

中點，點R是對角線AC上一點，ZiGEF與/XAEF關(guān)于直線ER對稱，EG交AC于

點H,當ACGH中有一個內(nèi)角為90。時，則CG的長為.

18.（2024?廣東深圳?南山區(qū)二模）已知AABC,AB=AC,AD點尸在AC上,

作石廠，AB于E,交延長線于G,連接磯），ZGFC=2ZEDA,DH=CG=2,

則AF的長為.

19.（2024?廣東深圳?九下期中）如圖所示，點A，4,4在X軸上且=44=44,

k

分別過點44,人作y軸的平行線與反比例函數(shù)y=＞（左＞0,》＞。）的圖象分別交于點

x

分別過點用，用作軸的平行線分別與軸交于點，，，連接

4,B2,B3,B2,XyGGG

OBt,OB2,OB3,那么圖中陰影部分的面積之和為

20.（2024?廣東深圳?紅嶺中學(xué)模擬）如圖所示，等腰直角AABC中，ZACB^9Q°,。是斜

邊AB的中點，M為BC下方一點、,且。M=—，CM=5,ZBMC=45%則=

2

M

專題10填空壓軸題

一、填空題

1.（2024.廣東深圳.統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，AB^BC,tan/B=』，。為

12

RD8

上一點，且滿足——=—,過。作交AC延長線于點E,則一=.

CD5AC

【解析】

【分析】本題考查了解直角三角形、勾股定理,平行線分線段成比例，先設(shè)A5=5C=13x,

根據(jù)tanNB=9,AH1CB,得出AH=5x,9=12劉再分別用勾股定理

12

AD^741%,AC=A/26X，故cosNADC=也=上叵，再運用解直角三角形得出

AD41

20A/4?21741CEMD〃於日口吊公比

DM=---------x，AM=---------%，代入^;二;三，化間即可作答.

4141ACAM

【詳解】解：如圖，過點A作垂足為H,

設(shè)AB=BC=13%，

BD-8x,DC-5x,

'/tanNB=—,AH_LCB,

12

.AH5

"-12)

AB=BC=13x,

???AH2+BH2=AB?=169x2，

解得AH=5x,BH=12x,

DH=12x-8x=4x,HC=5x-4x=x,

AD=yjAH2+DH-=A/41X，AC=[AH。+CH?=y[26x，

DH4A/41

cos/ADC=-----

AD41

過點C作QWLAO垂足為M,

A

/.DM=CD.cosNADC=2。屈—AM=AD—DM=歷工,

4141

?/DE±AD,CMVAD,

：.MC^DE,

20741

CE_DM___20

AC—AM-21向-21

--------X

故答案為：—.

21

3

2.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC,tanB二一，點。為5c

4

上一動點，連接AD,將△ABD沿AO翻折得到VADE,。石交AC于點G,GE<DG,

且AG:CG=3:1,則:三角形AGE

?三角形ADG

A

【解析】

【分析】AMJ_5D于點M，ANLDE于點、N,則A"=AN,過點G作G尸，5c于

點產(chǎn)，設(shè)AM=12a,根據(jù)tanB=^=-得出BM=16a,繼而求得

BM4

__________Gp3

AB=^AM2+BM2=20a>CG=5a,AG=15a,再利用tanC=tan3=^=w，

求得GP=3a,CP=4a,利用勾股定理求得GN=dAG?-AN?=9a，

EN=y]AE2-AN2=16a<WEG=EN-GN=Qa,

【詳解】由折疊的性質(zhì)可知，DA是N5DE的角平分線，AB=AE，用HL證明

△ADM94ADN,從而得到=設(shè)DM=DN=x,則0G=x+9a,

DP=12a-x,利用勾股定理得到DP2+GP2=DG2即（12a-%）2+（3tz）2=（x+9a了，

1275

化簡得％=一。，從而得出DG=-a,利用三角形的面積公式得到：

77

SEGAN

MAGE2_EG7tz^49

DG75

S三角形ADG-DGAN—a

27

作于點M,AN工DE于點、N,則A"=AN,

過點G作GPLNC于點P,

設(shè)AM=12。，則?W=16a,AB=y]AM2+BM2=2Qa>

又=AM±BD,

：.CM^AM=12a,AB=AC^2Qa,ZB=ZC,

??,AG:CG=3:1,即CG=，AC,

4

:?CG=5a,AG=15ci,

Gp3

Rt/\PCG中，CG=5a,tanC—tanB==一,

CP4

設(shè)GP=3m,則CP=4m,CG=1GP。+CP°=5m

；.m=a

GP=3a,CP=4-a,

VAG=15a,AM^AN=12a,ANIDE,

GN=y/AGP-AN2=9。，

,：AB=AE=20a,AN=12a,AN±DE

EN=^AE2-AN2=16。，

EG=EN—GN=7a,

VAD=AD,AM=AN，AM±BD,AN±DE,

：.△ADMWADN(HL),

：.DM=DN,

設(shè)DM=DN=x,則DG=D/V+G/V=x+9a,

DP=CM—CP—DM=16a—4a—x=12a—xf

在RtAPZX?中，DP2+GP2=DG2^即(12a-xJ+(3aJ=(x+9a/，

化簡得：x——a,

7

75

:.DG-x+9cl——a9

7

EGAN

AS^AGE2=EGzla=49

DG75

S三角形ADG-DGAN—a

27

49

故答案是：——.

【點睛】本題考查解直角三角形，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì),

勾股定理等知識，正確作出輔助線并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）已知AABC是直角三角形，

NB=90°,AB=3,BC=5,AE=2連接CE以CE為底作直角三角形C0E且

產(chǎn)是AE邊上的一點，連接和&7,且NEBO=45°,則A/長為

【答案】-75

4

【解析】

【分析】將線段3。繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段印入連接8H，HE,利用SAS證

明AEDH=ACDB,得EH=CB=5,ZHED=ZBCD=90°,從而得出HE7ADC//AB,則

MBF^AEHF,即可解決問題.

【詳解】解：將線段BD繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段連接HE,

ABDH是等腰直角三角形，

又AEDC是等腰直角三角形，

:.HD=BD,ZEDH=ZCDB,ED=CD,

NEDH=ACDB(SAS),

：.EH=CB=5,ZHED=NBCD=90。,

■：ZEDC=90°,ZABC=90°,

:.HE/IDCI/AB,

AABF=ZEHF,ZBAF=ZHEF,

:.MBF^AEHF,

.ABAFAF

~EH~~EF~AE-AF

?.-AE=2A/5，

3AF

5-275-AF

..AF=-----,

4

故答案為：—A/5.

4

【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的

判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形.

4.（2024?廣東深圳?鹽田區(qū)一模）如圖，在AABC中，AB=AC,點。是邊的中點,

過點。作邊AB的垂線，交AB于點E,連接CE,若DE=2,AE=4,則CE=.

【答案】Ji萬

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，合理的作出

輔助線是解決問題的關(guān)鍵.連接AD,作EFLCB于點、F，證得ABEDSADEA，可得

BE=1,BD=后,AB^5,進而可得所=半，同理可得△5石尸621即尸，求得

DF二姓,CF二成,根據(jù)勾股定理可得結(jié)果.

55

【詳解】解：連接A。，作灰，CB于點

A

???AB=AC,點。是邊BC的中點，過點。作邊A3的垂線,

AD1BC,DEJ.AB,

ZBDE+ZADE=90°,ZDAE+ZADE=90°,

ZBDE=ZDAE,ZBED=ZDEA，

△BEDs^DEA，

.DEBE

DE=2，AE=4，

BE=1,

BD=A/DE2+BE2=A/5-AB=AE+BE=5,

'''=-BEXDE=-BDXEF,

?FF-2卡

??￡jr-------

5

同理可得&BEFS&EDF,

BE_EF

~ED~~DF，

石

?■?Ln)r--4----，

5

9.J5

CF=CD+DF=^~，

5

CE=ylEF^+CF2=A/17?

故答案為：.

5.（2024?廣東深圳?福田區(qū)三模）如圖，正方形ABCD的邊長為4,尸為對角線AC上一動

點，延長A￡＞交于點E,若BFBE=24,則CF=

【答案］班-用

2

【解析】

【分析】本題考查相似三角形性質(zhì)及判定,勾股定理.根據(jù)題意利用勾股定理得到AC的長，

再證明△AEESABB,再設(shè)￡）E=X,繼而得到AE=4+X,再利用相似三角形性質(zhì)即可

得到本題答案.

【詳解】解：：正方形ABCD的邊長為4,尸為對角線AC上一動點，

AAC=V42+42=4A/2-AE//BC,

ZEAC=ZACB,NE=NEBC,

^AFESACFB,

設(shè)DE=x,則AE=4+x,

.CF_BF_CB_4

AFEFAE4+x

AF=AC-CF=472-CF，EF=BE—BF=&+8x+32-BF，

CFBF4

"472-CFy/x2+8x+32-BF4+x'

整理得：(8+x)CF=1672,即：。歹=更亞，

8+x

(8+x)BF=4A/J7+8%+32-即：BF=*——-——，

8+x

?:BF?BE=24,

...4'廠+"+32-正+"+32=24，整理得：7+2%—16=0,

8+x

解得：石=&7—1,%=T—萬（舍），

???元=》—1,

檢驗：當犬=JF7-1時，8+xwO,

x2+8x+32=(4+%1+16>0成乂,

x=g"「-LF=24的根,

.1672_16727后_庖

8+g—「水后2

7行一四

故答案為:

2

6.（2024?廣東深圳?33校聯(lián)考二模）在中，NA6C=90°,AB=3,BC=4,

Q

點。在邊AC上，CD=-,連接BD，過點A作AEL5D于點E,且AE的延長線交BC

邊于點E貝|3尸=

【解析】

【分析】由AG〃3C得到AAGD?ACBD算出AG的長度，利用ABAF~AAGB得至UBF

的長度.

【詳解】作AG〃3C交BD的延長線與點G

AGHBC,

ZAGB=ZDBC,ZGAC=ZC,

??AAGD?△CBZ),

,AGAD

,,=,

BCCD

?.?ZAfiC=90°，AB=3,BC=A,

AC=y]AB2+BC2=>/32+42=5，

CD=-,

3

Q7

:.AD=AC-CD=5——=-,

33

4x7

CD82

3

AG//BC,/ABC=90。，

ZGAB=1800-ZABC=90°，

ZBAE+ZGAE=9Q°>

■：AEVBD,

???/AEG=90°，

???NG4E+NG=90°，

ZBAE=NG,

?在ABAF和AAGS中，ZBAE=ZG,ZABF=ZGAB=9Q°>

&BAF~AAGB,

BA_BF

AG-AB

3_BF

2

BF=—

7

【點睛】本題考查了三角形相似的性質(zhì)與判定，勾股定理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，同角的余

角相等，正確的作出輔助線構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵.

7.(2024.廣東深圳-33校聯(lián)考一模)如圖，在直角坐標系中，已知A(4,0),點B為y軸

正半軸上一動點，連接以AB為一邊向下作等邊△ABC,連接OC,則OC的最小值為

【答案】2

【解析】

【分析】以為對稱軸，構(gòu)造等邊三角形AOE作直線。C,交x軸于點E,先確定點C

在直線。石上運動，根據(jù)垂線段最短計算即可.

【詳解】如圖，以O(shè)A為對稱軸，構(gòu)造等邊三角形AOF,作直線QC,交x軸于點E,

,.,△ABC,AA。尸都等邊三角形，

：.AB=AC,AF=AD,ZFAC+ZBAF=ZFAC+ZCAD=6Q°,

：.AB=AC,AF=AD,ZBAF=ZCAD,

MBAFm&CAD,

：.ZBFA=ZCDA=120°,

：.ZODE=ZODA=60°,

：.NOED=30°,

：.0E=0A=4,

.,.點C在直線。E上運動，

.?.當OC_LOE時，0C最小,

此時OC=L()E=2,

2

故答案為：2.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判斷，三角形的全等判定和性質(zhì)，垂線段最短，熟

練掌握三角形全等和垂線段最短原理是解題的關(guān)鍵.

8.（2024.廣東深圳?南山區(qū)一模）如圖，在RtZXABC中，ZBAC=90°,AB=242>AC=6,

點E在線段AC上，且AE=1,。是線段5C上的一點，連接。E,將四邊形A3DE沿直

線。E翻折，得到四邊形FGDE,當點G恰好落在線段AC上時，AF=.

B

C

【答案】-V6

3

【解析】

【分析】過點/作■FMLAC于點M,由折疊的性質(zhì)得尸G=AB=2后,ZEFG=ZBAC=90°,

EF=AE=1,再證明△JR0ESAGEE,得EM=—，MF=—6,進而即可求解.

33

【詳解】解：過點尸作FMLAC于點

:將四邊形A3DE沿直線OE翻折，得到四邊形FGDE,當點G恰好落在線段AC上,

:*FG二AB=2亞，/EFG=ZBAC=90°,EF=AE=\,

.?.EG=JF+(2何=3,

VZFEM=ZGEF,ZFME=ZGFE=9Q°,

△FMESAGFE,

EMEFMF1

EF~EGFG—3

：.EM=-EF=-,MF=-FG=-41,

3333

4

：.AM=AE+EM=-,

3

???AF=yjAM2+MF2=+1|'拒］=|76.

故答案是：一

3

【點睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造”

母子相似三角形“是解題的關(guān)鍵.

9.（2024?廣東深圳?寶安區(qū)二模）如圖，矩形ABC。的對角線AC和5。交于點。，AB=3,

BC=4.將八4。。沿著AC折疊，使點O落在點E處，連接OE交于點尸，AE交

【答案】—

39

【解析】

【分析】連接。E,3E,設(shè)OE交AC于點H，勾股定理得出AC=5,等面積法求得CH,

然后求得根據(jù)中位線的性質(zhì)得出〃證明SAB根據(jù)相似三角形

08,OCBE,△OFC￡K,

的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接DE,BE,設(shè)OE交AC于點〃,

AC^BD=\lAB2+BC2=5>

V矩形ABCD的對角線AC和BD交于點O,將AADC沿著AC折疊,使點D落在點E處

.'.DEJ.AC

S=-ADxDC=-ACxDH,

△ALnJCr22

597

???OH=OC-HC=,

2510

?:DH=HE,OD=OB,

：.OH=-BE,OH//BE,

2

7

BE=-,ZOCF=ZFBE,

5

又：NOFC=ZBFE,

:?小OFCs^EFB,

EFBE

??而一況‘

7

._5_14

"OF-J-25

2

:OE=OF+FE=-,

2

25395

14142

?所一

??LLr——35,

39

35

故答案為：—.

39

【點睛】本題考查了矩形的折疊問題，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似

三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

【解析】

【分析】過點尸作于點由折疊的性質(zhì)得PG=AB=141，ZEFG=ZBAC^90°,

12/

EF=AE=\,再證明△EWESAGFE,得EM=—，MF=-yJ2,進而即可求解.

33

【詳解】解：過點歹作FMLAC于點

:將四邊形A3DE沿直線OE翻折，得到四邊形FGDE,當點G恰好落在線段AC上,

:.FG=AB=2?，ZEFG=ZBAC=90°,EF=AE=1,

?；/FEM=NGEF,/FME=/GFE=90°,

AFMES^GFE,

.EMEFMF_1

,?EF~EG~FG-3；

：.EM=-EF=-,MF=-FG=-y/2,

3333

4

：.AM=AE+EM=-,

3

AF=^AM2+MF2==2

故答案是：一

3

【點睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造”

母子相似三角形“是解題的關(guān)鍵.

10.（2024?廣東深圳?寶安區(qū)三模）如圖，已知AB=10,點C,。在線段A5上，且

AC=DB=2.P是線段CD上的動點，分別以AP,依為邊在線段A3的同側(cè)作等邊

△AEP和等邊APFB,連接EF,設(shè)EF的中點為G,則CG+GD的最小值是.

F

G

CPD

【答案】VnT

【解析】

【分析】分別延長AE、BF交于懸H,易證四邊形EPEH為平行四邊形，得出G為PH

中點，則G的運行軌跡為&HCD的中位線.作點。關(guān)于的對稱點J,連接DJ交

于點G',連接HJ,CJ,則四邊形C/"K是矩形，此時CG+DG的值最小，最小值

為線段QJ的長.

【詳解】解：如圖，分別延長AE、3戶交于點"，過點”作于點K.

'：ZA=ZFPB=60°,

：.AH//PF,

?：ZB=ZEPA=60°,

BH//PE,

四邊形EPEH為平行四邊形，

.?.石尸與HP互相平分.

：G為七歹的中點，

；.G也正好為PH中點，

即在P的運動過程中，G始終為尸H的中點，

G的運行軌跡為&HCD的中位線.

作點C關(guān)于的對稱點/,連接。/交于點G',連接田，CJ,則四邊形C7HK

是矩形，此時CG+ZX7的值最小，最小值為線段。J的長.

:△ABHr是等邊三角形，AB=10,HK±AB,

,-.AK=KB=5,

.-.CJ=KH=y/lQ2-52=5A/3，

AC=DB=2,

:.CD=AB-AC-DB=6,

.-.DJ=y/CJ2+DC2=J(5^/3)2+62=A/TTT，

:.CG+DG的最小值為VnT.

故答案為：

【點睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，中位線的性質(zhì),

平行四邊形的性質(zhì)，以及動點問題，軸對稱最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點G的

運動軌跡，學(xué)會利用軸對稱解決問題.

11.（2024?廣東深圳?福田區(qū)二模）如圖，矩形ABC。，AB=4,5c=8,E為AB中點,

廠為直線上動點，B、G關(guān)于所對稱，連接AG,點尸為平面上的動點，滿足

NAPB=-ZAGB,則DP的最小值

【答案】2&U-20

【解析】

【分析】由題意可知，ZAGB=9QP,可得NAPB=L/AGB=45。，可知點尸在以A3為

2

弦，圓周角N4PB=45。的圓上，（要使最小，則點P要靠近蒂點。，即點P在AB的右

側(cè)），設(shè)圓心為。，連接。4,OB,OE,OP,OD,過點。作OQLAD,可知AAOB

為等腰直角三角形，求得OA=^AB=2四=OP，AQ=OQ=—OA=2,

22

QD^AD-AQ=6,OD=血爐+QD?=2屈，再由三角形三邊關(guān)系可得:

DPNOD-OP=2M-2也,當點P在線段0。上時去等號，即可求得0P的最小值.

【詳解】解：W、G關(guān)于所對稱，

ABH=GH,且6G

:E為AB中點，則EH為AASG的中位線，

：.EH//AG,

：.ZAGB=90°,

?：ZAPB=-ZAGB,即ZAPS=-ZAGB=45°,

22

...點P在以AB為弦，圓周角NAPB=45。的圓上，（要使。尸最小，則點P要靠近蒂點。,

即點P在A3的右側(cè)）

設(shè)圓心為。，連接。4,OB,0E,OP,OD,過點。作OQ_LAD,

則Q4=06=0P,

NAPB=45。，

AZAOB=90°,則AAOB為等腰直角三角形，

：.OA=—AB=2y/2=OP，

2

又：E為AB中點，

/.OE_LAB,0E=—AB=AE=BE,

2

又：四邊形ABC。是矩形，

AZ￡L4T>=90°,AD=BC=8,

四邊形AEOQ是正方形，

?*-AQ=0Q=^-0A=2,QD^AD-AQ=6,

???OD=y/o^+QD2=2A/10，

由三角形三邊關(guān)系可得：。尸20￡>-02=2加一2，1，當點「線段0。上時去等號,

DP的最小值為2回-2J5，

故答案為：2回-2近.

【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，隱形圓，三角形三邊關(guān)系，正方形的判定及

性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)/423=工468=45。得知點「在以45為

2

弦，圓周角NAPB=45。的圓上是解決問題的關(guān)鍵.

12.（2024廣東深圳?光明區(qū)二模）在疑。中，12113=工,4。3+2/3=90。，線段。。

2

平分NACB.已知8=4行，則線段的長為.

【答案】475

【解析】

【分析】本題考查解直角三角形.過點C作CE_LB4交朋的延長線于點E,根據(jù)角平分

線得到N￡DC=45。，根據(jù)三角函數(shù)得到CE=4,進而求出BE=8,然后利用勾股定理

求出長.

【詳解】過點C作CEL8A交朋的延長線于點E,

CD平分NACB,

：.ZBCD=-ZACB,

2

：.ZEDC=ZB+ZDCB=1(2ZB+ZACB)=1x90°=45°,

/.CE=CD-tanNEDC=46又顯=4,

2

..八CE1

?tanB-----——,

BE2

BE-8,

BC=y]CE2+BE2=V42+82=4指?

13.(2024?廣東深圳-33校三模)如圖R3A5C,NACfi=90。，AD垂直/ABC外角角

平分線于。點，過D作5c的垂線，交CB延長線于點E,連接OC交AB于點尸，

DF3I-

——=-,DE=V5,那么盛的長為

CF4

【解析】

【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，延長

AD交CB于點H,延長AB,DE相交于點G,證明△ABDZAHBD(ASA)，則AD=￡>H,

AB=BH,證明&DEHs&ACH,求出AC=2#,證明△DGFs^AP,求出

DG=-AC=-x245=-45,則EG=DG—DE=」迷，證明△臺石匕4臺⑦，得到

4422—

3E=L,則3E=,CE=工E",5c=43E,得到3E=l!A3,則AB=65E,

45566

在RtZVLCfi中，AB2=BC2+AC2,則(6BE)2=(45E『+(2j?『，即可求出跖的

長.

【詳解】解：延長A。交CB于點“，延長AB,。石相交于點G,

A

D

1-H

\E

、、，

G

：A。垂直/ABC外角角平分線于。點,

ZABD=ZHBD,ZADB=NHDB=90°

,:BD=BD

：.AABD^AHBD(ASA),

AD=DH,AB=BH

?：RtAABC,ZACB=90°,DECH,

DE\\AC

：.4DEHS4ACH

,DEPHEH1

'*AC-AH_2)

AC=2DE=2舊，EH=CE

'：DE\\AC

ADGF^CAF

.DGDF3

"AC-CF-4'

DG=-AC=-x245=-y/5,

442

EG=DG-DE=-S/5-45=-S/5,

22

?：DE\\AC

^BEG-^ABCA

.BEEG_1

"AC_4'

BE=-CB,

4

：.BE=-CE=-EH,BC=4BE

55

：.BE=-BH=-AB,

66

***AB=6BE,

在RtAACB中，AB2=BC2+AC2

即（6BE）2=（43E），（2有『，

解得BE=1（負值已舍去），

故答案為：1

14.（2024.廣東深圳?龍華區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，48=6,尸是A。邊上一點,

將△?口＞沿CP折疊，若點。的對應(yīng)點E恰好是AABC的重心，則PD的長為.

【答案】3行

【解析】

【分析】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，三角形的重心，圖形的折疊變換及其性質(zhì)，勾股定理，

延長CE交AB于R在ER的延長線上取一點使FH=FE，連接AH,BH,PF,

連接AE并延長交于點T,連接鹿，由折疊的性質(zhì)得PPD=PE,CE=CD=6,根

據(jù)點E是AABC的重心，得AT是邊上的中線，C5是A5邊上的中線，則

AF=BF=~AB=3,CT=BT,先證四邊形AEBH是平行四邊形得〃AE,進而

2

得ET是ACBH的中位線，則EH=CE=6,進而得FH=FE=3,在Rt&BCF中，由

勾股定理得BC=y]CF2-BF2=6夜，再判定RtA，R4F^RtAP￡F（HL），得PA=PE,

進而得PD=24=工4。=30,據(jù)此可得出答案.

2

【詳解】解：延長CE交AB于R在ER的延長線上取一點“，使FH=FE,連接

BH,PF,連接AE并延長交3C于點T,連接助，如下圖所示：

?.?四邊形ABCD為矩形，AB=6,

：.ZBAD^ZD=90°,CD=AB=6,AD=BC,

由折疊的性質(zhì)得：PD=PE,CE=CD=6,NPEC=ZD=90。,

.點E是AABC的重心，

.??AT是BC邊上的中線，Cb是A3邊上的中線，

即4/=3尸=工43=3,CT=BT,

2

又：FH=FE,

.,?四邊形AEBH是平行四邊形，

/.BH//AE,

即皿〃E7,

.CTCE

,,BT—EH'

,/CT=BT,

：.CE=EH,

二ET是ACBH的中位線，

：.EH=CE=6,

：.FH=FE=3,

：.CF=CE+FE=6+3=9,

22

在RtABCF中，由勾股定理得：BC=\ICF-BF=672，

???AD=BC=6A/2，

,:FE=3,AF=3,

:.AF=FE,

'：ZPEC=9Q°,ZBAD=9Q°,

：.ZBAD=NPEF=90。,

在RtAB4F和RtAPEF中,

AF=FE

PF=PF'

：.RUPAF=RtAPEF(HL),

??.PA=PE,

PD=PA=—AD=3^2,

2

故答案為：3行.

4

15.(2024.廣東深圳.羅湖區(qū)二模)如圖，直線y二一1+。與反比例函數(shù)y=—(x>0)只有

x

唯一的公共點A,與反比例函數(shù)y=-(x>0)交于點C,與X軸交于點B,如果AB=2BC,

X

則k的值為

【解析】

【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，求一次函數(shù)解析式，聯(lián)立方程組根

據(jù)只有一個交點求出。值得到交點坐標4(2,2),根據(jù)直線解析式求出B點坐標，依據(jù)中點

坐標公式分別求出點。和點C坐標，即可得到左值，求出點C坐標是關(guān)鍵.

y=-x+a

【詳解】解：聯(lián)立方程組得14,

y=一

IX

整理得：ax+4=0,

???只有一個交點，

A=a?—16=0,

a=±4,舍去負值，

=4,

回一次函數(shù)解析式為y=-x+4,

y=-x+4

團聯(lián)立方程組得14,

y=-

IX

解得：尤1=2,x2=-2(舍去)，

回點4(2,2),

:當y=0時，x=4,

5(4,0),

2+42+0

線段A3的中點。的橫坐標為：——=3,縱坐標為：——=1,

22

???0(3,1),

;AB=2BC,

BD=BC,

3+_

44=-------,x—5,

2c

=T

C（5,-l）,

?.?C(5,—1)在反比例函數(shù)y=人圖象上,

X

J，

k=-5,

故答案為：-5.

16.（2024?廣東深圳?羅湖區(qū)三模）如圖，在RtZVLBC中，ZACB=90°,AB=9,cotA=2,

點。在邊A5上，點石在邊AC上，將AABC沿著折痕。E翻折后，點A恰好落在線段

的延長線上的點P處，如果=那么折痕OE的長為.

【答案】2&

【解析】

（分析］過點D悍DF工AC于點F,首先根據(jù)題意可證得DF〃BC,ZBDP=90°,

tanA=tanZBPD=-=—=根據(jù)勾股定理即可求得=遞，AC=竺心，

ACPD255

再由折疊的性質(zhì)可知：AE=PE，AD=PD,即可求得班）=3,AD=PD=6,再根

據(jù)勾股定理即可求得BP=345,CP=竽，由。尸〃5C,可證得AADE^AABC,

DF_AF-=據(jù)此即可求得。口=地，AF告FC二處,再根據(jù)

~BC~~ACAB355

勾股定理即可求得EC=8叵，EF=^~,據(jù)此根據(jù)勾股定理即可求得結(jié)果.

55

【詳解】解：如圖：過點。作加71AC于點片

\?AFDIC90?,

DF//BC,ZA+ZB=90。，

?;ZBPD=ZA，

:.ZBPD+ZB=9Q°,

:.ZBDP=90。,

???在RtZkABC中，ZAC8=90。，cotA=2,

..tanA——,

cotA2

./neBCBD1

..tanA—tan/BPD------------—

ACPD2

???在RtZkABC中，AC2+BC2=AB2,

:.4BC-+BC2=92，

解得BC=2好

5

由折疊的性質(zhì)可知：AE=PE，AD=PD,

9-PDA_

tan/BPD，-------

PD2

解得尸0=6,

:.BD=3,AD=PD=6

在RtABPD中，BD2+PD2=BP、

:.BP=［竽+&=3布,

:.CP=BP—BC=3有—^~=^~，

55

DF〃BC，

:.AADFSAABC,

DF_AFAD_6_2

"BC-AC-AB-9-3'

DFAF_2

"9A/5-18A/5-3

35

解得。/=述，=

55