解答題017類解三角形答題模板

（正余弦求邊角、周長邊長三角函數值面積最值、內切圓外接圓、

中線角平分線高線、證明綜合）

?.____本節導航..

模板01運用正余弦定理的求三角形中的邊與角的答題模板

模板02求周長的值或范圍、求“邊長類”范圍的答題模板

模板03求“三角函數值類”范圍的答題模板

模板04求面積的值或范圍的答題模板

模板05求內切圓及外接圓的答題模板

模板06求中線、角平分線、高線的答題模板

模板07三角形中問題證明的答題模板

模板01：送用正茶筋兔理破運福彩中而應與角面答題模板］

運用正余弦定理求三角形中的邊與角是高考中的常考題型，在解答題中一方面考查學生的解題能力,

另一方面考查學生的規范作答能力，所以解答題需具備更高的考試素養.

◎模超的建

利用正弦定理、余弦定理、面積公式、完全平方等公式進行計算即可，公式如下，作答模板詳見解析

1.正弦定理

cihC

--=--=——=27?（其中R為AA3C外接圓的半徑）

sinAsinesinC

2.余弦定理

（1）邊的余弦定理

a2=Z72+c2-2bccosA,Z72-a2+c2-2accosB,c2=?2+Z72-2abcosC

(2)角的余弦定理

/+/一〃222

6Z2+c2-b2〃2+Z7-C

cosA=cosB=cosC二

2bclac2ab

3.三角形的面積公式

--absmC=—acsinB=—bcsinA

222

型模板運用

(2024?新高考I卷?高考真題)記VABC的內角A、B、C的對邊分別為a,6,c,已知sinC=0cosB，

cT+Z72_=\[^ab

⑴求8;

⑵若VABC的面積為3+君，求C.

思路點撥：

(1)由余弦定理、平方關系依次求出COSC,sinC,最后結合已知sinC=0cosB得COS3的值即可；

(2)首先求出A,民C,然后由正弦定理可將。力均用含有c的式子表示，結合三角形面積公式即可列方程

求解.

思路詳解：(1)由余弦定理有a：+62-c?=2a〃cosC,對比已知"+序-c?=J/",

-pjT-zg「cr+b~-c~\[2ab-s/2

口」銜cosC=----------=-----=——，

2ablab2

因為Ce(O,兀)，所以sinC>0,

從而sinC=A/1-

一2'

又因為sinC=J^cos2，即COS3=5,

注意到3e(O,7r),

所以2=g.

(2)由(1)可得2=5，cosC=白，Ce(0,7i),從而C=：,A=7r-y-^=!|,

而sinA=sin(2]=sin[&+3]="x走+立=

U2JI4622224

ab

由正弦定理有.5兀.71.兀

sin-sin一sin—

1234

從而”型.伍="但卓岳罟c,

由三角形面積公式可知，VABC的面積可表示為

SABc,absinC，.四一凡巫=如屋

△ABC222228

由已知VABC的面積為3+石，可得與叵C?=3+0,

所以c=2^/^-

,支式1.（2023?新高考II卷?高考真題）記VABC的內角A,氏C的對邊分別為“，瓦c,已知VABC的面積

為名，。為BC中點，且AD=1.

jr

(1)^Z.ADC=—,求tan3；

(2)若廿+,2=8,求瓦c.

7T

思路詳解：（1）方法1：在VABC中，因為。為BC中點，ZADC=-,AD=1,

貝US4%=LA￡>.￡)Csin/Ar)C=LxlxLax3=3q=Ls=—,解得a=4,

0c

222282“ABC2

在△ABD中，ZADB=—,由余弦定理得°?=BD2+Ar>2_25D.ADcosZAr>5,

即c2=4+l—2x2xlx(-‘)=7,解得C=",貝hosB=^^=硬，

22A/7X214

所以tanB=包0=3.

cosB5

TT

方法2：在VABC中，因為。為BC中點，ZADC=~,AD=1,

貝US=LA￡>.DCsin/ADC=LxlxLax3=3q=LsAKr=—>解得a=4,

iADC22228242

在AACD中，由余弦定理得b1=CD2+AD2-2,CD-ADcosZADC,

即匕2=4+i-2x2xlx：=3,解得6=g,AC2+AD2=4=CD2,貝此8￡?=果

2z

c=2，過A作于E,于是CE=ACcosC=』,AE=ACsinC=走，BE，,

6222

所以tan8=4^=走.

BE5

,1,1

c=za+1—2x—tzx1xcos(7i—/AZ)C)

（2）方法1：在△ABD與AACD中，由余弦定理得＜

,11

b7=—a9+l-2x—tixlxcosZADC

42

整理得;/+2=尸+°2,而尸+片=8,則a=2右，

又S退xlxsin/AOC="，解得sinZADC=l,^0<ZADC<n,于是ZADC="，

iADC222

所以6=c=JADZ+CD?=2?

方法2：在VABC中，因為。為BC中點，貝1|2蒞=荏+無e，XCB=AB-AC^

于是4蒞?+屈°=(荏+恁y+(通—痔2=2g2+c2)=i6，即4+/=i6,解得。=2/，

又SA”=Lx5/5xlxsinNADC=^^,解得sinZADC=l,|TiJ0<ZADC<n,于是/A￡>C=二，

we222

所以6=c==2,

）支式2.（2022?全國?高考真題）記VA5C的內角A,B,。的對邊分別為〃，b,c,已知

sinCsin(A—=sinj5sin(C—A).

⑴若A=25,求C；

(2)證明:2a2=b2+c2

思路詳解：(1)由A=26,sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)n]*,sinCsinB=sinBsin(C-A)，而。<,

所以sin(0,1),即有sinC=sin(C-A)>0,而0<。<兀,0<C—A<TT,顯然CWC-A,所以，C+C-A=TI,

5K

而4=23,A+B+C=n,所以C=M.

8

(2)由sinCsin(A—5)=sin5sin(C-A)可得,

sinC(sinAcosB—cosAsinB)=sin5(sinCcosA—cosCsinA),再由正弦定理可得,

accosB-becosA=bccosA-abcosC,然后根據余弦定理可知，

222222222222

|(?+c-Z;)-1(/?+c-6Z)=|(/?+C-a)-|(?+^-c)-化簡得：

2a2=b2+c2,故原等式成立.

csinC-tzsinAsin3

1.(2024?全國?模擬預測)已知VABC的內角A,B,C的對邊分別為。，b,

b3

3

(l)^b=-c,求角A；

4

⑵若VABC的面積為3sin2A,求c.

【答案】(1)A=

(2)C=20

A21

【分析】(1)由已知結合正弦定理可得。2-/=幺，利用余弦定理結合已知可得cosA=g,可求A；

32

(2)利用三角形的面積公式可求;6csinA=3sin2A,計算可求c.

▼、*通、“、,csinC-asinAsinBc2-a2b41l2b2

【詳解】(1)由------,------=一丁及正弦定理得------=—,故r,

b3b33

,2匕

由余弦定理得,b2+c2-a2b+y2b,

cosA=---------=------=——

2bc2bc3c

31

又b=—c,所以cosA=—.

42

jr

因為OvAv兀，所以A=§.

(2)因為VABC的面積為3sin2A,

所以工bcsinA=3sin2A=6sinAcosA,

2

2h

又sinAwO,所以bc=12cosA=12xy-,

又Z?wO,所以，=8,得。=2^/2.

2.(2022?新高考I卷?高考真題)記VABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知，二人一2,

1+sinAl+cos2B

⑴若c后，求5

2.12

⑵求的最小值.

C

【答案】⑴g

O

⑵40-5.

cosAsin25

【分析】(1)根據二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成cos(A+3)=sin3,再結

1+sinA1+cos25

7T

合0<3<大，即可求出；

2

⑵由⑴知，C=g+B,A=g-2B,再利用正弦定理以及二倍角公式將化成4cos2^+^^-5,

22c2cos2B

然后利用基本不等式即可解出.

【詳解】⑴因為手sin2B2sin3cos5_sinB

即

1+cos2B2cos2Bcos3

-cosC=i

sinB=cosAcosB-sinAsin3=cos（A+B）=

2

而0<2<］,所以3=看；

兀71

（2）由（1）知，sinB=-cosC>0,所以一<。<兀,0<3<一,

22

而sinB=-cosC=sin（。—]）,

所以C=]+8,即有A=5_2B,所以

匚匚?/+從sin2A+sin2Bcos22B+l-cos2B

所以一5-=-----z------------=------------------5-------

c2sin2Ccos2B

（2cos23-1）2+l-cos2B

=4COS2B+--——522次-5=4近一5-

cos2BCOS2B

當且僅當cos?8時取等號，所以胃乏的最小值為4行-5.

3.（2021?新高考I卷?高考真題）記VABC是內角A,B,C的對邊分別為。，b,c.已知6?=ac,點。在

邊AC上，BDsinZABC=asinC.

（1）證明：BD=b；

（2）若AD=2DC,求cosZABC.

7

【答案】（1）證明見解析；（2）cosZABC=—.

【分析】（工）根據正弦定理的邊角關系有3。=華，結合已知即可證結論.

（2）方法一：兩次應用余弦定理，求得邊。與。的關系，然后利用余弦定理即可求得cos/ABC的值.

【詳解】（1）設VABC的外接圓半徑為R,由正弦定理，

bc

sinZABC=—,sinC=—,

2R2R

hc

因為BZ）sinNABC=asinC,所以3。---=a---,即皮）,b=ac.

2R2R

又因為人2=如，所以5。=/?.

（2）［方法一］【最優解】：兩次應用余弦定理

因為AD=2DC,如圖，在VA5C中，cosC=a+b~C,①

3

V

在△5CD中，cosC=------'——.（2）

2Q,一

3

由①②得/+/-。2=3〃2+g）2_/,整理得2/一孕2+。2=0.

又因為廿二〃。，所以6a?—1lac+3c2=0,解得。=§或”=耳，

2

當〃==〃c=J時，a+b=-+<c（舍去）.

3333

當〃=主力2=〃c=￡時，cosZABC=

22

7

所以cos/A2C=—.

12

［方法二］:等面積法和三角形相似

2

如圖，已知AD=2DC,則以加=耳5-

1921

即一x—6。sinNADB=—x—acxsinZABC,

--------------------------r

而。2=改，即sin/ADB=sin/ABC,

故有ZADB=ZABC,從而NAB￡>=NC.

bcr\R4

由〃=ac,即一=—,即——=——,即△ACB^^ABD,

abCBBD

2b

..ADAB日口一

故石=就，即aq，

cb

2

又〃=QC,所以。=

7

則cosZABC=c"+“—一"

lac12

［方法三］:正弦定理、余弦定理相結合

21

由（1）知BD=b=AC,再由AD=2O。得AD=§Z?,CO=§

ADBD

在△ADB中，由正弦定理得

sinZABDsinA

±A2

又NAB￡>=NC,所以3_b,化簡得sinC=—sinA.

=3

sinCsinA

2?

在VABC中，由正弦定理知c=，又由廿=%,所以〃=§片.

22?2QH-----CL-------CI

在VA5C中，由余弦定理，得cos/ABC='：--=-93

2訛2x2/

3

7

故cosNA8C=—.

12

［方法四］:構造輔助線利用相似的性質

如圖，作交BC于點E,則△DECs"Sc.

由AD=2DC,^DE=-,EC=-,BE=—.

333

修+（守-〃

在ABED中，cosNBED=3~/--------.

2ac

Z,---,一

33

^22_/2

在YABC中cosZABC=-—-——.

2ac

因為cosZABC=-cos/BED,

（爭+守一/

a2+c2-b2

所以

lac

2ac2-----

33

整理得6a2一1廿+3/=0.

又因為〃=ac,所以6tz2—llac+3c2=0，

c、3

即〃=—或〃=—c.

32

下同解法1.

［方法五］:平面向量基本定理

因為AD=2DC,所以而=2瓦.

以向量瓦?，詼為基底，有麗=|麗+,瓦I.

所以前2=1前2+1瓦1.近+三瓦/，

441

即b1=—a2+—accosZABC+—c2,

999

又因為加=。<?，所以9ac=4。2+4ac?cosZABC+c?.③

由余弦定理得/=a2+c2—2accosZABC,

所以ac=6+c?-2accosZABC④

聯立③④，得G72_11*+3<?=0.

31

所以。=彳。或。=：。.

23

下同解法！.

［方法六］:建系求解

以。為坐標原點，AC所在直線為x軸，過點。垂直于AC的直線為y軸,

DC長為單位長度建立直角坐標系，

如圖所示，則D（0,0）,A（-2,0）,C（1,0）.

由（1）知，BD=b=AC=3,所以點8在以。為圓心，3為半徑的圓上運動.

設3(x,y)(-3<x<3),則/+;/=9.⑤

由。2=改知，忸,忸。|=|4。「，

即J（x+2）2+產.近—1）2+）?=9.⑥

聯立⑤⑥解得x=-：或x=（舍去），/=^|,

代入⑥式得a=|BC|=孚,c=|BA\=y/6,b=3,

由余弦定理得cosZABC='=—.

2ac12

【整體點評】（2）方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質和正余弦定理的

性質解題；

方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數學問題利用等面積法使得問題轉化為更為簡單的問題，相似

是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路；

方法四：構造輔助線作出相似三角形，結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關系的不錯選擇；

方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將

其與余弦定理充分結合到一起；

方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數形結合充分挖掘幾何性質使得問題更加直

觀化.

模板02

在解三角形中，求解邊長及周長最值是常見的基本題型，其中邊長類最值包括“和”、“差”、“積”、“商”

類最值，需進行邊角互化巧妙轉化變量，進而結合三角函數的值域或基本不等式來求解.

1.基本不等式

a>0,b>0=yj~ab?”2當且僅當a=b時取等號，其中把2叫做正數。，人的算術平均數,

2.2

疝叫做正數a,〃的幾何平均數，通常表達為：a+b>14ab（積定和最小），應用條件：“一正，二定,

三相等”

基本不等式的推論重要不等式

Va,ba1+b2>lab

tz>0,b>Q=>ab<+（和定積最大）

4

當且僅當〃二b時取等號

當且僅當a=6時取等號

2.輔助角公式及三角函數值域

形如y=asinx+Z?cosx,(a>0)y=J4+/sin(x+O)'其中tan0=一夕€（一春,（）

對于y=Asin（5+"）+〃，y=Acos@r+"）+/?類函數，A叫做振幅，決定函數的值域，值域為

有時也會結合其他函數的性質和單調性來求解最值及范圍

4極運用

（2024?全國?高考真題）記VABC的內角A,B,C的對邊分別為a,6,c,已知sinA+V^cosA=2.

⑴求A.

(2)若a=2,同sinC=csin2B，求VABC的周長.

思路點撥：利用公式計算即可

思路詳解：（1）方法一：常規方法（輔助角公式）

由sinA+A/3cosA=2可得工sinA+^^cosA=1,即sin（A+=）=1,

223

由于Ac（0,無）nA+fe（/，￥）,故A+g=g,解得A=g

33332o

方法二：常規方法（同角三角函數的基本關系）

由sinA+J^cosA=2,又sin2A+cos2A=1,消去sinA得到：

4cos2A-4A/3COSA+3=0<^>（2COSA-A/3）2=0,解得cosA=3,

2

又Ae（0,7r）,故A==

方法三：利用極值點求解

設f(x)=sinx+代cosx(0<xv兀)，貝lj/(x)=2sin[x+-1-j(0<x<71),

顯然x時，/(%)max=2,注意至U/(A)=sinA+^^cosA=2=2sin(A+q),

63

/?ax=/(A),在開區間(0,兀)上取到最大值，于是x=A必定是極值點，

即/'(A)=0=cosA—代sinA,BPtanA=,

3

jr

又Ae(0,7r),故A=g

6

方法四：利用向量數量積公式(柯西不等式)

設a=(1,6),B=(sinA,cosA),由題意，=sinA+代cosA=2，

根據向量的數量積公式，無5=|乙1151cos(第5)=2cos住5),

貝！12cos27=2ocos第方=1,此時第5=0,即同向共線，

根據向量共線條件，LeosA=6TinA=tanA=，

3

又A￡(0,7T),故A=F

6

方法五：利用萬能公式求解

設，=1血(，根據萬能公式，sinA+V^cosA=2=+6。：),

21+產1+產

整理可得，〃一2(2-6》+(2-6)2=0=?-(2-6))2,

解得tang=/=2-5根據二倍角公式，tanA=?==立，

21-f23

jr

又Ae(0,7i),故A=2

o

(2)由題設條件和正弦定理

V2Z?sinC=csin2B<=>0sinBsinC=2sinCsinBcosB,

又民Ce(0,7t),則sinBsinCwO,進而cos8=1,得到B=f,

24

兀

于是C=7i—A—5=工7，

12

sinC=sin(兀-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA="十",

4

2_Z?_c

由正弦定理可得，彳，即F=一三，

sinAsinBsinCsin—sm—sin—

6412

解得b=25/2,c=\/6+y/2,

故VABC的周長為2+n+3友

）支式1.（2024?四川內江?一模）在VABC中，a,b,。分別為內角A尻C所對的邊，且滿足

acosC+ccosA=2bcosB.

⑴求B；

(2)若6=2亞，求VABC周長的最大值.

思路詳解：(1)因為tzcosC+ccosA=2bcosB,

由正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB,

且sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,即sin5=2sinBcosB,

又因為3e(0,兀)，貝ijsin3r0,

1兀

可得l=2cos5,即COS3=Q,所以5=

(2)由余弦定理可得：b2=a2+c2-laccosB=^a+c^-lac-laccosB,

即8=(a+c)2-lac-ac=^a+c^-3ac,可得“c二(〃+。)——-,

又因為仁―4可得"工2,即…“虎,

當且僅當a=c=20時，等號成立,

所以VABC周長的最大值為40+20=60.

cosAsin2B

,支式2.（2022?全國?高考真題）記VABC的內角A,3,C的對邊分別為a,b,c,已知

1+sinA1+cos23

⑴若。后，求5

⑵求二￡的最小值.

C

思路詳解：】）因為品sin2B2sinBcosB_sin5

即

1+cos232cos2Bcos5

sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=-cosC=—

2

而0<B<],所以8=看；

7171

(2)由(1)知，sinB=—cosC>0,所以一<。<兀,0<B<—,

22

而sinB=-cosC=sin|C--|,

所以C=g+B,即有A=g-2B,所以Bepxfhcelq,乎］

22I4j124J

i2A+sin2Bcos22B+l-cos2B

所以一L=-s-n-『----------=---------------n------------

c2sin2Ccos2B

(2cos23-1)24-1-cos2B

=4COS2B+—^——522通-5=40-5?

cos2Bcos-B

當且僅當8$22=乎時取等號，所以的最小值為40一5.

1.(2022?全國?高考真題)記VA3C的內角A,B,C的對邊分別為〃力,c，已知5m。5皿4-5)=5皿左皿。-4).

(1)證明:2/=〃+，；

25

(2)^a=5,cosA=—,求VABC的周長.

【答案】⑴見解析

⑵14

【分析】(1)利用兩角差的正弦公式化簡，再根據正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證;

(2)根據(1)的結論結合余弦定理求出從而可求得人+c,即可得解.

【詳解】(1)證明：因為sinCsin(A—5)=sin5sin(C—A),

所以sinCsinAcosB—sinCsinBcosA=sinBsinCcosA—sinBsinAcosC,

a2+c2-b1b2+c2-a2a2+b2-c1

所以比?

lac2bclab

即/+72_僅』2_/)=_a1+b2-c2

2

所以2a2=b2+c2;

(2)解：因為。=5,cosA=—,

由(1)得從+，=50,

由余弦定理可得。2=廿+°2—20CCOSA,

則50-"兒=25,

31

所以秘=三31，

故修+4=〃+C2+26C=50+31=81,

所以Z?+c=9，

所以VABC的周長為a+6+c=14.

2.(2024?廣東韶關?一模)已知a,6,c分別為VA5c三個內角A,B,C的對邊，且灰:osC+a:os3=2acosA.

⑴求A；

⑵若。=2,求VABC周長的最大值.

【答案】(1)A=

(2)最大值為6

【分析】(1)根據正弦定理，結合兩角和的正弦公式，可得sin(8+C)=2siMcosA,再根據三角形的內角和

公式和誘導公式，可得cosA=1，進而得角A.

(2)法一：利用余弦定理，結合基本不等式可求三角形周長的取值范圍.

法二：利用正弦定理，表示出b,c,再利用三角函數的恒等變換，可得三角形的周長為2+4sin(B+E],再

根據角8的取值范圍，可求周長的最大值.

法三：數形結合，把問題轉化成圓的弦長中，直徑最大，再根據直角三角形的邊角關系求圓的直徑.

【詳解】(1)由。cosC+ccos5=2acosA及正弦定理得

sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA所以sin(B+C)=2sinAcosA

因為5+C=7i-A

化簡得sinA=2sinAcosA

因為OvAv兀，所以sinAwO,所以cosA=，

2

所以A=*

(2)法一：由余弦定理/=62+/-2〃CCOSA

有4="+/一be=(b+c)2一3bc

因為T一;

所以(b+c)2-3bc>(b+c)2-3S+C，=(b+c)2

44

即42S+c)一,所以6+cW4,當且僅當6=c=2時等號成立.

4

所以VABC的周長C4ABe=a+6+c46.

即VA5C周長的最大值為6.

2473

法二由正弦定理就=2”,即^

3

3

VABC的周長C.C=+b+c=2+—sinB+—sinC

a33

2兀

因為A+3+C=7T,所以C=------B

3

=2+迪si?述sin』2兀

所以G?c

333

=2+^^-fsinB+sin—2兀cosB-cos-2兀sinB

333

=2+4sinB+

因為0<8<夸，所以當B=g時C-ABC取得最大值為6

法三：(幾何法)：如圖1所示，延長54到點尸，使得"=AC

使得AB+AC=AB+AP=BP,

要使VA2C的周長最大，則需滿足3尸長度最大

將問題轉化為己知一邊。=2,一對角ZP=30。，求另一邊3尸的長度的最大值

由圖2可得.當3尸為該圓直徑時，BP最大.

即IBPLXM旦=^—=4

maxsinPsin30°

B,C所對的邊分別為b,

端3ab、

asin20+4=(

222(a+0+c)

⑴求角C的大小;

(2)若VABC為銳角三角形，求*的取值范圍.

【答案】(1)C=；

(2)(夜2]

【分析】(l)由二倍角的正弦和余弦公式，結合余弦定理將角轉化為邊，可將式子變形為〃+02—02=1》,

再利用余弦定理即可求解;

(2)利用正弦定理將邊轉化為角，再結合三角恒等變換可得"=2si1A+；J,根據銳角三角形可得A的

C

取值范圍，結合三角函數的圖象和性質即可求解.

【詳解】(1)在VABC中,

(1-cosB)+b(1-cosA)a+bacosB+bcosA

222222

a+b1

~~~~~(acosB+Z?cosA)=ax

22lac2bc

cib—c

2

asi/O+bsin』3ab

因為

222(〃+b+c]

a+b-c3ab

所以「一

2(〃+/?+c)，

a2+b2-c21

化簡得4+/一。?=砧，由余弦定理得cosC=

2ab2

又Ce(O,兀)，所以C=；；

sinA+sin@-A

a+bsinA+sinBI3

(2)由正弦定理知

.兀

sinCsin—

3

、

—cosA+-sinA

22

7

2拒

-sinA+——cosAA

2

一耳［57

、

1

+—cosA=2sin|A+—\,

2I6

7

?.7U

0<A<—

2.而

由VABC為銳角三角形可知C=.

0<B<-3

2

0<A<-

所以、2得？<A<,

八2兀,兀62

0<------A<—

[32

匚、兀兀兀

所U1以l三<42

363

所以*sin[+蜘1,即若<2sin（A+酢2,

則+的取值范圍為（后2].

4.（2024?湖南郴州?模擬預測）若銳角VA3C中，A、3、C所對的邊分別為。、b、c,且VABC的面積

為*（力+°2_/）

⑴求B；

（2）求￡的取值范圍.

a

【答案】⑴9

0

⑵旨E

【分析】（]）由余弦定理結合三角形面積公式可得答案；

（2）由題可得曰<4<三，后由正弦定理可得￡=」--卜立，后由正切函數單調性可得答案.

32a2tanA2

【詳解】（1）由余弦定理，a2+c2-l?2=2accosB,又三角形面積為S=5"sinB,

貝!J—+/_^\^_，2accosB=-

=-acsinBtanB=—,又由題則B=g；

12171223k2J6

,、I/、tx-t571-571

（2）由（1）,A+C=—=>C=-----A,又VABC為銳角三角形，

66

?.71

0<A<—

…2兀4兀

貝"<=W<A<彳.

八5兀4兀32

0<-----A<—

[62

SmA

由正弦定理：c_sinC_（T-y

_1?石.

asinAsinA2tanA2

因y=tanx在口「,印上單調遞增,則Aejg,g]時，tanA>^30<--—

131）tanA3

則走<^^+且<友，即￡e[A/32回

y-J-

22tanA23。（

5.（24-25高三上?浙江?開學考試）記VABC的內角A,B,C的對邊分別為〃，瓦c,已知〃cosC+JUasinC=b+c.

⑴求tanA；

⑵求二的取值范圍.

a

【答案】⑴tanA二正

2

⑵be/巴（八3］

【分析】（1）由正弦定理邊化角，結合三角恒等變換即可求解；

（2）由正弦定理邊化角，由三角恒等變換結合三角函數性質即可求解.

【詳解】（1）因為〃cosC+?asinC-Z?-c=0,

所以由正弦定理知sinAcosC+^sinAsinC=sinB+sinC，

而sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA,

故sinAcosC+\/5sinAsinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC,

從而gs