題型076類數列小題解題技巧

（等差等比基本量、等差數列前〃項和、等比數列前〃項和、

數列中最值問題、構造常數列求通項、數列周期性的應用）

-?-----本節導航-----?

技法01求等差等比基本量的解題技巧

I

技法02等差數列前“項和的解題技巧

技法03等比數列前〃項和的解題技巧

技法04數列中最值問題的解題技巧

技法05構造常數列求通項的解題技巧

技法06數列周期性的應用及解題技巧

技法011超，比基在J解題技巧;

?強型解篌

近年來，高考中常考查等差等比數列的基本量的求解，求解等差數列和等比數列的基本量的題型通常

涉及通項公式和求和公式的使用，聯立方程求解即可

技巧_點被

合理運用基本量替換中間量，聯立方程組，求解方程即可求出基本量

（2024?新課標回卷?高考真題）記S〃為等差數列｛%｝的前幾項和，若〃3+%=7,3%+%=5,則

Ho=

\CL2d+a+3d~7ftz.——4

思路詳解：因為數列%為等差數列，則由題意得必[+"）+；+41=5,解得|d=3，

1f）xO

貝uS10=10q+d=10X（-4）+45X3=95.故答案為：95.

'支式1.（2024?全國?高考真題）記鼠為等差數列｛4｝的前〃項和，已知S5=H。，%=1，則4=（）

717

B.-C.——D.——

3311

思路詳解：由^。一工=。6+%+。8+。9+%0=54=。，則〃8=。，

則等差數列｛%｝的公差1=血丁=一;，故弓=%-4"=1一4x[-（.故選：B.

）支式2.（2023?全國甲卷?高考真題）設等比數列｛%｝的各項均為正數,前n項和5“，若生=1,S5=5S3-4,

則S4=()

A.—B.—C.15D.40

88

思路詳解：由題知l+q+d+/+/=5(l+q+d)-4,

即/+/=4q+4/，即"+不一44一4=Q,即q-2)q+i)q+2)=0.

由題知4>0,所以q=2.所以邑=1+2+4+8=15.故選:c.

,支式3.（2022?全國局考真題）已知等比數列｛%｝的前3項和為168,a2-a5=42,則必=（)

A.14B.12C.6D.3

思路詳解：解：設等比數列｛4｝的公比為dqrO,

若q=i,則。2-。5=。，與題意矛盾,

所以#1,

4(1-q)

ax=96

a,+a+a.=--------=1685，口

則’923]_q,解得V1，所以。6=%0'=3.故選：D.

q=-

4

a2—a5=%q—a1q=422

陵演宿^〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃〃/〃/,

1.（2024?河南許昌,模擬預測）記等比數列｛%｝的前〃項和為S.，若S4=S2+%+4%,a3=l，貝（）

A.-64B.-32C.32D.64

【答案】D

【分析】根據給定條件，求出等比數列｛4｝公比4的平方，再結合項間關系求出〃9.

【詳解1由邑=§2+。4+4%,得。4+%+%+%=〃2+4+。4+44,則%=也，

設等比數列｛4｝公比為夕，貝股.2=4%,解得d=4,

所以為=%/=（/）3=64.

故選：D

2.（2024?重慶?模擬預測）已知等差數列｛4｝滿足火+%=5,3%+。5=17,則前〃項和Sn=.

_n（13-n］

［答案］」----L

2

【分析】應用等差數列通項公式基本量運算求出通項再應用等差數列求和公式計算即可.

【詳解】等差數列｛??｝滿足%+%=5,3%+%=17,

所以2q+7d=5,4%+7d=17,計算得q=6,d=—1,

所以=4+（"一1）1=6—〃+1=7—九，

r一-〒〃（6+7—n（13-n）

則前〃項和§〃=△-------L=-1-----1

〃22

衛生生、，n（13-n\

故答案為：△----二

2

3.（2024?江西景德鎮?一模）已知公比不為1的等比數歹（1｛4｝9=1且3%,2%必成等差，則％（必=.

【答案】32°24

【分析】由等差中項求得等比數列公比，再結合等比數列通項公式即可求解.

【詳解】回3%,2出,〃3成等差，回42=34+生，又｛%｝是公比不為1的等比數列，

2024

團4g=3+q?,回q=3,^2025=3.

故答案為：32024.

4.（2024?吉林?三模）正項遞增等比數列｛4｝,前〃項的和為S”，若。2+。4=30,。網=81,則4=（）

11

A.3B.-C.4D.-

34

【答案】A

【分析】根據等比數列的性質，即可求解.

【詳解】由等比數列的性質可知，4。5=。2。4=81,且。2+4=3。,

a2=3、“2—27

所以%=27或

見=3

出_；/=詈=9，貝ljq=3-

因式數列是正項遞增數列，所以

〃4—27“2

故選：A

技法02等差數列前〃項和的解題技巧

?強型解篌

等差數列前n項和的性質是等差數列的重點知識，也是新高考的重要考點，常在小題中進行考查，需

熟悉知識點強化復習.

?裁32點祓

1.等差數列前n項和與函數關系

cn(n-i)d?drr-dn「d,(

S.=呵+-'/nS“=叫+--—nSn=-?-+?!--\n

乙乙乙k乙J

令A=&,B=a,--,=^>=An2+Bn

212

n等差數列b“｝前”項和公式是無常數項的二次函數

2.等差數列前n項和的性質

(1)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k……仍成等差數列

(2)為等差數列

n

V%2-LRn

推導過程：?:加+5(一次函數)=>為等差數列

nnn

(3)Sm+n=Sm+Sn+mnd

(4)S2“T=(2〃—1)%

教彼運用

(2023?新課標回卷,高考真題)記S“為數列｛4｝的前〃項和，設甲：｛。“｝為等差數列；乙：｛｝｝為

等差數列，則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

思路詳解：方法1，甲：｛4｝為等差數列，設其首項為q,公差為d,

n(n-l).n-1,ddS,〃+i葭d

則S=na+-----------u,--=H--------u=——〃+,------

ni2n12212n+1n2

因此｛2｝為等差數列，則甲是乙的充分條件;

n

｛2｝為等差數列,即“一--(〃+1電"為常數,設為"

反之，乙:

nn+1n〃(〃+1)

即崇描I，則+有

兩式相減得：—(〃—1)。〃—2勿，BPan+i-an=2t,對〃=1也成立,

因此｛q｝為等差數列，則甲是乙的必要條件,

所以甲是乙的充要條件，c正確.

方法2,甲：｛。“｝為等差數列，設數列｛%｝的首項％,公差為d,即S“=〃％+若Dd,

則2=+因此｛2｝為等差數列，即甲是乙的充分條件；

n222n

qWSS

反之，乙：｛24為等差數列，即--。=。,。=岳+5-1)。，

nn+lnn

即Sn=nSt+?(?-1)￡>,S,-=(w-l)S1+(w-l)(n-2)D,

當“22時，上兩式相減得：S?-Sn_t=Sl+2(n-DD,當〃=1時，上式成立,

于是“,=4+2(H-1)D,又an+1-a?=0,+2nD-[o,+2(〃-1)。]=2D為常數,

因此｛q｝為等差數列，則甲是乙的必要條件,

所以甲是乙的充要條件.

故選：C

）支式1.（2024?四川巴中?模擬預測）已知s,是等差數列｛%｝的前〃項和，若邑=124=40,則幾=

（）

A.44B.56C.68D.84

思路詳解：由題意可得S’，S「S4,兀-及成等差數列，

)5ffW2(S8-S4)=S4+S12-S8,

因為$4=12,以=4。,

則56=12+Si?—40,解得Sn=84.

故選：D.

3"+4

2.（2024,廣東深圳?模擬預測）已知等差數列｛。“｝和也｝的前〃項和分別為S“、T“，若

＞支式〃+2

2。6

則)

"2+Ko

1113711137

A.一B.—C.---D.

13132626

S3〃+4

思路詳解：因為等差數列｛4｝和｛2｝的前〃項和分別為s,、Tn,滿足亍

所以沙3x11+437

11+213

11(4+41)

y&_2_a62a6_2/=4=37

乂年一巫任&P至，^b2+bl0~2b6~bJ13

2

故選：B

法t固彳米,〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃，

1.（2024?陜西咸陽?二模）已知等差數列｛〃〃｝的前〃項和為s“，若S4=2,58=12,貝加?。=（）

A.30B.58C.60D.90

【答案】D

【分析】借助等差數列片斷和的性質計算即可得.

【詳解】由數列｛%｝為等差數列，

故5八//、兀$$2。-&亦為等差數列，

由邑=2,跖=12,貝|58—邑=10,

故%f=18,Sl6-Sl2=26,520-S16=34,

即有S|2=18+5=30,46=26+S]2=56,520=34+S16=90.

故選：D.

2.（2024?福建莆田三模）設數列｛%｝的前w項和為S"，則”｛a/是等差數列"是"品=11%”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用等差數列求和性質及定義結合充分、必要條件的定義判定選項即可.

【詳解】由｛%｝是等差數列，得洋滿足充分性；

反之，$11=11%，只需。+/++%+―++%1=1。。6,得不到｛。“｝是等差數列，

不滿足必要性，貝『'｛q｝是等差數歹曠是"%=11%"的充分不必要條件.

故選：A

3.（2024?河北衡水?三模）已知數列｛q｝，｛〃｝均為等差數列，其前〃項和分別為邑，Tn,滿足

47+火+4Q

（2〃+3電=（3〃-1）7；,則J9=（）

A.2B.3C.5D.6

【答案】A

【分析】根據題意，利用得出數列的性質和得出數列的求和公式，準確計算，即可求解.

【詳解】因為數列｛%｝,｛〃｝均為等差數列，可得為+%+〃9=3〃8=315%=1幾，

且―+九，又由幾=巴口，可得”狐='.

5515

%+4+為3%34

因此=—X—=2.

2q23

故選：A.

技法03等比數列前〃項和的解題技巧

?敦型解篌

等比數列前n項和的性質是等比數列的重點知識，也是新高考的重要考點，常在小題中進行考查，需

熟悉知識點強化復習.

里^裁破

等比數列前n項和的性質

（1）Sk,S2k-Sk,S3k-S2k……仍成等比數列

m

⑵Sm+n=Sm+q-Sn

裁彼運用

（2023?全國甲卷?高考真題）記S”為等比數列｛%｝的前展項和.若8s6=7$3,則｛%｝的公比

為______

思路詳解：

!3

【詳解1］令邑=8,則其=7,由5~=5?,+/&得，S3+3=S3+q-S3,即7=8+8/,解得q=-（

【詳解2】若4=1，

則由8s6=7$3得8-6%=7.3%,貝14=。，不合題意.

所以#1.

當#1時，因為8s6=7$3,

所以8平（j6）=7."j3）

1-q1-q

即8。一夕6）=7.（1一/）,即8.（1+/）（1一/）=7.（1一43）,即+

解得4=

故答案為：

,支式1.（2023?新課標回卷?高考真題）記S〃為等比數列｛2｝的前〃項和，若邑—5,S6=2電，貝應=

（）.

A.120B.85C.-85D.-120

思路詳解：【詳解】方法一：設等比數列｛。“｝的公比為4,首項為卬，

若4=-1,則$4=0~5,與題意不符，所以#-1；

若4=1,則Sf=66=3x2q=3s2w0,與題意不符，所以4工1;

由邑=一5,臬=21邑可得，“1一力=一5,%（j6）=21J0①①,

\-q1-q1-q

由①可得，1+才+/=21,解得：/=4,

所以工=4,一"））X（1+/）=_5X（1+16）=—85.

故選：C.

方法二：設等比數列｛%｝的公比為4,

因為S&=-5,S6=21S2,所以qwT,否則邑=。，

從而，邑,$4-邑，凡-S4，S「S6成等比數列，

205

所以有，（-5-S2）=S2（21S,+5）,解得：$2=-!或Sz="

當$2=—1時，82,84—Sz,Se—S仃Sg—Se,即為—1,—4,—16,Sg+21,

易知,S8+21=-64,gpS8=-85;

當S2=1時，S4=4+〃2+。3+。4=（。1+。2乂1+夕2）=（1+夕2）32>0，

與$4=-5矛盾，舍去.

故選：C.

）支式2.（2024?上海閔行?三模）設S,是等比數列｛4｝的前〃項和，若Ss=4,%+%+必=8,則

航2_

s《一---------------,

思路詳解：【詳解】由題意得1-$3=8,56=53+8=4+8=12,

因為S6-53,S9-S6,S12-S9,成等比數列,

故2盧即82=4（59—12）,解得Sg=28,

貝"9T=28-12=16,所以162=8（幾一28）,兀=60,故曲邛=5.

12

、6

故答案為：5

1.（2024?江蘇?三模）設等比數列｛叫的前〃項和為S“,%+”6=16,S6=21，則&=（）

A.1B.4C.8D.25

【答案】A

【分析】利用等比數列的性質建立方程求解即可.

【詳解】因為臬=21,%+%=16,所以$4=21-16=5,

因為｛4｝是等比數列，所以邑，S,-8,凡-邑成等比數列,

所以（5-S2）2=S2（21-5）,解得邑=1或邑=25（舍，若成立則不滿足上面三項成等比數列），故A正確.

故選：A.

2.（2024?江蘇揚州?模擬預測）在正項等比數列｛風｝中，S“為其前〃項和，若S3。=7品,，S1O+S3O=8O,

則邑。的值為（）

A.10B.20C.30D.40

【答案】C

【分析】由等比數列片段和依然成等比數列，結合等比中項的性質即可列式求解.

【詳解】設正項等比數列｛。“｝的公比為4,

則小，邑「幾，$一邑。是首項為幾，公比為d°的等比數列，

若S3。=7%,S1O+S3O=8O,貝1]%=1。區。=7。，

所以（S20-10）2=10S30=10（70-S20）＞0,即S；o-10S20-600=0,

解得52。=30或52。=-2。（舍去）.

故選：C.

3.（2024,湖北襄陽?模擬預測）已知等比數列｛4｝的前“項和為S,，若$8+524=140,且邑4=13&，貝=

（）

A.40B.-30C.30D.-30或40

【答案】A

【分析】根據等比數列的性質可知片段和成等比數列，求出片段和等比數列公比即可得解.

【詳解】因為Sg+$24=140,且%=13%

所以S8=10,$24=130,故qw±l,

所以9=1^=.8）2+/+1=13,即（/y+q8_]2=0,解得不=3或d=_4（舍去）,

1—q

由等比數列性質可知，$8，岳6-58，邑4-耳6成等比數列，公比為=3

所以%-10=10x/=30,解得&=40,

故選：A

技法04數列中最值問題的解題技巧

型駁型解篌

數列中的最值是高考熱點，常見題型有求數列的最大項或最小項、與S,有關的最值、求解滿足特定條

件的數列中”的最大值或最小值、求解滿足條件的參數的最大值或最小值、解決實際問題中的最值問題以

及新定義題型中的最值問題等。

1.解決數列的單調性問題可用以下三種方法:

①用作差比較法，根據4+1-4的符號判斷數列｛%｝是遞增數列、遞減數列還是常數列.

②用作商比較法根據也（例>0或<0）與1的大小關系進行判斷

an

③結合相應函數的圖象直觀判斷.

a>a.,[a?<。“口,

2.若"Mn+1則/最大，若"用則巴最小

U2T，口〈4.1，

，，

3.求等差數列前〃項和的最值，常用的方法：①利用等差數列的單調性求出其正負轉折項，或者利用性質

求其正負轉折項，便可求得和的最值

4.利用等差數列的前幾項和為常數）為二次函數，通過二次函數的性質求最值另外，對

于非等差數列常利用函數的單調性來求其通項或前n項和的最值，

5.已知等差數列｛a,J的公差為d,前〃項和為S“，

①若d〉0,S.有最小值,若為>0,4M〉0,則S左最小，若4=0,則最小；

②若d〉0,S"有最大值,若%>0,4+i〉0,則S化最大，若q=0則I」1最大

教彼運用

>哀創（2024?遼寧葫蘆島?二模）等差數列｛q｝中，q>0,$7=品，則使得前〃項的和最大的〃值為

A.7B.8C.9D.10

思路詳解：在等差數列｛《,｝中，?1>0,由邑=$9,可得%+%=。，

.?.a8>0,%<0,且數列｛。,｝為遞減數列，所以使得前w項的和最大的〃值為8.故選：B.

支式1.（2024?遼寧大連?一模）數列｛%｝中，4=5,g=9,若數列｛q+叫是等差數列，則｛%｝最

大項為（）

45

A.3B.3或4C.一D.11

4

思路詳解：若數列｛%+/｝是等差數列，則數列的首項為％=6,公差為（在+22）-M+/）=7,

所以+〃2=6+（〃-1）x7=7〃一1,貝+7n-l,

所以。〃+1~an=[-（〃+1）+7（〃+1）-1]一（-12+7〃-1）=—2M+6,

則當“=1,2,3時，a?+1-a?>0,則%=%>%>%；

當〃24時，a?+l-an<Q,故此時數列｛a“｝單調遞減，則%>%>牝>%>

綜上，｛%｝最大項為%=%=1L

故選：D.

）支式（2024?山西呂梁?三模）（多選）己知等差數列｛%｝的首項為4，公差為d,前〃項和為S”,

若S10<S8<59,則下列說法正確的是（）

A.當〃=8,S“最大

B.使得'VO成立的最小自然數〃=18

C.%+%||+%11

D.中最小項為1

[a?]%

=

a<S9S9—1="9〉°[—%—%—8d<0

思路詳解：根據題意:?

Ho<S9Sl0—S9=aw<0[a]。=q+9d<0

\CL>0

兩式相加，解得：八04>。嗎。<0'當〃=9時’s,最大，故A錯誤

由S[0<Sg,可彳導至1]%+。10<。%,所以4+%<°,

々io+/i一（4+為）=4dVO,。1。+Q”+/+〃9V。，

所以|/十%|v|%o+qi],故C錯誤；

由以上可得：ai>a2>ai3>>a9>0>al0>,

17（〃i+4i7）.18fa+a,A/、

S17=---------=17〃9>0,而Si8=-----------------------=9（%+〃io）<0，

當〃<17時，S〃〉0；當18時，5n<0；

所以使得S〃<。成立的最小自然數〃=18,故B正確.

Ss

當〃W9,或時，-^>°；當9v〃vl8時，一^<°；

44

由0〉。10>[1>>tz17,S10>Sn>S12>>S17>0,

所以中最小項為故D正確.

[a?\?io

故選：BD.

,支式3.（2024,湖北?二模）（多選）無窮等比數列｛%｝的首項為公比為“，下列條件能使｛%｝既有

最大值，又有最小值的有（）

A.q>0,0<q<lB.。］>0,-1<^<0

C.%<0,q=-1D.。1<0,q<-l

思路詳解：4>0,0<<7<1時，等比數列｛。“｝單調遞減，故也｝只有最大值4,沒有最小值;

>0,-1<”0時，等比數列｛4｝為擺動數列，此時q為大值，電為最小值；

4<0,q=-L時，奇數項都相等且小于零，偶數項都相等且大于零，

所以等比數列｛%｝有最大值，也有最小值；

4<0,q<-l時，因為|司>1,所以｛4｝無最大值，奇數項為負無最小值，

偶數項為正無最大值.

故選：BC

心技法演煉

1.（2024?江西?二模）已知等差數列｛%｝與等比數列｛%｝的首項均為-1,且。2=初=1,則數列｛氏2｝（）

A.既有最大項又有最小項B.只有最大項沒有最小項

C.只有最小項沒有最大項D.沒有最大項也沒有最小項

【答案】A

【分析】由題意先求出｛4｝、｛〃｝的通項公式，進而求出｛見〃｝的通項公式，當“22時，顯然奇數項都是

負數，偶數項都是正數，構造數列（"22）,研究數列的增減性得出結論即可.

【詳解】設｛%｝的公差為d,也｝的公比為q,則/=T+d=l,d=2；

a11

4=姐=3，q=~~,所以4,=2〃_3,b,=-r_（T）"

82I2n-l

（T）'（2〃一3）

所以m=

2'i

當“22時，顯然奇數項都是負數，偶數項都是正數,

2n-3

設G=|4Al=(n>2),

2〃T

2n-l2n-35-2n

則c“+「g>山〃=2時，cn+1—cn>0,c?+i>c?；

2"2'T2"

當心3時,%＜。，g…n，即數列｛%｝從。2到。3遞增，從。3往后遞減,

所以｛%￡｝中，她最大；

又她=1,?4^4=?'

2o

又C3T73

C5—'即03b3<%々<%少7<<%.-1%“+1<0522),

lo4

所以是最小項.

故選：A.

2.（2024?山東濟南?二模）已知｛。,｝是各項均為正整數的遞增數列，｛%｝前〃項和為S"，若S"=2024,當"

取最大值時，〃〃的最大值為（）

A.63B.64C.71D.72

【答案】C

【分析】因為S.=2024是定值，要使當〃取最大值時。"也取得最大值，｛”“｝需滿足前m（加=〃-1）項是首相

為1,公差為1的等差數列，通過計算｛4｝的前63項和與S"=2024作比較，前64項和與S“=2024作比較即

可得出％的最大值.

【詳解】因為S"=2024是定值，要使當"取最大值時。,也取得最大值，｛4｝需滿足各項盡可能取到最小值,

又因為｛%｝是各項均為正整數的遞增數列，所以4=1，0=2,%=3，-，am=m,即｛%,｝是首相為1,公差

m(m+l)

為1的等差數列，其中m="-1；｛4｝的前機項和為7；=

2

63(63+1)

當m=63時，T==2016<2024；

632

64(64+1)

當機=64時，見==2080>2024；

2

又因為2024-2016=8<63,

所以”的最大值為63,此時q=l,4=2,4=3，-，a62=62,%取得最大值為/=63+8=71.

故選：C.

3.（2024?四川成都?模擬預測）（多選）已知等差數列｛%｝的前"項和為S”嗎>0,且$3=工6,則下列說

法正確的是（）

A.當〃=9或10時，S,取得最大值B.品>。

C.S“<0成立的"的最大值為20D.a9an<0

【答案】AD

【分析】根據題意結合等差數列性質分析%的符號性，結合%的符號性以及S"的性質逐項分析判斷.

【詳解】因為邑=5]6，則。4+生+…+。16=°，

且數列｛%｝為等差數列，則為+/=%+%=…=？為）,

可得13。]0=0,即°]0=0,

又因為4>0,可知：當“W9時，a?>0；當“Nil時，an<0.

對于選項A：由％o=O可知Sg=幾，所以當〃=9或10時，S,取得最大值，故A正確；

對于選項B：因為49=19%。=0,故B錯誤；

對于選項C：由。"的符號性可知：①當〃<9時，｛，｝單調遞增，則S,>S[=q>0；

②當“210時，｛S,,｝單調遞減；

且S[9=0,可知：當〃418時，S“>0；當”220時，S“<0；

所以S"<0成立的”的最小值為20,故C錯誤；

對于選項D：因為%>。，41<。，所以為%<0，故D正確；

故選：AD.

4.（2024?廣東?模擬預測）（多選）已知等差數列｛4｝的首項為q,公差為d,前〃項和為S“，若%<%<邑4，

則下列說法正確的是（）

A.當〃=24,5.最大

B.使得S〃<0成立的最小自然數〃=48

C?|%3+%41>|〃25+%61

D.中最小項為皇

a

[,i]"25

【答案】ABD

【分析】根據條件，結合等差數列的性質，可得。24+。25<0，的4>。，々5<0，由此可判斷ABC的真假;

再由“V24和心48時，口>0,25<?<470t，-<0,再結合{%},{S“}的單調性可判斷D的真假.

%an

【詳解】因為S25Vs23，所以$25—S23=。24+。25，

由$23<§24，所以54—$23="24>。，所以出5<。，

所以d=%5—。24<0.

所以，當九=24時，S“最大，故A正確；

由S_47(%+/7)_47x244_47〃>QS=46(4i+。48)_47+%5)<0

2448-

47-2-2一—'2-2'

所以使得5〃<。成立的最小自然數〃=48,故B正確；

a

由43>%4>°>。25>。26，且23+%4+。25+%6=2(44+〃25)<0，

所以％3+%4V—”25—"26=|。25^261，即|%3+%41V|。25^261，故C錯1^；

因為當“<24時，a?>0,Sn>0,所以｝>0；

Un

當“248時，a?<0,Sn<Q,所以支>0；

an

當254〃<47時，。〃<。，S〃>。，所以二"〈O.

an

S

且0>。25>。26>>。47，25>$26>>S47>。，

所以1y4中最小項為9組，故D正確.

a

[n)“25

故選：ABD.

技法05構造常數列求通項的解題技巧

?強型解篌

數列的遞推關系呈現出多種多樣的形式，求解數列通項的方法也各具特色，但求解通項的核心思想始

終如一，即轉化和化歸。依據數列遞推關系的特征，我們可以合理轉化為常數列，即可快速求解。

構造常數列的題在近年模擬題中越來越多，也是考向標的一種風向，能替代部分累加累乘，能做到快

速求解.

非零常數數列既是公比為1的等比數列也是公差為零的等差數列。在數列｛4｝中，若對任意的正整數〃

都有4+1=%,則數列｛4｝為常數數列，其通項公式為4=%。在求某些遞推數列的通項公式時，若能

構造出一個新的常數數列，便能簡捷地求出通項公式。

裁飯運用

＞哀創數列｛叫的前〃項和為s“，且滿足4=1,2S,,=W%(〃CN*).求數列｛4｝的通項公式

思路詳解：由2邑="+1，得當心2時，2S?_1=(n-l)a?,兩式相減得：(n+l)a?=mn+1,

從而缶=?，即數列〔今1是常數列，因此?=；=1，所以數列｛見｝的通項公式是乙=〃?

'支式1.已知數列｛。“｝滿足：4=；,%+[=:%，求數列｛。〃｝的通項公式；

思路詳解：

【詳解I]由%+]=--4得(〃+2)%+1=〃兩邊都乘以5+1),

n+2

得(H+2)("+1)4+1=("+V)nan,

由此知數列｛(〃+1)〃。“｝是常數數列，又4

11

所以("+1)"%=21al=萬，所以一""=2〃(”+1)

a21a32a43%_4。〃+1=R

【詳解2】由題意:

ax3'%4'%5'46an〃+2

%a.21234n2

2-x^-xxx—x—x—xx

an+2(幾+1)(〃+2)

axa2a3a4n3456

""I=--------------,<2.=tzX-----------=-------------

%++〃+(〃+1)(〃+2)2(〃+1)(〃+2)

11

“"五E’將〃=i代入上式也成立,???。”二五口可

◎技法演煉

1.若數列｛%｝滿足q=:，4,+1=上史。"，則巴

2n

【答案】3

。7〃+11

【分析】由已知得3=——，4=：，由此利用累乘法能求出。加

a?n2

【詳解】數列｛加｝滿足。用=與〃+巳]氏，0。—”上1=〃——+1

nann

a?n,

El---=-----,(?>2),

%T〃-l

anan_xan_2a2nn-1n-221

^\an=---------------?-----a\----7--------7?…

a?-i*4-3?1?-1n-2n-312

=|(?>2),又”=1時也滿足;

故答案為歹.

【點睛】本題考查數列的通項公式的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意累乘法的合理運用.

2.已知數列｛%｝,4=1且(〃+2)%+]=(〃+1)%,則｛%｝的通項公式%=

2

【答案】

n+\

【分析】由遞推關系可得｛("+1)凡｝為常數列，從而可求解.

【詳解】因為(〃+2)%+]=(?+1)??,

所以數列｛(九+1”“｝為常數列，所以(〃+l)%=2q=2,即%=弓]

2

故答案為:.

n+1

3.設數列｛。“｝滿足％=1,且1=g(〃+2)a“，求知。

【詳解】當時，an=Sn-Sn_1=|(?+2)a?"|(?+-

即(〃—1)4+1=5+1)4,兩邊都除以5—1)"5+1),

得,史,由此知數列I4\是常數數列，

川（〃+1）(n-l)n［n(n+l)

aa,11

貝1）；^=百=5,所以％=5"（"+1）。

技法06數列周期性的應用及解題技巧

?篌

數列可以被視為一種特殊的函數。正如函數可能表現出周期性一樣，數列同樣可能展現出周期性的特

征。在數列問題中，周期現象是常見的，許多學生對此感到困惑，仿佛是難以捉摸的謎題。然而，實際上，

解決周期性數列問題是有規律的.本題型也是高考的重點，需重點掌握

對于無窮數列｛與｝,如果存在一個正整數T,對于任意正整數九恒有4=4+7成立，則稱｛4｝是周期

為T的周期數列。T的最小值稱為最小正周期，簡稱周期

技彼運用

(2023?全國乙卷?高考真題)已知等差數列｛叫的公差為g,集合s=｛cosa?\neN*｝,若S=｛a,b｝,

則而=()

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