2025屆高考數學一輪復習專題訓練空間直線、平面的垂直

一、選擇題

1.在正方體A3CD—中，P，。分別為5C，4片的中點，則異面直線PQ與4G所成角

的正弦值為（）

A.20B.lC.逅D.B

3333

2.如圖所示，四棱錐p一ABCD中,PAJ_平面ABC。，且四邊形ABCD為矩形,叢=AD=2AB=2"

D.1

2

3.若平面a，平面p,且m’（3=1,則下列命題中正確的個數是（）.

（1）平面c內的直線必垂直于平面/3內的任意一條直線.

（2）平面a內的已知直線必垂直于平面/3內的無數條直線.

（3）平面?內的任一條直線必垂直于平面（3.

（4）過平面?內任意一點作交線/的垂線，則此垂線必垂直于平面P.

A.3B.2C.lD.0

4.已知直線a,/?與平面a，（3,y,能使。_L/?的充分條件是（）.

A.B.aC0=a，bA_a,bu0

C.allp,allaD.alia,aI(3

5.已知e,，是兩個不同的平面，羽為平面。內的一條直線，則“。”是m_1尸的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.如圖，在棱長為2的正方體ABC。—44GR中，加為AD的中點，則異面直線31c與已“所

成角的余弦值為（）

且

C正D.

510

7.在正方體ABC。—中，棱的中點分別為&F,則直線E戶與平面A544所成角

的正弦值為（）

ABC2yD

v~er~6~

8.在棱長為2的正方體ABCD—44GR中，E是GC的中點，則直線BE與平面48。所

成角的余弦值為（）

A26BC20D

5",亍r.亍

二、多項選擇題

9.已知E,尸分別是三棱錐尸—ABC的棱B4，的中點，且PC=6，AB=8?若異面直線PC

與A3所成角的大小為60。，則線段.的長可能為（）

A-V7B.舊C.5D.國

10.在正方體ABC?！惺瘡S分別為ABI。中點，則（）

A.EP//平面D41G

B.DB[±平面D.EF

c.D[E與平面BB}D}D成角正弦值為正

6

D.平面DEF與平面ADD{\成角余弦值為2后

17

11.如圖，直角梯形ABCD中,為AB中點，以?！隇檎?/p>

2

痕把△ADE折起，使點A到達點尸的位置，且「。=26一則下列說法正確的有()

A.。。，平面EDP

B.四棱錐P-EBCD外接球的體積為4G兀

C.二面角尸—CD—B的大小為巴

4

D.pc與平面EDP所成角的正切值為J5

三、填空題

12.若直線/的方向向量與平面a的法向量的夾角等于120。，則直線/與平面a所成角的大小為

13.過△A5C所在平面a外一點尸，作PO_LiZ,垂足為。，連接力，PB,PC.

⑴若PA=PB=PC,則點。是△ABC的心.

⑵若PA=PB=PC,ZC=90°,則點。是AB邊的點.

(3)若尸5,PBLPC,PC±PA,垂足都為P,則點。是△ABC的心.

14.已知直線°,6和平面a,且a_LZ?,a-La,則6與e的位置關系是.

四、解答題

15.如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面從DJ_平面ABCD，PA1,PD，PA=PD，

ABLAD，AB=1，A￡)=2，AC=C￡>=

p

⑴求證：PD_L平面pAB；

(2)求直線pg與平面PCD所成角的正弦值；

⑶在棱以上是否存在點使得6M//平面PC。？若存在，求耳的值；若不存在，

說明理由.

16.如圖，在三棱錐O—ABC中，OA,OB,0c兩兩垂直，OA=OC=3,06=2.求直線。8與

平面ABC所成角的正弦值.

17.在平行六面體ABC。—4耳￡。|中，AB=AC'平面84cle，底面ABCD，點M是線段441

的中點，點尸是線段的中點.

(1)求證：Af?/平面MBG；

(2)求證：AF1DDl.

18.如圖，在三棱錐ABC—A4G中,/B4C=90°,A5=AC=2，AA=4,A,在底面ABC的射影為

8C的中點Q為A。的中點.

C,

(1)證明：a。，平面ABC；

(2)求直線AyB和平面5片?！晁傻慕堑恼抑?

19.已知A,B兩點在平面?的同側，且它們與a的距離相等，求證：直線

參考答案

I.答案：C

解析：取AB中點M，連接QAf，MP，AC'設正方體的棱長為2,

由于尸分別為AB，的中點，則MP//AC

又在正方體中，由于AC〃4C],因此可得故NQP”或其補角即為異面直線PQ與A。

所成角，

因為QM〃A4j，所以QM_L平面ABC。，MPu平面ABC。，故

在直角三角形QMP中，

A/6

sinZQPM=^—

QP

故選:C

2.答案：B

解析：如圖，過點。作ZW_LCM于點N,

因為QA平面ABC2CDu平面48C2所以Q4_LCD，

又四邊形A8CZ)為矩形,AD_LCD，QAAD=A，Q4,ADU平面AM。，

所以CD_L平面AWQ,因為A/y/u平面A/。，所以CD_LAAf,

在△EW中,m=仞=2，n為尸。的中點，所以AA/LPD且DM==PD=B

2

又PDCD=DPD,CDu平面COM,所以_L平面CDM,

因為AMu平面ACM,所以平面CDM_L平面ACM，

因為平面COM平面

所以￡)NJ_平面ACM，所以C。與平面ACM所成的角為NDCM-

因為CD，平面AMD，DMu平面AMD，所以CD_LDM，

在RtACDM中,cos/DCM=0=，==—.

CMNCD、DM?3

故選:B.

3.答案：B

解析：①平面e內取與/平行的直線，不垂直于平面13,故①錯誤；

②當平面e內取平行于交線的直線時，該直線與平面/3平行，故②錯誤；

③取平面/3內無數條與交線垂直的直線，平面?內的已知直線與這無數條直線垂直，故③正確;

④若?內的任意一點取在交線I上，所作垂線可能不在平面?內，所以不一定垂直于平面13,

故④錯誤.

故選：B.

4.答案：D

解析：A；a,(3相交但不垂直時，也有tz_L7,/?±7,故不成立.

B：不能確定。，故不能得到故錯誤.

C：平行于同一條直線的兩個平面有可能平行，也有可能相交，也有可能不垂直，故錯誤.

D：因為?！?，所以存在直線Z?〃a,bua,又cr_L，，所以所以o_L，，故正確.

故選：D.

5.答案：B

解析：當。J_，時，平面a內的直線機不一定和平面P垂直，但當直線，"垂直于平面!3時，根

據面面垂直的判定定理，知兩個平面一定垂直，故是“ml/3”的必要不充分條件.

6.答案：A

取4A的中點N，連接MNRN，

則MNIADIIB'C，

則ZD.MN為異面直線所成的角或其補角,

易求MN=/i,D]M=D[N=后,

2+5-5_1yflO

cosND[MN=

2聲義百屈一10

故選：A

7.答案：B

解析：連接￡B，在正方體ABCD—A4G。]中,30,平面A344,棱的中點為區

則BE_L平面ABB14，而斯u平面ABB[4，故5石_L5尸，

則ZEFB即為直線EF與平面ABB14所成角，

設正方體棱長為2,則BE=1,BF=尸+BF=JE=6,

則EF={BF、BE2=屈'故sin/EFB=^=、=￡~.

EFV66

8.答案：D

解析：以。為坐標原點，加為x軸，℃為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系,

則D(0,0,0),5(2,2,0),4(2,2,2),￡(0,2,1),

BD=(-2,-2,0)，BB]=(0,0,2)-BE=(-2,0,1)，

n-BD--2x-2y=0

設平面用8。的法向量為〃=(x,y,z)，則＜

n-BB】=2z=0

令y=l,得％=一1，z=0，所以〃=(-1,1,0)，

/一\BEr\A/7n

故cos(3E,〃)=一^=—,設直線BE與平面所成角為°,

'/BE\\n\5

則sin0=，所以cos0-Vl-sin20=?

55

故選：D

9.答案：BD

解析：如圖，取AC的中點”,連接EH,切,

因為瓦尸分別為必，的中點,FC=6,AB=8,

所以AB//HF,HEIIPC,HF=4,HE=3,

所以異面直線PC與AB所成的角即為/瓦田(或其補角),

所以ZEHF=60°或ZEHF=120°.

Hp2+HF2-FF29+—,解

當/EHF=60°時，根據余弦定理的推論得cosNEHF=----------------------

2HEHF

得EF=屈;

HF2+HF2-FF29+16-EF2_1

當ZEHF=120°時，根據余弦定理的推論得cosNEHF=----------------------

2HEHF24--2

解得EF=病.

故選BD.

10.答案：ACD

解析：令正方體棱長為2,構建如下圖示的空間直角坐標系,

則E(l,0,0),F(2,l,0),C(2,2,0),￡>(0,2,0),A(0,0,2),Bl(2,0,2),￡(2,2,2),Dl(0,2,2)

所以=(0,—2,2)，AG=(2,2,0)，若面DA,G一■個法向量為冽=(x,y,z)，

則<，取y=L則加=(-1,1,1)，而女'=(1,1,0)，

46.加=2x+2y=0

所以EF?m=0，即J_加漢跖?面041G，故EFU平面DA^,A對；

DXE=(1,—2,—2)，所=(1』,0)，若面，EF一個法向量為n=(a,b,c)，

n.[D.E-n=a-2b-2c=0?n,工____.

則1，取a=2,則〃=(2,—2,3)，而=(2,—2,2)，

EF-n=a+b=0

所以不存在九eR使DBXWAn，故DBl±平面DXEF不成立,B錯；

由正方體性質知：55]，面ABCD,ACu面貝IBBX±AC,又BgAC，

BB[BD=B,BB「BDu面BBRD，則AC上面BBRD,

所以AC=(2,2,0)是面33QQ的一個法向量,〃石=(1,—2,-2)，

AC?RE

則*與平面BBRD成角正弦值為cosAC,D.E|=|__2__也,C對;

,。憐同272x36

由/=(1,0,0)是面ADD^的一個法向量,〃=(2,-2,3)是面D}EF的一個法向量,

2=MI,D對.

平面D]EP與平面A。。4成角余弦值為cos?,/1=|=———

\n\\l\lxV1717

故選：ACD.

11.答案：ABC

解析：對于選項A：因為E為A3中點，由題意可得：BE=CD，BE"CD，

所以四邊形EBCD為平行四邊形，

且則四邊形矩形，所以CD!_￡>￡，

因為PD=AD=yf^￥=2&，CD=2，PC=26，

可知尸￡)2+c￡)2=2。2,即8，電)，

且尸。OE=￡>，「￡)，￡>￡U平面EDP，

所以CDJ_平面EDP，故A正確；

對于選項B：因為BCHDEABAE^DE^PE^DE>

又因為CD_L平面EDP，PEu平面EDP，所以CD_LPE，

且CDDE=D，CD，DEu平面EBCD，可得PE工平面EBCD；

可知矩形EBCD的外接圓半徑r=-x@+22=V2，

2

則四棱錐尸—EBCD的外接球半徑R==J2+1=y/3

所以四棱錐P—EBCD外接球的體積4后，故B正確；

3

對于選項C：因為coJ■平面EDPPDu平面EDP，則PDLCD；

又因為￡)￡_LC。，可知二面角尸—CD—B的平面角為NPDE，

jr

因為QE，DE，PE=r)E=24iJNPOE=-，

-4

所以二面角p—CD—B的大小為巴，故C正確;

對于選項D：因為CDJ_平面EDP，所以NCPD即為直線PC與平面瓦)尸所成角,

又因為CDLPD，PD=26，CD=2,

可得tan/CP。=8=」==—，

PD2722

所以直線2°與平面團p所成角的正切值為正，故D錯誤.

2

故選：ABC.

12.答案:30°/-

6

解析：因為直線/的方向向量與平面a的法向量的夾角等于120°，

所以直線I所在直線與法向量所在直線夾角為60。，

所以直線/與平面a所成角的大小為90?！?0°=30°?

故答案為：30。

13.答案：(1)外心

(2)中點

(3)垂心

解析：(1)如圖，因為PO_Le,

所以POJ.AO,POLBO,

故NPO4=NPOB=90°,

又PA=PB,PO=PO,

所以△PQ4g△POfi,

故可得Q4=O5,

同理可得：OA^OC,

所以點。是△ABC的外心；

(2)由(1)可得點。是△A5C的外心，

又因為NC=90。，

根據在直角三角形中，斜邊的中線是斜邊的一半，

得到點。為斜邊的中點，

即為A8邊的中點；

(3)因為PBLPC,且PC=P,

PA,PC<=平面PAC,

所以。6，平面PAC,

所以

因為,

所以POJ.AC,

又PBPO=P,

PB,POu平面PBO,

所以ACJ_平面PBO,

所以50J.AC,

同理可得：COLAB,AOLBC,

故，點。是△ABC的垂心.

14.答案：bua或blla

解析：當bua時，a±a,則a_L/?,當ZV/o:時，aLa,則a_LZ?；

故當a_L/?,a_La時，有bua或blla.

故答案為：bua或blla.

15.答案：(1)證明見解析；

⑵在；

3

⑶存在，^L=L

AP4

解析：(1)因為平面上401.平面

所以AB，平面以。，

所以ABLPD，

又因為B4_LPD，

所以PDL平面以3

(2)4。的中點0,連結PO,CO

因為Q4=PD，所以POLAD.

又因為尸Ou平面心。,平面上M>_L平面ABCD

所以PO_L平面ABCD

因為COu平面ABCD,

所以POLCO

因為AC=CD,所以COJLAD.

如圖建立空間直角坐標系O-孫z,由題意得,

A(O,1*O),B(l,l,0),C(2,0,0),0(0,-1,0),P(0,0,l)

設平面PCD的法向量為〃=（羽Hz）,

則$卜如=°即已—2：；，

n-PC=0[2x-z=0,

令z=2,則x=l,y=-2.

所以八=（1,一2,2）

又PB=（1,1,-1）,

所以cos<n,PB>=-----------=-------.

\n\\PB\3

所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為B.

3

⑶設”是棱必上一點，則存在2G[0』使得AM=AAP

因止匕點M（0,l—九九）,詢=（—1,一

因為平面PCD,

所以BM7/平面PCD當且僅當BMn=0,

即（―L—2,2）=0,解得

所以在棱以上存在點M使得〃平面PCD,此時要=；

AP4

“?3717

16.答案：——

17

解析：構建以。為原點，OB,0C,Q4為x、y、z軸的正方向的空間直角坐標系，如圖所示,

A(0,0,3),5(2,0,0),C(0,3,0),則AB=(2,0,-3),AC=(0,3,—3),OB=(2,0,0),

ABm=2x-3z=0

若帆=(x,y,z)是平面ABC的一個法向量，則v

ACm=3y-3z=0

令y=l,則機=[m，1,11,

OBm33^7

coslOB,m

\OB\\m\2"一17

2

故直線OB與平面ABC所成角的正弦值為之叵.

17

17.答案：(1)見解析；

(2)見解析

解析：(1)取BQ的中點G