2025屆高考數學二輪復習專題訓練空間幾何體

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，務必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規定的位置上。

答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦

2.擦干凈后，再選涂其它答案標號。

3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.

1.如圖，一個圓臺形狀的杯子的杯底厚度為1cm,杯內的底部半徑為3cm,當杯子盛滿水時，杯子

上端的水面直徑為12cm,且杯子的容積為2527151?,則該杯子的高度為（）

A.12cmB.13cmC.14cmD.15cm

2.若A3CD-AgG。為正方體，則異面直線BQ與CD1所成角的大小為（）

兀兀一兀兀

A.—B.—C.—D.—

3428

3.三棱錐p—ABC的體積為18/，△ABC和△尸都是等邊三角形，ZPBA=ZPCA^90^

則三棱錐P—ABC的外接球的表面積為（）

436兀B.54兀C,7271D.1O871

4.兩個邊長為4的正三角形△ABC與△A8D,沿公共邊A5折疊成60。的二面角，若點A,B,C,

。在同一球O的球面上，則球。的表面積為（）

80兀-208兀〃64兀112K

A.------B.--------C.------D.-------

5.如圖，正方體A3CD-A耳的棱長為2,AD的中點為E,則下列說法不正確的是（）

Q

TT四面體的體積是

A.直線D}C和BC］所成的角為:B.BDG41

4J3D.Q到直線BE的距離為半

C.點&到平面BEC1的距離為上

6.在棱長為6的正方體ABCD—A4G2中，AE=2E^>CF=2FQ>過點8，E,E的平面

截該正方體所得截面的周長為（）

A-4V13+3V2B-6713+372C.4g+80D-6A/13+8A/2

7.在多面體ABC-DEF中，已知ADHBEHCF，且它們兩兩之間的距離為4.若

4￡>=2,5石=4，。?=6，則該多面體的體積為（）

A*B.8用16°苧D.24g_16

8.如圖，在三棱柱43。一4四。］中，CG，平面ABC」AB=BC=CA=2，Cq=J，，則三棱柱

ABC—的體積為（）

C-2aD-3亞

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選

項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0

分.

9.如圖，在直三棱柱A5C—4用￡中，AC=BC=1,A4=2,。是棱AA】的中點，DC,1BD,

點E在BB］上,且3用=4BE,則下列結論正確的是（）

A.直線DC】與BC所成角為90。

B.三棱錐。―3CG的體積為:

D.直三棱柱ABC-4月￡外接球的表面積為6兀

10.已知正四棱臺ABCD-A4GA（上下底面都是正方形的四棱臺）下底面A8CO邊長為2,上

底面邊長為1,側棱長為正,貝）

A.它的表面積為5+3小

B.它的外接球的表面積為還兀

3

C.側棱與下底面所成的角為60。

D.它的體積比棱長為正的正方體的體積大

11.如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中，下列命題正確的是（）

A.AM//BNB.BFLDN

CCE=MED.AM與DF是異面直線

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知正四棱臺上底面邊長為夜，下底面邊長為2夜，側棱與底面所成角為45。，則該正四棱臺

的體積為.

13.中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但

南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多

邊形圍成的多面體.半正多面體體現了數學的對稱美.圖2是一個棱數為48的半正多面體，它的所有頂

點都在同一個正方體的表面上,且此正方體的棱長為1.則該半正多面體的棱長為.

圖1圖2

14.設地球的半徑為R,若A在北緯30。的緯線圖上，則此緯線圈構成的小圓面積為.

（結果用R表示）

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.設拋物線C：/=2py（p>0），過點Af（0,4）的直線與C交于A,B兩點，且QA±05-若拋物線C

的焦點為￡記△A05，AAOF的面積分別為S.A0B,S.AOF.

(1)求S^AOB+2sAAOF的取小值，

(2)設點D(LT卜直線AD與拋物線C的另一交點為瓦求證:直線BE過定點?

(3)我國古代南北朝數學家祖曬所提出的祖曬原理是“事勢既同，則積不容異"，即:夾在兩個平行平面

間的兩個幾何體被平行于這兩個平面的任意平面所截,如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個

幾何體的體積相等.當△A05為等腰直角三角形時，記線段A3與拋物線圍成的封閉圖形為①，。

繞y軸旋轉半周形成的曲面所圍成的幾何體為Q.試用祖桓原理的數學思想求出Q的體積.

16.如圖，在四棱錐P—ABCD中，上4,底面ABC。，BC//AD,ABLBC,PA=AB=s/2,

AD=2BC=2,/是的中點.

P

(1)求證：CM〃平面E4B；

(2)求三棱錐P-ACM的體積；

⑶求二面角"—AC—D的余弦值.

17.己知一個等邊三角形的邊長為°,這個等邊三角形繞其一邊所在的直線旋轉一周，求所得旋轉體

的表面積和體積.

18.有一個正四棱臺形狀的油槽，最多裝油190L,已知它的兩底面邊長分別為60cm和40cm,

求它的深度.

19.過正四棱臺各側棱中點的截面稱為正四棱臺的中截面.若正四棱臺的兩底面邊長分別為3和5,求

它的中截面的面積.

參考答案

1.答案：B

解析：當杯子盛滿水時，該杯子中水的高度為〃cm,

則杯子的容積為1/i(32+3x6+6?)=21兀丸=252兀，

可得力=12,

所以該杯子的高度為12+1=13cm.

故選：B

2.答案：A

解析：連接AC,如下圖:

易知BG”AD\,所以NARC為異面直線BO1與CD］所成的角(或其補角)，

TT

易知△AC。1為等邊三角形，所以=

13

故選：A.

3.答案：C

解析：

P

B

取AP的中點O,因為NPB4=ZPC4=90°，連接08,0C>所以O3=OC=^AP=OA=OP，

2

O三棱錐p-ABC的外接球的球心，

因為△ABC和△PBC都是等邊三角形，設BC=AB=AC=PB=PC=t，

因為06LAP，OCX.AP^03noe=O，OB,OCu平面OB。,

所以AP，平面OBC，

所以AP=0廣OB=OC=縣，BC=t>OB2+OC--BC21所以△OfiC是直角三角形;

2

又因為％ABC=上義S^OBCXAP=上義L義顯t義昱txjit=18近,

r-ADC3ZAC/DC3222

所以/=6，。3=克/=3后，所以外接球的表面積為5=4兀0§2=72兀?

2

故選：C.

4.答案：B

解析：取A5的中點E,連接CE,DE

因為正三角形△ABC與△A3。的邊長為4,

所以。CAB,CE1AB,

且。E=CE=26，

故NCED為二面角D—A5—C的平面角，ZCED=60°,

所以△(?￡)￡是等邊三角形，

取CE的中點F,連接。/，則￡CE,CF=6,DF=^CF=3,

因為。ELAB,CE±AB,DE^CE=E,

DE,CEu平面CDE,

所以AB,平面CDE,

因為。尸u平面CDE,所以D尸，A3,

因為ABCCE=E,AB,CEu平面ABC,

所以小，平面ABC,

取△ABC的中心G,則點G在CE上，

24J3

且CG=2EG,故CG=—CE=^^,

33

則球心。在G點正上方，連接。O,OG,OC

過點。作OKLDE于點K,

則OK=GF=^—6=B,

33

設GO=/i,DO=CO=R,則GO=bK=/z,

i,

由勾股定理得。。2=OK?+OK2=§+(3—無y,

OC-=GO2+CG2=h2+

192

故§+（3W解得/?=一,

3

故外接球半徑R2=52

~9

故球0的表面積為4nR-=3皿

9

故選：B

5.答案：C

解析：建立如圖所示空間直角坐標系。盯z,

則。（0,0,0）,5（2,2,0）,C（0,2,0）,

A（0,0,2）,A（2,0,2）,4（222）,G（0,2,2）,￡（1,0,0）

對于A,B?C=（0,2,-2）,5G=（—2,0,2）

,—?—?-41

故cos<C,BQ>=—-----尸——,

2V2x2V22

----------?27r

故v℃5G>=可，

TT

即直線AC和BC]所成的角為三，故A正確；

對于B,易得四面體BOCA為正四面體，

][8

則=%BCD-AB1Goi=8-4x—x—x2x2x2=—,故B正確;

對于C,M=(0,—2,2),麗=(1,2,0),Bq=(-2,0,2)

設平面BEG的法向量為為=(x，y，z),

則｛n_L_EB.，有<n-_EB.=x+2y=0

n_LBQn-BCX=-2x+2z=0

令x=2,則為=(2,—1,2),

故點&到平面BEC,的距離d=?網川=包&=2,故C錯誤;

\n\3

對于D,麗=(1,2,0),BQ=(-2,0,2)

丫

、.--->1----?BE1c/-2+0+0述

則G到直線5石的距離為，BG-BC故D正確.

\〔r7（網=YJru^)

故選：C

6.答案：B

解析：如圖取DC1的中點N,2A的中點M,連接MN、NF、ME，

則五邊形8上建\丁為過點3,E,尸的截面，取b的中點J,靠近D1的三等分點左，連接DJ、

CK、EK，

則NE〃DJ，又CJ/ID[K豆CJ=DR,所以四邊形C/2K為平行四邊形,

所以CK/RJ,則NF//CK，

又￡K〃BC且EK=6C，所以EKCB為平行四邊形，所以EB//CK，

則NF//BE，所以MF,B,E四點共面；

取5用、A4]靠近夙A的三等分點G、H,連接CQ、GH、RH,

同理可證BR〃GG，D[HgG，D[HHEM，所以BF//EM，

所以8,F,M,E四點共面；

所以N,F,B,E,M五點共面；

又NF=ME=d方+乎=岳，BE=BF=y/42+61=2713)

MN=732+32=3-72'所以截面周長為6而+3萬

故選：B

7.答案：A

解析：如圖所示，用一個完全相同的多面體￡)EP-Gm與多面體ABC-DEF組合;

因為ADHBE//CF，所以AG//BH//CI，又AD=2，BE=4，CF=6,

則￡>0=6，皿=4,77=2，從而AG=BH=CI=8,

因為AG//BH,AG=，所以四邊形ABHG為平行四邊形，則GH//AB，

又GHU平面ABC，A3u平面ABC，所以GH〃平面ABC，

同理可得,HIH平面ABC，又印nGH=H，所以平面ABC//平面GHI，

所以組合體ABC-GHI是一個三棱柱，又AGBHCI兩兩之間的距離為4,

不妨將三棱柱A5C—Gm看作直三棱柱（側棱與底面垂直），

所以AB=5C=AC=4，

此時三棱柱ABC-Gm的高AG=8,S&c\M"Cxsin600=46'

所以匕BCDEF=~^ABCCHI~~,AG=—X4^3X8=16^/3，

故選：A.

8.答案：B

解析：?.?CC],平面A3G，

CC}1AG,CC11BG，

-,-AB=BC=CA=2CC,=行，

.?.AG=BCi=V4^2=V2，

.?.△AGB是等腰直角三角形，

???^,=^^.5q=1x72x72=1，

'.匕棱錐G-ABC=七棱錐c-ABG=§xCC|-SAABG=§x行xl=

所以V=3V-3x0-，

故選：B.

9.答案：ABD

解析：對于A,在矩形ACG4中，

因為44=2,AC=1,。是棱441的中點，

所以CD=qD=血,

所以=。弓2,

所以CD_LG。，

又因。￡_L5D,BDC\CD=D,

所以DG，平面BCD,

又因5Cu平面BCD,

所以￡>G

即直線與BC所成角為90。，故A正確；

對于B,在直三棱柱ABC—A§iG中，CG，5C，

又DGJ.3C,DC,HCQ=Q,

所以BC,平面。CG，

又。Cu平面DCG，所以。C，5C,

則/BCC=ZBCD=-x-xV2xlxV2=-,故B正確；

對于C,由AB可知，AC,BC,cq兩兩垂直，

如圖，以c為原點建立空間直角坐標系，

則3(0,1,0)，0(1,0,1),

則屈=1o,l,g],BD=(1,-1,1)

—.—.11

所以"5。=—1+—=——wO,

22

所以CE,不垂直，

所以CE不垂直平面故C錯誤；

連接，則線段即為直三棱柱ABC-AAC外接球的直徑，

45=&+1+4=逐,所以外接球的半徑R=手，

所以直三棱柱ABC-43G外接球的表面積為4旃2=6兀，故D正確.

故選：ABD.

z

10.答案：ACD

解析：由題意得：上底面4與GA的面積H=ixi=i,

下底面ABCD的面積S[=2x2=4,

側面ABB14為等腰梯形，過4、耳分別做AB的垂線,

垂足為E、F,如圖所示

所以ER=44=1,則AE=3/

所以B.F=J叫2一3尸=[,

所以梯形的面積為S3=gx(l+2)x[=乎，

所以正四棱臺ABC。—A4GA的表面積8=4+82+4x83=5+36，故A正確;

連接AG，耳2,且交于點a，

連接AC、8。交于點。2，連接。。2，

則。1。2垂直底面ABCD,

過-作AG±AO2于G,則AjG1底面ABCD,

則四邊形AGaa為矩形，

由題意得AG=個AB*B[C；=V2,

72

所以aa二手，

同理AC=2后，AO2=72

又A0\=G()2=%,所以AG=事

AG|

在Rt^AjGA中，cos/LAiAG=..=,

所以NAAG=60。，即側棱與下底面所成的角為60。，故C正確

連接GQ，在RtAQOjOj中，GQ=dOQ：+CQ：=拒，

所以點。2到A，B,C,D,A1，Bx,G，2的距離相等，均為血，

所以點。2即為正四棱臺ABCD-A.B.QD,外接球的球心，且外接球半徑R=后,

所以外接球的表面積S'=4TTX(收了=8兀，故B錯誤；

正四棱臺的體積K=；X(S]+S2+#X)XO]Q，

=gx(l+4+gx冬普

棱長為V2的正方體的體積乂=(A/2)3=2夜，

776

所以尹嘉=嚕1147

—>1,所以匕>匕，

所以正四棱臺ABC。-A4G。的體積比棱長為夜的正方體的體積大，故D正確;

故選：ACD

11.答案：ABC

解析：還原正方體，畫出正方體的直觀圖，如圖EEM0-ABCD，

由圖可知，川以與是相交直線，D錯誤;

設正方體的棱長為則CE=AfE=，C正確;

由正方體的性質可得AB與MN平行且相等，所以ABMW是平行四邊形，可得AM//BN，A正確;

由正方體的性質可得與平行且相等，所以是平行四邊形，可得CM//BF，在正方形

CDMN中，CMLDN，所以BFJ_0N，B正確,

故選：ABC.

如圖，點S,。分別為上下底面的中心，連接OS，

在正四棱臺中，有OS_￡平面ABCD，

又OSu平面AAC￡，所以平面AACC；，平面ABCD，

在平面AACC1內，過點A作AC于點E,

又平面AACGPl平面ABC。=AC，所以4E，平面ABC。，

所以AE是AA,在平面ABCD上的射影，

所以N^AE是直線AA1與平面ABCD所成角的平面角，

又側棱與底面所成角為45。，所以NAAE=45。，

因為上底面邊長為正,下底面邊長為2&，所以AS=1，40=2,

則0E=AS=l，AE=OA-OE=1＞所以AE=AE=1，則四棱臺的高為1，

所以該正四棱臺的體積為:x(2+8+4)xl=苫.

故答案為：11.

3

13.答案：、舊—1

解析：作出該圖形的一個最大的水平截面正八邊形A3CDEFGW，如圖，其八個頂點都在邊長為1的

正方形上，設“半正多面體”棱長為〃，貝IJYZ〃X2+〃=1，解得Q=亞_1，

2~

故答案為：、歷

14.答案：3兀.

4

解析：如圖所示:

則點A所在小圓半徑「=R?cos30°=—R，

2

所以小圓的面積為S=nr2=史族■

4

故答案為：3兀五~.

4

15.答案：（1）8瓜;

（2）證明見解析;

⑶32K-

解析：⑴設義%,%）,*%,%＞直線/：y=丘+4,

由＜'2區+4消去y整理得九2一22日_8P=0，再%2=—8pj%=3-?2=16,

x-2py2p2p

由Q4_L05,得MW+X%=0，16—82=0,解得p=2,即^x2=-8p=-16,

SAAOB+2s△AOF=；義IOM|X|X]—馬I+2義；*|O耳義H

=3|X1|+2|X2|=3|X1|+^＞2A/3X32=8A/6,

lxll

當且僅當x；=學時等號成立，所以+2S^AOF最小值為876?

（2）設￡（七，為卜則直線AE的斜率kAE=，方程為y+4=Y1（XT），

2

X=4y2

X+4

由（1）知拋物線c：%2=4丫，由＜y+4z、消去y得工+4=X

'y+4=^—(x-1)4%—1

、%1-1

整理得K±3x+*"+16=0,顯然玉+七=江±3，七七=上3+16,

再-1再_1玉_1X]-1

于是玉+退+16=X1X3，又X]%2=-16,聯立消去再，得入2兄3+16（%2+%3）—16=。，

設直線BE:y=k,x+m，與拋物線聯立=4^，整理得:f_4匕x—4根=0,

y=k2x+m

x2x3=-4m,x2+%3=4k2，因止匕一4加+64k2—16=0，m=16k2—4,

直線y=k2x+16k2-A恒過定點(-16,-4).

（3）作底面半徑為4、高為4的圓柱，并將內部切割去掉o之后,上下翻轉得到幾何體中，

現做一平面，使其平行于Q和O的底面，且被兩幾何體分別截得如圖中陰影所示截面，

在圖1的幾何體O中,設風為,坊）,即45=%，4。=%,4。=4—%,且%=4%,

則圖2的幾何體中中，有￡7=4—%,由拋物線方程得1=4（4—%）=16—4%=16—%,

則圖2中截面圓環面積S,=兀（4?—/f）=套，而圖1中截面圓面積S1=廚,

由祖眶原理可得，O和0的體積相等,均為圓柱體積的一半，即％=；兀氏2丸=；兀*42*4=32兀.

16.答案：（1）證明見解析

1

⑵3

⑶