2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練8.3橢圓

本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上。

答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后,

再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。

2.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。

3.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.已知點(diǎn)尸是橢圓C：土+乙=1上一點(diǎn)，耳，B是C的左，右焦點(diǎn)，則歸耳|+|P閭=（）

87

A.不B.2&C.2幣D.4&

22

2.如圖，已知橢圓二+匕=1（。〉2）的左，右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,過耳的直線交橢圓于N兩

a4

點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)〃若月，H是線段的三等分點(diǎn)，則△8的周長(zhǎng)為（）

A.20B.10C.2逐D.4，^

3.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯，在其著作《圓錐曲線論》中提出了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì).光線從橢

圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)過橢圓反射，反射光線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn).已知點(diǎn)鳥、心是橢圓

22

C：》+方=1（。〉6〉0）的左、右焦點(diǎn)，從點(diǎn)耳發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓上一點(diǎn)M反射，反射光線交

橢圓于另一點(diǎn)N.若點(diǎn)與、N關(guān)于/月“鳥的角平分線對(duì)稱，且cosNGM=g,則橢圓C的離心率

為（）.

72

B.—c.-----D.-

1555

22

4.如圖，過原點(diǎn)。的直線AB交橢圓c.土+2L=l（a〉6〉0）于AB兩點(diǎn)，過點(diǎn)A分別作無軸、AB

,a2b2

的垂線AP，AQ,且分別交橢圓C于點(diǎn)P,。,連接BQ交AP于點(diǎn)M若AM=。衣，則橢圓C的離心率

4

為（）

A.lB.且C.lD.B

3322

22

5.若方程」一_匕=1表示橢圓，則實(shí)數(shù)，”的取值范圍是（）

4—mm

A.（YO,0）B.（O,4）C.（4,+oo）D（-oo,0）U（0,4）

6.蒙日是法國著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個(gè)圓被

稱為“蒙日?qǐng)A”.已知橢圓C:土+匕=1（加〉0）的焦點(diǎn)在x軸上，A,8為橢圓上任意兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P

m3

在直線x-V2y-6=0上.若ZAPB恒為銳角，根據(jù)蒙日?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)得橢圓C的離心率的取值范圍

22

7.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，耳，工為橢圓C：土+21=1的左，右兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)R在C上，點(diǎn)E是線段RFX上靠

近點(diǎn)耳的三等分點(diǎn)，若OH_|_OE，則）

51a

A.萬B.小C.aD.--

22

8.已知耳是橢圓三十3=1的左焦點(diǎn)，過橢圓上一點(diǎn)尸作直線與圓（x—iy+y2=i相切，切點(diǎn)為

Q,則|尸尸照的取值范圍是（）

A.[G-4,厲-2]B.[A/5-4,A^7-2]

C.[-l,13]D.[l,15]

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0

分.

9.已知曲線。：必+〃02=1,下列結(jié)論正確的有（）

A.若爪>0,則C是橢圓B.若C是圓，則加=±1

C.若m<0,則C是雙曲線D.若機(jī)=0,則C是兩條平行于y軸的直線

10.下列說法正確的有（）

22

A.已知廠是橢圓「+鄉(xiāng)=1（。〉6〉0）的一個(gè)焦點(diǎn)，若直線丁=履與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，且

ab

ZAFB=135°,記橢圓的離心率為e,則e?的取值范圍是2」2<e2<l

4

22aA

B.設(shè)P為橢圓言+（~=1上一點(diǎn)，耳，工為左右焦點(diǎn)，若N￡P(guān)8=60。，則尸點(diǎn)的縱坐標(biāo)為土葉2

22

C.己知雙曲線C：?—4=1（。〉0]〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，工，離心率為2,焦點(diǎn)到漸近線

ab

的距離為n.過工作直線/交雙曲線C的右支于A，8兩點(diǎn)，若H,G分別為耳心與片鳥的

內(nèi)心，貝的取值范圍為2后，警

22

D.過橢圓二+盤=1（。〉。〉0）的左、右焦點(diǎn)耳，工作傾斜角分別為色和色的兩條直線小4?若

ab63

兩條直線的交點(diǎn)尸恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為J當(dāng)3-一1

2

11.已知A（—1,0），B（l,0）,C（l,2百）若ARAB的周長(zhǎng)為6,則|PB|+|PC|的最大值為

,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

22

12.直線氣+y-2=0與橢圓匕=1恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

6m

13.已知圓A:(x+iy+y2=16和點(diǎn)5(1,0),點(diǎn)尸是圓上任意一點(diǎn)，線段PB的垂直平分線與線段

Q4相交于點(diǎn)。，記點(diǎn)。的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

⑵點(diǎn)。在直線x=4上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)。的動(dòng)直線/與曲線C相交于點(diǎn)M,N.

⑴若線段MV上一點(diǎn)E,滿足史4=史］，求證：當(dāng)。的坐標(biāo)為(4,1)時(shí)，點(diǎn)E在定直線上；

|砌\DN\''

(ii)過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為G,設(shè)直線GN,GD的斜率分別為匕，心當(dāng)直線/過點(diǎn)。，0)時(shí)，

是否存在實(shí)數(shù)無，使得％=/1&?若存在，求出劣的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

22

14.橢圓上+乙=1的焦距為4,則機(jī)=.

4m

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

202

15.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在橢圓。：土+土，=1(。〉0)上，且C的左、右焦點(diǎn)分別為耳，工.設(shè)直線

l-.x=、&AB為1上不重合的兩點(diǎn)?

(1)求C的離心率；

(2)已知耳A，氏5；

(i)證明：點(diǎn)48在無軸的異側(cè)；

(ii)證明：當(dāng)△PAB的面積取最小值時(shí)，存在常數(shù)人使得用+耳月=九耳瓦，并求力的值.

16.已知橢圓C:￡+4=l(a〉6〉0)的離心率為正，其左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn),,過￡作直

ab2

線/與橢圓c交于A,2兩點(diǎn)，且AAB耳的周長(zhǎng)為40.設(shè)線段AB的中點(diǎn)為P,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直

線OP與直線x=2相交于點(diǎn)0.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)是否存在直線/使得43。心為等腰三角形？若存在，求出直線/的方程；若不存在，請(qǐng)說明理

由.

(3)求NAQB的正弦值的最大值.

22

17.已知橢圓C:A+A=1(。〉6〉0)的焦距為4,其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角

ab

形.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)尸為C的左焦點(diǎn),T為直線x=—3上任意一點(diǎn)，過F作TF的垂線交C于點(diǎn)P,Q.

(i)證明:。7平分線段尸。(其中。為坐標(biāo)原點(diǎn))；

(ii)設(shè)線段P。的中點(diǎn)為M若△Qb與面積之積是J5,求點(diǎn)7的縱坐標(biāo).

18.已知橢圓C:￡+==1(。〉6〉0)的離心率為且，且C過點(diǎn)pf-A-lO為坐標(biāo)原點(diǎn),A為橢

ab~2V2)

圓C的右頂點(diǎn).

(1)求C的方程；

(2)過點(diǎn)P斜率為-夸的直線交橢圓C于另一點(diǎn)°,求△APQ的面積；

(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)M為橢圓上不與點(diǎn)A重合的點(diǎn)，且△MPQ的面積與△APQ的面積相等,

求點(diǎn)M的坐標(biāo).

22右焦點(diǎn),C的離心率為L(zhǎng),點(diǎn)M

19.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，耳，凡是橢圓c：土+21=l(a>b>0)的左、

,a1b22

是C上一點(diǎn)MF]|的最小值為1.

⑴求橢圓C的方程；

(2)已知A,B是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，不與x軸平行或重合的直線/交橢圓C于PQ兩點(diǎn),記直線AP的

斜率為占，直線BQ的斜率為k2，且左2=2kl.

①證明：直線/過定點(diǎn)；

②設(shè)△APQ的面積為S求S的最大值.

參考答案

1.答案：D

解析：由題知。=20,

由橢圓定義知?dú)w用+歸閭=2。=40.

2.答案：D

解析：設(shè)”(0,/z),?.■6，X是線段MN的三等分點(diǎn)，

M(-2c,-h)，N(c,2/z),

2222

分別代入橢圓方程得，4c+土h=1,c彳+4”h=1,

才4a-4

消去/z得/=5°2=5(4—4),解得百，

根據(jù)定義可得MF1+MF2=2a,NF[+NFz=2a,

則4F°MN的周長(zhǎng)為4。=4君，故選D.

3.答案：A

解析：由題意可得M,N,工共線，

因?yàn)辄c(diǎn)耳、N關(guān)于/片兒里的角平分線對(duì)稱，所以|崢|=|相\(

設(shè)|孫仁加，^\\MN\=m,\MF^=2a-m

ik\NF2\=2m-2a,\NF^=Aa-2m

2a-m>Q

由<2m—2a>0,

4a-2m>0

得a<m<2a,

在△MA與中，由余弦定理得，

2

|也「=\MFX|+\MNf-2\MF111ACV|cosZNMF1,

2222

即(4a—2根)2=m+m—m,

9

即5m2—36ma+36a1=0,

解得〃2或zn=6a（舍去），

5

所以|Mg|=.a

在中，由余弦定理得，閨閶2TA^「+|曬「—2慳耳”加園cosN不叫,

36162

即4c2=—a2H---a

25259x25

V105

解得￡=

a15

即橢圓c的離心率為巫

15

故選：A.

4.答案：D

解析：設(shè)4（石,%），。（*2，%卜則6（一%，一%），0（%，一%卜以11，一3

由AB，AQ,則&?=-1,即=--,?

再“-%x2-xx%

A±A='②

由BMQ三點(diǎn)共線，則kBQ=演"即

%!+x24芭

2922222222

又因?yàn)閍+互=1，三+2￡=1，即.不―%+乂—%=o.，為二冬

/b2a2b2a2b2片一考

將①②代入③得以=1則6=￡=1—匕=蟲.

a24"aTa22

故選：D.

5.答案：A

2222

解析：方程」_—2L=i變形得：%+工=1，

4—mm4-m-m

4-m＞0

該方程要表示橢圓，則需要滿足〈-加〉0,解得：加＜0，

4一根w-m

故選：A.

6.答案：B

解析：因?yàn)闄E圓。的焦點(diǎn)在工軸上，所以加＞3,易知直線x=±J加，y=土石均與橢圓相切，所

以直線％=土而，y=土質(zhì)圍成的矩形的外接圓即為橢圓的蒙日?qǐng)A，其方程為必+/=m+3,由

A,8是橢圓上任意兩點(diǎn)，NAPB恒為銳角，可知點(diǎn)P在蒙日?qǐng)A外.又點(diǎn)尸在直線x-應(yīng)y-6=0上,

所以直線x-J5y-6=0與圓好+了2=m+3相離，將問題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的蒙日?qǐng)A相離，即

.1-61>Vm+3,解得加<9,所以3（機(jī)<9,所以e=Jl—.故選B.

心+（—后Vm[3J

7.答案：C

x—42]

解析：設(shè)H（x,y）,由題意可得大（―2,0卜則E

3,3）

則詼=（羽力灰=—常

丫2_A1

由ORYOE^OROE=-——-+^-=0>

33

22（2、

由R在C上，則有工+匕=1，即）？=51一土，

95I9J

Y2-4x5（尤2、

即有土_廣+]1一5=0,整理得4/一36X+45=0，

即（2x—15）（2x—3）=0,故x=?或x=|,

由二+.=1可知》2<9，x="不符，故舍去，即有x=3，

9522

貝1=y/x2+y2=卜+5l-y=1+5『j=屈'

l坪qKT^

故選:c.

8.答案：A

22

解析：耳是橢圓二+匕=1的左焦點(diǎn),

198

設(shè)工為橢圓的右焦點(diǎn)，

由題可得：圓（x—1）2+丁=1的圓心即為B，

由題知〃=3,c=l,|尸。|=四一1,1pH=6—儼可

故|PQ|一|P周=J|尸耳2_-（6—|P國）,

因?yàn)椤ㄒ弧?2,〃+c=4,

當(dāng)令x=|%|,xe[2,4],|P2|-|P^|=X+VX2-1-6

因?yàn)楫?dāng)XG[2,4]時(shí)，函數(shù)y=x,y=J%2—i均單調(diào)遞增,

故y=x+Jx2—1一6單調(diào)遞增,

所以|PQH0娟e[6—4,J石一2].

故選：A.

9.答案：CD

解析：對(duì)于A選項(xiàng)，若加＞0且mW1,貝1JC是橢圓；

對(duì)于B選項(xiàng)，則C是圓，則加=1；

對(duì)于C選項(xiàng)，若加＜0,則C是雙曲線；

對(duì)于D選項(xiàng)，若機(jī)=0,方程為％=±1,則C是兩條平行于y軸的直線.

故選：CD.

10.答案：BCD

解析：對(duì)于A,設(shè)尸為橢圓的另一焦點(diǎn)，

如圖，連接A/，BF,BF',AF'

根據(jù)橢圓和直線的對(duì)稱性，

可得四邊形AFBF'為平行四邊形，

又因?yàn)镹AKB=135°,所以NE4尸=45°.

f

在△Ab尸中，,尸T=1A+1AFf-21AF|■|AF|cosZFAF'

=(|AF|+1AFf|)2-(2+V2)x\AF\■\AF'\,

所以(IW+W[)2_(2+在x『司：

I2J

當(dāng)且僅當(dāng)|AE|=|AF[時(shí)，等號(hào)成立，

2-72(\FF'\Y

4[\AF\+\AF'\)

又因?yàn)閨EF[=2c,|AF|+|AF[=2a,

所以相手

又因?yàn)?<1,故三區(qū)4/<1,故A錯(cuò)誤;

4

對(duì)于B,由--1-2—=1,

259

得4=25,/=9,c2=a2-b2=16,

則大(-4,0),月(4,0),歸國+歸閭=2。=10,閨閭=20=8,

由余弦定理得，怩閭2=閥「+附「-2\PFl\\PF2\cosZFlPF2,

則寓￡「=（附|+|力＜-2］明歸局―2閥歸巴屈/平迅,

則64=100-2|叫山-附||明，

即|尸制P閭=12,

所以%時(shí)=。也歸閶sin/4相

=-xl2x—=3A/3,

22

設(shè)尸點(diǎn)的縱坐標(biāo)為〃，則，閨工卜網(wǎng)=3百，

則，8刑=3石，即人=±乎，故B正確；

22

對(duì)于C,在C：T—==1（。〉0］〉0）中，

ab

b

其中一條漸近線方程為y='x,即歷c—分=0,

由題意，焦點(diǎn)到漸近線的距離為JG,

則be=娓,即6=?,

yjb2+a2

又e，=

解得：。=,

則c=\/b2+O2=272，

所以雙曲線的方程為C:土—匕=1.

26

記片區(qū)的內(nèi)切圓在邊4耳，AF2,耳工上的切點(diǎn)分別為M,N,E,

則H,E橫坐標(biāo)相等|AM|=|4V|,閨"|=出目，怛N|=|月目，

由|用|-\AF2\=2a,BP|AM|+|MF；|-(|?UV|+|A^|)=2?,

得“卜I阿=2a,即陽目—|耳目=2a,

記a的橫坐標(biāo)為七,則E(1,0),

于是%+c-(c-x())=2a,得

同理內(nèi)心G的橫坐標(biāo)也為a,故HGLx軸.

設(shè)直線A3的傾斜角為，,則NO月G=',

/□

^HF.O=90°--(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，

在2G中，|"G|=(C—a)tan-^+tan^90°--^

(.ee\

sin—cos—cc仄

(x92(\22y2

v7e.e')sindsind

cos—sin一

I22J

由于直線/與C的右支交于兩點(diǎn)，

且C的一條漸近線的斜率為2=6,傾斜角為60。,

a

所以60°＜。＜120°,即且＜sin"l,

2

所以的范圍是20,生但］,故C正確；

113

對(duì)于D,在△PFFz中,

由正弦定理可得一回引一=—1用一=—怛口一

sin/耳尸gsinN尸乙耳sin/P耳區(qū)

=IPKI+WI

sinZPF2F}+sin/PFR

所以=------sm4Ps--------,

|P娟+|P￡|sinNPgf；+sinNPG&

c_2c_I片引sinN片

所以該橢圓的離心率e

a~2a~\PF^+\PF^sin+sinAPFF

ZPF2FXX2

sin300y/3—1,-r-rb.

------,故D正確.

sin120°+sin3002

故選：BCD.

"_8

11.答案：8；

-5

解析：由A(—1,0),B(l,0),可得|AB|=2,

又的周長(zhǎng)為6,所以|即+|尸目=4>|AB|,

所以P的軌跡為是以A(-1,0),8(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓除去與無軸的交點(diǎn),

所以2a=4,a=2,c=l,b=Ja2—c?=-\/3

22

所以橢圓方程式?+：=l(yw0),

又C(l,2百)代入卷+g=1("0)

得5孚八所以”,2而在橢圓外,

\PB\+\PC\=2a-\PA\+\PC\<4+|AC|=8,

當(dāng)且僅當(dāng)|PC|=|PA|+1AC|時(shí)取等號(hào),

由A(—l,0),C(l,273),得左4=孚=百，

所以AC的方程為y=6(x+D，

8

f22x=——

—+—=15

430

36

=6(x+l)

工一可

/83忖

：.p

r_8_空］

故答案為：8；

「廠工J

12.答案：［4,6）U（6,+8）

解析：直線方程可化為y=-辰+2,故該直線恒過定點(diǎn)（0,21

22

因?yàn)橹本€版+y-2=0與橢圓匕=1恒有公共點(diǎn)，

6m

則點(diǎn)（0,2）在橢圓內(nèi)或橢圓上，

鼻1

m

所以，<m>0,

mw6

解得加24且加w6,

所以，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是［4,6）U（6,M）.

故答案為：［4,6）U（6,+8）.

22

13.答案：（1）工+2-=1

43

（2）（i）證明見解析

（ii）X=g

解析：⑴由題意知圓心A（—1,0），半徑為4,

且|AB|=2,

則|?4|+|沙|=|出|+|QP|=|剛=4>=2,

所以點(diǎn)。的軌跡為以A,8為焦點(diǎn)的橢圓，

22

設(shè)曲線的方程為予+3=1（。〉6〉0）,

則2〃=4,2c=2,

解得a=2,c=1

所以步=3,

22

設(shè)直線/的方程為y=+

因?yàn)椤＃?,1）在/上，所以4左+加=1,

y=kx+m

由＜22

元+丁-1

143

得（3+4左2+8初a+4（機(jī)2-3）=0,

A=（8b7i）2-16（3+4左2）（m2—3）=48（4左2_帆2+3）>0,

設(shè)兇（石，％）,N（x2,y2）,E（x0,y0）

2

-8km4（m-3

則石+/=3+442'芯9―3+4左2

由_|MD[得%—%4—X],

~

|￡W|\DN\X0-X24-X2,

化簡(jiǎn)得4（玉+%）-2尤［%=［8-（玉+尤2）］%（）＞

2

-8km]4（m-3）8km）

貝U4x3+4再-2x374FJ%O

3+4k2

化簡(jiǎn)得Ax0+m+3x0-3=0,

又因?yàn)?=依）+加，所以3%+%-3=0,

所以點(diǎn)E在定直線3x+丁一3=0上.

(ii)因?yàn)橹本€y=依+加過(1,0),

所以左+根=0,直線方程為y=kx—k,

從而得。(4,3左)，G(x，0),

所以&=」^X匕&

k?x?一王3k

_（4一玉）（生_%）_4%2—4—%]%2+%

3（X2-x^k3（X2-jq）

..4億2—3）8k2

生一4-37^+374P（3+4公區(qū)-442工

（工]]2]（3+比卜2-4臼2

2（3+4422J

所以存在實(shí)數(shù)4=工，使得匕=!人2.

2122

14.答案：8

解析：當(dāng)0(加＜4時(shí)，橢圓的焦距為2,4—加=4,

得加=0,不符合題意；

當(dāng)機(jī)＞4時(shí)，橢圓的焦距為24=4,

得根=8,符合題意.

故答案為：8.

15.答案：(1)42

(2)(i)證明見解析；(ii)證明見解析,2

22

解析：⑴由題設(shè)C：T+玄=l(a>b>0)，耳(_c,0)，鳥(c,o)-

則儲(chǔ)=2/，即且°2=儲(chǔ)—尸=尸,即b=c.

則C的離心率為￡=_也=也.

a41b2

(2)(i)由(1)可得c=^a，設(shè)4(0。,%),3(0。,為卜

則的=/^見［，可=與a,%-

____>____>3

由耳4，笈5,得用.根=0,即%%=—5/<0-

故必存在一點(diǎn)在第一象限，另一點(diǎn)在第四象限，即點(diǎn)48在無軸的異側(cè).

(ii)記△P45的面積為S,點(diǎn)P到I的距離為4則S=^-d-\AB\■

要使S最小，則必須使d與|人用同時(shí)達(dá)到最小值.

顯然當(dāng)P運(yùn)動(dòng)至C的右頂點(diǎn)時(shí)d最小，此時(shí)尸(。,0),

而|AB『=(y-%丫=y；+4-N-2%%-2%%=-4%%=6a2'

當(dāng)且僅當(dāng)必=一%=半。或%=-X/a時(shí)取等號(hào)，最小值為娓a-

此時(shí)￡4+a,x+y2=(20a,%+%)=(20a,O卜

且版=(伍,0),

故X?缶=2缶，解得幾=2?

16.答案：（1）y+y2=1

(2)x-y-l=O或x+y-l=O

、2^2

(3)-2―

3

C_y/2

a3,所以/?2=〃2_=],

解析：（1）由題意得《a2'解得v

=1,

4a=4A/2,

則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為一+丁=1.

2

（5、

（2）解法一:若直線/的斜率不存在，則直線/的方程為x=l,則Q（2,0）,由對(duì)稱性不妨取31,—,

I2J

5

又鳥（1,0），則|。閭=1,忸段=芋，所以△BQB不為等腰直角三角形，不滿足題意，故直線I

的斜率存在.

顯然/的斜率存在且不為0,故可設(shè)/的方程為x=沖+1（加wO）,A（x1,y1）,義工2，%），

x=my+l,

2

聯(lián)立x2得?之+2)V+2沖_]=0,

方+y=i，

2m1

所以％+%=-m2+2'X%_―療+2'

42m

所以％1+工2=根(％+%)+2=一一，所以P

4+2加2+2'm2+2

vnrn

所以％°p=—萬，則直線。尸的方程為y=—萬%，從而。（2,—加）.

=-m,k,=—Tn—=—1,所以AB_LQF

所以左丫0「尸2QtF2

2m

若8為等腰三角形，則忸閭=|。閭,

222

X|BF)|=A/1+W|y2|,|。閭=Ql+m,所以，1+加昆|=&+/n,

所以％=±1，x2=0,

所以存在直線I使得4BQF2為等腰三角形,

此時(shí)直線/的方程為x—y—1=0或x+y—1=0.

解法二：若直線/的斜率不存在，則直線/的方程為x=l,則Q（2,0）,由對(duì)稱性不妨取31,—,

I2J

又工（1,0）,則|。閭=1,忸用=已-,所以△BQE不為等腰直角三角形，不滿足題意，故直線/

的斜率存在.

設(shè)4（石,%），B（x2,y2）,P（x0,y0）,

r2.

—+yi=1,2_2

2兩式作差，得三玉+才一代=0,

由＜

K=l,

I2

即（不々?X]+々）+（%+%）X—%=0,所以^^+（必+%）,^521=0,

22%]%2

所以—左二_；,即左op.

x0x1-x222

m

顯然直線/的斜率不為0,設(shè)冽=—Ij—,所以自p=—竺，

%AB2

IT]

直線OP的方程為y=一WX,從而2（2,-m）.

以下同解法一.

（3）由題解題思路知，直線/的斜率可以不存在.

由（2）知,+m2,

所以1211乙426=卷胃=聞，同理tan/BQK=W，

所以tanZAQ3=tan(ZAQE+4BQF,)='11%I=卜「%|

--1-|乂||%|1+X%

201+而

父+22vL

"+1Vl+m2

m2+2

當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線/的斜率不存在.

2、62、歷

所以sinZAQB＜卷一，即ZAQB的正弦值的最大值為.

17.答案：(1)—+—=1

62

(2)x2+3/=6

(3)±73

_22

解析：(1)c=2，又a—y/3b=>b2=2,a?=6,——+^-―=1.

62

(2)橢圓方程化為/+3/=6.

(i)設(shè)尸0的方程為兀=陽一2,代入橢圓方程得+3);/—4啊—2=0.

設(shè)尸(a,),。(％2，%)，/＞。的中點(diǎn)為“(%),%),

.4m-22m6

則nX+%=，%?%=，y°=，/=--7—7，

m+3m+3m+3m+3

又TF的方程為丁一0=-根(％+2),則九二一3得丁=zn,

vm

所以kOM=—=一一=左06即OT過PQ的中點(diǎn)，即OT平分線段PQ.

53

(ii

S4OFT=^\OF\\yT\=\m\

2(2

iiiiiJl6m+8mA/6^m2+1

S^OPM=TSAOPQ=亍字"||%一%|=#—，2|=5------------2,o

2222ZJTl+Jm2+3

所以^^^刈=后'解得病=3或/=一|(舍去)，

所以根=土括，點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為土?xí)t.

18.答案：(1)C:—+y2=1

4'

20+573

(2)-----------

14

(2組

(3)行‘〒J

311

—+----=1

a24b2

a—2

c_6,2

解析：(1)由已知：＜，解得：1。=1，橢圓C:一+y2=i.

a2c=64

〃2=b2+c2

(2)直線P。方程為:x++=0,

令y=0得:x=，記R

—+/=1

4-’3石_1￡

由＜，得：。[〒一司

x+/y+日

0

/

.?.△APQ的面積S=g|R4||y°—yp|=gx2-—13120+56

14214

(3)在(2)的條件下,A(2,0),點(diǎn)A到直線PQ:x+J^y+*=0的距離

2+上

2

d—

J(省產(chǎn)+1-4

SMPQ的面積與△APQ的面積相等，則A與M到直線PQ的距離相等,

V3

m------

設(shè)到直線尸Q距離為1+日的點(diǎn)在直線、+

yfiy+m=0上，則,==1H———,m=-2或

J(A/3)2+14

2+6,