利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

1.隱零點(diǎn)問題

1.已知函數(shù)/(x)=gav：2-(2?+l)x+21nx(aeR).

(1)當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)當(dāng)a=0時(shí)，證明：f(x)<2ex-x-4(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】(1)/(%)的定義域?yàn)?0,+“)，

f(x)=ax-［la+\)+—-----------,

當(dāng)0<工<2,即a〉，時(shí)，/(%)在(0」］,(2,+oo)上，/(x)>0,/(x)遞增.

當(dāng)工=2,a=；時(shí)，f'(x)>0,"X)在(0,+“)上遞增.

當(dāng)!〉2,即0<a<工時(shí)，〃力在(0,2),，,+oo］上/(X)>0,"%)遞增.

綜上所述，當(dāng)a〉；時(shí)，/(%)的遞增區(qū)間為］O,：］,(2,+8)；

當(dāng)a=；時(shí)，/(%)的遞增區(qū)間為(0,+“)；

當(dāng)0<a<g時(shí)，，〃X)的遞增區(qū)間為(0,2)(：,+8；

(2)當(dāng)〃=0時(shí)，由/(x)v2e'—x—4化簡得e*—In%—2>0,

構(gòu)造函數(shù)/z(x)=e'-lnx-2(x>0),

〃(x)=e*—士//'(x)=e*+3>0,〃'(％)在(0,+8)上遞增，

XX

/?(；)=疵_2<0,〃(l)=e_l〉0,

故存在為使得〃(%)=0,即e與='.

\2)xa

當(dāng)x￡(O,%o)時(shí)，h(x)vO,/z(x)遞減；

當(dāng)次￡(%,+00)時(shí)，h(x)>O,/i(x)遞增,

所以x=%0時(shí)，/z(x)取得微小值，也即是最小值.

2=0,

所以/z(x)=e%—In%—2>0,故/(x)<2e'—x—4.

2.已知函數(shù)/(%)=aex-21nx.

(1)設(shè)x=2是/(x)的極值點(diǎn)，求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a2』時(shí)，求證：/(x)>2-21n2.

e

【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+8)；C證明見解析.

2

【解析】(1)/(%)的定義域?yàn)?0,+8),fr(x)=acx——，

x

(2%=2是/(%)的極值點(diǎn)，.,./'(2)=0,

1

即商9―1=0,=—,

e

2

y=e%-2在(0,+oo)上單調(diào)遞增，y-——在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

x

9

/.f(%)二/一2——在(0,+oo)上單調(diào)遞增，且/'(2)=0，

%

二./(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+8).

(2)由可得ae'NLxe'Je'T,

ee

所以/(%)=oe"-21n九Ze*T—21n%，

2

令g(%)=e"T-2山九，則,⑴=e"T——，

x

2

Qg\x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,且QI)=e1-1--<0,g'(2)=e2T--=e-2>0.

1

2

/.3x0e(l,2),使得g'(%)=0,有e與t——=0,①

且g(x)在區(qū)間(1,方)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(小,2)上單調(diào)遞增,

，g(x)1nin=g(%)=e"-'-2In/，

2(2、

由①得e"T=—，即有l(wèi)ne"T=ln—,/.Inx0=In2+1-x0,

%UoJ

2

x-1

/.g(%)=e°-21nx0=--i-2x0—Z—ZlnZ,與G(1,2),

又Qg(%)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，

g(%0)>g(D=2+2—2—21n2=2—2In2,

/.g(x)>2-21n2,

/./(x)>g(x)>2-21n2,

.\/(x)>2-21n2,結(jié)論得證.

3.已知函數(shù)/(%)=(加+%+。)6%.

(1)探討了(%)的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)/(%)有兩個不大于—1的極值點(diǎn)，證明：/(x)>^+ln(x-l)+x+l.

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】⑴/(%)定義域?yàn)镽,由/(%)=(?+%+〃)/,

得廣(x)=(2or+l)/+(辦2=［加+(2a+l)x+〃+l］e",

當(dāng)〃=。時(shí)，/(x)=(x+l)e\

此時(shí)/(X)在(-1,y0)上單調(diào)遞增；在(-00,-1)上單調(diào)遞減.

當(dāng)〃>0時(shí)，令r(x)=(％+1)(以+〃+1)/=0,即石=一1,x2,

因?yàn)椋?_"^=_1_L，所以%〉犬2，

aa

令/則尤<一^^?或x>—1,

即/(X)在［-和(―1,內(nèi))上單調(diào)遞增.

令/'(同<0,則一但<x<—1,即/(x)在］―1)上單調(diào)遞減.

當(dāng)a<0時(shí)，令/'(x)=(x+l)(or+a+l)e*=0,即石=一1,々=一^^.

因?yàn)橛?—但=—1—所以X]<X,,

aa

令/'(尤)>0,則％<一1或x〉一"+1,

即“X)在(―8,—1)和[-上單調(diào)遞增.

令r(%)<o,則-i<x<-巴,即“X)在,L-卓］上單調(diào)遞減.

綜上所述：

當(dāng)1=0時(shí)，“X)在(—1,+8)上單調(diào)遞增，在(—8,—I)上單調(diào)遞減.

當(dāng)a>0時(shí)，/(可在1—00,—，^和(—1,+8)上單調(diào)遞增，在，誓11上單調(diào)遞減.

當(dāng)a<0時(shí)，/(%)在(―*―1)和］-與±+，|上單調(diào)遞增，在，1,-上單調(diào)遞減.

(2)因?yàn)楹瘮?shù)/(%)有兩個不大于-1的極值點(diǎn)，由(1)知。>0,

因?yàn)?(x)=(分+x+a)e*=[(/+i)a+x]e*且a>0,所以/(x)>xe',

所以要證明/(x)>e*+ln(x-l)+x+l,只要證明x/>e'+ln(x-l)+x+l,

即要證明xeA-ex-ln(x-l)-x-l>0,

令g(x)二比%―/_111(%_1)一1_1(1>1),

1V"

則g'(x)="+xe*—d------1=xe*—-—,

')x-1x-1

令g'(x)=0,則e*———=0,

x-1

令h(x)=e，--彳，則//(x)=e，+^^>0,

所以刈X)在xe(l,+oo)上單調(diào)遞增，

因?yàn)榱?2)=e2—1>0,h(l+e-2)=el+e~2-e2<0,

所以/z(x)在xe(l,+oo)上有唯一零點(diǎn)，設(shè)為飛,

且當(dāng)不時(shí),/l(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)X￡(%o，+8)時(shí),/Z(X)>0,g(%)單調(diào)遞增,

所以g(x)min=g(%)=Xo/一*-ln(x0-l)-x0-l.

因?yàn)?。一一L=0,即e*=」一

即_%o=ln(x0-1),

%-1%0-1

所以g(Hmin=g(%)=(七-+玉)-%0_]=0,

所以g(x)20,所以原不等式成立.

2.極值點(diǎn)偏移問題

1.(多選)已知函數(shù)/(x)=xlnx-'1x2有兩個極值點(diǎn)芭，々(MV%)，則()

A.a的取值范圍為(一8,1)B.玉+%2>2

C.1--->2D.%2—%>1

%x2a

【答案】BCD

1—Z7V

【解析】由題設(shè)，-⑴=lnx+l—依且定義域?yàn)?0,+oo),則尸(x)=—―,

x

當(dāng)aWO時(shí)/〃(x)>0,則/'(X)單調(diào)遞增，不行能存在兩個零點(diǎn)，即/(x)不行能存在兩個

極值點(diǎn)，A錯誤；

當(dāng)0<x<工時(shí)/〃(x)>0,即f'(x\單調(diào)遞增，當(dāng)X〉工時(shí)/〃(x)<0,即/'(x)單調(diào)遞減，

aa

即r(x)w/d)二一Ina,

a

當(dāng)時(shí)，/'(x)1mx=ln：<0,所以/'(%)至多有一個零點(diǎn)；

當(dāng)0<。<1時(shí)，/V)max=ln->0,而/⑴=1—a>0,當(dāng)x趨向于0時(shí)/(x)趨于負(fù)無

a

窮大，當(dāng)工趨向于正無窮時(shí)/(%)趨于負(fù)無窮大，

綜上，/'(%)在(0,1),。,+8)內(nèi)各有一個零點(diǎn)再,九2(%<%2)且

0<%!<1<—<x2,

a

B：由/d)>0且x趨向于0時(shí)/'(%)趨于負(fù)無窮大，所以0<石<!</，

aa

J1

故——西>一,

aa

221

令g(九):f\%)-/'(九)=ln(x)-2-ln%+2ax(xe(0,—]),

aaa

，(、112(ax—1)2

2(x)=---------+29〃=---------

2Jixx(ax-2)

a

又X￡(0,1],所以g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

a

故當(dāng)玉<，時(shí)，g(Xi)>g(-)=/(-)-/(-)=0,

aaaa

222

又/'(%)=0，所以/'(—%)=ln(XJ_Q(—xj+l-尸(％)=g(玉)>0,

aaa

而/'(%2)=。,因此/'(2-尤1)>/'(%2)n2-玉<Z=Z+%>2>2,故正確;

aaa

「i1八1+lnx

C：j(x)=lnx+l-依=0n〃=------,

x

1+Inx11

令/(%)=------，明顯有尸(%J=尸(%2)，令％=—"2=—，明顯4>/2，

X再x2

l+ln-1+ln-

因此有——j—=——j—/((1-ln/J=/2(l-ln?2),

A’2

設(shè)/?(%)=x(l-Inx)=x-xinx,則hr(x)=-]nx,

當(dāng)%>1時(shí)，”(%)vO,/z(x)單調(diào)遞減，當(dāng)0<%<1時(shí)，/(X)>O,/z(x)單調(diào)遞增,

因?yàn)?(。)=力?2),所以0<%2<1<小

令(p(x)=h(x)-h(2-x)(xe(0,1)),即

d(x)=//(x)+/z'(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln(2x-f)=-ln[l-(%-l)2],

因?yàn)榫拧?0,1),所以0(%)>O,0(X)單調(diào)遞增，

因?yàn)?</2<1<%1，所以0?2)="(/2)_%(2_/2)<0(1)=0=>/(12)<加2_，2)，

而力(力1)=%?2)，所以領(lǐng).)<〃(2-12)，

因?yàn)?<%2<1<小所以2—12>1，

當(dāng)%>1時(shí)，h(x)單調(diào)遞減，因此有%>2—%?a+，2>2,即—I>29正確；

XX2

D：由0<玉<1<一<x?，則不一1<0<尤2----，故％2—%>-----1，正確，

aaa

故選BCD.

2.已知函數(shù)〃%)=e'—萬爐.

(1)證明：/(%)在R上為增函數(shù)；

(2)若/)+/(X2)=6,Xy<X2,證明：玉+々<2.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】⑴由題意，f\x)=ex-ex,

令g(x)=e"—ex,則g'(x)=e*—e,令g'(x)=。,則x=l,

故在區(qū)間(一8,1)上，g'(x)<0,g(x)為減函數(shù)；

在區(qū)間(1,+8)上，g'(x)>0,g(x)為增函數(shù),

故/'(力2/”)=0,故”力在R上為增函數(shù).

(2)由(1)知/(%)為增函數(shù)，且/(1)=|,故由/(%)+/伍)=2/⑴，藥<々，

可得/(%)</(1)</(兀2)，則石<1<起.

欲證為+々<2,只需證占<2-％2，即證/(%)</(2—羽)，

即證e—/(々)</(2—%).

令戶(x)=/(x)+/(2—x)-e(x>l),

貝i]JF，(x)=/，(x)_/，(2_x)=eX_e%_e2r+e(2_x),

令H(x)=F(x),則H<x)=d—e+e2T-e=/+e2r-2e>2點(diǎn)亡-2e=0,

故歹'(1)為增函數(shù)，尸(x)>尸⑴=0,

故b(x)為增函數(shù)，F(xiàn)(x)>F(l)=0,

故/(龍2)>0,則e—/(%)</(2—9)，原式得證.

3.已知函數(shù)/(x)=e*T-ox.

(1)探討函數(shù)/(力的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(%)在(0,2)上有兩個不相等的零點(diǎn)%,馬，求證：>--

【答案】⑴當(dāng)aWO時(shí)，”可單調(diào)遞增，當(dāng)a>0時(shí)，〃龍)在尤e(l+lna,+。。)上單調(diào)

遞增，在九e(—8,1+Ina)上單調(diào)遞減；(2)證明見解析.

【解析】(1)/,(x)=eT1-a,xeR.

①當(dāng)aWO時(shí)，/'(x)>0恒成立，/(%)單調(diào)遞增；

②當(dāng)a>0時(shí)，由/'(力>0,得xe(l+lna,”o),/(%)單調(diào)遞增，

由/'(X)<。,得尤e(T?,l+lna),/(x)單調(diào)遞減.

綜上：當(dāng)aWO時(shí)，“X)單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，/(%)在%?1+山。,+8)上單調(diào)遞增，在xe(-co,l+lna)上單調(diào)遞減.

(2)無)在(0,2)上有兩個不相等的零點(diǎn)再,x2,不妨設(shè)為1<彳2,

a=—在(0,2)上有兩個不相等的實(shí)根，

X

4g(x)=--，xe(O,2),A=--(:1),

XX

由g'(x)<0,得xe(O,l),g(x)單調(diào)遞減；

由g'(X)>0,得光e(l,2),g(x)單調(diào)遞增，

g⑴=1,g(2)=5'x-0,g(尤)—

???ae聞，

要證XX>—,即證。再X2>1，

r2a

又「g(xj=g(%)=a,只要證xe*2T>1,即證％i>e1-%2,

玉<1<%，即證g(%)vg(ef1),

1-X2

x2-le-l

即證g(七)<g(ef),即證與—<彳「，即證廣況+111々—1>0，

x2e

令/z(x)=eif+lnx-l,xe(l,2),/z'(x)=-e1-x+—,

令0(x)=e，-ex,xe(l,2),則0(x)=e"-e,

當(dāng)x￡(l,2)時(shí)，“(%)=e*—e>0恒成立,所以姒%)=y-ex在％41,2)上單調(diào)遞增,

又0(x)>0(l)=O,.?.e，>ex,?,.eiT<L

.../z(x)在(1,2)上遞增，.../z(x)>/z(l)>0,；.eiT十lnx-L>0,

??*^2〉.

a

4.已知/(x)=lnx.

(1)若函數(shù)g(x)=W3在(a,a+l)上有極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)已知方程/(X)=A%有兩個不等實(shí)根大,%(%>42>0)，證明：X1X2>(注：

e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))

【答案】(1)(0,1)；(2)證明見解析.

【解析】(1)g(X)=W"=^詈，定義域?yàn)?0,+"),g'(x)=—

令g'(x)>0,解得0<x<l；令g'(x)<0,解得x>l,

所以g(x)在(0,1)上單增，在(1,+00)上單減，在x=l處取得唯一的極值.

要使函數(shù)g(x)=1+""在上有極值,

X

(a>0,

只需1，解得0<〃<1,

a<l<a+l

即實(shí)數(shù)3的取值范圍為(()/).

(2)記函數(shù)/z(x)=lnx-Ax,x＞0,則函數(shù)/z(x)有兩個不等實(shí)根七，/(%＞入2＞。),

因?yàn)?z（x）=ln%—何=0,/z（x2）=lnx2一仇二0,

兩式相減得，Inx{-lnx2=kx{-kx2f

兩式相加得，ln%i+lnx2=kx1+kx2.

因?yàn)樵?gt;x2>0，所以要證％1%>/,只需證明InXj+Inx2>2,只需證明+x2)>2,

只需證明里五二電三〉_2_,證in±>2(x「％)

X1-X2玉+%2%2M+%2

設(shè):*〉1),只需證明心,

記=,則〃(°=(J；〉0，所以丸?)在(L+S)上單增，

所以=所以ln%>—~,即ln%i+ln%2>2,所以王々〉/.

即證.

3.雙變量問題

1.若函數(shù)/('=3/一以2+4工(4>0)存在兩個極值點(diǎn)看和%,則/(%)+/(々)取值

范圍為?

—

【答案】f

f2

【解析】令/（x）=x-2ar+4=0,貝!］石+々=2a,xxx2=4,

由/=442—16>0且。>0,解得a>2.

/（菁）+/（%2）=§玉3―CIXy++—x2―ux2+4%2

=§（x；+E）-a（%：+x；）+4（X］+%2）

=；（X+%2）［（番+%2）2―3%々一〃［（%1+々）2—2%々

+4（%+x2）

二；x2ax（4/一3x4）一Q（4/一8）+4x2a

43

=—CL+8〃，

3

令g(a)=T〃3+8〃(〃>2),g，(a)=-4〃2+8=—4(〃+0)(〃一0)<0,

g(〃)在區(qū)間(2,+co)上遞減，g(a)<g(2)=-gx23+8x2=g.

所以/(%)+/(%)取值范圍是故答案為1?

2.已知函數(shù)/(%)=lnjr+12—依(〃6R).

(1)若〃=3,求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

⑵設(shè)/(%)存在兩個極值點(diǎn)%,%且玉<%2，若。<玉<5，求證：

/(x1)-/(x2)>--ln2.

【答案】⑴/(X)在1o,燈和(L+8)上單調(diào)遞增，在，」]上單調(diào)遞減；⑵證明見解

析.

【解析】(1)解：當(dāng)〃=3時(shí)，/(x)=lnx+x2-3x,xe(0,+oo),

，/\12x2—3x+1(2x—l)(x—1)

所以廣⑴=—+2%—3=--------------=-------八——L,

XXX

令/'(力>0,解得0<x<；或x>l；令/'(x)<0,解得;<X<1,

所以函數(shù)/(%)在和(l,+oo)上單調(diào)遞增，在，,11上單調(diào)遞減.

(2)解：Q/(x)=Inx+%2-41%,

“、1c2x2-ax+1_

f{x}=-+2x-a---------------,x>。，

xx

因?yàn)?(x)存在兩個極值點(diǎn)再，馬，所以2爐-改+1=0存在兩個互異的正實(shí)數(shù)根玉，x2,

所以石+x,=幺，xr%2=-,則/=,，所以%=?=2t，

222%ix2]

2再

2

所以/（F）—/（/）=In石+-axx-Inx2-x2+ax2

—In——+［玉2―x；—2（玉+X2）（王一

21

=ln—+(一玉之+%2)—In2+2InXj—xy+

i21(2x,2-l)2

令ga)=ln2+21nvx「+廿’則g'G)=三.?-元=一^^

QO<演，g，(%J<0,

.?.801)在(0,3)上單調(diào)遞減，

，g(Xi)>g(g)，而g(；)=；-ln2,

3

即g4)〉「n2,

3

/(x1)-/(x2)>--ln2.

3.已知函數(shù)/(x)=lm:+，,(aeR),在x=l處的切線與直線x—2y+1=0平行.

(2JC

(1)求實(shí)數(shù)。的值，并推斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)/(%)=%有兩個零點(diǎn)，求證：%1+X2>1.

【答案】⑴a=2,函數(shù)“X)在(0,g)上單調(diào)遞減，在(；,+00)上單調(diào)遞增；⑵證明

見解析.

【解析】(1)解：函數(shù)/(九)的定義域(0,+"),

因?yàn)?'(x)=L--!，所以/''⑴=1—2=工，解得a=2,

xaxa2

/(x)=lnx+^-)八x)」一±=2；2,

2xx2x2x

令/''(“<0,解得0<x<j故/(x)在(0,；)上單調(diào)遞減,

令/'(x)>0,解得x〉g,故/(x)在(g,+00)上單調(diào)遞增.

(2)解：由王，%為函數(shù)/(%)=加的兩個零點(diǎn)，得In石=m,

兩式相減，得In%—111々+1---二=0,即1112=幺二三，上三

2x12X2X22X1X22]n—

A-i1_迤

lrrSM

因此x=----，%=------，

21n%21n工

x2x2

I11

1]--t------

令/=土，由0<西<%2，得。</<1，則為+%2=----+——-=——-，

x221nt2]nt2]nt

構(gòu)造函數(shù)//?)=/—；—21n《0</<l),則力'?)=1+3-

所以丸⑺在(0,1)上單調(diào)遞增，故/")</z(l)=0,7—；—21n/<0,

1

t--

又。〈/<1,所以ln/<0,所以一^〉1,

2In?

故玉+々>1,命題得證.

4.其它

1.已知函數(shù)/(x)=e*-x-l.

(1)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)當(dāng)了之。時(shí)，求證：/(x)+x+l>-^x2+cosx.

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+00),單調(diào)遞減區(qū)間為(-00,0),微小值為/(0)=0,沒

有極大值；(2)證明見解析.

【解析】(1)易知函數(shù)/(%)定義域?yàn)镽,

'：f(x)=ex-x-l,：.f'(x)=ex-l.

令r(x)="—1>0,解得x>0,/(x)在(0,+00)上單調(diào)遞增，

/,(x)=e'-l<0,解得x<0,/(x)在(—8,0)上單調(diào)遞減，

即/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+00),單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0),

函數(shù)/(x)的微小值為/(0)=0,沒有極大值.

(2)解法一：要證/QO+x+lzg/+cosx,

1

即證e"——x20-cosx>0，

2

設(shè)g(九)=/一;'2-cos%,要證原不等式成馬上證g(x)>0成立，

g'(%)=ex-x+sinx,

71

*.*sinx>—1,g'(x)="—九+sin%2e”—九一1(當(dāng)且僅當(dāng)x=--+2kn,keZ時(shí)等

號成立)，

由(1)知產(chǎn)一%-120(%=0等號成立)，

???/(%)>0,???g(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增，???gCx)2g(0)=0,

???當(dāng)x20時(shí)，/(x)+x+l>^%2+cosX得證.

解法二：要證/(x)+x+12；%2+COSX,即證"-COSX20,

設(shè)g(x)=ex~~^2-cosx,要證原不等式成馬上證g(x)>0成立，

gr(x)=e"一%十sin%,

設(shè)■%)=gf(x)=ex-x+sinx,則hf(x)=ex-1+cosx,

令加⑺