2025高考數(shù)學專項復習洛必達法則含答案

溶瑪達建則

目錄

題型歸納.....................................................................................1

題型一洛必達法則的直接計算............................................................1

題型二洛必達法則解決最值問題..........................................................3

題型沖關.....................................................................................5

題型歸納

題型一洛必達法則的直接計算

【解題規(guī)律?提分快招】

一、前言

在高中，涉及到求參數(shù)的取值范圍時，參數(shù)分離后，有時會出現(xiàn)分子與分母之比為兩個無窮小之比、兩個無窮

大之比或兩個趨近于零的數(shù)之比。這個比值可能是定值也可能是不存在,這時如果我們要計算出他們的比

值，就需要運用到洛必達法則。

二、洛必達法則定義

在一定條件下，通過分子分母分別求導,再求極限來確定未定式的值的方法，稱為洛必達法則。

三、法則形式

1、法則l(j型):若函數(shù)/(2)和gQ)滿足下列條件：

⑴設當力7a時，1忠L/(力)=0及1忠19(力)=0；

⑵在點a處函數(shù)/Q)和gg)的圖像是連續(xù)的,即函數(shù)/Q)和g(c)在點a處存在導數(shù)；

/'(2)_刖「/㈤_1.廣㈤_

(3)hm---=/7；則：hm,.=hm---=I7.

為-8g'(c)x^a9\x)x^ag'(c)

2、法則2(亮型)：若函數(shù)/Q)和gQ)滿足下列條件:

(l)hm/(j;)=0及l(fā)im^(a;)=0；

⑵在點a處函數(shù)/(⑹和gQ)的圖像是連續(xù)的，即函數(shù)/㈤和gQ)在點a處存在導數(shù)；

BYT/⑸imu1.于⑺-i-f'3)

(3)lim-----=/,貝U：hm-----=lim------=I.7

GTgg'(力)cTgg(力)Lgg'O)

3、法則3(卷型):若函數(shù)/(2)和gQ)滿足下列條件：

(1)hm/(rc)=8及=oo；

⑵在點a處函數(shù)/(劣)和g(x)的圖像是連續(xù)的,即函數(shù)/(劣)和g(力)在點a處存在導數(shù)；且g\x)W0；

⑶1皿也=/,則：1加3=1池國

-g'{x}g。g(x)『ag'{x}

【特別提醒】

(1)將上面公式中的+8換成a；f+co,c->—co,2一a+,c->GF洛必達法則也成立。

⑵洛必達法則可處理，橙，0?8,產，00。,0。，00—00型。

(3)首先要檢查是否滿足卷，詈，0產，8。,0。，oo-8型定式，否則用洛必達法會出錯。當不滿足三個前

提條件時，就不能用洛必達法則

(4)若條件符合,洛必達法則可連續(xù)多次使用,直到求出極限為止。

(5)高中階段,洛必達法則一般是用來確定最值,方便解題。

四、適用類型的轉化

(1)0?GO型的轉化：0.00=>工-00=里或0.00=>0.1=2

GO0000

=9

(2)co—co型的轉化：co—，

000-0

0°1fO-lnO

(3)0°、產為。型的轉化:幕指函數(shù)類產co-lnl=>0-co

00°lo-lnco

【典例訓練】

一、單選題

1.(23-24高三下?吉林長春?期中)1696年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以

尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限,法則的大意為:在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求

coxee

極限來確定未定式值的方法.如：lims'*=]皿?>力)_\[m^=1,按止匕法則有l(wèi)imJ―二^=

c-0xc-oX'2-012-*01—cosx

()

A.2B.1C.0D.-2

2.我們把分子、分母同時趨近于0的分式結構稱為4型，比如：當力-0時，旦二1的極限即為瞿型.兩個

無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則:在一定條件下通過

對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法.如：lim^=lim-—=lim*=lime，

a;->0Xa:-*0c-?01

=人=1,則lim包些=()

IT2—1

A.0B-fC.1D.2

二、填空題

3.1696年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商

的極限，法則的大意為:在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法.如：；

lim包些=lim隨包=lim『=1,按此方法則有l(wèi)im—二=

xaTOx'*T01smx---------

題型二洛必達法則解決最值問題

【典例訓練】

一、解答題

4.(2024高三?全國?專題練習)VxE(Of+8),e*—1—力一a/>0恒成立,求a的取值范圍

x

5.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/(力)=(ax—2)e—e(a—2).當力>1時f(x)>0,求Q的取值范

圍.

6.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/⑺=*+?,如果當且五1時,/Q)>T+M

求A:的取值范圍.

7.(2024?浙江?二模)①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學工具--洛必達法則，法則中有結論:若函數(shù)

/(a?),g{x)的導函數(shù)分別為尸(c),,且媽/(①)=更加(2)=0,則

..f{x)/㈤

lim-；~~—lim—~—.

ig㈤ig，(x)

②設a>0,R是大于1的正整數(shù),若函數(shù)/(乃滿足:對任意尤6［0,a］,均有/(支)成立，且

lim/O)=0,則稱函數(shù)/(乃為區(qū)間［0,a］上的％階無窮遞降函數(shù).

-0

結合以上兩個信息，回答下列問題：

⑴試判斷/(C)=鎮(zhèn)一3名是否為區(qū)間［0,3］上的2階無窮遞降函數(shù)；

1,

(2)計算：lim(l+/產；

力一>0

⑶證明：(sin化丫<cosx,xE（兀,告兀）.

X-K'

一、單選題

8.（23-24高三下?北京朝陽?期中）兩個無窮小之比或兩個無窮大之比的極限可能存在,也可能不存在，為

止匕洛必達在1696年提出洛必達法則，即在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定

式值的方法，如lim^=lim--==1,JJl!）~~-=（）

0Xrr-?O力'：rf01a;-?l/[

19

A.看B.告C.1D.2

oo

9.（23-24高三下?新疆伊犁?期中）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結構稱為土型，比如：當?shù)?0

時，亙二1的極限即為白型.兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提

出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法.如：

lime-1=lim———==lime2"=e。=1,則lim^nx=（）

x->0Xn'6-0101力2_1

A.B.C.1D.2

82

二、解答題

10.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)/（力）=c（e%—1）—ax2,當6>0時,/（力）>0,求實數(shù)a的取值范

圍.

11.（2024高三?全國?專題練習）為G[O,TT],2sin力—NCOSN—N>Q力恒成立，求Q的取值范圍

12.（2024高三.全國.專題練習）已知函數(shù)/（力）=e，一/一1,若當力＞0時，恒有|/（rr）|Cmx2e^成立,求實數(shù)

館的取值范圍.

13.（2024高三?全國?專題練習）設函數(shù)/（2）=ex—b+cx—ax2,

（1）若/（0）=0,/（—1）=：—Q（Q為常數(shù)），求/（力）的解析式;

（2）在（1）條件下，若當力＞0時,/（力））0,求Q的取值范圍.

_________B

14.(23-24高三下?山東泰安?期中)①在高等數(shù)學中，關于極限的計算，常會用到：i)四則運算法則：如果

螞〃力)=A,腳gQ)=8,則螞［/(%)土gQ)］=螞/0)土螞g(>)=A±B,螞［/O)?g(?］=

Hm/(rr)?更盟⑺=4B,若BW0,則1岬］=得；液)洛必達法則:若函數(shù)/(劣),g(力)的

‘La"''

導函數(shù)分別為尸⑺，g\x)叫則⑺=1思ig⑺=0,阿9,⑺=0,則螞懸=黑,二

②設a>0,R是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)/(/)滿足:對VrrC(0,a),均有/(/)>/(%)成立，則稱函數(shù)

/(乃為區(qū)間(0,a)上的％階無窮遞降函數(shù).結合以上兩個信息，回答下列問題；

⑴計算:①lim"；

50X

1

②lim(l+2力產；

a?->0

(2)試判斷/(乃=tan：*是否為區(qū)間(0,專)上的2階無窮遞降函數(shù);并證明：V力C(0,專)，于⑺

>1.

15.(2024.河北邢臺.二模)在函數(shù)極限的運算過程中，洛必達法則是解決未定式與型或詈型極限的一種重

要方法，其含義為:若函數(shù)/(乃和gQ)滿足下列條件：

①hm/(a;)=0且limg(x)=0(或limf(x)=oo,=oo)；

②在點a的附近區(qū)域內兩者都可導，且"(力)W0；

借=4人可為實數(shù),也可為±8),則黝備=黝借=4

③lim

x—a

⑴用洛必達法則求lim」」；

-osmx

"2"3"2九-1

⑵函數(shù)/(/)=1+/+言+言+…+常口yp(n>2,neN*),判斷并說明/⑺的零點個數(shù);

⑶已知g(2/)=g(力)?COSN,g(0)=1,cG，求g(力)的解析式.

參考公式：1麴/3=/(1獨產)，更網(wǎng)■⑺=陽四/⑺?

_______0

SMttMl

■?

題型西納.........................................................................................1

題型一洛必達法則的直接計算................................................................1

題型二洛必達法則解決最值問題............................................................3

題型沖關.........................................................................................6

nflM

題型一洛必達法則的直接計算

【解題規(guī)律?提分快招】

一、前言

在高中，涉及到求參數(shù)的取值范圍時，參數(shù)分離后，有時會出現(xiàn)分子與分母之比為兩個無窮小之比、兩個無窮

大之比或兩個趨近于零的數(shù)之比。這個比值可能是定值也可能是不存在，這時如果我們要計算出他們的比

值，就需要運用到洛必達法則。

二、洛必達法則定義

在一定條件下，通過分子分母分別求導,再求極限來確定未定式的值的方法，稱為洛必達法則。

三、法則形式

1、法則1噂型):若函數(shù)/⑸和gQ)滿足下列條件:

⑴設當立—a時，Hm/(x)=0及4職9(/)=0；

(2)在點a處函數(shù)/(⑹和g(x)的圖像是連續(xù)的，即函數(shù)/(⑼和gQ)在點a處存在導數(shù);

z?.『⑺_]./㈤].r㈤_

(3A)1lim-=/1；貝miIl」：lim——=hm———=I1.

…g\x)—ag(X)—g\x)

2、法則2(4型)：若函數(shù)/(力)和g(c)滿足下列條件：

(l)lim/(x)=0及1迪g(a?)=0；

(2)在點a處函數(shù)/(⑼和gQ)的圖像是連續(xù)的，即函數(shù)/㈤和gQ)在點a處存在導數(shù);

(3)lim況□，則迫

3、法則3(協(xié)型):若函數(shù)/Q)和gQ)滿足下列條件：

(1)lim/(a;)=co及hmg'(x)=co；

(2)在點a處函數(shù)/(⑹和g(x)的圖像是連續(xù)的，即函數(shù)/(⑼和gQ)在點a處存在導數(shù);且g'Q)00；

(3)lim=，，貝!!：Hm/M=lin3=.

g'Q)Lag(6)g，(x)

【特別提醒】

(1)將上面公式中的力+8換成力T+8,NT—8,力一0+,/一。-洛必達法則也成立。

⑵洛必達法則可處理,協(xié)，0?00,產，00。,0。，00—00型。

(3)首先要檢查是否滿足卷，爰，0?00,18,8。,。。，8—8型定式，否則用洛必達法會出錯。當不滿足三個前

提條件時,就不能用洛必達法則

(4)若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。

(5)高中階段,洛必達法則一般是用來確定最值,方便解題。

四、適用類型的轉化

⑴0。GO型的轉化：0.GO=>L-GO=里或0.GO=>0.[=g；

000000

=9

(2)co—co型的轉化：co—00

000-0_0

0°1fO-lnO

(3)0°、產為。型的轉化:塞指函數(shù)類1?co-lnl=>0-co

00°lo-lnco

【典例訓練】

一、單選題

1.(23-24高三下?吉林長春?期中)1696年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以

尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限,法則的大意為:在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求

極限來確定未定式值的方法.如：limsinX=lim迪竺L=lim-審=1,按此法則有l(wèi)im——

c—OXc—OX'rr->01—o1—cosx

)

A.2B.1C.0D.-2

【答案】A

【分析】根據(jù)洛必達法則直接求導并代入計算即可.

【詳解】由題意可得=lim與上"=lim之士

—01—COST5。(1—COS4)工T)SUIT

("e力'e-ef

=lim------------=lim----------=2Q,

(sin6)6一。cos力

故選：A.

2.我們把分子、分母同時趨近于0的分式結構稱為4型，比如：當一0時，更二1的極限即為4型.兩個

無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則:在一定條件下通過

對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法.如：linT=lim-上=lim*=lime*

=『,則1皿殖些=()

IX2—1

________P

A.0B-lC.1D.2

【答案】B

【分析】判定當，一1時，或些的極限即為2型，再利用給定法則計算即可得解.

為—210

【詳解】顯然，當時，學生的極限即為g型,

力2—10

所以：1皿次啦=1皿空駕2chi力+力

lim=lim(W+1)=lnl+|=1.

。旬X2—l=1（T2—1）X->12x

故選：B

二、填空題

3.1696年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商

的極限，法則的大意為:在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法.如:

ee

lim，皿口=]jm佰①①）_cosx_1,按此方法貝|J有Jim-=.

Dx4一。x'"一。1H-Osmc----------

【答案】2

【分析】由洛必達法則,分別對分子和分母求導，代入c=0即可求得該極限值.

初、出站工k汨e'-e-工（ex-e-xyx+e-x

[[羊解]由越思可行：lim—；------=lirm-------------=lim-e---------=2o.

x->osma;x->o（sin（r）5。coss

故答案為：2.

題型二洛必達法則解決最值問題

【典例訓練】

一、解答題

4.（2024高三?全國?專題練習）VccC（0,+8）,e“—1—刀―a/>0恒成立，求a的取值范圍

【答案】a4]

【分析】常數(shù)分離得,判斷g（0=.一；一1的單調性并用羅比塔法則求其最小值.

x2X2

【詳解】ex—l—x—ax2>00a&———,

x1

記g（，）=e—l,reG（0,+?）,

則g，Q）=--2e°+c+2,

X3

記h（x）=xex—2ex+力+2,

貝Ih'[x）=xex—e*+1,

而（xex-ex-\-iy=xex>0,

所以，研力）在（0,+8）單調遞增，所以"（%）>"（0）=0,

所以仇（宏）在（0,+oo）單調遞增，所以九（力）>九（0）=0,

即在（0,+oo）上g〈力）>0,所以g（劣）在（0,+oo）上單調遞增,

所以Q<limg（力）=lim——-——=lim旨=4,

『0"'）『0"2廠o2x-022

所以

5.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/(力)=(Q/一2)e“一e(a—2).當力>1時fQ)>0,求a的取值范

圍.

【答案】[1,+8)

【分析】分離參數(shù)，構造新函數(shù)g(x)=————，及無(力)=xe—e%判定其導函數(shù)的符號結合洛必達法則計算

xex—e

即可.

【詳解】由題意可知，當力〉l,/(x)>0時，即(Q力一2)e*—e(Q—2)>0等價于0>為———

xe^—e

2xex+1-2(ex'f_2ex(xe—ex')

設9(切=212e,則。，(,)

xex—e(xex—ef(xex—e)2

設無(6)=/e—e。，則h\x)=e—e。，因為1>1,所以Zz'Q)<0,

即當宏>1時,g'(力)V0,所以g(x)在(1,H-OO)上單調遞減,

當1時，2ei—2e―0,當力71時，/eI—eT。滿足洛必達法則，

9al—2a9al

所以limg(6)=lim-------=lim--------=1,

x-?icTXQX——e工-*iQX+ce。

即當rr>1時，a的取值范圍是［1,+oo).

6.(2024高三全國?專題練習)已知函數(shù)/(/)=巖+：,如果當Q。,且g時,如>普+條

求％的取值范圍.

【答案】(-8,0]

xlnx2xlnx

【分析】將題意轉化為A;〈豆哼+1—，令g(2)=+1,利用洛必達法則求出limgQ),即可得出

0+1x—11-x2CT1

答案.

Inrc

【詳解】根據(jù)題目的條件，當力>0且cWl時，/Q)>+國

x—1X

8Ina7.1、Ina;.k隹/人工7xlnx.〕xlnx_2/ln力

付——H--->---------，寺價于k7<——+1-+1.

X-VLXX—1XX+1X—11—X2

2(,2+l)lnc+2(l—爐)_2(/+D(lnc+1—/

設g(,)=*+l,g，?=/2+1

(I/(1-好

1-x2

因為j，+2]>°，設%(力)=1口6+

力2+1

—2劣(d+1)—(1—d)x2x1_4力(1—好

則h'(x)^—+>0,

X3+1)2x(a?2+l)2x(x2+1)2

所以九(力)在(0,+8)上單調遞增，

因為九(1)=0,所以當(0,1)時，入0)V0,

即g(力)在(0,1)上單調遞減，當Ie(1,+oo)，九㈤>0,g(劣)在(1,4-00)上單調遞增.

當x趨近1時，2力In力趨近0,當力趨近1時，1—x2趨近0,

所以汕些符合洛必達法則的條件，

1一爐

2xlnx21n+2

即limg(cc)=lim+l)=l+lim^=-1+1=0,

x->la:->l1-x2/x->i—2x

所以當N>0,N#1時，g(/)>0

所以k的取值范圍是(―co,0].

7.（2024?浙江?二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學工具——洛必達法則，法則中有結論:若函數(shù)

f(x),g(/)的導函數(shù)分別為ff(x),gf(x),且=0,則

iim44=iim44

g㈤5。g'(x)

②設a>0,R是大于1的正整數(shù),若函數(shù)/（乃滿足:對任意x6［0,a］,均有/（支）成立，且

lim/O）=0,則稱函數(shù)/（乃為區(qū)間［0,a］上的％階無窮遞降函數(shù).

-0

結合以上兩個信息，回答下列問題：

⑴試判斷/（c）=靖一3名是否為區(qū)間［0,3］上的2階無窮遞降函數(shù);

1_

(2)計算：lim(l+x)x

(3)證明：(‘in/)〈cose,xE(兀，。兀).

\x-K)'2'

【答案】（1）/Q）=爐一3/不是區(qū)間［0,3］上的2階無窮遞降函數(shù)；

（2）lim（l+x）x—e

rc->0

（3）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)/（切為區(qū)間［0,a］上的k階無窮遞降函數(shù)的定義即可判斷；

（2）通過構造無（2）=IngQ）,再結合lim以旺=lim",即可得到結果；

5。gQ）ig\X）

（3）通過換元令令a—兀=t，則原不等式等價于tant-sin2t>優(yōu)力C（0號），再通過構造函數(shù)/⑴=

旦吟汕（。，1）,根據(jù)題干中函數(shù)/（c）為區(qū)間［o,1］上的％階無窮遞降函數(shù)的定義證出力C

，即可證明結論.

【詳解】⑴設尸⑸=/0)7倍)

由于F(l)=1—得<0,

o2

所以/(,)>/管)不成立，

故/(，)=①3—3①不是區(qū)間［0,3］上的2階無窮遞降函數(shù).

(2)設g(c)=(1+x)x,則lng(c)=—ln(l+a?)='(1+1)

設伏工)=如(1+工).,

X

mlr.\1.ln(l+ai)1+71

則limh(x)=lim------------=lim---=1,

6-?0①->0X1

所以liming(%)=1,得lim(l+x)x—e.

c->04一>0

（3）令力一兀=力，則原不等式等價于tant,sin2tt3,tE（0號

2

即證tant?sin^>l”(o堡),

t3

2

tant?sin2/;/7r\/+x8tany-Siny

記/⑴=/e(0q)，則*■卜—

i?

COS2y

/⑴_tant?sin2/;t31

所以>1,

t38tan-|-?sin2y1—tan2-1-1—tan4-1-

即有對任意力e（0晝），均有f⑴>/段）,

所以/⑴>/（］）>.->/（《）

因為lims'11'=limcosa;=1,

。-?0Xa;->0

23

tan^-sin^sin3isin

所以lim/（上）=lim\2n1

limlim,lim------1,

n3

n->+oo\2/n-?+co71—+8in^+cotn-?+oo（f

Icos2nCOS

所以/（t）>l,￡C（0號）,證畢!

【點睛】方法點睛：利用函數(shù)方法證明不等式成立問題時，應準確構造相應的函數(shù)，注意題干條件中相關限制條

件的轉化.

一、單M

8.（23-24高三下?北京朝陽?期中）兩個無窮小之比或兩個無窮大之比的極限可能存在,也可能不存在，為

此，洛必達在1696年提出洛必達法則，即在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定

3=lim運a

式值的方法，如lim=lim半=1,則lim警叁口

rc—0X?-*0記50。1Ix2+x—2

AXR2

BC.1D.2

3T

【答案】B

【分析】根據(jù)洛必達法則求解即可.

-+12

【詳解】lim-----------------=nm=lim-^-----

立一?i12+力一2/一?1（"+力—2）'c—i26+13

故選：B

9.（23-24高三下?新疆伊犁?期中）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結構稱為土型，比如：當c-0

時,U的極限即為普型.兩個無窮小之比的極限可能存在,也可能不存在,為此，洛必達在1696年提

出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法.如：

lim』=lim±U

=lim告=lime2=e°=1,則1皿」^

-0xrc->06-o167o*一162—1

A—C.1D.2

8

【答案】B

【分析】根據(jù)題意利用洛必達法則求解即可

1

y.X11

【詳解】由題意得1皿3工=limQ：*）、,lim——=lim--二—

51X2—151（x2—1）i2xi2x22

故選：B

二、解答題

10.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)/（力）=/?T）—ax2,當力>0時，/（a;）>0,求實數(shù)a的取值范

圍.

【答案】（—8,1]

【分析】考慮力=0和力>0兩種情況，參變分離，構造函數(shù)，求導得到其單調性，得到a<lim———-，結合洛必

立一。x

達法則求出答案.

【詳解】當/>0時，/（力）>0,即/（e。-1）>ax2,

①當力=0時，0>0,aG凡

②當力>0時，力（田一1）〉。/等價于^—1>Q力，

即dl>明

X

令g（/）=eT，/e（0,+8），則g\x）=―—1）：,

XX2

記八（力）=（%一l）e*+1,xE（0,+oo）,

則hr（x）=xex>0,因此九（/）=（4—1）。+1在力G（0,+oo）上單調遞增,

且九（力）>九（0）=0,所以g〈N）>0,從而g（x）=———-在16（0,+oo）上單調遞增，

x

所以a<lim———,

50x

由洛必達法則得lim-..-==1,

X4—01

即

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為（-oo,l].

11.（2024高三?全國?專題練習）力E[0,7r],2sinre—xcosx—x>ax恒成立，求a的取值范圍

【答案】（—8,0]

【分析】根據(jù)題意，先討論力=0的情況，然后討論/G（0,兀]的情況，分離參數(shù)，利用導數(shù)求其最值，即可得到結

果.

【詳解】當力=0時，aGR;

當xE（0,7r]時，不等式可化為a42sin力—cosx—i.

x

FL,\2sin力1

7己h\x）--------cosx—1,

X

2TCOST+（力2—2）sin/

則h\x）=

，己3（/）=2xcosx+（62—2）sin/,則0'（力）=x2cosx,

兀

當力e（0,5）時，則0’（力）>0；當力e時,則8（%）<0.

5'兀

因為lim/z（x）=lim—2=lim2cosa-2=0,并且九（兀）=0,所以h{x}>0.

a;-?0ir->0Xa;-?0

這時Q40符合題意.

綜上可知，a的取值范圍是（一8,0].

12.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)/（力）=已/—2―1,若當力>0時，恒有|/（力）|<mx2e^成立,求實數(shù)

館的取值范圍.

【答案】［￡,+8

【分析】由題意分離參數(shù)可得e—LI，令8（,）=e一廠L,對H（G求導，求出J/Q）的單調性結合洛

x2exx2ex

必達法則求出H（R）的最大值.

【詳解】（力）=ex—x—l,=ex—l.

當力e（―co,0）時，/'（力）＜0,即/（劣）單調遞減；

當力e（0,+8）時，r（力）＞0,即/（力）單調遞增.

若當力＞0時，恒有1/（力）|Cmx2e^成立，即恒有0&f（力）成立.

當力=0時，不等式恒成立.

當力＞0時，恒有0＜一（力）Wmx2ex成立，

即機,e——1,令口㈤=——1

x2exx2ex

則H'(x)=二―2e；+2/+2.

x3ex

令h(x)=x2-2ex+2x+2,則h\x)=2%-2e*+2,進一步"'(%)=2—2e*V0,

h'[x)=2力-2ex+2在(0,+oo)上單調遞減，,二h'{x)<"(0)=0.

:.h(x)=x2—2e*+2%+2在(0,4-oo)上單調遞減，，h(x)<7z(0)=0.

即〃'(力)VO在(0,+8)上恒成立，??.5(%)在(0,+8)上單調遞減.

.「ex-x—lre”—1「ex1.、1

..lim------------=nm——-------=lim——------------=—,—.

c—o+x2ex1-0+已""+2/)ex(a:2+4T+2)22

綜上，m的取值范圍為[],+oo).

13.（2024高三?全國?專題練習）設函數(shù)/（%）=ex—b+cx—ax2,

⑴若/（0）=0,/（—1）=十—a（a為常數(shù)），求/（乃的解析式;

（2）在（1）條件下，若當?shù)叮?時,/（為＞0,求a的取值范圍.

【答案】(1)/(劣)=ex—l—x—ax2

⑵

【分析】(1)根據(jù)f(0)=0"(-L)=1—a求解;

(2)由(1)知c=0時，/(0)=0>0,此時，aCR,將問題轉化為a4一廠對7>0恒成立求解.

X1

【詳解】⑴解:因為/(0)=0,/(—1)=-1--a,

11

所以/(。)=1—6=0,/(—1)=-----b—c—a=----a,

解得b=l,c=—1,

所以/（力）=GX—1—X—ax2;

⑵由⑴可知，力=0時，/（0）=0＞0,此時，ae兒

故力＞0時，/（x）＞0成立d＞0時，/（劣）＞0成立,

u＞-1—力一ax2＞0對力＞0恒成立，

即a4————對/＞0恒成立；

X2

記以:e,則%，（.）=收—2丁+2,

X2X3

3己夕（6）=xex—2ex+力+2,則夕'（力）=xex—ex+1,

_______0

3己/(力)=力6。-e"+1,貝U=xex,

???當力>0時，丁'(宏)>0,"(c)在(0,+oo)上單調遞增；

dQ)>夕'(0)=0,

所以9(力)在(0,+oo)上單調遞增;(p(x)>0(0)=0;

/.xE(0,+8)時，"(/)>0,即h(x)在(0,+8)上單調遞增;

￡己=ex—x—1,q{x)—x2,

當力一0時，p(x)->0,q(力)一0符合洛必達法則條件，

.7/\].ex—x—l「e1—1].ex1

..hm拉⑺=nm-------------=lim-----=nm——=--,

x-?0rr->0/2%-()227勺一。22

，c>0時,fi⑸>,

??.Q4.

【點睛】方法點睛：不等式/(力)>。恒成立問題，往往通過f(/)min>0求解或轉化為(6)min或G>9(/)max

求解.

14.(23-24高三下?山東泰安?期中)①在高等數(shù)學中，關于極限的計算，常會用到：i)四則運算法則：如果

黝/(①)=A>螞9(乃=3,則lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B,黝[/(工)?gQ)]=

lim/(rc)-lim(7(a:)=AB,若B￥0,則lim[=^-；ii)洛必達法則：若函數(shù)/(c),g(c)的

"I))

f(x\lim/'Q)

導函數(shù)分別為r(c),g，(為，1期/Q)=1酒oQ)=0,1期g'Q)=0,則1蹲而=1；2「⑺；

②設a>0,R是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)/(為滿足:對V力e(0,a)，均有/⑸>/(關)成立，則稱函數(shù)

f(x)為區(qū)間(0,a)上的k階無窮遞降函數(shù).結合以上兩個信息，回答下列問題；

⑴計算:①lim.；

50X

1

②lim(l+2c)。；

rr-*O

⑵試判斷了㈤=皿型送是否為區(qū)間(0,年)上的2階無窮遞降函數(shù);并證明：VcC(0,等)，/(乃

X6\27\27

>1.

【答案】⑴①1;②e2

⑵是，證明見解析

【分析】(1)①根據(jù)題干中洛必達法則進行計算即可得解;②設九3)=lng(z),根據(jù)洛必達法則求出limlngQ)

一0

=2,利用變換limgQ)=limelni/(:c)=e2得解；

⑵方法一，VxC(o號)，均有怎)，同理可得/㈤>/怎)》.?>/仔)，利用洛必達法則1可得

觸/(十)=1，得證；

方法二，利用導數(shù)可得f(x)在(0,方)上單調遞增，又由limf(x)=[(&詈『.]=1盤(包詈)3.

lim---=1,得證.

5。COST

【詳解】(1)①根據(jù)洛必達法則，limsi11，=lim⑻“')=limcosa;=1;

5。X±T)/'c-?0

②設g(x)=(1+22尸，兩邊同時取對數(shù)得，lng(x)=—ln(l+2力)=ln(l+=)

設h(x)=I""+2"，,lim/z(a7)=limln(l+2x)[.[ln(l+2a;)y2