專題092025高考數學專項復習導數?？碱}型全歸納

（七大題型）（學生版）

導數?？碱}型全歸納

目錄

題型01導數與極值（含有參數的單調性分類討論）..........................................2

題型02導數與最值（含恒成立和有解問題）.................................................7

題型03導數與方程的根（含隱零點問題）..................................................12

題型04極值點偏移問題..................................................................16

題型05導數與不等式...................................................................21

題型06導數中其他雙變量問題...........................................................26

題型07導數結合數列...................................................................32

題型通關................................................................................37

題型01導數與極值（含有?數的單調性分類討論）

【解題規律?提分快招］

一、含參數單調性討論

（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續的區

間）；

（2）變號保留定號去（變號部分:導函數中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或恒負，無需單

獨討論的部分）；

（3）恒正恒負先討論（變號部分因為參數的取值恒正恒負）;然后再求有效根；

（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮:根是否在定義域內和多根之間的大小關系）；

（5）導數圖像定區間；

【一般性技巧】

1、導函數的形式為含參一次函數，首先討論一次項系數為0的情形，易于判斷;當一次項系數不為零時,討論導

函數的零點與區間端點的大小關系，結合導函數的圖像判定導函數的符號,從而寫出函數的單調區間.

2、若導函數為含參可因式分解的二次函數,令該二次函數等于零，求根并比較大小，然后再劃分定義域，判定導

函數的符號,從而確定原函數的單調性.

3、若導函數為含參不可因式分解的二次函數，就要通過判別式來判斷根的情況，然后再劃分定義域討論.

二、函數的極值

函數/（2）在點而附近有定義,如果對x0附近的所有點都有/Q）<fM,則稱/（然）是函數的一個極大值，記作

V極大值=/（g）.如果對g附近的所有點都有/㈤>/（，（））,則稱/（g）是函數的一個極小值，記作沙極小值=/（g）.極

大值與極小值統稱為極值,稱x0為極值點.

求可導函數“0極值的一般步驟

⑴先確定函數/（，）的定義域；

⑵求導數廣㈤；

（3）求方程rQ）=o的根；

（4）檢驗廣（工）在方程廣（/）=o的根的左右兩側的符號,如果在根的左側附近為正,在右側附近為負，那么函數歲

=f（x）在這個根處取得極大值;如果在根的左側附近為負，在右側附近為正,那么函數y=f（x）在這個根處取得

極小值.

注①可導函數/（⑼在點&處取得極值的充要條件是：g是導函數的變號零點，即/（g）=0,且在g左側與右

側，［3）的符號導號.

②r（，o）=0是立o為極值點的既不充分也不必要條件，如/（/）=爐,r（。）=。,但。0=。不是極值點.另外,極值點

也可以是不可導的，如函數/（⑼=㈤，在極小值點g=0是不可導的，于是有如下結論：g為可導函數/Q）的極

值點n/（g）=0；但rQo）=為/（①）的極值點.

【典例訓練】

一、解答題

1.（2024高三?全國?專題練習）已知函數/（力）=2（mrc—Inrr）+已,討論/（劣）的單調性與極值.

________P

2.(2024.河南開封二模)已知函數/(*)=Inc—0.

X

(1)討論的單調性并判斷有無極值,有極值時求出極值；

(2)函數g(c)=J—；若方程/(2)=/(g(rr))在刀C(0,J)上存在實根,試比較/(c^)與In早的大小.

L—X\2，4

3.(24—25高三上?山西呂梁?期末)已知函數/(a;)=e2x—ax+a(aeR),g(x)=(3—2x')e2x.

(1)求函數/(為的單調區間；

(2)求函數/Q)的極值；

(3)若g為函數/(c)的極值點，則稱(g,/(g))為函數/Q)的“靚點”.證明：。(為上任意一點都有可能

成為/Q)的“靚點”.

4.(24-25高三上?安徽淮北?階段練習)已知函數/Q)=lnQ+l).

(1)求曲線g=/(功在/=3處的切線方程.

(2)求函數尸(力)=x———(a+l)/(rc—1)的極值；

x

(3)設函數gQ)=(6+1)/(十)一/(十+1).證明:存在實數使得曲線g=g(c)關于直線力=山對

稱.

5.(23—24高三上?安徽六安?期末)已知函數/(①)=21n/+￡L/—(2m+l)x+l(mGJ?).

⑴求函數/(乃的極值;

(2)設函數/Q)有兩個極值點求證：/(電)+/(g)<

m

6.（24—25高三上?云南德宏?期末）已知函數/（%）=a\nx—a:+a3（aGB）.

（1）若函數/（力）在力=2處的切線與直線26—3g+1=0垂直，求實數Q；

（2）若函數/（劣）有極大值，且極大值不大于0，求實數a的取值范圍.

7.（2025高三?全國?專題練習）設函數/（力）—x2+mln（rr+1）（mG/?）.

（1）當m=-4時,求函數/（為）的單調區間；

（2）已知函數/Q）有兩個極值點，求力的取值范圍.

8.（2025?山西臨汾?一模）已知函數/（2）=ex—ax.

⑴當Q=1時，求曲線沙=/（力）在點（1,/（1））處的切線方程；

⑵當Q=2時，求函數g（%）=f（R）+sinx-cos/在［—亭+8）上的極值.

9.（24—25高三下?河北滄州?階段練習）已知函數/（6）=x—21n（a;+l）+axe~x,aER.

（1）當Q=1時,求函數/（0的單調區間；

（2）若①=1是函數/（力）唯一的極值點，求實數a的取值范圍.

題型02導數與量值(含恒成立和有解問題)

【解題規律?提分快招］

一、函數的最值

函數夕=/(M最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者;函數/(⑼最小值為極小值與靠近極大值的

端點之間的最小者.

一般地，設沙=/(劣)是定義在［館,九］上的函數，n=f(x)在(7?2,九)內有導數,求函數9=/(/)在［館,九］上的最

大值與最小值可分為兩步進行：

⑴求y=f(x)在(rm)內的極值(極大值或極小值)；

(2)將g=f(G的各極值與f(m)和f(n)比較，其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值.

注:①函數的極值反映函數在一點附近情況，是局部函數值的比較，故極值不一定是最值;函數的最值是對函數

在整個區間上函數值比較而言的，故函數的最值可能是極值，也可能是區間端點處的函數值；

②函數的極值點必是開區間的點,不能是區間的端點；

③函數的最值必在極值點或區間端點處取得.

二、恒成立和有解問題

1、若函數/(⑼在區間。上存在最小值/Q)min和最大值/Q)max，則

不等式/(2)>Q在區間。上恒成立Q/(N)min>&；

不等式/(2)在區間。上恒成立=/(劣)min>。；

不等式/(2)V匕在區間。上恒成立<=>/(N)max<b；

不等式/(2)<匕在區間。上恒成立Q/(N)max<b；

2、若函數/(2)在區間。上不存在最大(小)值，且值域為(m,九)，則

不等式/(2)(或在區間_D上恒成立o?n>a.

不等式/Q)<6(或/(2)&6)在區間。上恒成立oznWb.

3、若函數/(為在區間。上存在最小值/Q)min和最大值/Q)max，即/(為)￡［小，出,則對不等式有解問題有以下

結論：

不等式QV/(N)在區間。上有解V/Q)max；

不等式Q</(劣)在區間。上有解<=>Q</3)max；

不等式。>/(2)在區間。上有解oaA/QLn；

不等式a>f(x)在區間。上有解u>Q>/(N)min；

4、若函數/(2)在區間。上不存在最大(小)值，如值域為(館,九)，則對不等式有解問題有以下結論：

不等式aV/Q)(或aW/3))在區間。上有解—

不等式》>/(/)(或在區間_D上有解u>b>?n

5、對于任意的劣［。］］,總存在［館,汨，使得/(0)<g(/2)=/(g)max&g(N2)max；

6、對于任意的力16［Q,6］,總存在力2"［皿汨，使得/(61)>g3)=/(?)min>g(N2)min；

7、若存在gG［Q,6］,對于任意的a2G［如汨，使得/(劣1)4g(/2)O/(g)min&g(/2)min；

8、若存在gG對于任意的gG［小，汨，使得/(g)>9(22)o/(g)max>g(/2)max；

9、對于任意的g6［a,b］,X2E［館,汨使得/Qi)&g(>2)=/Ql)max&g(N2)min；

10、對于任意的616［a,b］,X2e［館,汨使得/Qi)>g(>2)O/01)min>g(N2)max；

11、若存在gG總存在［a,汨，使得/Ql)<g(>2)Q/(g)min&g(/2)max

12、若存在新€[a,b],總存在a;2c[m,n],使得/(為)>g(g)o/3)皿，。(㈤降?

【典例訓練】

一、解答題

10.(24-25高三下?四川內江?階段練習)已知函數/⑺=春靖+(a—1)*—Imr.

(1)討論/(c)的單調性；

⑵當a>0時,求函數/(①)在[1,2]的最小值g(a).

11.(2025?遼寧?模擬預測)已知函數/(1)=x+alna?(a^0)的圖象的一條切線方程是夕=24一1.

⑴求a；

(2)若關于刀的不等式/Q)<nzlnc有解，求m的取值范圍.

__________________________

12.（24-25高三上?湖北?期中）已知①=2為函數/（⑼=x（x-c）2--的極小值點.

e

⑴求C的值；

（2）設函數g（c）=.，若對C（0,+oo）,mgCR,使得求％的取值范圍.

ex

13.（24-25高三下?新疆烏魯木齊?階段練習）已知函數/⑺=e"++彘―a）（aCR），于⑺的導函數為

廣㈤,且*0）=0.

（1）求/（N）的最值;

（2）求證：——FIYIX+~~x>2.

x2

14.（24-25高三上?浙江?階段練習）已知函數/Q）=e--a?的最小值是0.

⑴求a；

（2）若實數m,九滿足mn=em-1+nlnn,求mn的最小值.

15.（24-25高三上?湖南長沙?階段練習）已知函數/（，）=Inrc+2必+￡（aCR）.

（1）討論函數/（功的單調性；

（2）若/（1）＞2c—1+a在（1,+oo）上恒成立,求整數a的最大值.

_____________________________

16.(24-25高三下?北京?開學考試)已知函數/Q)=ex-ax-^x2.

⑴當Q=1時，求曲線"=/(/)在(0,/(0))處的切線方程；

(2)若函數/(乃是增函數,求實數a的取值范圍；

(3)若/(N))—2+/+伉求(Q+l)b的最大值.

17.(24-25高三上?湖南常德?階段練習)已知/(乃=a(rc—Inc)+--^-(<z>0).

xT2

(1)討論/(c)的單調性；

(2)當a=1時，證明/(必)>于，(x)+對于任意的xG[2,+oo)成立.

（參考數據：ln2=0.69,ln2.3=0.83）

題型03導數與方程的根(含除零點向星)

【解題規律?提分快招］

一、隱零點問題

隱零點問題是函數零點中常見的問題之一，其源于含指對函數的方程無精確解，這樣我們只能得到存在性之后

去估計大致的范圍(數值計算不再考察之列).

基本步

第1步:用零點存在性定理判定導函數零點的存在性,列出零點方程r(g)=0,并結合/Q)的單調性得到零

點的范圍；

第2步：以零點為分界點,說明導函數/3)的正負,進而得到/(⑼的最值表達式；

第3步:將零點方程r(g)=0適當變形,整體代入/Q)最值式子進行化簡：

(1)要么消除，(⑼最值式中的指對項

(2)要么消除其中的參數項；

從而得到/(①)最值式的估計.

二、函數零點的存在性定理

函數零點存在性定理:設函數/(2)在閉區間［電切上連續，且/(a)/(b)V0,那么在開區間(a,6)內至少有函

數/(①)的一個零點，即至少有一點2()e(a,b),使得/(g)=0.

三、隱零點的同構

實際上，很多隱零點問題產生的原因就是含有指對項,而這類問題由往往具有同構特征,所以下面我們看到的這

兩個問題,它的隱零點代換則需要同構才能做出，否則,我們可能很難找到隱零點合適的代換化簡方向.我們看

下面兩例：一類同構式在隱零點問題中的應用的原理分析

(xex(xlnx

f(x)=lx+ex=^>/(lnx)=<x+lnx

le^-x-llx-lnx-1

/(re)=xex^f(—lnx')=~^~=>〃ec+lna:=0

所以在解決形如ex=—^>x+lnx=0,這些常見的代換都是隱零點中常見的操作.

X

四、一般思路

針對導函數的“隱零點，，，求解取值范圍時，需要根據導函數零點代入方程，把參數表示成含隱零點的函數，再來

求原函數的極值或者最值問題或證明不等式。構建關于隱零點作為自變量的新函數，求函數值域或者證明不等

式恒成立問題。在使用零點存在定理確定區間時往往存在困難，必要時使用放縮法取含參的特殊值來確定零點

存在區間。

【典例訓練】

一、解答題

18.(24—25高三下?河南,開學考試)已知函數/(c)=x+Inrc—xlnx—2(0<rr<4).

(1)探究/(￡)在定義域內是否存在極值點；

(2)求/(為在定義域內的零點個數.

_________?

19.(2025高三?全國?專題練習)已知函數/(*)=e"Q—1)--^-eax2,a<0.

(I)求曲線夕=/(力)在點(OJ(O))處的切線方程；

⑵求了(0的極值;

(3)求函數/Q)的零點個數.

20.(24—25高三下?山西?開學考試)已知函數/(①)=(a?—a)(rr+l)+aIns.

⑴當a=—2時，討論/Q)的單調性；

(2)記函數g(rr)=/(*)—3力+1,已知g(x)只有1個零點，求正整數a的最小值.

21.（24-25高三上?寧夏吳忠?階段練習）已知函數/Q）=2sin/—

（1）當力G[0,兀]時，/（力）Wm,求實數nz的取值范圍；

⑵若函數F⑺與f@）的圖象關于點（擊,1）對稱,求斤⑺的解析式；

（3）判斷函數gQ）=Q+l）/Q）+1在（年,+8）的零點個數,并說明理由.

22.（24—25高三上?天津西青?期末）已知函數/（力）=e37-1—ax—lna;（a>0）.

（1）當a=1時,求曲線y=在點（1J（1））處的切線方程；

（2）求證:/（T）有唯一極值點；

（3）若/（必）有唯一零點而，求證：1VgV2.

________0

23.（2025?云南曲靖?一模）已知函數/（劣）=e2x-\-（l—2a）ex—ax（aER）.

（1）當Q=0時，求/（力）在力=0處的切線方程；

（2）討論/（切的單調性；

（3）若/（0有兩個零點，求a的取值范圍.

24.（24—25高三下?湖南岳陽?開學考試）已知函數/（力）=ax—lnx,g（x）=alnx+—,Q為實數.

x

⑴當a=1時，求/（力）與g（力）的極值；

（2）是否存在aG凡使/（名）與gQ）均有2個零點.若存在，請求出a的值;若不存在,請說明理由.

題型04極值點偏移問題

【解題規律?提分快招］

一、極值點偏移問題

1、極值點偏移定義

極值點偏移是函數在極值點左右的增減速度不一樣，導致函數的圖象不具有對稱性。例如我們學過的

二次函數為標準的對稱結構，也有對稱軸，但是有些函數沒有對稱軸，即關于類對稱軸對稱的兩點橫坐

標之和不等于對稱點橫坐標兩倍，我們把這種現象叫做極值點偏移

2、極值點偏移的原理

函數自身所導致的在極值點左右兩端增速不一樣

3、極值點偏移的圖形定義

①左右對稱，無偏移,如二次函數;若/(g)=/(22)，則g+0=2g

②左陡右緩，極值點向左偏移;若/(為)=/(22)，則的+22>2工0

③左緩右陡，極值點向右偏移;若/(必1)=/(e2)，則21+22V2g

二、極值點偏移的判斷

根據極值點偏移的定義可知：當題干中出現為停，黨”等條件而求證不等式成立的

時候，即可視為極值點偏移考察

三、答題模板(對稱構造)

若已知函數/(c)滿足/(g)=/(，2)，曲為函數/(①)的極值點，求證：g+2g.

(1)討論函數/(2)的單調性并求出/Q)的極值點出;

假設此處/(①)在(—8,3)上單調遞減，在(g,+8)上單調遞增.

__________由

(2)構造F(力)=/(&+力)一/(g—力)；

注:此處根據題意需要還可以構造成FQ)=/3)—/(2g—0的形式.

(3)通過求導F\x)討論F{x}的單調性，判斷出F(T)在某段區間上的正負，并得出/(g+6)與/(g-

x)的大小關系；

假設此處FQ)在(0,+8)上單調遞增，那么我們便可得出FH>F(^0)=/U)一/(&)=0,從而得到：

力>g時，J(x0+x)>/(g—x).

(4)不妨設為VgVe2,通過/(力)的單調性,/(力J=/(劣2)，/(60+力)與/(g—/)的大小關系得出結論；

接上述情況，由于力>/0時,f(xo+X)>/(力0—力)且力1V/0V宓2，f31)=/(62)，故/(%1)=f(62)=f[xQ

+(劣2—60)]>/[g—(劣2—劣0)]=/(2g—劣2)，又因為Vg，2/0—劣2Vg且/(力)在(一8,力0)上單調遞

減,從而得到力1V2g—g,從而g+gV2g得證.

⑸若要證明r(缺*)<o，還需進一步討論胃忍與物的大小,得出匹所在的單調區間,從而

得出該處函數導數值的正負,從而結論得證.此處只需繼續證明：因為g+gV2g,故生產<3,由

于f(G在(-00,xo)上單調遞減，故/'(/我)<0.

數形結合

f(x)=f(x)-f(2x0-x)

化雙變量為單變量

運用/■(>)的單調性脫去f利用/Ol)=f(X2)

四、其他方法

1、比值代換

比值換元的目的也是消參、減元，就是根據已知條件首先建立極值點之間的關系，然后利用兩個極值點

的比值作為變量，從而實現消參、減元的目的.設法用比值(一般用力表示)表示兩個極值點，即t=

生，化為單變量的函數不等式，繼而將所求解問題轉化為關于力的函數問題求解.

62

2、對數均值不等式

兩個正數a和&的對數平均定義：L(a,b)=[而*

[a(a=b).

對數平均與算術平均、幾何平均的大小關系：，高<L(a,b)W號(此式記為對數平均不等式)

取等條件：當且僅當a=b時，等號成立.

3、指數不等式

fe(mW.

在對數均值不等式中，設a=em,b=en,則E(a,b)=\rn-n產叼，根據對數均值不等式有如下

tem(m=n)

n

加十-+e

關系：e2&E(a,b)&e

【典例訓練】

一、解答題

25.（23-24高三下?北京西城?期中）已知函數/⑺=x-\nx-a.

（1）若/（N）>0,求Q的取值范圍；

（2）證明:若/Q）有兩個零點力1，/2,則w2Vl.

26.（23—24高三上?河北唐山?階段練習）已知函數/（力）=（x—l）lnx—x2+ax（aER）.

（1）若函數y=『（x）有兩個零點,求a的取值范圍；

（2）設如g是函數/Q）的兩個極值點，證明：g+g>2.

_________—也

27.（24—25高三上?江蘇連云港?期末）已知函數/（%）=2x+ax2+xlnx.aER.

⑴當Q=0時,求曲線"=/（%）在力=，處的切線方程；

（2）若/（力）有兩個零點力1,力2,且力2>3/1，證明：XrX2>.

28.（2024高三?全國?專題練習）已知函數/（力）=xlnx—x.

（1）求函數/（力）的最值；

2

（2）若函數gQ）=/（力）—ax+a有兩個不同的極值點,記作如電,且gVg,求證：Ing+21n^2>3.

29.（2024?遼寧?模擬預測）已知函數/（劣）=ex—ax2（a>0）.

（1）當a=與時,判斷了Q）在區間（1,+8）內的單調性;

（2）若/（%）有三個零點如力2,力3,且為1<啰2</3.

⑴求Q的取值范圍；

（U）證明：XI+X2+X3>3.

30.（2024?全國?模擬預測）已知函數/（力）=（rc—e—l）ex—^-erc2+e2rc.

（1）求函數/Q）的單調區間與極值；

（2）若/O1）=/（力2）=/（力3）01〈力2〈力3），求證：Ve-1.

題型05導數與不等式

【解題規律?提分快招］

一、利用導致證明或判定不等式問題

1.通常要構造新函數,利用導數研究函數的單調性與極值(最值),從而得出不等關系；

2.利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題,從而判定不等關系；

3.適當放縮構造法:根據已知條件適當放縮或利用常見放縮結論，從而判定不等關系；

4.構造“形似”函數，變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.

【典例訓練】

一、解答題

31.(24-25高三下?新疆烏魯木齊?階段練習)已知函數“為=e，+5儀工一a)(aCA),于(x)的導函數為

-3),且?(0)=0.

(1)求/(力)的最值；

(2)求證：——|-Inrr+>2.

x2

32.（24-25高三下?全國?開學考試）已知函數/Q）=ln（x+l），gQ）=等7（T>-1）.

x-\-2

⑴比較/（a?）與gQ）的大??；

⑵證明Jn3>]+/+/+京+*+卡+卷+春

33.（24-25高三下?四川樂山?期末）已知函數/（，）=?+加一1,且曲線y=f@）在點（1J（1））處的切線斜

率是e—1.

（1）求Q的值.

（2）證明：/（力）>0.

（3）證明：e*-3>in/—1.

34.（2025高三?全國?專題練習）設函數/（力）=ln（a—/）,已知力=0是函數。=時（力）的極值點.

⑴求Q；

⑵設函數gQ）=.證明：g（x）<l

35.（2025?山東日照?一模）已知函數/（c）=ax\nx.

（1）當a>0時，討論函數/（c）的單調性；

（2）當0<a<2時,若曲線/Q）上的動點P到直線2T-y-lle=0距離的最小值為2西e（e為自然對

數的底數）.

①求實數a的值；

②求證：f[x）<e"+cosc—2.

36.（24-25高三下?吉林長春?開學考試）已知函數/（⑼=In①一心」1）GGR）.

x-\-l

（i）討論/Q）的極值點個數；

九1

（2）證明：\/九GN*,In（九+1）；

M2z+l

（3）若關于c的方程f（x）=（a+l）T-"/）有兩個不同實根的，電，求a的取值范圍，并證明：傷電＞

x-\-l

e2.

37.(24-25高三下.江蘇鎮江.開學考試)已知函數/(c)=e—,gQ)=a\nx-x(aER).

(1)討論g(c)的單調性；

(2)若/(約一gQ)>±+1恒成立,求a的值；

—

(3)若0〈62,求證:e?F—1>ln(aj2+l)ln(o；i+l).

題型06導數中其他雙變■向星

【解題規律?提分快招］

一、雙變量不等式的處理策略

含兩個變量的不等式，基本的思路是將之轉化為一元的不等式，

具體轉化方法主要有三種:整體代換,分離變量,選取主元.

【典例訓練】

一、解答題

38.（24—25高三上?四川綿陽?階段練習）已知/（力）=―^-e2x+4ex—ax—5.

⑴當a=3時，求/Q）的單調遞增區間；

（2）若/（為有兩個極值點g,g.

⑴求a的取值范圍；

⑻證明：/（的）+/（工2）+的+±2yo?

39.(24—25高三上?山西?階段練習)已知函數/(⑼=x2—ax+21na?,aER.

⑴當a=2時，求曲線,=/3)在點(1,/(1))處的切線方程；

(2)已知/(2)有兩個極值點外電,且為＜22，

⑴求實數a的取值范圍；

⑹求2/(?1)-f(x2)的最小值.

40.(24-25高三上?天津南開?期末)已知函數/(宓)=郵匕

(1)求曲線夕=/(工)在其零點處的切線方程；

(2)若方程/(c)=］。+1(2>0)有兩個解21,宓2，且工i<g.

⑴求實數a的取值范圍；

(M)若電+kx)晨恒成立，求實數R的取值范圍.

2e—2

41.（2025高三?全國?專題練習）已知函數/（力）=2a：1一?*—e*+C+2（aG五）.

（1）若/（幻是定義域上的增函數，求a的取值范圍；

2x-2

（2）當Q=―時，證明：xf（lnx）<4e；

（3）若函數/Q）有兩個極值點如電（色〈電），證明：a<

42.(24-25高三上?廣東深圳?階段練習)已知函數/Q)=-力產,函數gQ)=詈(尤>o)

(1)若沒有任何一段區間使函數/(為與函數。0)同時單調遞增或同時單調遞減，求小的取值范圍;

(2)若方程/(/)—g(c)=1有兩個不同的解21，電.

①求771的取值范圍；

②若電〉2◎，證明：力i+g>31n2.

43.（24-25高三上吶蒙古?期末）在我們學習導數的過程中，對數、指數函數模型十分重要.已知若/（工）=

—小>0/（韋電）VkpQ

加6，+。砂+阮+以與。（電,仍）在/（①）上，則有《//予”\\.現有/（力）=Me，一/2

--［恒〈0/（PQ

—2rc（m^0）,回答下列問題：

⑴當山<0時，證明/'（義券）〉心Q；

⑵/（力）上有_4（如%）,石（為2，統），。（力3，。3）三點（孫為2,力3均不為0且為W電W73），滿足劣1，N2以3成等差數

列且力3=3如

⑴若不存在A,B,C三點,使仇，仇,均成等差數列,求m的取值范圍；

⑻若mV0,g+??1=0,g（力）=—，證明：g（m）+g（—m）>2.

x

題型07導數結合數列

【解題規律?提分快招］

導函數證明數列相關不等式，常根據已知函數不等式,用關于正整數的不等式代替函數不等式中的自變

量,通過多次求和(常常用到裂項相消法求和)達到證明的目的，此類問題一般至少有兩問，已知的不等式

常由第一問根據特征式的特征而得到.

【典例訓練】

一、解鑰S

44.(2025?云南大理?模擬預測)已知函數/(力)=lnx—mx+l.

(1)若772=0,求函數/(/)在點(e,/(e))處的切線方程；

(2)若/(力)<0恒成立,求實數m的取值范圍；

⑶求證：V，CM,(l+^-)(l+^)-(l+^)<e.

45.(2025高三下?全國?專題練習)已知實數a>0,函數/(c)=e^-ax-l(e為自然對數的底數).

(1)求函數/(⑼的單調區間及最小值；

(2)若/(T)>0對任意的力CR恒成立,求實數a的值；

(3)證明：ln(l+7r^T)+ln(l+^^)+ln(l+T^?)+…+ln[l+——-――/-----]<l(n€^*).

'''2X3>'3X5>'5X9>L(2^+1)(2"+1)J

46.(24-25高三下?安徽?階段練習)已知函數/(⑼=t+ln(l-x).

(i)求函數/3)的單調區間與極值；

⑵若數列｛an｝滿足助=[,冊+：,=/(%),記50為數列｛%｝的前幾項和.求證:

①當九＞2時，一1V冊V0；

②當口＞1時，—21n2.

________0

47.（24—25高三上?重慶?階段練習）已知函數/（力）=31nc+aa;2—_1_2；+3.

（1）討論函數/（，）極值點的個數；

⑵當a=春時，數列｛a?｝滿足：電=5,冊+1=[a,）+求證：｛冊｝的前71項和滿足"<$71<?1+~|~.

22it）（lnJ

48.（24-25高三下?江蘇?開學考試）設函數/（⑼=cost+ax2-1.

⑴當a=看時，證明：/（*）>0；

（2）若/（乃在*6[0,+8）上為增函數，求a的取值范圍；

⑶證明誓事

2

題蟄通關

一、解答題

49.（24—25高三上?湖北武漢?期末）已知函數/（工）=

（1）當a=l時,求函數/（為的單調區間；

（2）當①V1時,/Q）<1,求實數a的取值范圍.

50.（2024?四川成都?模擬預測）設/（N）=-^-e~x（2x2-\-4：ax+4a）.

o

⑴當a=2時，求/（力）的極小值；

（2）若/（為的極大值為4,求a的值.

51.（2025?全國?模擬預測）已知函數/（%）=ex（lnx—a）.

（1）若曲線g=/O）在點（1,/（1））處的切線與c軸平行，求實數a的值;

（2）若函數/（為在（/4）內存在極值,求實數a的取值范圍.

52.（24-25高三上?廣西河池?期末）已知函數/⑺=（劣―1H—+i.

⑴當Q=0時，求/（/）的極值；

（2）當Q>1時，設如g為/（力）的極值點，若/（◎）+/（力2）41—■，求。的取值范圍,

53.（24—25高三上?河南溪河?期末）已知函數/（力）=Q（/+Q）—Ina;.

（1）討論函數g（/）=/（力）-a?在區間［?d］上的零點個數；

（2）證明：當a>0時，/（力）>21na+

54.（24—25高三下?湖南?階段練習）已知函數/0）=Q—a）e"+a.

（1）求八/）的單調區間；

（2）若aW1,證明：當比>0時，f（x）+ex^x+Inx+2.

55.(2024.江蘇鹽城.模擬預測)已知函數/(c)=,，其中a>0.

(1)若/(乃在(0,2]上單調遞增，求a的取值范圍；

⑵當Q=1時，若/1+/2=4且0<力1V2,比較/(力1)與/(比2)的大小，并說明理由

56.(2024?四川宜賓?模擬預測)已知函數/(力)=[-xlnx,g(x)=a(x+\nx)+a2-.

(1)求/(①)過原點的切線方程；

(2)求證:存在aG(0,去)，使得/(*)>g(①)在區間(1,+℃)內恒成立，且/(必)=g(①)在(1,+℃)內有

解.

57.（2025?全國?模擬預測）已知函數/（劣）=Q*+e-，一2—faz;2（Q>o且QWI）,當左=0時，/（力）>0.

（1）求Q;

（2）若/（0）為于（x）的極小值，求k的取值范圍；

58.(24—25高三上?湖南婁底?期末)已知函數/(力)=e3g(①)=Inc.

(1)證明：函數g=/(①)與g=g(力)的圖象關于直線夕=力對稱；

(2)設F(N)=/O)gQ)—1.

(i)判斷函數FQ)的單調性;

(ii)證明：VcC(2,+8),“■+1)>/2+2—

ee

_________________________E

59.(24—25高三上?河北?期末)已知函數/(6)=aln(x+l)—sinkx,kEN*,aER.

⑴若k=1,函數/㈤在［。1］上單調遞減,求實數a的取值范圍；

60.(24—25高三上?湖北襄陽?期末)設函數/㈤=T2+mln(o;+l)(mG7?).

(1)當巾=—4時，求函數/(工)的單調區間；

(2)已知函數/(①)有兩個極值點，求TH的取值范圍；

(3)若函數/(力)在區間(0,1)上存在唯一零點,求實數TH的取值范圍.

61.（23-24高三下?廣東東莞?階段練習）已知函數/（c）=x2+ax-x\^x的導函數為尸（乃，若尸（工）存在兩

個不同的零點如電.

（1）求實數a的取值范圍；

⑵證明：電+/2>L

62.(24-25高三上?江蘇?階段練習)已知曲線C-.f(x)=