2025北師大版八年級數學下冊第一章三角形的證明單元檢測試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.下列各組數據不能作為直角三角形的三邊長的是（）

A.8cm,15cm,17cmB.3cm,5cm,cm

C.0.3cm,0.4cm,0.5cmD.代cm,"cm，V5cm

2.如圖，BE=CF,AE1BC,DF1BC,要根據“乩”證明及AABE四及ADCF,則還需要添加一個條

ZA=ZDC.NB=/CD.AE=DF

3.如圖，若AB=AC,AD=AE,則圖中全等三角形共有（)

A.2對B.3對C.4對D.5對

4.如圖,VA3C中，ZACB=90°,CD是高，ZA=30°,AC=12,則CO的值為（）

A.6B.7C.8D.9

5.如圖，VA3C中，3。平分—ABC,8c的垂直平分線交BC于點E,交即于點F，連接CP,若ZA=80。,

ZABD=2.0°,則NACF的度數是（）

C.45°D.60°

6.如圖，在VA3C中，ZBAC=90°,ZB=30°.以A為圓心，AC為半徑畫弧交48于點。；分別以C,D

為圓心，大于gc。長為半徑畫弧交于點E,射線AE交于點E連結則NAED的度數為（）

A.85°B.75°C.65°D.60°

7.在VA3c中，的平分線相交于/,DE過點/且DE〃AC,若AO=3cm,CE=5cm,貝|止=

)cm

A.8B.6C.7D.5

8.如圖，在VABC中，AB=AC,邊4c的垂直平分線MN分別交A3、AC于點M,M點。是邊BC的

中點，點尸是MN上任意一點，連接PD,PC,若NA=40。,△PCD周長最小時，/CPD的度數為（）

A

A.30°B.35°C.40°D.45°

9.如圖，VABC中，AB>AC,MV是邊BC的垂直平分線，交AB于G,過點尸作FE_LAB于點E,AF

平分//MB交MV于尸，連接8尸,C「.下列結論：①用=%；②FB+FC>AB+AC；?AB-AC^2AE；

④ZBFC=NBAC.其中正確的結論是（）

C.①③④D.①②③④

10.如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,以點A為圓心，適當長為半徑作弧，分別交于點。，E,再

分別以點。，E為圓心，大于goE的長為半徑作弧，兩弧交于點F作射線"交BC于點G.若CG=6,

則點G到AB的距離為（）

C.9D.10

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請把答案直接填寫在橫線上

11.等腰三角形的一邊長是6,另邊長是10,則該等腰三角形的周長是.

12.如圖所示的是2x5的正方形網格，點A,B,尸都在網格點上，貝!4PB=

13.如圖，在VABC中，AC>AB,BC邊的垂直平分線尸G與54的延長線交于點/，與—BAC外角的平

分線交于點。，過。作DE上AC,垂足為E,若AB=5,AE=2,則AC為.

14.如圖，在VA3C中，=35。，點。是AB的垂直平分線與BC的交點,將△ABD沿著AD翻折得到aAED,

則NCDE的度數是.

15.如圖，點P是/內一點，OP=m,NAO3=0,點P關于直線。4的對稱點為點。，關于直線08

的對稱點為點T,連接8,分別交Q4,08于點N,連接PM,PN,下列結論：①NOTQ=90。-￡；

②當以=30。時，△尸AW的周長為機；(§)Q<QT<2m；(4)ZMPN=180°-2a,其中正確的有個.

16.如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC,ZB=50°,。為2C的中點，點E在AB上，ZAED=69°,若

點尸是等腰三角形ABC的腰AC上的一點，則當是以DE為腰的等腰三角形時，/EDP的度數

是.

三、解答題(本大題共7小題，共62分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.如圖，已知點A、在同一條直線上，AE=D冗防，垂足分別為AB=CD,

求證:

(l)AABF^ADCE.

(2)AB//CD.

18.如圖，在VABC中，ABAC>90°,48的垂直平分線分別交48,BC于點、E,F,AC的垂直平分線分別

交AC,BC于點M,N,直線跖，MN交手點、P.

A

E'M

C

BFV/N

(1)求證：點尸在線段BC的垂直平分線上；

(2)已知/E4N=56。，求/EPN的度數.

19.如圖，在VABC中，AB=AC=8,ZCBA=45°

(1)求證：AC±AB；

(2)以AC為邊，作等邊三角形AACD,且點。在AC的左側，連接CD,AD,BD.求的面積.

20.如圖，VABC中，ZC=90°.

(1)利用尺規作NA4c的角平分線，交8c于點。；(保留作圖痕跡，不寫做法)

⑵在(1)的條件下，若/ABC=30。，BC=12,求AD的長.

21.如圖1,已知等腰直角VA3C中，ZACB=90°,AC=BC,點。是腰AC上的一點(不與A,C重合),

連接3。，過點A作/垂足為點E.

⑴若即是/ABC的角平分線，求證：BD=2AE；

(2)探究：如圖2,連接CE,當點。在線段AC上運動時(不與A,C重合)，/3EC的大小是否發生變化?

若改變，求出它的最大值；若不改變，求出這個定值.

22.如圖1,等邊VABC與等邊AECD的頂點B,C,￡＞三點在一條直線上，連接BE,兩線相交于點R

(1)求證：VACD^BCE；

⑵求/3FD的度數；

(3)如圖2,連接尸C,

①求證：總是ZA/C的平分線，

②若”=4,CF=2,求M的長度.

23.數學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題:

如圖1,在VA3c中，AB=6,AC=10,。是BC的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍.

【閱讀理解】

小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：

(1)如圖1,延長AD到點E,使=連接8E.根據可以判定△ADC/,得

出AC=.

這樣就能把線段AB、AC2A。集中在AABE中.利用三角形三邊的關系，即可得出中線AD的取值范圍是

【方法感悟】

當條件中出現“中點”，“中線”等條件時，可以考慮作“輔助線”——把中線延長一倍，把分散的已知條件和所

求證的結論集中到同一個三角形中，這種作輔助線的方法稱為“中線加倍”法.

【問題解決】

(2)如圖2,在VABC中，ZA=90°,。是BC邊的中點，NED尸=90。，DE交AB于點、E,交AC于

點E連接EF,請判斷BECF,EF的數量關系，并說明理由.

【問題拓展】

(3)如圖3,VABC中，?B90?,AB=3,AD是VA3C的中線，CEA.BC,CE=5,且NADE=90。,

請直接寫出AE的長.

圖1圖2圖3

參考答案

一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.下列各組數據不能作為直角三角形的三邊長的是（）

A.8cm,15cm,17cmB.3cm,5cm,y/34cm

C.0.3cm,0.4cm,0.5cmD.6cm,"cm,V5cm

【答案】D

【分析】本題考查的是勾股定理的逆定理，根據勾股定理的逆定理對四個答案進行逐一判斷即可.

【詳解】解：A、???82+152=172,...能夠成直角三角形，故本選項不符合題意；

B、；32+52=（后『，.?.能夠成直角三角形，故本選項不符合題意；

c、?.?0.32+0.42=0.52,.?.能夠成直角三角形，故本選項不符合題意；

口,?.?（有『+（4『"百『，'..不能夠成直角三角形，故本選項符合題意.

故選：D.

2.如圖，BE=CF,AE1BC,DF1BC,要根據證明咫絲放A/XF,則還需要添加一個條

件是（）

A.AB=DCB.ZA=ZDC.NB=NCD.AE=DF

【答案】A

【分析】本題考查三角形的判定，根據“HL”的判定方法，結合題干條件判斷，即可解題.

【詳解】解：BE=CF,AE±BC,DFLBC,

要根據“HL”證明RhABE冬RSDCF,

需添加條件為斜邊相等，即AB=DC,

故選：A.

3.如圖，^AB=AC,AD=AE,則圖中全等三角形共有（）

C

E

A.2對B.3對C.4對D.5對

【答案】C

【分析】本題主要考查的是全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵.

先依據等邊對等角的性質得到NABC=NACB,然后再結合全等三角形的判定定理進行判斷即可.

【詳解】解：連接BC,

?.?AB=AC,AD=AEf

：.ZABC=ZACB,BD=EC,

???在△5QC和屋物中，

BD=EC

<ZABC=ZACB,

BC=CB

：.△fiDC^CEB(SAS),

:.NEBC=NDCB,

：.ZABO=ZACO,

/DOB=ZEOC

在^DBO和AECO中，</DBO=ZECO,

BD=EC

：.△DBO^AECO(AAS),

■:NEBC=NDCB,

：.OB=OC,

AB=AC

'：在AABO和△ACO中,\NAB。=ZACO,

OB=OC

：.AABO^AACO(SAS),

...ADAO=AEAO,

AD=AE

?.?在AflAO和A￡AO中，<ZDAO=ZEAO,

AO=AO

：.AZM(9^A￡AC>(SAS),

AD=AE

?.?在4c和A￡4B中，\ZDAC=ZEAB,

AB=AC

：.AZMC^A￡4B(SAS).

故選C.

4.如圖，VA3C中，ZACB=90°,CO是高，ZA=30°,AC=12,則CD的值為()

【答案】A

【分析】本題考查了含30。角的直角三角形的性質，熟練掌握直角三角形中30。角所對的直角邊是斜邊的一

半是解題的關鍵.

根據含30。角的直角三角形的三邊特征，即可解答.

【詳解】解：：VABC中，C。是高，

ZCDA=90°,

VZA=30°,AC=n,

：.CD=-AC^6,

2

故選：A.

5.如圖，NABC中，平分/ABC,BC的垂直平分線交BC于點E,交BD于點F,連接CF,若ZA=80。,

ZABD=20°f則NAC尸的度數是（）

C.45°D.60°

【答案】B

【分析】本題考查了垂直平分線的性質，角平分線的性質和三角形內角和是180。，掌握了以上知識是解答

本題的關鍵;

本題先根據角平分線得到加。=40。，再利用三角形內角和可得NACB=60。，根據垂直平分線的性質可得

1FCB7FBC20?,然后即可求解NAC尸的度數;

【詳解】解：?.?&）平分/ABC,ZABD=20°,

：.ZDBC=ZABD=20°,ZABC=2ZABD=40°f

NA=80。，

?ACB180??A2ABe180?80?40?60?,

???￡/垂直平分3。,

???BF=CF,

：.?FCB1FBC20?,

：.7ACF2ACB2FCB60?20?40?；

故選：B；

6.如圖,在VA5C中，ZBAC=90°,ZB=30°.以A為圓心，AC為半徑畫弧交ZB于點。；分別以C,D

為圓心，大于geo長為半徑畫弧交于點E,射線AE交8C于點R連結￡>b，則NAED的度數為（）

75°C.65°D.60°

【答案】B

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，作圖-基本作圖，由作法得AC=A￡>,AE平分NBAC,再

證明△ACF0AA。廠得到ZAFC=ZAFD,接著利用三角形的內角和定理得到ZAFC=75°,即可求解.

【詳解】解：由作法得AC=AD,AE平分NA4C,

/.ZBAF=ZCAF=-ABAC=45°,

2

在△ACF和尸中，

AC=AD

<ZBAF=ZCAF,

AF=AF

：.AACF^AAPF(SAS),

ZAFC=ZAFD,

?.?ZBAC=90°,ZB=30°,

???ZC=90°-ZB=60°,

???ZAFD=ZAFC=180°-45°-60°=75°.

故選：B.

7.在VA5C中，ZBACNAC3的平分線相交于/,。石過點/且。石〃AC,若AD=3cm,C石=5cm,貝=

()cm

A.8B.6C.7D.5

【答案】A

【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，角平分線的定義，利用”等角對等邊”及“等

邊對等角”證明￡7=CE=5cm,DI=AD^3cm,即可求解.

【詳解】解：石〃4C,

ZACI=ZCIE,

'：C/平分NACB,

ZACI=NECI,

：.NECI=NCIE,

EI=CE=5cm,

同理可得：DI=AD=3cm,

：.DE=D/+E/=5+3=8（cm）；

故選：A.

8.如圖，在VABC中，AB=AC,邊AC的垂直平分線MN分別交A3、AC于點M,N,點。是邊2C的

中點，點尸是MN上任意一點，連接P￡>,PC,若/A=4（F,APCD周長最小時，/CPD的度數為（）

A.30°C.40°D.45°

【答案】C

【分析】本題考查了軸對稱一最短路線問題，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握相關

知識點是解題的關鍵.

連接AP得出AP=PC,ZPAC=ZPCA,得至=當A,P,。在同一條直線上時，PA+PD

最小，最小值為AD,即可求解.

【詳解】解：如圖，連接AP,

MV垂直平分AC,

:.ZPAC=ZPCA,

:.PC+PD=PA+PD,

當A,P,Z>在同一條直線上時，上4+BD最小，最小值為AD,

:.APCD周長最小值為PC+PD+CD=AD+CD,

■：AB=AC,

，點。是BC的中點,

ABAC=2ZPAC=40°,

ZCPD=ZPAC+ZPCA,

.-.ZCPD=40°,

故選：C.

9.如圖，VA3c中，AB>AC,MN是邊8C的垂直平分線，交AB于G,過點F作FE_LAB于點E,AF

平分ZZMB交初V于尸，連接.下列結論：①R5=FC；②FB+FC>AB+AC；@AB-AC=2AE；

④NBFC=NBAC.其中正確的結論是（）

A.①②B.①②④C.①③④D.①②③④

【答案】D

【分析】根據線段垂直平分線的性質，得到￡8=%；過點F作出，AC于點"，證明AEBE=AFCH,得

到BE=CH,結合AF平分NTMB,得至=繼而A￡=A〃，可證明AB-AC=2AE；利用斜邊大

于直角邊，證明用+R7>AB+AC；利用等腰三角形的性質，全等三角形的性質，結合三角形內角和定理

證明4/C=/3AC.

【詳解】解：???肱V是邊BC的垂直平分線，

FB=FC；

故①正確；

過點尸作修，AC于點X,

平分ZZMB,FE±AB,FHrAC,

FE=FH,

_jFA=FA

?\FE=FH'

：.AFAH^AFAE（HL）,

:.AE=AH,

(FB=FC

[FE=FH

：.AFBE均FCH(HL),

AZFBE=ZFCH,BE=CH,

.??AB-AC=BE+AE-{CH-AH)=BE+AE-BE+AH=2AE,

故③正確；

?.?FB>BE,FC>CH,

：.FB+FC>BE+CH,

：.FB+FC>AB-AE+AC+AH,

：.FB+FC>AB+AC,

故②正確；

■:ZBFC=180°-ZFBC-ZFCB,ZBAC=180°-ZABC-ZACB,

JABAC=180°-NFBC+ZFBE-ZFCB-ZFCH=180。-ZFBC-ZFCB,

:.ZBFC=NBAC,

故④正確；

故選D.

【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質，角平分線的性質，直角三角形中，斜邊大于任意直角邊，

線段垂直平分線的性質，三角形內角和定理，熟練掌握三角形全等的判定和性質，角的平分線的性質，直

角三角形中，斜邊大于任意直角邊，線段垂直平分線的性質是解題的關鍵.

10.如圖，在中，ZC=90°,以點A為圓心，適當長為半徑作弧，分別交AB,AC于點。，E,再

分別以點。，E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點八作射線"交BC于點G.若CG=6,

則點G到AB的距離為（）

A.6B.8C.9D.10

【答案】A

【分析】本題考查作圖一基本作圖、角平分線的性質，熟練掌握角平分線的性質是解答本題的關鍵.

過點G作GHLAB于點X,由作圖過程可知，射線轉為NR4c的平分線，可得G8=CG=6,則點G到

AB的距離為6.

【詳解】解：過點G作GHJLAB于點

由作圖過程可知，射線AF為154C的平分線，

VZC=90°,GHLAB,

：.GH=CG=6,

.,.點G到AB的距離為6.

故選：A.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請把答案直接填寫在橫線上

11.等腰三角形的一邊長是6,另邊長是10,則該等腰三角形的周長是.

【答案】22或26/26或22

【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義.分兩種情況解答即可求解.

【詳解】解：若腰長為6,此時該等腰三角形的周長是6+6+10=22；

若腰長為10,此時該等腰三角形的周長是6+10+10=26；

綜上所述，該等腰三角形的周長是22或26.

故答案為：22或26

12.如圖所示的是2x5的正方形網格，點A,B,P都在網格點上，則Z4PB=

【答案】135°

【分析】根據勾股定理和勾股定理的逆定理可得APCB是等腰直角三角形，可得"PC=45。,即可求解.

【詳解】解：延長AP至C,連接2C,

CP=CB=j2。+12=也,

BP=732+12=710，

???(后+(V5)2=(710)2,即CP2+CB2=BP2,

是等腰直角三角形，

:.ZBPC=45°,

：.ZAPS=180°-45°=135°,

故答案為：135。.

【點睛】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，關鍵是得到APCB是等腰直角三角形.

13.如圖，在VABC中，AOAB,BC邊的垂直平分線FG與54的延長線交于點尸，與1瓦VC外角的平

分線交于點O,過。作上工4?,垂足為E,若AB=5,AE=2,則AC為.

【答案】9

【分析】本題考查角平分線的性質，全等三角形的性質和判定，準確添加輔助線構建全等三角形是解題關

鍵.

過點D作垂足為M,連接BD,CD,通過證明RtAWMgRtVADE,RtZ\DBA修Rt/\DCE,

結合全等三角形的性質分析求解.

【詳解】解：過點。作垂足為M,連接BO,CD,

：AD平分NE4C,且OE工AC,DM±BF,

；?DM=DE,

又,:AD=AD,

：.Rt^ADM^RtNADE,

：.AM=AE=2,

'：AB=5,

：.BM=AB+AM=1,

,：3C邊的垂直平分線FG與BA的延長線交于點F,

：.BD=CD,

：.Rt^DBM^RtADCE,

CE=BM=7,

：.AC=AE+CE=9,

故答案為：9.

14.如圖,在VA3C中，4=35。，點。是A3的垂直平分線與BC的交點，將△ABD沿著AD翻折得到△AED,

則NCDE的度數是.

【答案】40。/40度

【分析】由線段垂直平分線的性質和等腰三角形的性質得到的￡>=35。，由三角形外角的性質和三角形內

角和定理求得/WC=70。，加>8=110。，根據翻折的性質求得NADE=110。，進而求得NCDE的度數.

【詳解】解：?點。是48的垂直平分線與BC的交點，

.\DA=DB，

:.ZBAD=ZB=35°,

.?.ZADC=ZB+ZBAD=70°,ZADB=1800-ZADC=110°,

將AABD沿著AD翻折得到AAED,

ZADE=ZADB=110°,

:.ZCDE=ZADE-ZADC=11QP--!O°=4CP.

故答案為：40°.

【點睛】此題考查翻折的性質，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理和外角的

性質，解題的關鍵是掌握翻折的性質和線段垂直平分線的性質.

15.如圖，點尸是403內一點，OP=m,ZAOB=a,點P關于直線。4的對稱點為點。，關于直線02

的對稱點為點T,連接QT,分別交于點w，N,連接尸PN,下列結論：①/。7。=90。-2；

②當夕=30。時，APAW的周長為加；(3)Q<QT<2m；④4ff>N=180。—2tz,其中正確的有個.

【答案】4

【分析】根據軸對稱的性質得。。=。尸，OT=OP,ZQOM=ZPOM,/PON=/TON,PM=QM,

PN=TN,求出OC=OT=OP,根據等腰三角形的性質得出ZOTQ=ZOQT,求出？QOT2c,再求出

ZOTQ=ZOQT=1(180--ZQOT),即可判斷①；根據尸河,PN=TN,求出APMN的周長

=MN+PN+尸〃=07,根據等邊三角形的判定得出AQOT是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得出

OQ=OT=OP=m,即可判斷②；在AOT。中，根據三邊關系。。一。7<QT<OQ+OT,即可判斷③；根

據全等三角形的性質求出=ZNPO=AOTN,求出

ZMPN=ZMPO+ZNPO=ZOQM+ZOTN=180°-ZQOT,即可判斷④.

【詳解】解：：點尸關于直線Q4的對稱點為點Q，關于直線02的對稱點為點T,

OQ=OP,OT=OP,ZQOM=ZPOM,APON=Z.TON,PM=QM,PN=TN,

：.OQ^OT,

.?.ZOTQ=ZOQT,

AAOB=a,

：.ZQOM+ZTON=ZPOM+/PON=ZAOB=a,

即？QOT2a,

NOTQ=NOQT=12(180。—NQOT)=：(180。—NQOT)=g(180。—20=90。—a,故①正確;

,:PM=QM,PN=TN,

???APMN的周長=MN+PN+PM=TN+MN+QM=QT,

Ta=30。，

?QOT2a=60?,

?.?OQ=OT,

???4007是等邊三角形，

???OQ=QT,

OQ=OP=m,

/.QT=m,

???△PMN的周長是加，故②正確；

在?Q中，OQ-OT<QT<OQ+OT,

*.*OQ=OT=m,

：.0<QT<2m,故③正確；

在△QOM和△POM中，

OQ二OP

<ZQOM=ZPOM,

OM=OM

.??△QQI修△POM(SAS),

/MPO=NOQM,

同理ZVPO=NO77V,

?QOT2a,ZOQM=ZOTN,

.?.ZMPN=ZMPO+ZNPO=ZOQM+ZOTN=180。—ZQOT=180。—2a,故④正確，

綜上可知：①②③④正確，共4個，

故答案為：4.

【點睛】本題考查了軸對稱性質，三角形的三邊關系，等腰三角形的性質和判定，等邊三角形的性質和判

定，三角形內角和定理，全等三角形的性質和判定等知識點，能熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵.

16.如圖，在等腰三角形A3C中，AB=AC,ZB=50°,。為的中點，點E在A8上，ZAED=69°,若

點尸是等腰三角形ABC的腰AC上的一點，則當是以DE為腰的等腰三角形時，/EDP的度數

是.

【分析】本題考查了等腰三角形的性質、全等三角形的判定性質、角平分線的性質定理，連接AD,由等腰

三角形的性質可得=/54C=80。，過點。作D"，AC于H,。6,45于6,由角平分線

的性質定理可得DG=DH,再由全等三角形的性質和等腰三角形的性質求解即可.

【詳解】解：如圖，連接AD,

Z.ZBAC=180°—NB—NC=80°,

?.?。為BC的中點，

,ABAD=ACAD,

過點。作ZWLAC于。6,48于6,

DG=DH,

???點P是等腰三角形ABC的腰AC上的一點，且AEDP是以DE為腰的等腰三角形,

在RtVDEG和RIA￡＞與”中，

(DE=DP2

\DG=DH，

，

RtADEG^RtAD^H（HL）,

AHP2D=ZAED=69°,

NA￡D=180。—"舄。=111。，

VZBAC=80°,

AEDP2=360°-ABAC-AAP2D-ZAED=100°；

同理可得：Rt△。石G0Rt△必H(HL),

ZAED=ZHF[D=69°,

NEDR=360°-ABAC-ZAED-AAP{D=142。；

綜上所述，NED尸的度數是100。或142。，

故答案為：100。或142。.

三、解答題(本大題共7小題，共62分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.如圖，已知點A、二GZ)在同一條直線上，AE=DF,BF±AD,CE±AD,垂足分別為GE,AB=CD,

求證：

(l)AABF^ADCE.

(2)AB//CD.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】本題主要考查了直角三角形全等的判定定理“HL”以及平行線的判定，“HL”即為在直角三角形中,

一組直角邊和一組斜邊對應相等的兩個三角形全等，根據題意確定全等條件是解題的關鍵.

(1)由AE=D方，可得出入尸=。石，即可證明AAB尸也△OCE；

(2)由(1)可得△ABFgAJXJE,即可得/4=ND,從而求證.

【詳解】(1)證明：???AE=D產，

:.AE+EF=DF+EF,即AF=D石，

又?.?3尸_14),。￡_14￡),

:.NBFA=NCED=9伊，

在RtAASF和RtVDCE中,

AB=DC

AF=DE'

:.AABF學@CE(HL).

(2)解：由(1)得AABF%Z\DCE,

:.ZA=ZD,

:.AB//CD.

18.如圖，在VABC中，ZBA0900,48的垂直平分線分別交48,2C于點E,F,AC的垂直平分線分別

交AC,BC于點M,N,直線EF,MN交于苴P.

(1)求證：點尸在線段BC的垂直平分線上；

(2)已知NE4N=56。，求/EPN的度數.

【答案】(1)證明見解析；

⑵/FPN=62°

【分析】(1)連接3尸，AP,PC,根據線段垂直平分線的性質證明尸3=R4=PC,從而證明結論即可；

(2)先根據垂直平分線的性質證明E4=EB,NA=NC,ZAEP=ZAMP=ZBEF=NCMN=90。,再設

NB=x,NC=y,然后根據三角形內角和定理，求出x+y,再根據直角三角形的性質求出NBEE和ZCNM,

再根據對頂角的性質求出//VW,/PNF,最后利用三角形內角和定理求出答案即可.

【詳解】(1)證明：如圖所示，連接BP,AP,PC,

*/PE垂直平分4B,PM垂直平分AC,

：.PA=PB,PA=PC,

，PB=PC,

...點P在線段BC的垂直平分線上；

(2)解：：垂直平分28,尸河垂直平分AC,

/.FA=FB,NA=NC,ZAEP=ZAMP=ZBEF=NCMN=90°,

：.NB+NBFE=ZC+ZMNC=90°,

設ZB=x,NC=y,

；./B=NBAF=x,ZC=ZCAN=y,ZBFE=90°-x,ZMNC=90°-y,

：.NPFN=/BFE=90°-x,^PNF=ZMNC=90°-y,

'：ZB+ZC+ZCAB=180°,ZFAN=56°,

2x+2y+56°=180°,即尤+y=62°,

,?ZPFN+NPNF+ZFPN=180°,

90°-尤+90°-y+ZFPN=180°,

/FPN=180°-180°+(x+y)=62°.

【點睛】本題主要考查了線段的垂直平分線的性質，三角形內角和定理，直角三角形的性性質，等腰三角

形的性質，對頂角相等等知識點，熟練掌握其性質并能正確添加輔助線是解決此題的關鍵.

19.如圖，在VABC中，AB=AC=8,ZCBA=A5°

(1)求證：AC±AB；

(2)以AC為邊，作等邊三角形AACD,且點。在AC的左側，連接CD,AD,BD.求的面積.

【答案】(1)見解析

⑵16

【分析】(1)利用等腰三角形的性質可得？CM2ACB45?,然后利用三角形內角和定理求出/C4s=90。,

即可解答；

(2)過點。作交班的延長線于點E,由等邊三角形的性質得4MC=60。，AC=AD=CD=8,

再利用30。所對直角邊是斜邊的一半得出。E=BAO=4,最后由三角形面積公式即可求解;

本題考查了等腰三角形的性質，等邊三角形與性質，直角三角形的性質，三角形內角和定理，掌握知識點

的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵.

【詳解】（1）證明：：AB=AC,

/.?CBA?ACB45?,

ZCAB=180°-ZACB-ZCBA=90°,

ACLAB；

（2）解：過點D作DE_L班，交84的延長線于點E,

「△ACD是等邊三角形，

ZDAC=60°,AC=AD=CD=8,

：.ZDAE=180°-ZDAC-ZCAB=30°,

：.DE^-AD=4,

2

/.△ABD的面積=1AB-DE=—x8x4=16,

22

△ABD的面積為16.

20.如圖，VA3C中，ZC=90°.

（1）利用尺規作/胡C的角平分線，交BC于點D；（保留作圖痕跡，不寫做法）

⑵在（1）的條件下，若/ABC=30。，BC=12,求AD的長.

【答案】⑴見解析

⑵8

【分析】本題考查的是作角平分線和含30度角的直角三角形的性質，等角對等邊;

（1）依據角平分線的作圖方法即可得到4D;

(2)依據三角形內角和定理以及角平分線的定義，即可得到NCA。的度數，進而得出小歸=乙鉆。,

根據含30度角的直角三角形的性質得出C￡>=1A。，進而求得AD=8,即可求解.

【詳解】(1)解：如圖所示，AD即為所求；

(2)解：VZABC=30°,ZC=90°,

ZBAC=60°,

又?.?力。平分/BAC,

ZCAD=ZDAB=-ABAC=30°,

2

ZDAB^ZABC,

AD=DB,

在RtAAC。中，ZC4D=30°,

CD=-AD,

2

CD=-DB,

2

又?:BC=12,

：.BD=-BC=8,

3

：.AD=DB^8.

21.如圖1,己知等腰直角VA3c中，ZACB=90°,AC=BC,點。是腰AC上的一點(不與A,C重合),

連接3。，過點A作/垂足為點E.

⑴若8。是，ABC的角平分線，求證：BD=2AE；

(2)探究：如圖2,連接CE,當點。在線段AC上運動時(不與A,C重合)，N3EC的大小是否發生變化?

若改變，求出它的最大值；若不改變，求出這個定值.

【答案】(1)見解析

(2)/3EC的大小不變，為定值45。

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質、角平分線的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解答

的關鍵.

(1)延長BCAE,相交于點「先證明"CD絲AACF(ASA)得到=再證明AABE四△EBE(ASA)

得到=進而可證得結論；

(2)過點C作CWLBD于點CN1AE于點、N,證明ABOW絲AAOV(AAS)得到CM=CV,根據角平分

線的判定定理證得EC是N3印的角平分線，進而可得/3EC=45。，即可得結論.

【詳解】(1)證明：如圖，延長3cAE,相交于點R

AEVBE,

：.ZAEB=9Q°,

,/ZACB=90°=ZAEB,ZBDC=ZADE,

Z.ZCBD=ZCAE,

又,:BC=AC,

：.ABCD^AACF（ASA）,

/.BD=AF,

*/8。是/ABC的角平分線，

ZABE=ZFBE,

AELBD,

：.ZAEB=NFEB=90°,

,/BE=BE,

：.AABE%FBE（ASA）,

，AE=FE,

：.AF=2AE,

：.BD=2AE；

(2)解：NBEC的大小不變，為定值45。，理由如下:

如圖，過點C作于點CNLAE于點、N,

則ZBMC=ZANC=90°,

,/AELBD,

：.ZBEN=90°,

由①可知，，NCBD=NCAE,AC=BC,

：.ABCM^ACN(AAS),

CM=CN,

：.EC是/BEN的角平分線,

ZBEC=-ZBEN」x90。=45。,

22

即/BEC的大小不變，為定值45。.

22.如圖1,等邊VABC與等邊AECD的頂點3,C,D三點在一條直線上，連接AD,BE,兩線相交于點f

圖1

⑴求證：VACD^BCE；

⑵求/班曾的度數;

(3)如圖2,連接尸C,

①求證：是NAFC的平分線，

②若AF=4,CF=2,求的的長度.

【答案】(1)見解析

(2)120°

(3)①見解析；②6

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質以及三角形的外角性質等知識，熟練掌

握等邊三角形的性質，證明VACgV3CE是解題的關鍵.

(1)由SAS證明VACE^VBCE即可；

(2)由全等三角形的性質得/CAD=NCBE,再由又NAOP=N3OC,ZAFB=180°-ZC4D-ZAOF,

ZACB=180°-ZCBE-ZBOC,可得NAEB=NACB=60。，，即可求解；

(3)①過點C作。0_LAD,CN1.BE,垂足分別為M,N,則NCMD=NCNE=90。，由全等的性質可

得NCDM=NCEN,再由CD=CE可得ACDM絲ACEMAAS),得到。/=C?V,從而得出FC是/3FD的平

分線，求得NCFM=NCFN=工NBFD=60°,推導得出=尸C=60。，即可求解；

2

②在線段階上取一點G,使bG=E4,連接AG,由等邊三角形的性質可得AG=AF=Gb,ZGAF=60°,

AB=AC,Zfl4c=60。，再證明ABAG絲ACAF,從而可得BG=CP,再求解即可.

【詳解】(1)證明：?.?△A5C和AECD都是等邊三角形，

:.AC=BC,CD=CE,ZBCA=ZECD=60°,

:.ZBCE=ZACD=120°,

.-.△ACD^ABCE(SAS)；

(2)解：如圖，設AC交班于點。,

由（1）可知，VACD^BCE,

:.NCAD=NCBE,

X-.-ZAOF=ZBOC,ZAFB^1SO°-ZCAD-ZAOF,ZACB=180°-Z.CBE-ZBOC,

:.ZAFB=ZACB=6CP,

?.ZBFD=180o-ZAFB=180o-60o=120°；

（3）①證明：過點C作。0_LAD,CNLBE,垂足分別為M,N,

貝I]NCMD=ACNE=90°,

由（1）可知VACC^VBCE,

:.ZCDM=ZCEN,

又CD=CE,

.?.△CDM^AC￡N（AAS）,

:.CM=CN,

二FC是/BFD的平分線，

ZCFM=ZCFN=-NBFD=60°,

2

:.ZAFB=/BFC=60°,

是NA尸C的平分線，，

解:②在線段所上取一點G,使FU=E4,連接AG,

由（2）可知，ZAFB=60°,

.ZAFG是等邊三角形，

,-.AG=AF=GF,ZGAF=60°,

?.?△ABC是等邊三角形，

:.