專題04數列

考點oi等差、等比數列的定義

1.(24-25高三上?內蒙古包頭?開學考試)“數列｛%｝是等差數歹廣是“數歹!)｛%+。用｝是等差數列”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】先假設數列｛%｝是等差數列，結合等差數列的性質設出其首項及公差，計算可得數列｛。“+。用｝亦

為等差數列，舉出恰當的數列｛%｝的通項公式，使｛。“+。用｝是等差數列，但｛〃,｝不是等差數列即可得.

【詳解】若數列｛%｝是等差數列，可設其首項為％,公差為4，

則+(〃一1"，則an+an+l=2q+(2/7-1)J=(2q+d^+(n-1)-2d,

即數列｛勺+。鵬｝是以2%+d為首項，2d為公差的等差數列；

若數列是等差數列,取%則。“+%=0,符合要求,

但數列%=(-1)"不為等差數列,

故"數列｛見｝是等差數列”是“數列｛%+%｝是等差數列”的充分不必要條件.

故選：A,

易錯分析：利用等比數列的定義進行判斷時一定要注意驗證4.

2.(24-25高三上?陜西?階段練習)已知正項數列｛%｝,也｝滿足寸=6也-且。“+%=2%,則()

A.｛￡｝為等差數列B.為等差數列

C.｛m｝為等比數列D.也,｝為等比數列

【答案】A

【分析】由條件可得an=師二，an+l=g“+2，結合關系可得%+%=2bM，可得用+師=2H,

由此判斷AC,舉反例判斷BD.

【詳解】因為%=61A…數列｛%｝,｛2｝為正項數歹(1，

所以%=亞也+i，??+,=也+%2，又4+an+l=2bn+1，

所以8%+業“+及2=為+1，

所以8+7^^=2區？，

所以｛囂｝為等差數列，A正確，C錯誤；

設或=〃2,則%=(〃+1)2,an=n(n+\),4旬=(〃+1)(〃+2),

滿足條件=b?bn+l,an+an+i=2bn+1,

,11121

因為%=16、44=9,廠廠1+§7=5，

所以｛2｝不是等比數列，不是等差數列，B錯誤，D錯誤.

故選：A.

3.(24-25高三上?江蘇常州?期末)已知“，b,ceR,則“a，6,c既是等差數列又是等比數歹曠是=6=c”

的()

A.充分且不必要條件B.必要且不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用推出關系去判斷充要關系即可.

【詳解】當。=/?=c=0時，6,c是等差數列，不是等比數列，

當a,6,c既是等差數列又是等比數列，則a=6=c,

故c既是等差數列又是等比數列”是“a=b=c”的充分不必要條件，

故選：A.

4.(2023?新課標I卷?高考真題)記S,為數列｛q｝的前“項和，設甲：｛。“｝為等差數列；乙：｛｝｝為等差數

列，則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】c

【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數列的定義，再結合數列前九項和與第九項的關系推理判斷

作答.，

【詳解】方法1,甲：｛氏｝為等差數列，設其首項為4,公差為d,

on(n-l),Sn-1,ddS,d

貝mijlS—nctyH-------------d,—n=%H---------d=—n+a.----,n+i

nIn2212n+1n2

q

因此｛%｝為等差數列，則甲是乙的充分條件;

n

反之，乙：｛邑｝為等差數列，即每2-斗咻「(”+1電E為常數‘設為

nn+inn(n+l)

na,—S

即工I尸，則s“=yg+1),有Si=(〃-1)4-力(〃-1),心2,

兩式相減得：a?=nan+i~(.n—l)a?—2tn,即a“+i—a,=2f,對工=1也成立,

因此｛%｝為等差數列，則甲是乙的必要條件,

所以甲是乙的充要條件，C正確.

方法2,甲：｛%｝為等差數列，設數列｛q｝的首項卬，公差為d,即s“=叫+若工d,

則,=%+/?[=!〃+%-g,因此｛&｝為等差數列，即甲是乙的充分條件；

n222n

反之，乙：｛2｝為等差數列，即

nn+vnn

即S“=]+n(n-l)D,S“_]=("-1)H+("-1)(/;-2)0,

當心2時，上兩式相減得：S“-S,T=I+2(”-1)D,當〃=1時，上式成立,

于是。“=?i+2(n-1)。，又a“+i-a“=4+2"。-a+2(”-1)。]=2D為常數,

因此｛%｝為等差數列，則甲是乙的必要條件,

所以甲是乙的充要條件.

故選：C

5.已知數列｛%｝滿足q=a(aeR,aw-；),a,=2%+[+“(“：口(〃22).又數歹ij｛2｝滿足

⑴求證：數列｛"｝是等比數列；

⑵若數列｛%｝是嚴格增數列，求。的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析；

(2)(一:,+8).

【分析】(1)根據給定的遞推公式，裂項變形，再利用等比數列定義判斷即得.

(2)由(1)求出數列｛%｝的通項，再由單調性列出不等式，分離參數，借助單調性求解即得.

【詳解】⑴當北2時,+篇用=2”,占，即個/^^+:)，亦即2=2%,

又4=。+；。0,即功w。，所以數列出｝是等比數列.

(2)由(1),b=(?+—)-2n-1,即aH-------=(aH—),2/z1,a=(?+—)?2n-1--------,

n2n+12n2n+1

依題意，an+i>a“o(a+:)?2"-一二>(a+g)?2"^一—、對任意的正整數〃成立，

2n+22〃+1

即"+；>一<仆二同對任意的正整數?成立，

而數列｛-,「「二河｝嚴格增，且-/C、宿<0對任意的正整數〃成立,

因此〃十萬之。，又。工一萬，解得。>一萬，

所以〃的取值范圍是(-萬,+°0).

考點02等差、等比數列基本量的運算

1.(24-25高三上?吉林?期末)若等差數列｛見｝的公差d=2,%：%=7:8,則q=()

A.-15B.-28C.15D.28

【答案】B

【分析】根據等差數列的通項公式結合題目條件可得結果.

［詳解］設4=7左,％=8左，則4=〃8_%=7左一8左=_k=2,解得上=—2,

...%=—16,q=%—6d——16—12——28,

故選：B.

2.(2025高三?全國?專題練習)已知各項均為正數的等差數列｛凡｝的前〃項和為S〃，若%+%-2a4=4,

S9—2s4=尺，貝()

?13

A.25B.16C.9D.4

【答案】D

【分析】利用等差數列的通項公式與求和公式即可求解.

【詳解】設等差數列｛4｝的公差為d,由q+%-2%=4,得%+q+8d-2（%+3d）=4,

（也可由等差數列的性質得2%-2%=4,得2d=4）

解得d=2,又69-284=所以9q+]x9x8x2-2[4a]+]x4x3x2）=（q+3x2）,

解得％=1或4=T2.

因為｛%｝各項均為正數，所以4=1,所以品）=100,q=25,所以8=4.

“13

故選：D

3.（24-25高三上?天津河東?階段練習）已知等差數列｛4｝的首項為1,若4,出，4+1成等比數列，則％=（）

A.-2B.4C.8D.-2或4

【答案】B

【分析】設出公差，根據外出，。3+1成等比數列，得到方程，求出d=±l，檢驗后得到答案.

【詳解】由題意得%=1,a；=q（/+1）=%+1,且生。。，

設公差為d,則（l+d）2=i+2d+l,解得d=±l,

若d=l,貝1]出=2,=1+3=4,滿足要求，

若d=—l,則。2=。，不合要求，舍去，

故。4=4.

故選：B

4.（24-25局三上?河北廊坊?期末）已知等比數歹!]｛。〃｝，%+〃3+。5=9,—+—+—=3,則%=（）

qa3a5

A.3B.±3C.V3D.±5/3

【答案】C

【分析】根據給定條件，利用等比數列性質計算得解.

【詳解】在等比數列｛%｝中，〃M5=吭由丁+1+1=3，得%+%+%=3裙,

而％+〃3+。5=9,因止匕〃；=3,又%+。3+。5>0，且%。3，。5同號，貝!]。3>0，

所以色=百.

故選：C

5.（2025高三?全國?專題練習）已知｛%｝為等比數列，且。3%=16。5，〃4+2%=4。，記S”為｛%｝的前幾項

和，則臬=（）

A.127B.128C.63D.64

【答案】C

【分析】根據等比數列的性質可得。5=16和%=40-2%=8,即可求解公比和首項，由等比求和公式即可

求解.

【詳解】設｛%｝的公比為4，由。3%=16%,得力=16%,

又內R0,故%=16.又%+2%=40,所以g=40-2生=8,

從而4=a=2,所以4=今=1,$6="Ji）=lzZl=63,

&q61_q1-2

故選：c.

6.（2024.山東淄博?二模）已知等比數列｛。“｝,%=4,4]0=16,則用=（）

A.8B.±8C.10D.±10

【答案】A

【分析】運用等比中項，結合等比數列通項公式即可解決.

【詳解】根據等比中項知道M=的%。，求得aj=64,則&=±8.

又。6=＞。，貝U4=8.

故選：A.

易錯分析：在進行等比數列的基本量運算時要注意挖掘等比數列的隱含條件，如公比不等

于零、通項不等于零、,^^3,^^5,?，,同號等.

7.（2024?山東泰安?二模）設等比數列｛%｝的前〃項和為5“，若S3=5%+6%,則公比4為（）

A.1或5B.5C.1或-5D.5或-1

【答案】D

【分析】根據等比數列的通項公式及前n項和公式，采用基本量思想進行計算即可.

【詳解】由邑=5%+6。1=。1+。2+。3得，4。2+5%=。3，

21

所以4%g+5%=axq,即q-4^-5=0,

所以勿-5)g+l)=0,所以q=5或q=-l.

故選：D.

考點03等差、等比數列的性質

1.(24-25高三上?內蒙古鄂爾多斯?期末)設工是等比數列｛叫的前〃項和，若量=6,兀=18,則So,=()

A.48B.84C.90D.112

【答案】C

【分析】利用等比數列片段和的性質得治-幾=24,%-幾=48,進而可求S24.

【詳解】因為S”是等比數列｛%｝的前力項和，

所以$6，Sl2-S6,Sls-Sl2,S”-幾成等比數列，

又$6=6,S12-S6=12,所以518-工2=24,S24-S18=48,

所以邑4=品+兀-$6+與-$+$24-幾=6+12+24+48=90.

故選：C

2.(2023?新課標H卷?高考真題)記S”為等比數列｛%｝的前〃項和，若邑=-5,&=2電，則叢=().

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

【分析】方法一：根據等比數列的前九項和公式求出公比，再根據S,,$8的關系即可解出;

方法二：根據等比數列的前〃項和的性質求解.

【詳解】方法一：設等比數列｛4｝的公比為4,首項為q,

若4=-1,貝匹=0"5,與題意不符，所以#-1；

若4=1,則$6=61=3x26=3s2w0,與題意不符，所以4力1;

由邑=-5,$6=21邑可得，出—-----=-5，—--------.-21x--------CZ),

l-q1-q1-q

由①可得，1+/+/=21,解得：^=4,

所以$8=邛二11="二￡Jx(l+/)=_5x(l+16)=-85.

故選：C.

方法二：設等比數列｛%｝的公比為4,

因為邑=-5,S6=21S2,所以qw-l,否則$4=0,

從而，S2，S4—S2，X—S4，S8—S6成等比數歹U，

,5

所以有，(一5—邑)一=邑(21邑+5),解得：52=—1或邑=(,

當邑=—1時，$2，$4——邑,$8—$6,即為—1,—4,—16,Sg+21,

易知，/+21=—64,B|JSf.=—85；

當邑=；時，S4=q+a,+/+%=(q+%乂1+42)=(1+，)星>0,

與$4=-5矛盾，舍去.

故選：C.

【點睛】本題主要考查等比數列的前力項和公式的應用，以及整體思想的應用，解題關鍵是把握S',S'的關

系，從而減少相關量的求解，簡化運算.

易錯分析：在利用等比數列片段和的性質求值時一定要注意4*T這一前提條件.

邑1

則

一-

3.設S,是等差數列｛氏的前〃項和,3-

品

【答案】A

【分析】由等差數列的性質可知S3、S6-S3>S「Ss、品-品成等差數列，根據題意可將S6，Sg都用S3表示,

可求得結果.

【詳解】由等差數列的性質可知邑、4_$3、S9-S6>”-邑成等差數列,

??《=(，即％=3$3,(S6-S3)-S3=S3,

：.Sg-S6=3S3,Sl2-S9=4S3,：.S9=6S3,兀=10邑，

.』：二3S-3

*,SnIOS310,

故選：A.

4.已知等差數列｛4｝的前展項和為第,56=-553*0,則1=()

d3

A.18B.13C.-13D.-18

【答案】D

【分析】由等差數列的性質可知SB，'-S,Sg-§6依舊成為等差數列，據此求解.

【詳解】由S6=-5S3，可設SG=-5Q,S3,

???｛%｝為等差數列，...邑,-5㈤-臬為等差數列,

即。，一6a,Sg-$6成等差數歹U，

S9_—13〃,

即S9=-=—18.

$3

故選：D.

5.（24-25高三上?黑龍江?期末）記S“為等差數列｛氏｝的前幾項和，若生+4=8,出=16,貝3§=（）

A.140B.150C.160D.180

【答案】B

【分析】根據下標和性質求出〃4,即可求出再由求和公式計算可得.

【詳解】因為%+。6=2。4=8,所以2=4,又《2=16,所以％+%5=。4+。12=2。，

所以九二15（"|+/）=叵包=］50.

1522

故選：B

6.（24-25高三上?吉林松原?期末）已知等差數列｛%｝的前〃項和為S“，且%+%+%=24,則兒=（）

A.88B.114C.132D.144

【答案】A

【分析】根據題設條件可求得4的值，從而可得％的值.

【詳解】根據等差數列的下標和性質，/+%+4=%+。5+“6=2〃6+〃6=3g=24,

解得。6=8,所以Su==11%=11x8=88.

故選：A.

考點04數列的通項公式

1.（24-25高三上?吉林長春?期末）已知數列｛%｝的前〃項和為"，且￡二=3瘋，6=1,則〃,=.

【答案_】［f…l,n=l,心2

【分析】由￡二=3點，可知｛瘋｝是等比數列，由等比數列的通項公式求出S“，然后由S“求解。”即可.

【詳解】因為廊=3點，版="=1N0,

所以，技=3,

所以數歹（］｛#；｝是以6=1為首項，3為公比的等比數歹U,

所以底=3"T,所以S"=9"L

當“22時，4=S“-S,_i=9n-'-9n-2=9"-2（9—1）=8X9"2,

又5不符合上式,所以58xfl,A9Z=、1"

故答案為：_________________________________________________________________________

易錯分析：利用S”與斯的關系求通項時一定要檢驗〃=1和時能否合寫成一個公式.

2.（2025?湖北襄陽?模擬預測）數列｛%｝滿足q+半+?+...+券=4向，則數列｛叫的通項公式為.

【答案】"12S2

【分析】根據題目給出的遞推公式進行升次作差即可求解.

【詳解】由題意生+爭$+…+券=4向…①，.”廣不，；.%+與+$+…+含+節=4/2…②，

,,+2n+1n+1+1,,+1,,+1

②一①得:*=4-4=3x4,an+l=3"x4=12,

則當刃N2時,=12",

當〃=1,4=16不適合上式.

16,〃二1

12\n>2

fl6,n=l

故答案為：%=

[1，,n>2

3.（2025?江蘇南京?模擬預測）已知數列｛%｝滿足4=1,2%+「〃〃+a/m=0（〃￡N*）,則數列｛4｝的通項公

式為.

【答案】見=八

Z—1

【分析】根據給定的遞推公式，利用構造法求出通項即得.

【詳解】數列｛%｝中，?1=1,2鳳+1-4,+44+1=。，顯然凡WO,

貝!J有'=2,一1-+1,gp—+1=2（—+1）,ffjj—+1=2,

aaa

n+\nn+\"1

1一

因此數歹（j｛f一+1｝是以2為首項，2為公比的等比數列，

冊

所以：+1=2"，即

UnZ—1

故答案為：an=-^--

2—1

4.(2022.新高考全國I卷.高考真題)記S"為數列｛a“｝的前a項和，已知q是公差為g的等差數列.

(1)求｛qj的通項公式;

111c

(2)證明：—+—+…+—<2.

axa2an

【答案】(i)4=攻m

(2)見解析

【分析】(1)利用等差數列的通項公式求得2=I+；5-I)=T，得到'=("+2)%,利用和與項的關

a?333

系得到當此2時，a,=S「=(〃+2)._5+1,進而得:@=空，利用累乘法求得也±D,

33an-\n12

檢驗對于"=1也成立，得到｛%｝的通項公式見=若少；

(2)由(1)的結論，利用裂項求和法得到'+2?+…+,=2(1二],進而證得.

axa2an\n+1J

S

【詳解】(1)<％=1,二d=qU=l,

又是公差為I的等差數列,

?,1/i\幾+2(n+2]a

?—=l+-(n-l)=------.?.s-A____LJL

a,)3，八3，

?C5+I)%

??當幾22時，=-——七---,

.cc5+2)%5+l)a,i

,?Q及_3,_3〃一1一§§，

整理得：(〃一1)。〃=(〃+1)%T，

an+1

BP-=-T,

an-l”I

/.an=%x=x3~x...x——J

a\a2an-2an-l

z

34f+

〃

〃+1\

-1XXXXX一-

±一

1-2-2--

〃-1

顯然對于〃=1也成乂，

｛6｝的通項公式4=當辿;

考點05數列的求和

1.（24-25高三上?吉林長春?期末）記首項為1的數列｛q｝的前〃項和為S,，且是以2為公差的等差數

列，則數列丁丁，的前100項和為（)

[S.+3wJ

100514950

A.----B.----C.D.----

101100100101

【答案】D

【分析】利用等差數列的性質求出S“，再利用裂項相消法求和即可.

【詳解】因為首項為1的數列｛%｝的前〃項和為s”,

qq

所以…"令么寸故

由題意得也,｝是以2為公差的等差數列,

故2=1+2(〃-1)=2〃-1,即2=2〃一1,

n

111

得到5〃="(2幾—1)=2"—明故

2

Sn+3n2/-〃+3〃2n+2n

1111

令。〃二-----------=------------=-(-----------),

2幾2+2幾2〃(〃+1)2nn+1

其前100項和1為!——-)=-1x(l---1),

2222310010122110011

110050j-十3

=5*而=而’故D正確

故選：D

易錯分析：利用裂項相消法求數列的和時，拆項時要注意是否需要添加系數即注意變形的

等價性.

2.（24-25高三上?河南?期中）已知函數了⑺的定義域為R,且/（x+y）+/（x-y）=2〃x）+2/（y）,41）=1,

20

設氏=/(小(〃則￡1

wN*),丁（)

k=2ak

19c589531

A.WB.—C.-----D.-----

2140840760

【答案】C

【分析】賦值可求得/（2）=4=22,”3）=9=3?,，/（20）=202,進而結合裂項相消法求和即可.

【詳解】由/(x+y)+/(x—y)=2/(x)+2/(y),f(l)=l,

令x=y=O,得〃O)+/(O)=2/(O)+2/(O),即〃0)=0,

令x=y=l,W/(2)+/(O)=2/(l)+2/(l),即/(2)=4=22,

令x=2,y=l,得〃3)+〃1)=2〃2)+2〃1),即/⑶=9=3?,

令x=3,y=l,得/(4)+〃2)=2/(3)+2〃1),BP/(4)=16=42,

同理可得/(5)=52,"6)=62,L,"20)=202,

,?111111111

則〉----=------1-------------1------------F???H-------------=--------1—z------1—z-------F??H---------------

22

tiak-la2-la3T%a20-l2-l3-l4--120--1

故選：C.

3.（24-25高三上?甘肅?期末）已知等差數列｛見｝的前"項和為S“，且S“=3/+初+Z.

⑴求｛q｝的通項公式；

⑵若b?=-----,求數列｛bn｝的前"項和T”.

【答案】⑴4=6〃-3

【分析】（1）利用公式q=H，%=S“-S“T（〃之2）求出數列的通項，結合｛為｝為等差數列列方程求上,由

此可得結論；

(2)由⑴,利用裂項相消法求和即可.

(6〃—3)(6〃+3)182n—l2H+1

【詳解】（1）當〃=1時，4=3=3+2%,

=

當〃22時，cinSn-—3〃2+協+左一］3（〃一I）?+左（〃-1）+左］=6〃-3+左,

因為數列｛%｝為等差數列，且生-。2=6,所以數列｛?｝的公差為6

所以。2—6=q,即6x2—3+左一6=3+2左，

所以k=0,故q=3,

所以%=%+6(〃_l)=6〃_3.

711111、

(2)因為勿==~-z10,J，

4A+i(6〃-3)(6〃+3)182n-l2n+1

所以北=4(1_3+(；_：)+…+(011；)，

18|_3352n-l2n+l_

Tn=—(1———)=—^.

"182M+118n+9

4.(2023?天津?一模)己知數列｛q｝是首項為1的等差數列，數列｛a｝是公比不為1的等比數列，且滿足

a｛+a2=b2,a2+a3=b3,a4+a5=b4.

⑴求數列｛。"｝,｛"｝的通項公式；

2〃k

⑵求￡(-i)。也；

k=l

⑶令C"=(ab+；))|+1)(〃eNT記數列｛%｝的前〃項和為S“，求證：對任意的〃eN*,都有1<s“<$

【答案】⑴。"=2"1,bn=2\

⑵汽㈠那也q+序-總評

k=\V1Oy

(3)證明見解析.

【分析】(1)利用等差數列，等比數列的通項公式可得到結果；

2n

(2)￡(-1>。也可轉化為等差乘等比類型，利用錯位相減法可解；

k=\

(3)數列｛%｝的前〃項和S“可利用裂項相消，然后用放縮可證.

【詳解】(1)設｛叫的公差為〃，｛2｝的公比為鼠殲1),則為=1+5-1"，么=如。

由等比數列性質可得睨=6也，又4+。2=4，a2+a3=b3,%+%=64

所以（的+%）~=（。1+。2）（。4+。5），

所以（2+3d）2=（2+d）（2+7d）,解之得d=2或d=。，

當d=0時，。〃=1,貝lj包=q+%=2,b3=a2+a3=2,

即4=1=1與qwl矛盾，故舍去；

瓦

當d=2時，an=2n-l,貝|&=4+生=4,b3=a2+a3=S,

所以4=5=2也=%=2,滿足題意；

b2q

所以g=2〃-1,bn=T.

In

（2）設看=Z（T）"0也=（一地）+〃2b2+（-。3人3）+。4。4+…+。2也〃,

k=\

Tn=（一%4）+%8++…+%優"’

設「出也小知一也z=（4-1）2筋-（府-3）221=,+34〃，

則1=%+%2+,,,+、=|_x4+|*x42+...+[2m+；]4",4T〃=^x42+-|x43+---+^2^+1->14,1+1,

兩式相減得34=-10-2x42—2x43——2,4"+（2”+；）4角，

所以7H+臣焉八,即魯（-碟叫=|+生焉|

C…一（2〃+3）2=/1_____________1]

"（m+1）（%%+1）（（2〃一1）2"+1）（（2〃+1）2&+1）[（21）2"+1（2〃+1）2向+1J

S=4-----------1---------------1------1--------------------------------------------------,

"13131341（2n-l）2"+l（2?+l）2,,+1+1J

/\

s"=4（-3----（-2--n--+--l-）--2-"-+--I-+---l\

因為〃eN*,易知S“隨著〃的增大而增大，

404

所以5,25|=4>1,S?<-,

4

所以1<S“<].

【點睛】方法點睛：

求數列前〃項和常見的方法：

公式法：適用于等差數列、等比數列以及其他特殊數列.

分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和.

倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，則常可考慮選用

倒序相加法，發揮其共性的作用求和（這也是等差數列前"和公式的推導方法）.

錯位相減法：如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成，那么常選用錯位

相減法（這也是等比數列前〃和公式的推導方法）.

裂項相消法：如果數列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯，那么常選用裂項相消法求

和.

通項轉換法：先對通項進行變形，發現其內在特征，再運用分組求和法求和.

5.（24-25高三上?吉林四平?期末）在前〃項和為S,的等比數列｛%｝中，3%=2%+%,邑=3。，S2=38-%.

（1）求數列｛《,｝的通項公式；

⑵令么=a?-log2a?,求數列也｝的前?項和T“.

【答案】（1）4=2"

⑵1=（"l）x2"+i+2

【分析】（1）根據等比數列的通項公式，由3a2=24+4,可以計算得出等比數列的公比0=1或4=2,分別

再由$4=30得q,驗證，是否符合邑=38-%，得到4=2,得出數列的通項公式.

⑵根據。"=2”,得出么的通項公式，錯位相減得出

【詳解】（1）設數列｛4｝的公比為4,

由3a2=241+%,得3aM=2%+%/,所以%=2+寸，解得q=l或q=2,

若4=1,則由凡=30,得4=3,所以$2=15,38-%=38-?=與與Sz=38-%矛盾，所以，小

若q=2,則由$4=30,得4=2,所以$2=6,38-%=38-2x2,=6,符合

S2=38-a5,所以4=2,q=2,所以a“=2”.

故數列｛。“｝的通項公式為：??=2"

（2）由anajlog?。”=w-2",

2

Tn=lx2+2x2+3x23+…+（〃-1）X2"T+〃*2"

兩邊乘以2得

2T“=lx22+2x23+3x24+...+（72-l）x2n+?x2n+1,

兩式相減得：-￡=2+2?+23+...+2"-1+2n-nx2n+1,

+1

:.Tn=nx2"——；2=（〃-1）x2M+2

故數列出｝的前〃項和［=5-1）x2向+2.

易錯分析:求數列的和要注意錯位相減法適用的前提條件，即判斷數列是否是“差比數列”.

6.（24-25高三上?遼寧?期末）已知｛為｝為等差數列，其前〃項和為工，｛〃｝為等比數列，%=_2a=1,

%+"2=，&=36.

⑴求｛。,｝和色｝的通項公式；

⑵求數列｛4"｝的前〃項和

【答案】（1）。“=2”-1,

【分析】（1）設｛4｝的公差為d,也，｝的公比為4,利用等差數列前〃項和公式及等比數列通項公式基本量

運算求出4g,即可求解通項公式；

（2）利用錯位相減法求和即可得解.

【詳解】⑴設｛%｝的公差為d,也｝的公比為4,

則6%+寸d=36,解得d=2,

因為（l+d）+1jxq=7,所以q=一;，

則an=l+（〃-l）x2=2〃-l,

（2）由（1）

貝口=TX；+3X*—5XJ+7xJ-…+（2〃—3）x[—；]+（2rt-l）xf-|j,①

U=，_3XJ+5X'_7X：+…+（2〃_3）x（_；〔+（2n-l）xf—，②

由①-②得3（=-'+2x±-2x1+2x]-…+2x

222232

所以7^彳一、

7.（24-25高三上?江蘇?階段練習）記S,為數列｛4｝的前〃項和，且4sa=3%+4.

⑴證明：數列電-1｝為等比數列；

⑵求數列]（T）a?詈｝的前〃項和；

（3）數列也｝的前〃項和為北，且〃“+3）（心）求證：T”』.

【答案】（1）證明見解析

e（2〃-"+i

（3）證明見解析

【分析】（1）根據氏和S,的關系可得S「1=-3（ST-1）,進而求證即可；

（2）先求出。“=4?（-3尸，可得（—1嚴?詈=進而結合錯位相減法求和即可;

（3）結合（2）可得以=；一工-；一r，進而結合裂項相消法求和即可.

4|_n-3+3

【詳解】（1）證明：當”=1時，4s1=3%+4=35]+4,則E=q=4,

當心2時,4s“=3（S“—S“_J+4,HPS?-1=-3（S?-1-1）,而S「l=3*0,

所以數列｛S「1｝成首項為3,公比為-3的等比數列，

（2）由（1）知，5“-1=3-（-3產，則5“=3-（一3尸+1=1-（一3）",

4

由45“=3。"+4,所以4=§（S,-1）=4.（—3尸,

則(-1尸??="?3力，設｛小3"T｝前”項和記為R,,,

所以月=1+2?31+31+…+5-l)3-2+".3"T①,

則3月=1?3+2?32+…+(7^-2)?3"2+(〃-l).3"T+".3"②,

①一②得一2K=]+3+32+~+3"T_”.3"J0―31討=…〃中一1

“1-32

則Rn=(2"D,3'+1,即數列?號]的前n項和為Q九一1>30+1.

"4I4J4

(3)證明:由(2)知,。“=4?(一3)'i,則%+2=4-(-3)”匕

(-1),|+1(2/?+3)(-1)"+1(2/7+3)2〃+3_3(〃+1)—〃

H+1

n｛n+l)a?+2~4/7(+1)?(-3)"4〃(〃+1>3"+1-4〃("+1>3間

1_J________]

~47^3"~(n+l)-3"+,

所以T，W1_____1__J_____1__J________]

2^~3^…7Tr~(n-bl)-3n+1

_J_11

~43~(n+l)-3n+1

所以7:二；（一+111

因為幾eN*,<—X—=一

4312

8.（24-25高三上?黑龍江雞西?階段練習）已知數列｛%｝的首項為q=g,且滿足4布+44+田“-%=0.

（1）證明：數列］為等差數列;

（2）求數列的前w項和為S.；

⑶求數列［（T）”5"｝的前力項和.

【答案】（1）證明見解析

⑵S”=24

f為偶數

）“=隔j”為奇數

【分析】（1）將遞推數列變形，結合等差數列的定義，即可證明;

（2）由（1）的結果根據等差數列的前“項和公式可求S,,.

（3）分別討論"為奇、偶的兩種情況的前"項和.

【詳解】(1)因為《+i+4。“+"一。“=°,4=；，

若4+1%=。，則%=。“+1=°,與q=g矛盾，

所以凡+M產。，所以-an+l=4aM+i，

11,11c

所以-------=4,因為4=彳，所以一=2,

aa

n+i?24

所以數列，?[是以首項為2,公差為4的等差數列.

(2)由⑴知，=2+(〃-1)-4=4〃-2,

an

數列[工]的前〃項和為S,=(2+4"2)〃=2/.

2

⑶因為后

設數列｛(-I)"S“｝的前〃項和為T,,

222

當n為偶數時，Tn=2[-1+2-3+…一(〃一+日，

因為=2“_],

所以＜=213+7H---卜(2〃―])]=2.(3+”11.3="(〃+])="+“，

當鼠為奇數時，”-1為偶數.

222

Tn=J；-+2-(-1)"n=(n-l)n-2n=-n-n,

-_J*+",w為偶數

所6Fr以|T"一為奇數.

易錯分析：當數列的通項含有(-1)”或者是分奇偶數的分段函數形式時，求數列的和往往

需要分奇偶數進行討論.

9.(2024?陜西西安?一模)已知數列｛叫的前〃項和為S“，％=1,且滿足(w+l)S"="S"+]-g"("+l).

(1)求數列｛4｝的通項公式;

(2)設bn=(q；+3"")-cosrm,求數列｛〃｝的前〃項和Tn.

【答案】⑴4="

蟲3+(-3)，〃為偶數,

⑵，“=：:網

-3-3+(-3)，〃為奇數

I24

【分析】(1)利用構造法和等差數列的定義與通項公式可得s,=或m，結合%=S“-S“T即可求解;

(2)由⑴知2=(-1)"〃2+(-3)”,利用分組求和法計算即可求解.

【詳解】(1)根據題意，(〃+1電=必用-91(〃+1),所以匕q-q1

2n+1n2

由于號=%=1,貝是以首項為1,公差為;的等差數列，

1InJ2

ll…S”//八1H+1n(n+l)

所以」L=1+(〃—l)x7=n，所以----

nv722n2

小、。口iccri(n+l)(n-I)n

當〃N2時，an=Sn-Sn_x=---------------=n.

驗證〃=1時％=1滿足通項公式，故數列｛4｝的通項公式為為=〃.

(2)由(1)知勿=(Q：+34)?COS〃兀=(一1)"〃2+(_3)”.

設(-1)""的前”項和為4，則當〃為偶數時,

4=-12+22-32+42-----(n-l)2+n2

=(2-l)(2+l)+(4-3)(4+3)+-?-+[n-(n-l)][n+(1)]

=1+2+3+4H---—1)+〃=

2

n-\\n2

當九為奇數時，4=4_]—"----------n

22

(-3)11-(-3門一3-(3)7

設(-3)”的前〃項和為