專題特訓相似三角形中的類比探究、新定義問題第二十七章相似類型一

相似三角形的類比探究1.

（2024·大連模擬）活動課上，李老師給出如下問題：如圖①，在

△ABC中，D是AB的中點，E是AC的一個三等分點，且AC＝3CE，

連接CD，BE交于點F，求證：CF＝DF.

①小鵬同學利用“三角形中位線的性質”，取BE的中點G，連接

DG，再通過“全等三角形的性質”解決問題.②小亮同學利用“三角形相似的性質”，過點C作CG∥AB，交BE的

延長線于點G，再通過“全等三角形的性質”解決問題.①

②

③（第1題）123（1）請你選擇一種解題思路，寫出證明過程.

123（2）李老師發現兩名同學都運用了轉化思想，將線段的關系轉化為角

度去理解.李老師又提出了一個問題：如圖②，在△ABC中，D是AB的

中點，E，G是AC的三等分點，BG，BE與CD分別交于點H，F，求

HD∶HF.

解：如圖③，連接GD.

∵

E，G是AC的三等分點，∴

CE＝EG＝

AG.

由（1），可知CF＝DF.

∴

EF是△CGD的中位線.∴

EF∶GD

＝1∶2.∵

D是AB的中點，∴

AD＝BD.

∴

DG是△ABE

的中位線.

∴

DG∥BE，DG∶BE＝1∶2.∴

∠DGH＝∠FBH，∠GDH＝

∠BFH，DG∶FB＝2∶3.∴

△DGH∽△FBH.

∴

HD∶HF＝

DG∶FB＝2∶3.123（3）如圖③，在△ABC中，AC＝BC，在射線AB上取點D，使BD＝

2AB，連接CD，在CD上取點E，射線EB，CA相交于點F.

當EB＝

ED時，求BE∶BF.

解：如圖④，過點C作CG⊥AB于點G，過點E作EH⊥BD于點H，

過點F作FM⊥DA，交DA的延長線于點M.

∵

AC＝BC，EB＝ED，∴

AG＝BG，BH＝HD.

設AG＝BG＝x.∵

BD＝2AB，∴

BH

＝HD＝2x.∴

DH∶DG＝2∶5.∵

CG⊥AB，EH⊥BD，∴

∠CGD

＝∠EHD＝90°.又∵

∠D＝∠D，∴

△CGD∽△EHD.

∴

EH∶CG

＝DH∶DG＝2∶5.設EH＝2m，則CG＝5m.∵

FM⊥BA，

∴

∠FMB＝∠EHB＝90°.又∵

∠FBM＝∠EBH，∴△FMB∽△EHB.

③123

123類型二

相似三角形的新定義2.

（2024·運城一模）如圖①，在四邊形ABCD的邊AB上取一點E（點

E不與點A，B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成

三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，那么我們把E叫做四邊形

ABCD的邊AB上的“相似點”；如果這三個三角形都相似，那么我們

把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強相似點”.

（第2題）123（1）如圖②，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠DEC.

①試判斷E是否為四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”，并說明理由.解：E是四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”.理由：設∠A＝∠B＝

∠DEC＝α，則∠ADE＋∠DEA＝180°－α，∠BEC＋∠DEA＝

180°－α.∴

∠ADE＝∠BEC.

又∵

∠A＝∠B，

∴

△ADE∽△BEC.

∴

E是四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”.123②

若E為邊AB的中點，求證：E為四邊形ABCD的邊AB上的“強相似

點”.

123（2）如圖③，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在邊AB上的點E

處.若E恰好是四邊形ABCM邊AB上的一個“強相似點”，試探究線段

AB與BC之間的數量關系.

1233.

（2024·哈爾濱一模）定義：P是△ABC內部或邊上的點（頂點除

外），在△PBC，△PAB或△PCA中，如果有一個三角形與△ABC相

似，那么稱P是△ABC的“相似點”.

（第3題）123（1）如圖①，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，P是AB上一點，

CP平分∠ACB，求證：P為△ABC的“相似點”.

123

123（3）如圖③，在菱形ABCD中，E是AB上一點，F是△A