福建省南平市重點中學2025屆高三年級第六次月考數學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知中，，則（）A．1 B． C． D．2．盒中有6個小球，其中4個白球，2個黑球，從中任取個球，在取出的球中，黑球放回，白球則涂黑后放回，此時盒中黑球的個數，則()A．， B．，C．， D．，3．己知函數的圖象與直線恰有四個公共點，其中，則（）A． B．0 C．1 D．4．已知不重合的平面和直線，則“”的充分不必要條件是（）A．內有無數條直線與平行 B．且C．且 D．內的任何直線都與平行5．已知，則（）A． B． C． D．26．已知非零向量，滿足，，則與的夾角為（）A． B． C． D．7．已知雙曲線滿足以下條件：①雙曲線E的右焦點與拋物線的焦點F重合；②雙曲線E與過點的冪函數的圖象交于點Q，且該冪函數在點Q處的切線過點F關于原點的對稱點．則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．8．集合，則（）A． B． C． D．9．若實數滿足不等式組，則的最大值為（）A． B． C．3 D．210．如圖，網格紙上小正方形的邊長為，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．11．小張家訂了一份報紙，送報人可能在早上之間把報送到小張家，小張離開家去工作的時間在早上之間.用表示事件：“小張在離開家前能得到報紙”，設送報人到達的時間為，小張離開家的時間為，看成平面中的點，則用幾何概型的公式得到事件的概率等于（）A． B． C． D．12．若函數f(x)＝x3＋x2－在區間(a，a＋5)上存在最小值，則實數a的取值范圍是A．[－5，0) B．(－5，0) C．[－3，0) D．(－3，0)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設為互不相等的正實數，隨機變量和的分布列如下表，若記，分別為的方差，則_____．（填>，<，=）14．已知復數（為虛數單位），則的模為____．15．在中，角，，所對的邊分別邊，且，設角的角平分線交于點，則的值最小時，___.16．若函數為自然對數的底數）在和兩處取得極值，且，則實數的取值范圍是______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知實數x，y，z滿足，證明：.18．（12分）已知拋物線的焦點為，直線交于兩點（異于坐標原點O）.（1）若直線過點,，求的方程；（2）當時，判斷直線是否過定點，若過定點，求出定點坐標；若不過定點，說明理由.19．（12分）設函數.（1）若，求實數的取值范圍；（2）證明：，恒成立.20．（12分）某企業質量檢驗員為了檢測生產線上零件的質量情況，從生產線上隨機抽取了個零件進行測量，根據所測量的零件尺寸（單位：mm），得到如下的頻率分布直方圖：（1）根據頻率分布直方圖，求這個零件尺寸的中位數（結果精確到）；（2）若從這個零件中尺寸位于之外的零件中隨機抽取個，設表示尺寸在上的零件個數，求的分布列及數學期望；（3）已知尺寸在上的零件為一等品，否則為二等品，將這個零件尺寸的樣本頻率視為概率.現對生產線上生產的零件進行成箱包裝出售，每箱個.企業在交付買家之前需要決策是否對每箱的所有零件進行檢驗，已知每個零件的檢驗費用為元.若檢驗，則將檢驗出的二等品更換為一等品；若不檢驗，如果有二等品進入買家手中，企業要向買家對每個二等品支付元的賠償費用.現對一箱零件隨機抽檢了個，結果有個二等品，以整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值作為決策依據，該企業是否對該箱余下的所有零件進行檢驗？請說明理由.21．（12分）已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且(1)求數列{a(2)求數列{1Sn}的前22．（10分）已知函數.（Ⅰ）求在點處的切線方程；（Ⅱ）已知在上恒成立，求的值.（Ⅲ）若方程有兩個實數根，且，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

以為基底，將用基底表示，根據向量數量積的運算律，即可求解.【詳解】,,.故選:C.【點睛】本題考查向量的線性運算以及向量的基本定理，考查向量數量積運算，屬于中檔題.2．C【解析】

根據古典概型概率計算公式，計算出概率并求得數學期望，由此判斷出正確選項.【詳解】表示取出的為一個白球，所以.表示取出一個黑球，，所以.表示取出兩個球，其中一黑一白，，表示取出兩個球為黑球，，表示取出兩個球為白球，，所以.所以，.故選：C【點睛】本小題主要考查離散型隨機變量分布列和數學期望的計算，屬于中檔題.3．A【解析】

先將函數解析式化簡為，結合題意可求得切點及其范圍，根據導數幾何意義，即可求得的值.【詳解】函數即直線與函數圖象恰有四個公共點，結合圖象知直線與函數相切于，，因為，故，所以.故選：A.【點睛】本題考查了三角函數的圖像與性質的綜合應用，由交點及導數的幾何意義求函數值，屬于難題.4．B【解析】

根據充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關系，依次判斷每個選項得到答案.【詳解】A.內有無數條直線與平行，則相交或，排除；B.且，故，當，不能得到且，滿足；C.且，，則相交或，排除；D.內的任何直線都與平行，故，若，則內的任何直線都與平行，充要條件，排除.故選：.【點睛】本題考查了充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關系，意在考查學生的綜合應用能力.5．B【解析】

結合求得的值，由此化簡所求表達式，求得表達式的值.【詳解】由，以及，解得..故選：B【點睛】本小題主要考查利用同角三角函數的基本關系式化簡求值，考查二倍角公式，屬于中檔題.6．B【解析】

由平面向量垂直的數量積關系化簡，即可由平面向量數量積定義求得與的夾角.【詳解】根據平面向量數量積的垂直關系可得，，所以，即，由平面向量數量積定義可得，所以，而，即與的夾角為.故選：B【點睛】本題考查了平面向量數量積的運算，平面向量夾角的求法，屬于基礎題.7．B【解析】

由已知可求出焦點坐標為,可求得冪函數為,設出切點通過導數求出切線方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切點坐標,然后求解雙曲線的離心率．【詳解】依題意可得，拋物線的焦點為，F關于原點的對稱點；，，所以，，設，則，解得，∴，可得，又，，可解得，故雙曲線的離心率是.故選B．【點睛】本題考查雙曲線的性質,已知拋物線方程求焦點坐標,求冪函數解析式,直線的斜率公式及導數的幾何意義,考查了學生分析問題和解決問題的能力,難度一般.8．D【解析】

利用交集的定義直接計算即可.【詳解】，故，故選：D.【點睛】本題考查集合的交運算，注意常見集合的符號表示，本題屬于基礎題.9．C【解析】

作出可行域，直線目標函數對應的直線，平移該直線可得最優解．【詳解】作出可行域，如圖由射線，線段，射線圍成的陰影部分（含邊界），作直線，平移直線，當過點時，取得最大值1．故選：C．【點睛】本題考查簡單的線性規劃問題，解題關鍵是作出可行域，本題要注意可行域不是一個封閉圖形．10．D【解析】

根據三視圖判斷出幾何體是由一個三棱錐和一個三棱柱構成，利用錐體和柱體的體積公式計算出體積并相加求得幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知該幾何體的直觀圖是由一個三棱錐和三棱柱構成，該多面體體積為.故選D.【點睛】本小題主要考查三視圖還原為原圖，考查柱體和錐體的體積公式，屬于基礎題.11．D【解析】

這是幾何概型，畫出圖形，利用面積比即可求解.【詳解】解：事件發生，需滿足，即事件應位于五邊形內，作圖如下：故選：D【點睛】考查幾何概型，是基礎題.12．C【解析】

求函數導數，分析函數單調性得到函數的簡圖，得到a滿足的不等式組，從而得解.【詳解】由題意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函數，在(－2，0)上是減函數，作出其圖象如圖所示．令x3＋x2－＝－，得x＝0或x＝－3，則結合圖象可知，解得a∈[－3，0)，故選C.【點睛】本題主要考查了利用函數導數研究函數的單調性，進而研究函數的最值，屬于常考題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．>【解析】

根據方差計算公式，計算出的表達式，由此利用差比較法，比較出兩者的大小關系.【詳解】，故.，.要比較的大小，只需比較與，兩者作差并化簡得①，由于為互不相等的正實數，故，也即，也即.故答案為：【點睛】本小題主要考查隨機變量期望和方差的計算，考查差比較法比較大小，考查運算求解能力，屬于難題.14．【解析】，所以．15．【解析】

根據題意，利用余弦定理和基本不等式得出，再利用正弦定理，即可得出.【詳解】因為，則，由余弦定理得：，當且僅當時取等號，又因為，，所以.故答案為：.【點睛】本題考查余弦定理和正弦定理的應用，以及基本不等式求最值，考查計算能力.16．【解析】

先將函數在和兩處取得極值，轉化為方程有兩不等實根，且，再令，將問題轉化為直線與曲線有兩交點，且橫坐標滿足，用導數方法研究單調性，作出簡圖，求出時，的值，進而可得出結果.【詳解】因為，所以，又函數在和兩處取得極值，所以是方程的兩不等實根，且，即有兩不等實根，且，令，則直線與曲線有兩交點，且交點橫坐標滿足，又，由得，所以，當時，，即函數在上單調遞增；當，時，，即函數在和上單調遞減；當時，由得，此時，因此，由得.故答案為【點睛】本題主要考查導數的應用，已知函數極值點間的關系求參數的問題，通常需要將函數極值點，轉化為導函數對應方程的根，再轉化為直線與曲線交點的問題來處理，屬于常考題型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．見解析【解析】

已知條件，需要證明的是，要想利用柯西不等式，需要的值，發現，則可以用柯西不等式.【詳解】，.由柯西不等式得，...【點睛】本題考查柯西不等式的應用，屬于基礎題.18．（1）（2）直線過定點【解析】

設.（1）由題意知，.設直線的方程為，由得，則，由根與系數的關系可得，所以.由，得，解得.所以拋物線的方程為.（2）設直線的方程為，由得，由根與系數的關系可得，所以，解得.所以直線的方程為，所以時，直線過定點.19．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）將不等式化為，利用零點分段法，求得不等式的解集.（2）將要證明的不等式轉化為證，恒成立，由的最小值為，得到只要證，即證，利用絕對值不等式和基本不等式，證得上式成立.【詳解】（1）∵，∴，即當時，不等式化為，∴當時，不等式化為，此時無解當時，不等式化為，∴綜上，原不等式的解集為（2）要證，恒成立即證，恒成立∵的最小值為－2，∴只需證，即證又∴成立，∴原題得證【點睛】本題考查絕對值不等式的性質、解法，基本不等式等知識；考查推理論證能力、運算求解能力；考查化歸與轉化，分類與整合思想.20．（1）；（2）分布列見詳解，期望為；（3）余下所有零件不用檢驗，理由見詳解.【解析】

（1）計算的頻率，并且與進行比較，判斷中位數落在的區間，然后根據頻率的計算方法，可得結果.（2）計算位于之外的零件中隨機抽取個的總數，寫出所有可能取值，并計算相對應的概率，列出分布列，計算期望，可得結果.（3）計算整箱的費用，根據余下零件個數服從二項分布，可得余下零件個數的期望值，然后計算整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值，進行比較，可得結果.【詳解】（1）尺寸在的頻率：尺寸在的頻率：且所以可知尺寸的中位數落在假設尺寸中位數為所以所以這個零件尺寸的中位數（2）尺寸在的個數為尺寸在的個數為的所有可能取值為1，2，3，4則，，所以的分布列為（3）二等品的概率為如果對余下的零件進行檢驗則整箱的檢驗費用為（元）余下二等品的個數期望值為如果不對余下的零件進行檢驗，整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值為（元）所以，所以可以不對余下的零件進行檢驗.【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應用，掌握中位數，平均數，眾數的計算方法，中位數的理解應該從中位數開始左右兩邊的頻率各為0.5，考驗分析能力以及數據處理，屬中檔題.21．（1）an=2n【解析】

(1)先設出數列的公差為d，結合題中條件，求出首項和公差，即可得出結果．(2)利用裂項相消法求出數列的和．【詳解】解：(1)設公差為d的等差數列{an}且a1+a則有：a1解得：a1=3，所以：a(2)由于：an所以：Sn則：1S則：Tn=1【點睛】本題考查的知識要點：數列的通項公式的求法及應用，裂項相消法在數列求和中的應用，主要考查學生的運算能力和轉化能力，屬于基礎題型．22．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析【解析】

（Ⅰ）根據導數的幾何意義求解即可.（Ⅱ）求導分析函數的單調性,并構造函數根據單調性分析可得只能在處取得最小值求解即可.（Ⅲ）根據（Ⅰ）（Ⅱ）的結論可知,在上恒成立,再分別設的解為、.再根據不等式的性質證明即可.【詳解】（Ⅰ）由題,故.且.故在點處的切線方程為.（Ⅱ）設恒成立,故.