數(shù)學(xué)模型概論校內(nèi)競賽講座數(shù)學(xué)模型電子教案中南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與應(yīng)用軟件系2021/4/14星期三2數(shù)學(xué)模型2021/4/14星期三3參考文獻[1]李大潛，中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，高等教育出版社，1998[2]李尚志，數(shù)學(xué)建模競賽教程，江蘇教育出版社，1996[3]葉其孝，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽輔導(dǎo)教材，湖南教育出版社，1998[4]汪國強，數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀案例選編，華南理工大學(xué)出版社，19982021/4/14星期三4七律詠數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)精微何處尋，紛紜世界有模型，描摹萬象得神韻，識破玄機算古今。豈是空文無實效，能生妙策濟蒼生，經(jīng)天緯地顯身手，七十二行任縱橫。

---李尚志---2021/4/14星期三5目錄1.1引言1.2數(shù)學(xué)建模競賽1.3怎樣建立數(shù)學(xué)模型1.4數(shù)學(xué)建模的方法與步驟

2021/4/14星期三61.1引言隨著社會的發(fā)展，數(shù)學(xué)在社會各領(lǐng)域中的應(yīng)用越來越廣泛，作用越來越大，不但運用于自然科學(xué)各學(xué)科、各領(lǐng)域，而且滲透到經(jīng)濟、軍事、管理以至于社會科學(xué)和社會活動的各領(lǐng)域。但是，社會對數(shù)學(xué)的需求并不只是需要數(shù)學(xué)家和專門從事數(shù)學(xué)研究的人才，而更大量需要的是在各部門中從事實際工作的人善于運用數(shù)學(xué)知識2021/4/14星期三7及數(shù)學(xué)的思維方法來解決他們每天面臨的大量的實際問題，取得經(jīng)濟效益和社會效益。而這不止是要用到數(shù)學(xué)，很可能還要用到別的學(xué)科領(lǐng)域的知識，要用到工作經(jīng)驗和常識。特別是在現(xiàn)代社會，要真正解決一個實際問題幾乎都離不開計算機。可以這樣說，在實際中遇到的問題，完全純粹的只用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)知識就能解決的問題幾乎是沒有的。所遇到的問題都是數(shù)學(xué)和其他知識混雜在一起的問題，其中的數(shù)學(xué)2021/4/14星期三8奧妙不是明顯地擺在那里等到你去解決，而是暗藏于深處等你去發(fā)現(xiàn)，也就是說，你要對復(fù)雜的實際問題進行分析，發(fā)現(xiàn)其中的可以用數(shù)學(xué)語言來描述的關(guān)系或規(guī)律，將這個實際問題化成一個數(shù)學(xué)問題，這就稱為數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型的這個過程就稱為數(shù)學(xué)建模。模型所模仿的都只是真實事物的某些方面的屬性。而數(shù)學(xué)模型，就是用數(shù)學(xué)語言（數(shù)學(xué)公式）去描述和模仿實際問題中的數(shù)量關(guān)系、空間形式等。這種模仿當然是近似2021/4/14星期三9的，但又要盡可能逼真。實際問題中有許多因素，在建立數(shù)學(xué)模型時不可能、也沒有必要將它們毫無遺漏地全部加以考慮，只能考慮其中的最主要的因素，舍棄其中的次要因素。數(shù)學(xué)模型建立起來了，實際問題化成了數(shù)學(xué)問題，如果有現(xiàn)成的數(shù)學(xué)工具當然好，如果沒有現(xiàn)成的數(shù)學(xué)工具就促使數(shù)學(xué)家們尋找和發(fā)展出新的數(shù)學(xué)工具去解決它，這又推動了數(shù)學(xué)本身的發(fā)展。例如，開普勒由行星運行的觀測數(shù)據(jù)總結(jié)-2021/4/14星期三10出開普勒三定律（行星運行的數(shù)學(xué)模型），牛頓試圖用自己發(fā)現(xiàn)的力學(xué)定律去解釋它，但當時已有的數(shù)學(xué)工具是不夠的，這促使了微積分的發(fā)明。求解數(shù)學(xué)模型，除了用到數(shù)學(xué)推理以外，通常還要處理大量數(shù)據(jù)，進行大量計算，計算機的出現(xiàn)和發(fā)展，給用數(shù)學(xué)模型解決實際問題打開了廣闊的道路。2021/4/14星期三111.2數(shù)學(xué)建模競賽

由于認識到培養(yǎng)應(yīng)用型數(shù)學(xué)人才的重要性，從1983年起，美國的一些有識之士開始探討組織一項應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的競賽的可能性，經(jīng)過論證、爭論、爭取資助等過程，終于在1985年開始有了美國的第一屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，簡稱MCM（MathematicalCompetitioninModeling），1987年改2021/4/14星期三12為（MathematicalContestinModeling），競賽由美國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會和美國運籌學(xué)學(xué)會聯(lián)合主辦。從1985年起每年舉行一屆，在每年的二月下旬或三月初某個星期五到星期日舉行。數(shù)學(xué)建模競賽，或稱數(shù)學(xué)模型競賽，不同于傳統(tǒng)的純數(shù)學(xué)競賽，它不是挑選數(shù)學(xué)尖子學(xué)生坐在考場里做某些正確答案早已由出題專家們做出來，正鎖在某2021/4/14星期三13一保險箱柜里的數(shù)學(xué)難題，而是并沒有固定的考場，參賽的學(xué)生可能在圖書館查閱資料，或者正在計算機房操作鍵盤編寫程序，處理大量的實驗數(shù)據(jù)，也可能在討論問題，發(fā)表各自不同的見解，甚至正在非常激烈地爭論某個問題。數(shù)學(xué)建模競賽就是這樣，它名曰數(shù)學(xué)，當然要用到數(shù)學(xué)知識，但卻與以往的數(shù)學(xué)競賽不同，它涉及到物理、化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)、電子、農(nóng)業(yè)、管理等各學(xué)2021/4/14星期三14科、各領(lǐng)域的知識，但又不是這些學(xué)科、領(lǐng)域里的純知識競賽。它涉及多學(xué)科領(lǐng)域，但又不受任何一個具體的學(xué)科領(lǐng)域的局限，它用到各方面的綜合知識。具體形式如下：

1.比賽形式：

數(shù)學(xué)建模競賽是團體賽，每個參賽隊由三人組成，在規(guī)定的三天時間內(nèi)共同完成一份答卷，每個參賽隊有一名指導(dǎo)教師，在比賽前負責培訓(xùn)與指導(dǎo)。每次的考題有2021/4/14星期三15兩題，都是來自于實際的問題或有很強的實際背景的問題，沒有固定的范圍，可能涉及各個非常不同的學(xué)科領(lǐng)域。每個參賽隊從這兩個考題中任意選取做一個題。參賽隊的三名隊員可以相互討論，可以查閱資料，可以使用計算機和計算機軟件，總之，可以使用任何非生命的資源，但不允許三人以外的其他人（包括指導(dǎo)教師）幫助做題。參賽隊的答卷是一篇完整的論文，包2021/4/14星期三16括對所選取問題的重新闡述、對問題的條件和假設(shè)的闡明和必要補充甚至修改、對為什么要用所述模型的分析、模型的設(shè)計、對模型的測試和檢驗的討論、模型的優(yōu)缺點等，還要有一個不超過一頁的論文內(nèi)容的摘要。2.比賽結(jié)果：專家評卷時不對論文給分，而是將論文分成一些等級：

Outstanding（特等獎）

2021/4/14星期三17Meritorious（一等獎）

HonorableMention（二等獎）

SuccessfulParticipation(成功參賽獎)

評卷的標準不是看答案對不對，而主要看論文的思想方法好不好，以及論文是否清晰，它看重的是下面三個步驟：

建立模型：實際問題數(shù)學(xué)問題；

數(shù)學(xué)解答：數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)解；

模型檢驗：數(shù)學(xué)解實際問題的解決。2021/4/14星期三18Outstanding（特等獎）的論文作為優(yōu)秀論文在專業(yè)雜志上發(fā)表而所有參賽的隊員和教練都得到一張獎狀。2021/4/14星期三191.3怎樣建立數(shù)學(xué)模型什么是數(shù)學(xué)模型？簡言之就是用數(shù)學(xué)的語言和方法對實際問題的抽象和描述。牛頓萬有引力定律便是數(shù)學(xué)模型的一個很好的例子。一般來說，一個好的數(shù)學(xué)模型應(yīng)該具備下列特點：1.對所給問題有較全面的考慮

在一個實際問題中，往往有很多2021/4/14星期三20因素同時對所研究的對象發(fā)生作用，因此要對這些因素進行全面綜合考慮，一般分三步進行：（1）列舉各種因素；（2）選取主因素計入模型；（3）考慮其他因素的影響，對模型進行修正。2.創(chuàng)造性地改造已有模型或自創(chuàng)新模型2021/4/14星期三21MCM中的問題一般來源于實際工作中遇到的未解決的問題，沒有現(xiàn)成的理論或模型可套用。因此，評價一個數(shù)學(xué)模型的優(yōu)劣往往要看論文的創(chuàng)造性，即是否結(jié)合實際提出自己的獨到見解。但因為時間有限，很難自創(chuàng)新的數(shù)學(xué)方法來解決問題，所以往往是在現(xiàn)有的模型上作出創(chuàng)造性的改進。3.善于在簡單與復(fù)雜、精確與普適等相反特征之間取得調(diào)和2021/4/14星期三22

數(shù)學(xué)模型應(yīng)當是對實際問題的本質(zhì)刻劃，如果考慮問題過于簡單，則沒有抓住問題的本質(zhì)。相反，如果將所有因素不分主次一概計入模型，不僅顯得十分龐雜，，而且事實上無法求解，反而掩蓋了問題的本質(zhì)。對于優(yōu)化模型可以設(shè)計一些可調(diào)參數(shù)使模型具有較廣的適用性。但參數(shù)過多，則會降低模型的精確性，而且顯得過于主觀，要想建立一個好的模型，就必須在相反的極端之間加以權(quán)衡，這有賴于對問題本質(zhì)的深刻理解。2021/4/14星期三234.注重結(jié)果分析，考慮其在實際中的合理性

數(shù)學(xué)建模是一個從實際到數(shù)學(xué)，再從數(shù)學(xué)到實際上的過程。由于現(xiàn)有的模型僅依賴于題中數(shù)據(jù)，從模型得到的結(jié)果是否符合實際，是模型好壞的重要標志。5.善于對模型進行檢驗

數(shù)學(xué)模型建立起來了，也用數(shù)學(xué)方2021/4/14星期三24法或數(shù)值方法求出了解答，是不是就萬事大吉了呢？不是，既然數(shù)學(xué)模型只能近似地反映實際問題中的關(guān)系和規(guī)律，到底反映得好不好，還需要接受檢驗。如果數(shù)學(xué)模型建立得不好，沒有正確地描述所給的實際問題，數(shù)學(xué)解答再正確也是沒有用的，因此，在得出數(shù)學(xué)解答之后，還要讓所得的結(jié)論接受實際檢驗，看它是否合理，是否可行等等。如果不符合實際，還得設(shè)法找出原因，修改原來的模型，重新求解和檢驗，直到比較2021/4/14星期三25合理可行，才能算是得到了一個解答，可以付諸實施。但是，十全十美的答案是沒有的，因此，已得到的解答一定還有改進的余地，還可以根據(jù)實際情況，繼續(xù)研究和改進。一般地用數(shù)學(xué)建模求解實際問題，要注意上述5個方面的問題，但對于一個具體的模型的建立也不是一定要完全按這些步驟進行。總之，抓住了本質(zhì)的東西，建立的模型才具有合理性。2021/4/14星期三26

一個模型的優(yōu)劣，最根本的是在于是否采用恰當?shù)姆椒ǎ侠淼孛枋隽藢嶋H問題，而不是取決于是否用到了高深的數(shù)學(xué)知識。

2021/4/14星期三271.4建立數(shù)學(xué)模型的具體方法與步驟一、數(shù)學(xué)建模方法大體分為兩大類：1.機理分析法2.測試分析法根據(jù)對現(xiàn)實對象特性的認識，分析因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機理的規(guī)律，建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實意義。機理分析法2021/4/14星期三28

將研究對象視為一個內(nèi)部機理信息未知的“黑箱”系統(tǒng)，根據(jù)測量系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計分析等方法，按事先確定的準則在某一類模型中選出一個與數(shù)據(jù)擬合得好的模型，這個過程也稱為系統(tǒng)辨識。測試分析法2021/4/14星期三29二、數(shù)學(xué)建模的步驟

了解問題的實際背景，明確建模的目的，搜集必要的信息（現(xiàn)象、數(shù)據(jù)）等。模型準備兩種方法結(jié)合運用：用機理分析建立模型的結(jié)構(gòu)，用系統(tǒng)辨識確定模型的參數(shù)。2021/4/14星期三30用精確的語言對問題作出假設(shè)，即對問題作必要的、合理的簡化，如將問題線性化、均勻化等，這是關(guān)鍵的一步。模型假設(shè)根據(jù)分析對象的因果關(guān)系，利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當?shù)臄?shù)學(xué)工具構(gòu)造各個量之間的等式（不等式）關(guān)系或其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。模型構(gòu)造2021/4/14星期三31對求解結(jié)果進行數(shù)學(xué)上的分析及預(yù)報，甚至給出最優(yōu)決策