第24頁（共24頁）2025年高考數學三輪復習之空間直角坐標系一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?安徽期末）已知平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1，滿足∠BB1A1＝∠BB1C1＝60°，∠A1B1C1＝90°，BB1＝4，A1B1＝B1C1＝2．若CC1的中點為E，則A1E的長度為（）A．2 B．22 C．23 D2．（2024秋?杭州校級期末）空間一點P在xOy平面上的射影為M（2，4，0），在xOz平面上的射影為N（2，0，7），則P在yOz平面上的射影Q的坐標為（）A．（2，4，7） B．（0，0，7） C．（0，4，7） D．（0，2，7）3．（2024秋?洪雅縣期末）若點M（2，5，4）關于平面Oxz和x軸對稱的點分別為（a，b，c），（d，e，f），則b+f＝（）A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．94．（2024秋?山西期末）已知點M是點N（6，7，8）在坐標平面Oxz內的射影，則|OMA．85 B．10 C．113 D．1005．（2024秋?滄州期末）已知點M是點N（2，1，1）在坐標平面Oxy內的射影，則|OMA．5 B．6 C．2 D．56．（2024秋?棗莊期末）在空間直角坐標系O﹣xyz中，點P（﹣2，3，1）到x軸的距離為（）A．2 B．3 C．5 D．107．（2024秋?綿陽期末）在空間直角坐標系O﹣xyz中，點A（2，3，﹣1）關于平面xOy的對稱點B為（）A．（﹣2，3，﹣1） B．（2，3，1） C．（2，﹣3，1） D．（﹣2，3，1）8．（2025?湖北模擬）長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，BB1＝1，點M是平面B1CD內的動點，且MA⊥MC，則|MC|的最大值為（）A．255 B．355 C．4二．多選題（共4小題）（多選）9．（2024秋?渭南校級期末）下列關于空間直角坐標系Oxyz中的一點P（1，2，3）的說法正確的有（）A．線段OP的中點的坐標為(1B．點P關于x軸對稱的點的坐標為（﹣1，﹣2，﹣3） C．點P關于坐標原點對稱的點的坐標為（1，2，﹣3） D．點P關于Oxy平面對稱的點的坐標為（1，2，﹣3）（多選）10．（2024秋?水城區期中）如圖，在空間直角坐標系中，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB⊥BC，|BA|＝|BC|＝|BB1|＝2，F是棱CC1的中點，則（）A．A（2，0，0） B．C（2，0，0） C．C1（2，0，0） D．F（0，2，1）（多選）11．（2024秋?梅縣區校級期中）下面關于空間直角坐標系的敘述正確的是（）A．點P（1，﹣1，0）與點Q（1，1，0）關于z軸對稱 B．點A（﹣3，﹣1，4）與點B（3，﹣1，﹣4）關于y軸對稱 C．點A（﹣3，﹣1，4）與點B（3，﹣1，﹣4）關于平面xOz對稱 D．空間直角坐標系中的三條坐標軸組成的平面把空間分為八個部分（多選）12．（2024秋?四川期中）在空間直角坐標系O﹣xyz中，下列敘述正確的是（）A．點（1，﹣1，0）與點（1，1，0）關于x軸對稱 B．點（﹣3，﹣1，6）與點（3，﹣1，6）關于z軸對稱 C．點（2，5，7）與點（2，5，﹣7）關于平面xOy對稱 D．坐標軸兩兩確定的平面把空間分為12個部分三．填空題（共4小題）13．（2024秋?徐匯區校級期末）空間直角坐標系中有一條線段，這條線段在xOy平面，yOz平面，xOz平面上的射影長分別為5，41，34，則這條線段的長為14．（2024秋?梅河口市校級期末）在空間直角坐標系Oxyz中，點P（a，0，2b﹣3）與Q（a，0，b）關于原點O對稱，則點Q的坐標為．15．（2024秋?寶山區校級期末）在空間直角坐標系O﹣xyz中，點P（1，2，4）關于Ox軸的對稱點Q的坐標為．16．（2024秋?浦東新區校級期末）如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，AA1＝2，O為底面ABCD的中心，點P為D1B1上的動點（包括端點），則當△PA1O的面積最小時，線段DP的長為．四．解答題（共4小題）17．（2024秋?潮陽區期末）“出租車幾何或曼哈頓距離（ManhattanDistance）”是由十九世紀赫爾曼﹣閔可夫斯基所創詞匯，是使用在幾何度量空間的幾何學用語，表示兩個點在空間（或平面）直角坐標系中的“絕對軸距”總和．例如：在空間直角坐標系中，點A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）之間的曼哈頓距離為d（A，B）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|+|z2﹣z1|．（1）在平面直角坐標系中，已知點O為坐標原點，記d（M，l）為點M與直線l上的所有點的曼哈頓距離的最小值．（i）已知點M（1，﹣1），求d（M，O）；（ii）已知點M（x0，y0），直線l：Ax+By+C＝0（A2+B2≠0），求證：d(（2）在空間直角坐標系中，已知點O為坐標原點，動點P滿足d（O，P）＝1，求動點P圍成的幾何體的體積．18．（2024秋?廣州期末）在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，PC→=4PE→，（1）設平面ABE與棱PD相交于點G．（i）求證：EG∥CD；（ii）求截面ABEG的面積；（2）設平面BEF與棱PD相交于點H，求FH的長．19．（2023秋?梅州期末）在空間直角坐標系中，A（1，0，1），B（﹣1，2，0），C（0，﹣1，2）．（1）求∠BAC的余弦值；（2）求△ABC的面積．20．（2023秋?潮州期末）在空間直角坐標系O﹣xyz中，△ABC是直角三角形，三個頂點的坐標分別為A（t，﹣t，3），B（2t，t，4），C（3t，t+1，1），求實數t的值．

2025年高考數學三輪復習之空間直角坐標系參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案CCABADBD二．多選題（共4小題）題號9101112答案ADADBDAC一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?安徽期末）已知平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1，滿足∠BB1A1＝∠BB1C1＝60°，∠A1B1C1＝90°，BB1＝4，A1B1＝B1C1＝2．若CC1的中點為E，則A1E的長度為（）A．2 B．22 C．23 D【考點】空間兩點間的距離公式；空間向量的數量積運算．【專題】轉化思想；綜合法；空間向量及應用；運算求解．【答案】C【分析】以B1A1→，B1C1→，【解答】解：根據題意可知，∠BB1A1＝∠BB1C1＝60°，∠A1B1C1＝90°，BB1＝4，A1B1＝B1C1＝2，以B1A1→，所以A1(A所以(A可得|A1E→|=23，所以故選：C．【點評】本題考查了空間向量，屬于基礎題．2．（2024秋?杭州校級期末）空間一點P在xOy平面上的射影為M（2，4，0），在xOz平面上的射影為N（2，0，7），則P在yOz平面上的射影Q的坐標為（）A．（2，4，7） B．（0，0，7） C．（0，4，7） D．（0，2，7）【考點】空間直角坐標系．【專題】轉化思想；轉化法；空間位置關系與距離；運算求解．【答案】C【分析】根據射影的概念，可得答案．【解答】解：點P在xOy平面上的射影為M（2，4，0），在xOz平面上的射影為N（2，0，7），則點P的坐標為（2，4，7），則點P在yOz平面上的射影Q的坐標為（0，4，7）．故選：C．【點評】本題主要考查射影的概念，屬于基礎題．3．（2024秋?洪雅縣期末）若點M（2，5，4）關于平面Oxz和x軸對稱的點分別為（a，b，c），（d，e，f），則b+f＝（）A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．9【考點】關于空間直角坐標系原點坐標軸坐標平面對稱點的坐標．【專題】轉化思想；轉化法；空間位置關系與距離；運算求解．【答案】A【分析】根據已知條件，結合空間點對稱的性質，即可求解．【解答】解：點M（2，5，4）關于平面Oxz對稱的點為（2，﹣5，4），點M（2，5，4）關于x軸對稱的點為（2，﹣5，﹣4），所以b＝﹣5，f＝﹣4，故b+f＝﹣9．故選：A．【點評】本題主要考查空間點對稱的性質，屬于基礎題．4．（2024秋?山西期末）已知點M是點N（6，7，8）在坐標平面Oxz內的射影，則|OMA．85 B．10 C．113 D．100【考點】空間中的點在坐標平面內的射影；空間兩點間的距離公式．【專題】轉化思想；轉化法；空間位置關系與距離；運算求解．【答案】B【分析】根據已知條件，結合射影的定義，以及空間兩點之間的距公式，即可求解．【解答】解：點M是點N（6，7，8）在坐標平面Oxz內的射影，則M（6，0，8），故|OM故選：B．【點評】本題主要考查空間兩點之間的距公式，屬于基礎題．5．（2024秋?滄州期末）已知點M是點N（2，1，1）在坐標平面Oxy內的射影，則|OMA．5 B．6 C．2 D．5【考點】空間中的點在坐標平面內的射影；空間兩點間的距離公式．【專題】轉化思想；轉化法；空間向量及應用；運算求解．【答案】A【分析】結合射影的定義，求出點M，再結合向量模公式，即可求解．【解答】解：點M是點N（2，1，1）在坐標平面Oxy內的射影，則M（2，1，0），故OM→所以|OM故選：A．【點評】本題主要考查向量模公式，屬于基礎題．6．（2024秋?棗莊期末）在空間直角坐標系O﹣xyz中，點P（﹣2，3，1）到x軸的距離為（）A．2 B．3 C．5 D．10【考點】空間兩點間的距離公式．【專題】轉化思想；轉化法；空間向量及應用；運算求解．【答案】D【分析】根據空間點線的位置關系，將點P到x軸的距離轉化為到點（﹣2，0，0）的距離進行計算即可．【解答】解：由題意，點P（﹣2，3，1）到x軸的距離即為點P到點（﹣2，0，0）的距離，則d=32+12=10，即點P（﹣2，3故選：D．【點評】本題考查空間兩點間的距離公式，屬基礎題．7．（2024秋?綿陽期末）在空間直角坐標系O﹣xyz中，點A（2，3，﹣1）關于平面xOy的對稱點B為（）A．（﹣2，3，﹣1） B．（2，3，1） C．（2，﹣3，1） D．（﹣2，3，1）【考點】關于空間直角坐標系原點坐標軸坐標平面對稱點的坐標．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應用；運算求解．【答案】B【分析】根據關于面xOy對稱的點的特征求解即可．【解答】解：在空間直角坐標系O﹣xyz中，點A（2，3，﹣1）關于平面xOy的對稱點B為（2，3，1）．故選：B．【點評】本題主要考查了空間直角坐標系中點的坐標，屬于基礎題．8．（2025?湖北模擬）長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，BB1＝1，點M是平面B1CD內的動點，且MA⊥MC，則|MC|的最大值為（）A．255 B．355 C．4【考點】空間兩點間的距離公式．【專題】轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離；運算求解．【答案】D【分析】先確定點M的截面圓，通過面面垂直找到球心到截面的距離，進而求出橢面圓半徑，再結合點C與截面的位置關系，求出|MC|的最大值．【解答】解：M點在以AC的中點O為球心，半徑為2的球面上，又點M在平面B1CD上，點M在平面B1CD與球的一個截面圓上，取CD的中點E，AB1的中點G，連接EG，FG，∵CD⊥平面EFG，∴面B1CD⊥面EFG，面B1CD∩面EFG＝GE，作OO1⊥GE于O1，∴OO1⊥面B1CD，由相似三角形性質得OO1GF=OEO1M=2-(點M在以O1為圓心，35∵CO1＝O1M，∴C在該圓上，則|MC|的最大值為65故選：D．【點評】本題考查面面垂直、球心到截面的距離、橢面圓半徑、點與截面的位置關等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2024秋?渭南校級期末）下列關于空間直角坐標系Oxyz中的一點P（1，2，3）的說法正確的有（）A．線段OP的中點的坐標為(1B．點P關于x軸對稱的點的坐標為（﹣1，﹣2，﹣3） C．點P關于坐標原點對稱的點的坐標為（1，2，﹣3） D．點P關于Oxy平面對稱的點的坐標為（1，2，﹣3）【考點】空間中兩點中點坐標及點關于點對稱點坐標．【專題】對應思想；轉化法；空間位置關系與距離；運算求解．【答案】AD【分析】根據空間坐標系中點的對稱性的相關性質分別判斷即可．【解答】解：由題意可知線段OP的中點的坐標為(12，點P關于x軸對稱的點的坐標為（1，﹣2，﹣3），所以B中說法錯誤；點P關于坐標原點對稱的點的坐標為（﹣1，﹣2，﹣3），所以C中說法錯誤；點P關于Oxy平面對稱的點的坐標為（1，2，﹣3），所以D中說法正確．故選：AD．【點評】本題考查空間直角坐標系，屬于基礎題．（多選）10．（2024秋?水城區期中）如圖，在空間直角坐標系中，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB⊥BC，|BA|＝|BC|＝|BB1|＝2，F是棱CC1的中點，則（）A．A（2，0，0） B．C（2，0，0） C．C1（2，0，0） D．F（0，2，1）【考點】空間中的點的坐標．【專題】轉化思想；轉化法；空間位置關系與距離；運算求解．【答案】AD【分析】結合空間直角坐標系中各條邊的長度，即可求解．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB⊥BC，|BA|＝|BC|＝|BB1|＝2，F是棱CC1的中點，則A（2，0，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），F（0，2，1），A，D正確，B，C錯誤．故選：AD．【點評】本題主要考查空間點坐標的求解，屬于基礎題．（多選）11．（2024秋?梅縣區校級期中）下面關于空間直角坐標系的敘述正確的是（）A．點P（1，﹣1，0）與點Q（1，1，0）關于z軸對稱 B．點A（﹣3，﹣1，4）與點B（3，﹣1，﹣4）關于y軸對稱 C．點A（﹣3，﹣1，4）與點B（3，﹣1，﹣4）關于平面xOz對稱 D．空間直角坐標系中的三條坐標軸組成的平面把空間分為八個部分【考點】關于空間直角坐標系原點坐標軸坐標平面對稱點的坐標．【專題】轉化思想；轉化法；空間向量及應用；運算求解．【答案】BD【分析】結合空間直角坐標系的概念對選項逐一分析即可．【解答】解：點P（1，﹣1，0）與點Q（1，1，0）關于x軸對稱，故A錯誤；點A（﹣3，﹣1，4）與B（3，﹣1，﹣4）關于y軸對稱，故B正確；點A（﹣3，﹣1，4）與B（3，﹣1，﹣4）不關于平面xOz對稱，故C錯誤；空間直角坐標系中的三條坐標軸組成的平面把空間分為八個部分，故D正確．故選：BD．【點評】本題主要考查空間點對稱的性，屬于基礎題．（多選）12．（2024秋?四川期中）在空間直角坐標系O﹣xyz中，下列敘述正確的是（）A．點（1，﹣1，0）與點（1，1，0）關于x軸對稱 B．點（﹣3，﹣1，6）與點（3，﹣1，6）關于z軸對稱 C．點（2，5，7）與點（2，5，﹣7）關于平面xOy對稱 D．坐標軸兩兩確定的平面把空間分為12個部分【考點】空間中的點的坐標．【專題】整體思想；定義法；空間向量及應用；運算求解．【答案】AC【分析】ABC選項，根據空間直角坐標系內點的坐標特征得到AC正確，B錯誤；D選項，坐標軸確定的平面把空間分為8個部分．【解答】解：（1，﹣1，0）與（1，1，0）關于x軸對稱，A正確；（﹣3，﹣1，6）關于z軸的對稱點是（3，1，6），B錯誤；（2，5，7）與（2，5，﹣7）關于平面xOy對稱，C正確；坐標軸兩兩確定的平面分空間為8個部分，D錯誤．故選：AC．【點評】本題考查空間中的點的應用，屬于基礎題．三．填空題（共4小題）13．（2024秋?徐匯區校級期末）空間直角坐標系中有一條線段，這條線段在xOy平面，yOz平面，xOz平面上的射影長分別為5，41，34，則這條線段的長為【考點】空間中的點在坐標平面內的射影．【專題】轉化思想；轉化法；空間位置關系與距離；運算求解．【答案】52【分析】將原問題轉化為求長方體的體對角線長度，即可求解．【解答】解：由題意可知，這條線段可看作長方體的體對角線，這個長方體的同一個頂點外的三個表面的面對角線為5，設長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則a2故這條線段的長為a2故答案為：52【點評】本題主要考查空間中的點在坐標平面內的射影，屬于基礎題．14．（2024秋?梅河口市校級期末）在空間直角坐標系Oxyz中，點P（a，0，2b﹣3）與Q（a，0，b）關于原點O對稱，則點Q的坐標為（0，0，1）．【考點】空間中兩點中點坐標及點關于點對稱點坐標．【專題】轉化思想；轉化法；空間位置關系與距離；運算求解．【答案】（0，0，1）．【分析】根據給定條件，利用對稱性列式計算得解．【解答】解：點P（a，0，2b﹣3）與Q（a，0，b）關于原點O對稱，則2a＝0，3b﹣3＝0，解得a＝0，b＝1，所以點Q的坐標為（0，0，1）．故答案為：（0，0，1）．【點評】本題主要考查空間點對稱的性質，屬于基礎題．15．（2024秋?寶山區校級期末）在空間直角坐標系O﹣xyz中，點P（1，2，4）關于Ox軸的對稱點Q的坐標為（1，﹣2，﹣4）．【考點】關于空間直角坐標系原點坐標軸坐標平面對稱點的坐標．【專題】轉化思想；轉化法；空間位置關系與距離；運算求解．【答案】（1，﹣2，﹣4）．【分析】利用空間直角坐標系中，點關于坐標軸對稱特征求出點Q的坐標．【解答】解：由空間點對稱的定義可知，點P（1，2，4）關于Ox軸的對稱點Q的坐標為（1，﹣2，﹣4）．故答案為：（1，﹣2，﹣4）【點評】本題主要考查空間點對稱的定義，屬于基礎題．16．（2024秋?浦東新區校級期末）如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，AA1＝2，O為底面ABCD的中心，點P為D1B1上的動點（包括端點），則當△PA1O的面積最小時，線段DP的長為694【考點】空間兩點間的距離公式．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應用；直觀想象；運算求解．【答案】694【分析】如圖以DA，DC，DD1所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，根據題意設P（a，2a，2），然后利用空間向量求出點P到A1O的最小距離，從而可求出點P的坐標，進而可求出DP的長．【解答】解：如圖以DA，DC，DD1所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，A1(1，0，2)，O(12，則A1設P（a，b，2），則D1因為D1P→∥D1B1所以P（a，2a，2）（0≤a≤1），則A1設點P到A1O的距離為d，則d=5a=96根據二次函數的性質可知，當a=14時，d取得最小值，此時△PA1所以P(14，12，2)，D（故答案為：694【點評】本題主要考查了空間向量在空間距離求解中的應用，屬于中檔題．四．解答題（共4小題）17．（2024秋?潮陽區期末）“出租車幾何或曼哈頓距離（ManhattanDistance）”是由十九世紀赫爾曼﹣閔可夫斯基所創詞匯，是使用在幾何度量空間的幾何學用語，表示兩個點在空間（或平面）直角坐標系中的“絕對軸距”總和．例如：在空間直角坐標系中，點A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）之間的曼哈頓距離為d（A，B）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|+|z2﹣z1|．（1）在平面直角坐標系中，已知點O為坐標原點，記d（M，l）為點M與直線l上的所有點的曼哈頓距離的最小值．（i）已知點M（1，﹣1），求d（M，O）；（ii）已知點M（x0，y0），直線l：Ax+By+C＝0（A2+B2≠0），求證：d(（2）在空間直角坐標系中，已知點O為坐標原點，動點P滿足d（O，P）＝1，求動點P圍成的幾何體的體積．【考點】空間兩點間的距離公式．【專題】分類討論；轉化思想；定義法；平面向量及應用；運算求解；新定義類．【答案】（1）（i）2；（ii）證明見解析；（2）43【分析】（1）（i）利用曼哈頓距離的定義計算得解；（ii）在直線l上取點，按AB≠0與A，B之一為0分類，利用曼哈頓距離的定義，借助不等式性質求出最小值即可．（2）設P（x，y，z），利用用曼哈頓距離的定義列式，考查x≥0，y≥0，z≥0時點P所圍圖形，再利用對稱性即得幾何體，由等體積法求出體積．【解答】解：（1）（i）因為M（1，﹣1），O（0，0），由曼哈頓距離的定義，d（M，O）＝|1﹣0|+|﹣1﹣0|＝2；（ii）證明：當AB≠0時，設直線l上任意一點N（t-CAd（M，N）＝|t-CA-x0|+|-≥|因此d（M，l）＝d（M，N）min=|當A＝0，B≠0時，設N（x，-C則d（M，N）＝|x﹣x0|+|-CB-y0因此d（M，l）＝d（M，N）min=|當A≠0，B＝0時，同理d（M，l）＝d（M，N）min=|所以d（M，l）=|（2）設P（x，y，z），依題意，d（O，P）＝|x|+|y|+|z|＝1，當0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1時，設M1（1，0，0），M2（0，1，0），M3（0，0，1），則M1P→=（x﹣1，y，z）＝（﹣y﹣z，y，z），M1M2→=（﹣1，1，0所以M1P→=yM1M2→+zM1M3點P圍成的圖形是邊長為2的正三角形及內部，由對稱性知，動點P圍成的幾何體是正八面體，每個面都是邊長為2的正三角形，其體積等于8個與三棱錐M3﹣M1M2O全等的三棱錐體積之和，所以動點P圍成的幾何體的體積為V＝8VO-M1M2M3=8V【點評】本題考查了新定義的距離計算問題，也考查了轉化思想，是中檔題．18．（2024秋?廣州期末）在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，PC→=4PE→，（1）設平面ABE與棱PD相交于點G．（i）求證：EG∥CD；（ii）求截面ABEG的面積；（2）設平面BEF與棱PD相交于點H，求FH的長．【考點】空間兩點間的距離公式；直線與平面平行．【專題】轉化思想；向量法；空間位置關系與距離；邏輯思維；空間想象．【答案】（1）（i）證明詳見解析；（ii）截面ABEG的面積為510（2）FH=2【分析】（1）（i）根據線面平行的性質定理進行證明；（ii）結合（i）的結論作出截面，根據條件證明其為直角梯形，從而求出面積；（2）建立空間直角坐標系，利用向量共線求出H的坐標，從而求出FH的距離．【解答】解：（1）（i）證明：因為底面ABCD是正方形，所以CD∥AB，因為CD?平面ABE，AB?平面ABE，所以CD∥平面ABE，因為CD?平面PCD，平面PCD∩平面ABE＝EG，所以EG∥CD；（ii）如圖，因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，因為AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，因為AG?平面PAD，所以AB⊥AG，因為PC→=4PE→，EG∥CD，CD所以PG=14PD，EG∥AB且EG=14所以四邊形ABEG為直角梯形，其中EG＝1，AB＝4，因為PA＝AB＝AD，PA⊥AD，所以∠APG＝45°，則AG2＝PA2+PG2﹣2PA?PG＝16+2﹣2×4×2×cos45°＝AG=10所以直角梯形ABEG的面積為12×（1+4）×10=5（2）如圖，延長BF交CD于點Q，連接EQ，則EQ與PD交點即為點H，因為AD→=2AF→，所以F又因為AB∥CD，所以△ABF≌△DQF，所以DQ＝AB＝CD，以A為原點建立空間直角坐標系如圖，則P（0，0，4），Q（﹣4，4，0），F（0，2，0），E（1，1，3），設點H（0，a，4﹣a），則EH→=（﹣1，a﹣1，1﹣a），EQ→=（﹣5，因為EH→∥EQ→，所以-1-所以H（0，85，125），FH【點評】本題主要考查線面平行的判定定理和性質定理以及空間中點的距離的計算，屬于中檔題．19．（2023秋?梅州期末）在空間直角坐標系中，A（1，0，1），B（﹣1，2，0），C（0，﹣1，2）．（1）求∠BAC的余弦值；（2）求△ABC的面積．【考點】空間兩點間的距離公式．【答案】（1）-39；（2）【分析】（1）利用空間兩點間的距離，求出|AB|，|AC|，|BC|的長，再利用余弦定理能求出結果．（2）根據（1）中結果，求出sin∠BAC，|AB|，|AC|，|BC|，利用三角形面積公式能求出結果．【解答】解：（1）在空間直角坐標系中，A（1，0，1），B（﹣1，2，0），C（0，﹣1，2），∴|AB|=(-1-1)|AC|=(0-1|BC|=(0+1∴∠BAC的余弦值為cos∠BAC=|（2）由（1）知sin∠BAC=1-∴△ABC的面積為S△ABC=1【點評】本題考查空間直角坐標系中對稱點的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．20．（2023秋?潮州期末）在空間直角坐標系O﹣xyz中，△ABC是直角三角形，三個頂點的坐標分別為A（t，﹣t，3），B（2t，t，4），C（3t，t+1，1），求實數t的值．【考點】空間中的點的坐標．【專題】轉化思想；轉化法；空間向量及應用；運算求解．【答案】-1-136或-1+136【分析】根據已知條件，結合向量垂直的性質，并分類討論，即可求解．【解答】解：A（t，﹣t，3），B（2t，t，4），C（3t，t+1，1），則AB→=(tAC→=(2tCB→=(-t當A=π2時，AB→?AC→=0，即3t2+t﹣1＝當B=π2時，BA→?BC→=0，即t2+2t﹣3＝0，解得t當C=π2時，CA→?CB→=0，即2t綜上所述，t的值為-1-136或-1+136【點評】本題主要考查向量垂直的性質，屬于基礎題．

考點卡片1．直線與平面平行【知識點的認識】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．用符號表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實質是：對于平面外的一條直線，只需在平面內找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質定理的實質是：已知線面平行，過已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結論是：a∥α，若b?α，則b與a的關系是：異面或平行．即平面α內的直線分成兩大類，一類與a平行有無數條，另一類與a異面，也有無數條．2．空間直角坐標系【知識點的認識】1、右手直角坐標系①右手直角坐標系的建立規則：x軸、y軸、z軸互相垂直，分別指向右手的拇指、食指、中指；②已知點的坐標P（x，y，z），作點的方法與步驟（路徑法）：沿x軸正方向（x＞0時）或負方向（x＜0時）移動|x|個單位，再沿y軸正方向（y＞0時）或負方向（y＜0時）移動|y|個單位，最后沿z軸正方向（z＞0時）或負方向（z＜0時）移動|z|個單位，即可作出點③已知點的位置求坐標的方法：過P作三個平面分別與x軸、y軸、z軸垂直于A，B，C，點A，B，C在x軸、y軸、z軸的坐標分別是a，b，c，則（a，b，c）就是點P的坐標．2、在x、y、z軸上的點分別可以表示為（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），在坐標平面xOy，xOz，yOz內的點分別可以表示為（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）．3．空間中的點的坐標【知識點的認識】1、在x、y、z軸上的點分別可以表示為（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），在坐標平面xOy，xOz，yOz內的點分別可以表示為（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）．2、點P（a，b，c）關于x軸的對稱點的坐標為（a，﹣b，﹣c，）點P（a，b，c）關于y軸的對稱點的坐標為（﹣a，b，﹣c，）；點P（a，b，c）關于z軸的對稱點的坐標為（﹣a，﹣b，c，）；點P（a，b，c）關于坐標平面xOy的對稱點為（a，b，﹣c，）；點P（a，b，c）關于坐標平面xOz的對稱點為（a，﹣b，c，）；點P（a，b，c）關于坐標平面yOz的對稱點為（﹣a，b，c，）；點P（a，b，c）關于原點的對稱點（﹣a，﹣b，﹣c，）．3、已知空間兩點P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）則線段P1P2的中點坐標為（x14．空間兩點間的距離公式【知識點的認識】空間兩點間的距離公式：已知空間兩點P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2），則兩點的距離為，特殊地，點A（x，y，z）到原點O的距離為．5．空間中兩點中點坐標及點關于點對稱點坐標【知識點的認識】﹣兩點中點坐標：給定空間中兩點A（x1，y1，z1）和B（x2，y2，z2），它們的中點M坐標為：M=(﹣點關于點對稱點坐標：點P（x1，y1，z1）關于點O（x0，y0，z0）對稱的點P'坐標為：P'＝（2x0﹣x1，2y0﹣y1，2z0﹣z1）【解題方法點撥】﹣計算中點：代入兩點坐標，應用中點坐標公式．﹣計算對稱點：代入點和對稱中心坐標，應用對稱點公式．【命題方向】﹣中點計算：考查如何計算空間中兩點的中點坐標．﹣對稱點計算：考查如何計算