第32頁（共32頁）2025年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之雙曲線一．選擇題（共8小題）1．（2025?咸陽模擬）已知雙曲線C：x225-y2A．53 B．54 C．345 2．（2025?濰坊模擬）若雙曲線E：x2a2-y2b2=1（a＞0A．y=±33x B．y=±33．（2025?溫州二模）雙曲線y2a2-x2=1(A．3 B．33 C．3 D．4．（2025?威遠(yuǎn)縣校級一模）費馬定理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，在數(shù)學(xué)中可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì)．例如，點P為雙曲線（F1，F(xiàn)2為焦點）上一點，點P處的切線平分∠F1PF2.已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1，O為坐標(biāo)原點，點P(3，52)處的切線為直線lA．2 B．52 C．5 D．5．（2025?常德校級一模）已知橢圓C1與雙曲線C2有相同的焦點F1(-23，0)，F(xiàn)2(23，0)，離心率分別為e1，e2，點P為橢圓C1與雙曲線A．x29-y2C．x22-y6．（2025?長安區(qū)一模）雙曲線的左頂點為A，點M，N是雙曲線上關(guān)于y軸對稱的兩點．若直線AM與AN的斜率之積為-4A．5 B．355 C．95 7．（2024秋?安徽期末）雙曲線x2A．y=±66x B．y=±6x C8．（2024秋?鄂爾多斯期末）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為C在第一象限上的一點．若△PF1F2為直角三角形，|A．32 B．3 C．2 D．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?南寧模擬）已知點A（1，2）在雙曲線C：xA．C的實軸長小于2 B．C的漸近線方程可能為y=C．C的離心率大于5 D．C的焦距不可能為4（多選）10．（2025?洮北區(qū)校級一模）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），直線l：bx+A．若NF1⊥NF2，則e＝2 B．若MF1⊥MF2，則e=2C．若|NF2|＝2|MF2|，則e=2 D．若|MF1|≥5|MF2|（多選）11．（2025?長沙校級一模）已知θ∈R，雙曲線C：x2cosθ+y2sin2θ＝1，則（）A．θ可能是第一象限角 B．θ可能是第四象限角 C．點（1，0）可能在C上 D．點（0，1）可能在C上（多選）12．（2024秋?海南州期末）已知F是雙曲線C：y236-x212=1A．若F是AB的中點，則|AB|＝4 B．|AF|的最小值為4 C．點F到C的兩條漸近線的距離的乘積為12 D．若AB的中點坐標(biāo)為（2，8），則直線AB的斜率為3三．填空題（共4小題）13．（2024秋?廣東校級期末）已知曲線x22-y2b2=1（b＞14．（2024秋?河南期末）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線將雙曲線所在平面分為上，下，左，右4個部分（不含漸近線上的點），若A（1，2）位于上部分，B（﹣1，﹣15．（2024秋?上饒期末）如圖所示，用過M點且垂直于圓錐底面的平面截兩個全等的對頂圓錐得到雙曲線的一部分，已知高PO＝1，底面圓的半徑為2，M為母線PB的中點，平面與底面的交線EF⊥AB，則該雙曲線的兩條漸近線所成角的正弦值為．16．（2024秋?信陽期末）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，如圖，過F1的直線與四．解答題（共4小題）17．（2025?南通模擬）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的實軸長為4，一條漸近線的方程為y=22x，過點（6（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）P是x軸上的定點，且∠APB＝90°．（i）求P的坐標(biāo)；（ii）若△APB的外接圓被x軸截得的弦長為16，求外接圓的面積．18．（2025?赤峰模擬）已知點P為圓C：（x+2）2+y2＝12上任意一點，點A（2，0），線段PA的垂直平分線交直線PC于點B，設(shè)點B的軌跡為曲線H．（1）求曲線H的方程；（2）若過點B的直線l與曲線H相切，且與直線y=±33x（i）證明：點B為線段MN的中點；（ii）求2|OM|+3|ON|的取值范圍．19．（2024秋?玉溪期末）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1的直線與C的左支相交于P，Q兩點，滿足PQ⊥PF2，且12|PQ|＝5|（1）求雙曲線C的方程；（2）過點（5，0）與直線PQ平行的直線l與雙曲線C交于A，B兩點，求△ABF2的面積．20．（2024秋?安徽期末）已知曲線C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的離心率為12，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C1的左、右焦點，過點F1的直線l與C（1）求曲線C1的方程；（2）證明：kAM?kAN為定值；（3）已知雙曲線C2：x24-y23=1，若AM，AN所在直線與雙曲線C2的左支分別交于P點，Q點（均異于A點），過點A作

2025年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之雙曲線參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案CBABDBAC二．多選題（共4小題）題號9101112答案ACACDBDACD一．選擇題（共8小題）1．（2025?咸陽模擬）已知雙曲線C：x225-y2A．53 B．54 C．345 【考點】求雙曲線的離心率．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】C【分析】將點代入雙曲線方程，求出b，再求離心率．【解答】解：將點(41，-125得4125-14425b2=所以雙曲線的離心率e=c故選：C．【點評】本題主要考查求雙曲線的離心率，屬于基礎(chǔ)題．2．（2025?濰坊模擬）若雙曲線E：x2a2-y2b2=1（a＞0A．y=±33x B．y=±3【考點】求雙曲線的漸近線方程．【專題】計算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】B【分析】由題意求出ca=1+(b【解答】解：若雙曲線E：x2a2-y2b2=1（a則2c＝2×2a，所以ca則ba=3，所以E故選：B．【點評】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3．（2025?溫州二模）雙曲線y2a2-x2=1(A．3 B．33 C．3 D．【考點】由雙曲線的焦點焦距求解雙曲線方程或參數(shù)．【專題】計算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】A【分析】由雙曲線中的平方關(guān)系c2＝a2+b2即可得出答案．【解答】解：因為雙曲線y2a2-x所以c2＝a2+1＝4，所以a=故選：A．【點評】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．（2025?威遠(yuǎn)縣校級一模）費馬定理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，在數(shù)學(xué)中可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì)．例如，點P為雙曲線（F1，F(xiàn)2為焦點）上一點，點P處的切線平分∠F1PF2.已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1，O為坐標(biāo)原點，點P(3，52)處的切線為直線lA．2 B．52 C．5 D．【考點】求雙曲線的離心率．【專題】對應(yīng)思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】B【分析】根據(jù)中點以及角平分線的性質(zhì)可得|PF1|＝|PN|，即可根據(jù)雙曲線定義得2a＝4，代入P(3，52)到雙曲線方程可得【解答】解：已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1，O為坐標(biāo)原點，點P(3，52)如圖，延長PF2交F1M的延長線于點N，由于M是∠F1PF2的角平分線上的一點，且F1M⊥MP，所以點M為F1N的點，所以|PF1|＝|PN|，又O為F2F1的中點，所以|F2N|＝2|OM|＝4，故|PF1|﹣|PF2|＝|PN|﹣|PF2|＝|F2N|＝4，故2a＝4，即a2＝4，將點P(3，52)代入x2a2故離心率為e=故選：B．【點評】本題考查雙曲線的幾何特征相關(guān)知識，屬于中檔題．5．（2025?常德校級一模）已知橢圓C1與雙曲線C2有相同的焦點F1(-23，0)，F(xiàn)2(23，0)，離心率分別為e1，e2，點P為橢圓C1與雙曲線A．x29-y2C．x22-y【考點】由雙曲線的離心率求解方程或參數(shù)．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】D【分析】由題先求出橢圓中的長半軸長與半焦距a1，c，然后在△F1PF2再分別由勾股定理，橢圓和雙曲線的定義求解雙曲線的實半軸長a2，即可求出雙曲線方程．【解答】解：已知橢圓C1的焦點為F1(-23，0)則c=2所以a1設(shè)雙曲線的實半軸長a2，又點P為橢圓C1與雙曲線C2在第一象限的公共點，且∠F則|P則(|P即|PF1|?|PF2|＝12，所以(|P即4a所以b2又雙曲線焦點在x軸上，故雙曲線方程為x2故選：D．【點評】本題考查了橢圓的定義，重點考查了三角形的面積公式及勾股定理，屬中檔題．6．（2025?長安區(qū)一模）雙曲線的左頂點為A，點M，N是雙曲線上關(guān)于y軸對稱的兩點．若直線AM與AN的斜率之積為-4A．5 B．355 C．95 【考點】雙曲線的離心率；軌跡方程．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】B【分析】設(shè)出雙曲線方程及點M的坐標(biāo)，再利用斜率坐標(biāo)公式及雙曲線離心率的意義求解．【解答】解：設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b2=1雙曲線的左頂點為A，則A（﹣a，0），設(shè)點M（x0，y0），則N（﹣x0，y0），x02a2因此y0直線AM與AN的斜率之積為-45，可得∴雙曲線的離心率e=a故選：B．【點評】本題考查雙曲線的離心率的求法，簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題．7．（2024秋?安徽期末）雙曲線x2A．y=±66x B．y=±6x C【考點】求雙曲線的漸近線方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】A【分析】由方程確定a，b即可求解．【解答】解：雙曲線x2則a2＝6，b2＝1，解得a=6，b＝所以漸近線方程為：y=故選：A．【點評】本題主要考查雙曲線漸近線的求解，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024秋?鄂爾多斯期末）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為C在第一象限上的一點．若△PF1F2為直角三角形，|A．32 B．3 C．2 D．【考點】求雙曲線的離心率．【專題】方程思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線定義可得|PF1|＝a+2c，|PF2|＝2c﹣a，即可根據(jù)勾股定理，結(jié)合分類討論求解．【解答】解：由題意可得|PF1|+|PF2|＝2|F1F2|＝4c，①又由雙曲線定義可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，②聯(lián)立①②解得：故|PF1|＝a+2c，|PF2|＝2c﹣a，若PF1⊥PF2，則|P即（a+2c）2+（2c﹣a）2＝4c2，化簡得2c2＝﹣a2，不合題意舍去；若PF2⊥F1F2，則|P即（a+2c）2＝（2c﹣a）2+4c2，化簡得c＝2a，則e=ca故選：C．【點評】本題考查雙曲線離心率的求法，考查雙曲線定義的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?南寧模擬）已知點A（1，2）在雙曲線C：xA．C的實軸長小于2 B．C的漸近線方程可能為y=C．C的離心率大于5 D．C的焦距不可能為4【考點】直線與雙曲線的位置關(guān)系及公共點個數(shù)．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】AC【分析】根據(jù)1a2-4b2=1即可得0＜a＜1【解答】解：將A（1，2）代入雙曲線C：x2對于A：1a2=4b2+1＞1，故a2＜1，因此0＜a＜1，所以2a對于B：漸近線方程為y=±bax結(jié)合1a2-4b故漸近線方程不可能為y=±3對于C：離心率為e=ca對于D：若焦距為4，則2c=2a2+故焦距可能為4，故D錯誤．故選：AC．【點評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．（多選）10．（2025?洮北區(qū)校級一模）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），直線l：bx+A．若NF1⊥NF2，則e＝2 B．若MF1⊥MF2，則e=2C．若|NF2|＝2|MF2|，則e=2 D．若|MF1|≥5|MF2|【考點】直線與雙曲線的綜合；雙曲線的離心率．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意分析可知：直線l與雙曲線C的一條漸近線平行，求點N(c2，bc2a)．對于A：根據(jù)向量垂直分析運算；對于B：可得|MF1|＝2b，|MF2|＝2a，結(jié)合雙曲線的定義運算求解；對于C：可知M為|NF2【解答】解：由題意可知：雙曲線C的漸近線為F1因為直線l的斜率k=-ba，則直線可知∠NO聯(lián)立方程y=baxbx對于A：因為F1若NF1⊥NF2，則F1解得c2＝4a2，即c＝2a，所以e=ca對于B：若MF1⊥MF2，則|MF1|＝|F1F2|sin∠NF2O＝2b，|MF2|＝|F1F2|cos∠NF2O＝2a，且|MF1|﹣|MF2|＝2b﹣2a＝2a，可得ba所以e=ca對于C：若|NF2|＝2|MF2|，可知M為|NF2|的中點，可得M(且M在雙曲線C上，則(3即9c216a2-c對于D：因為|MF1|﹣|MF2|＝2a，即|MF1|＝|MF2|+2a，且cos∠NF解得|M若|MF1|≥5|MF2|，即3a2+所以e=ca故選：ACD．【點評】本題主要考查直線與雙曲線的綜合，雙曲線離心率的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題．（多選）11．（2025?長沙校級一模）已知θ∈R，雙曲線C：x2cosθ+y2sin2θ＝1，則（）A．θ可能是第一象限角 B．θ可能是第四象限角 C．點（1，0）可能在C上 D．點（0，1）可能在C上【考點】雙曲線的其他性質(zhì)．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】BD【分析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，可得cosθsin2θ＜0，即θ在第三象限或第四象限，分情況討論得解．【解答】解：根據(jù)題意，可得cosθsin2θ＜0，即sinθcos2θ＜0，即sinθ＜0且cosθ≠0，所以θ在第三象限或第四象限．故A錯誤，B正確；當(dāng)θ在第三象限時，有﹣1＜sinθ＜0，﹣1＜cosθ＜0，sin2θ＞0，雙曲線方程為y21sin2θ-x2-1cosθ=1，當(dāng)sin2所以點（0，1）在雙曲線上，故D正確；當(dāng)θ在第四象限時，有﹣1＜sinθ＜0，0＜cosθ＜1，sin2θ＜0，雙曲線方程為x21cosθ-y2-1sin故選：BD．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題．（多選）12．（2024秋?海南州期末）已知F是雙曲線C：y236-x212=1A．若F是AB的中點，則|AB|＝4 B．|AF|的最小值為4 C．點F到C的兩條漸近線的距離的乘積為12 D．若AB的中點坐標(biāo)為（2，8），則直線AB的斜率為3【考點】雙曲線的中點弦；雙曲線的焦點弦及焦半徑．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】ACD【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，點差法，針對各個選項分別求解即可．【解答】解：∵雙曲線C的方程為：y2∴a＝6，b=23，c=43，且焦點在對A選項，若F是AB的中點，則線段AB為通經(jīng)，∴|AB|=2b2a對B選項，∵|AF|的最小值為c﹣a=43-6≠4對C選項，∵焦點F到漸近線的距離為b，∴點F到C的兩條漸近線的距離的乘積為b2＝12，∴C選項正確；對D選項，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），又AB的中點坐標(biāo)為（2，8），∴x1+x2＝4，y1+y2＝16，又y1236136∴136?kAB?故選：ACD．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，中點弦問題的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．三．填空題（共4小題）13．（2024秋?廣東校級期末）已知曲線x22-y2b2=1（b＞【考點】雙曲線的離心率．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】2．【分析】根據(jù)題意和方程可得a，c，進(jìn)而可得離心率．【解答】解：由曲線x22-y2b2=1（b＞0）的焦距為4，可知：2該雙曲線方程可知a=2，所以離心率故答案為：2．【點評】本題考查雙曲線的離心率的求法，是基礎(chǔ)題．14．（2024秋?河南期末）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線將雙曲線所在平面分為上，下，左，右4個部分（不含漸近線上的點），若A（1，2）位于上部分，B（﹣1，﹣【考點】雙曲線的離心率．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】[【分析】依題意，需使?jié)u近線的斜率ba【解答】解：∵A（1，2）位于上部分，B（﹣1，﹣1）不位于下部分，而kOA＝2，kOB＝1，雙曲線C：x2故得1≤ba＜2故答案為：[2【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，正確理解漸近線把平面分成4個部分內(nèi)的點的特征，建立漸近線斜率與對應(yīng)點和原點所在直線斜率之間的大小關(guān)系，是解題的關(guān)鍵，是難題．15．（2024秋?上饒期末）如圖所示，用過M點且垂直于圓錐底面的平面截兩個全等的對頂圓錐得到雙曲線的一部分，已知高PO＝1，底面圓的半徑為2，M為母線PB的中點，平面與底面的交線EF⊥AB，則該雙曲線的兩條漸近線所成角的正弦值為45【考點】直線與雙曲線的綜合．【專題】計算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】45【分析】建系，根據(jù)圓錐的性質(zhì)得到M、E的坐標(biāo)，然后得到雙曲線方程，即可得到漸近線方程，最后利用漸近線的傾斜角和斜率的關(guān)系求夾角．【解答】解：設(shè)EF交OB于N，以過點M且垂直于圓錐底面的平面的中心為原點，平行于圓錐的軸為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：∵圓錐的高|PO|＝|O′N|＝1，M是PB中點，且截面垂直于底面，∴|MN|=1又∵底面圓半徑|OB|＝2，∴|ON|=12|設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程方程為x2a2-y2b2=1將點M，E的坐標(biāo)代入雙曲線方程可得14a2則雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±2x，由對稱性可知兩條漸近線所夾銳角的正切值為|2×2設(shè)雙曲線兩漸近線所夾銳角為θ，則tanθ=sinθcosθ∴雙曲線兩漸近線所夾銳角的正弦值為45故答案為：45【點評】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．16．（2024秋?信陽期末）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，如圖，過F1的直線與【考點】雙曲線與平面向量．【專題】方程思想；定義法；平面向量及應(yīng)用；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維．【答案】52【分析】設(shè)|AF1|＝x，根據(jù)雙曲線定義表示出|BF1|，|AB|，|AF2|，|BF2|，在Rt△ABF2中，由勾股定理解得x＝a，從而各邊都可以用a表示，在Rt△A【解答】解：如圖，設(shè)|AF1|＝x，由于BF1→=3F1A→，因此|AB|＝4x，由于點A、B在雙曲線右支上，根據(jù)雙曲線定義得|BF2|＝|BF1|+2a＝3x+2a，|AF2|＝|AF1|+2a＝x+2a，由于AF1→?AF2在Rt△ABF2中，根據(jù)勾股定理得|AB|2+|AF2|2=|BF2|2，所以（4x解得x＝a，因此|AF2|＝3a，|AF1|＝a，在Rt△AF1F2中，根據(jù)勾股定理得|AF1|2+|AF2|2=|F解得5a2＝2c2，因此e2故答案為：52【點評】本題考查雙曲線與平面向量綜合應(yīng)用，屬于中檔題．四．解答題（共4小題）17．（2025?南通模擬）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的實軸長為4，一條漸近線的方程為y=22x，過點（6（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）P是x軸上的定點，且∠APB＝90°．（i）求P的坐標(biāo)；（ii）若△APB的外接圓被x軸截得的弦長為16，求外接圓的面積．【考點】直線與雙曲線的位置關(guān)系及公共點個數(shù)；根據(jù)abc及其關(guān)系式求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與雙曲線的綜合．【專題】計算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】（1）x2（2）（i）P（2，0）；（i）84π．【分析】（1）根據(jù)已知條件求得a，b，從而求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）（i）設(shè)出直線l的方程并與雙曲線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)，根據(jù)∠APB=90°（ii）先求得△APB的外接圓的半徑，然后根據(jù)弦長列方程，進(jìn)而求得正確答案．【解答】解：（1）因為C的實軸長為2a，漸近線方程為y=所以2a＝4，ba=22，解得a＝所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）（i）設(shè)直線l的方程為x＝my+6，A（x1，y1），B（x2，y2），P（t，0），聯(lián)立x=my+6，x24-y22=1，化簡得（因為直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點，由m2-2≠0Δ=(12m則m＝0或1m＞2解得-2由∠APB=90°，可得PA→?PB→=0，即（x1﹣t，y1）?（x2將x1＝my1+6，x2＝my2+6代入上式得（my1+6﹣t）（my2+6﹣t）+y1y2＝0，m2將y1+y并化簡得m2整理得m2（32﹣72+12t+（6﹣t）2）﹣2（6﹣t）2+32＝0，因為上式對任意m都成立，所以32-解得t＝2，所以P（2，0）．（ii）因為PA⊥PB，所以△APB外接圓是以AB為直徑的圓，記為圓T，因為圓心T(x1所以半徑r=|因為△APB外接圓被x軸截得的弦長為16，所以r2=82+(6m2-m2因為直線l與C的右支交于A，B兩點，所以122-所以m2=45，（m2＝4舍去），代入（*）可得r所以△APB外接圓的面積為84π．【點評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與雙曲線的綜合，考查運算求解能力，屬于難題．18．（2025?赤峰模擬）已知點P為圓C：（x+2）2+y2＝12上任意一點，點A（2，0），線段PA的垂直平分線交直線PC于點B，設(shè)點B的軌跡為曲線H．（1）求曲線H的方程；（2）若過點B的直線l與曲線H相切，且與直線y=±33x（i）證明：點B為線段MN的中點；（ii）求2|OM|+3|ON|的取值范圍．【考點】直線與雙曲線的綜合；軌跡方程．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】（1）x2（2）（i）證明見解析；（ii）[46【分析】（1）由雙曲線的定義求解即可；（2）（i）設(shè)B（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），分類討論，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)過點B且與H相切的直線l的方程為y=kx+m(k≠±（ii）由（i）知M(3m3-3k，3【解答】解：（1）B為PA的垂直平分線上一點，則|BP|＝|BA|，∴||BA∴點B的軌跡為以A，C為焦點的雙曲線，且2a故點B的軌跡方程為H：（2）（i）證明：設(shè)B（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），雙曲線的漸近線方程為y1=33x當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程是x=此時直線l即是雙曲線H的切線，同時滿足點B為線段MN的中點，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)過點B且與H相切的直線l的方程為y=與雙曲線聯(lián)立y=由Δ＝0?3k2＝m2+1，且x0=3由y=y=∴x1∴點B為線段MN的中點，綜上，點B為線段MN的中點．（ii）由（i）知，M(∴|OM∴2|OM當(dāng)且僅當(dāng)2|OM|＝3|ON|，即|OM又∵|OM|∈（0，+∞），∴2|OM|+3|ON|的取值范圍為[46【點評】本題主要考查軌跡方程的求法，直線與圓錐曲線的綜合，考查運算求解能力，屬于難題．19．（2024秋?玉溪期末）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1的直線與C的左支相交于P，Q兩點，滿足PQ⊥PF2，且12|PQ|＝5|（1）求雙曲線C的方程；（2）過點（5，0）與直線PQ平行的直線l與雙曲線C交于A，B兩點，求△ABF2的面積．【考點】直線與雙曲線的綜合；雙曲線的幾何特征．【專題】方程思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維．【答案】（1）x2（2）1537【分析】（1）設(shè)|PQ|＝5m，|PF2|＝12m，根據(jù)雙曲線定義可得m=a5，再根據(jù)勾股定理求a，b（2）可知直線l的斜率為±6，聯(lián)立方程求交點坐標(biāo)，即可得面積．【解答】解：（1）由12|PQ|＝5|PF2|，設(shè)|PQ|＝5m，|PF2|＝12m，由PQ⊥PF2，得|QF2|＝13m，則|PF1|＝12m﹣2a，|QF1|＝13m﹣2a，而|PF1|+|QF1|＝|PQ|，解得m=因此|PF1令|F1F2|＝2c，在△PF1F2中，由|P得4a225由|PF2|﹣|PF1|＝2a＝10，可得a=5所以雙曲線方程為C：x2（2）由（1）得：tan∠結(jié)合對稱性，圖中P，Q位置可互換，則直線PQ的斜率為±6，故直線l的斜率為±6，設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2），當(dāng)直線l的方程為y＝6（x﹣5）時，聯(lián)立y=6(可得-3725x2+15x-38=0，解得x因此，S結(jié)合對稱性，當(dāng)直線l的方程為y＝﹣6（x﹣5）時，結(jié)果不變．綜上：△ABF2的面積為1537【點評】本題考查直線與雙曲線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．20．（2024秋?安徽期末）已知曲線C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的離心率為12，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C1的左、右焦點，過點F1的直線l與C（1）求曲線C1的方程；（2）證明：kAM?kAN為定值；（3）已知雙曲線C2：x24-y23=1，若AM，AN所在直線與雙曲線C2的左支分別交于P點，Q點（均異于A點），過點A作【考點】直線與雙曲線的綜合；雙曲線的定點及定值問題；根據(jù)abc及其關(guān)系式求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】（1）x2（2）證明見解析；（3）證明見解析．【分析】（1）利用橢圓離心率及焦點三角形面積列式求出a，b，c即可．（2）設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率坐標(biāo)公式計算得證．（3）直線PQ的斜率存在時，設(shè)出其方程并與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及斜率坐標(biāo)公式計算可得直線過定點，再探討直線PQ的斜率不存在時的情況即可推理得證．【解答】解：（1）曲線C1的離心率為12，則e=ca=12由S△MF1F又a2＝b2+c2，聯(lián)立可得a＝2，b=3，c＝所以曲線C1的方程為x2（2）證明：由（1）得F1（﹣1，0），依題意，直線l不垂直于x軸，設(shè)l：x＝ty﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），由x=ty-1x24+y23=1，可得（3t2+4）y2﹣6ty﹣9＝0，Δ＝則y1+y則k=-所以kAM?kAN為定值；（3）證明：設(shè)P（x3，y3），Q（x4，y4），由（2）知kAM?k①當(dāng)直線PQ斜率存在時，設(shè)其方程為y＝kx+m，由直線PQ不過點A（﹣2，0），得m≠2k，由x24-y23=1y=kx+m消去y得（3﹣4k2）x23﹣4k2≠0，且Δ＝48（m2+3﹣4k2）＞0，x3+x則kAP整理得(4k于是(4k化簡得m2﹣6km+8k2＝0，即（m﹣2k）（m﹣4k）＝0，而m≠2k，則m＝4k，符合題意，直線PQ：y＝k（x+4），過定點（﹣4，0）；②當(dāng)直線PQ斜率不存在時，由對稱性，不妨令點Q在第二象限，直線AQ的斜率為-3方程為y=-32(x+2)，與方程x24-y23=1聯(lián)立可得Q（﹣4，因此直線PQ過定點（﹣4，0），設(shè)該點為R，由AG⊥PQ，得G在AR為直徑的圓上，圓的方程為（x﹣3）2+y2＝1，半徑為r＝1，所以存在點H（﹣3，0）使得|GH|＝1為定值．【點評】本題主要考查橢圓的性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的綜合，考查橢圓中的定值定點問題，考查運算求解能力，屬于難題．

考點卡片1．根據(jù)abc及其關(guān)系式求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【知識點的認(rèn)識】a和b是雙曲線的參數(shù)，它們滿足關(guān)系c2＝a2+b2（其中c是焦距的一半）．【解題方法點撥】1．計算c：利用c2＝a2+b2計算．2．代入標(biāo)準(zhǔn)方程：根據(jù)a，b和c計算標(biāo)準(zhǔn)方程．【命題方向】﹣給定a和b，求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．﹣根據(jù)a和b計算相關(guān)參數(shù)并代入方程．2．由雙曲線的焦點焦距求解雙曲線方程或參數(shù)【知識點的認(rèn)識】已知雙曲線的焦點位置和焦距2c，可以求解a和b，從而得到標(biāo)準(zhǔn)方程．【解題方法點撥】1．計算a和b：由焦距和焦點位置計算a和b．2．代入標(biāo)準(zhǔn)方程：求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【命題方向】﹣給定焦點和焦距，求解雙曲線的方程或參數(shù)．﹣利用焦點和焦距計算標(biāo)準(zhǔn)方程．3．求雙曲線的漸近線方程【知識點的認(rèn)識】雙曲線的漸近線是雙曲線無限遠(yuǎn)處的切線．對于雙曲線x2a2-y2b【解題方法點撥】1．計算斜率：利用ba2．代入方程：寫出漸近線方程．【命題方向】﹣給定雙曲線的參數(shù)，求漸近線方程．﹣利用標(biāo)準(zhǔn)方程計算漸近線方程．4．雙曲線的幾何特征【知識點的認(rèn)識】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2-y2b2=1y2a2-x2b2=1圖形性質(zhì)焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱關(guān)于x軸，y軸和原點對稱頂點（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實軸長2a，虛軸長2b離心率e=ca（e＞準(zhǔn)線x＝±ay＝±a漸近線xa±yxb±y5．雙曲線的離心率【知識點的認(rèn)識】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2-y2b2=1y2a2-x2b2=1圖形性質(zhì)焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱關(guān)于x軸，y軸和原點對稱頂點（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實軸長2a，虛軸長2b離心率e=ca（e＞準(zhǔn)線x＝±ay＝±a漸近線xa±yxb±y6．求雙曲線的離心率【知識點的認(rèn)識】雙曲線的離心率e是e=ca【解題方法點撥】1．計算離心率：利用公式e=2．求解參數(shù)：從雙曲線方程中提取參數(shù)．【命題方向】﹣給定雙曲線的參數(shù)，求離心率．﹣根據(jù)離心率計算雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．7．由雙曲線的離心率求解方程或參數(shù)【知識點的認(rèn)識】已知離心率e，可以求解c和a，從而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解題方法點撥】1．計算a和b：由e和c計算參數(shù)．2．代入方程：得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【命題方向】﹣給定離心率，求解雙曲線的方程或參數(shù)．﹣利用離心率計算標(biāo)準(zhǔn)方程．8．雙曲線的其他性質(zhì)【知識點的認(rèn)識】雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：（1）x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），焦點在x軸上，焦點坐標(biāo)為F（±c，0），焦距|（2）y2a2-x2b2=1（a＞0，b＞0），焦點在y軸上，焦點坐標(biāo)為F（0，±c），焦距|兩種形式相同點：形狀、大小相同；都有a＞0，b＞0；c2＝b2+a2兩種形式不同點：位置不同；焦點坐標(biāo)不同．標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2-y2b2=1中心在原點，焦點在x軸上y2a2-x2b2=1中心在原點，焦點在y軸上頂點（a，0）和（﹣a，0）（0，a）和（0，﹣a）對稱軸x軸、y軸，實軸長2a，虛軸長2b焦點在實軸上x軸、y軸，實軸長2a，虛軸長2b焦點在實軸上焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2+b2|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2+b2離心率e=ca（e＞e=ca（e＞漸近線x2即y＝±bay2即y＝±ab準(zhǔn)線x＝±ay＝±a9．直線與雙曲線的綜合【知識點的認(rèn)識】直線與雙曲線的位置判斷：將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去x（或y）的一元二次方程，則：直線與雙曲線相交?Δ＞0；直線與雙曲線相切?Δ＝0；直線與雙曲線相離?Δ＜0；直線與雙曲線的位置關(guān)系只有三種，不可能出現(xiàn)有多個解，因為直線與雙曲線的交點個數(shù)最多有2個．值得注意的是，當(dāng)直線方程和雙曲線方程聯(lián)立后，如果得到一元一次方程，說明此時直線與雙曲線的漸近線平行，那么直線與雙曲線相交，且只有一個交點．【解題方法點撥】（1）直線與雙曲線只有一個公共點有兩種情況：①直線平行漸近線；②直線與雙曲線相切．（2）弦長的求法設(shè)直線與雙曲線的交點坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|=(1+k2注意：利用公式計算直線被雙曲線截得的弦長是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式．【命題方向】雙曲線知識通常與圓、橢圓、拋物線或數(shù)列、向量及不等式、三角函數(shù)相聯(lián)系，綜合考查數(shù)學(xué)知識及應(yīng)用是高考的重點，應(yīng)用中應(yīng)注意對知識的綜合及分析能力，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)中涉及很多基本量，如“a，b，c，e“．樹立基本量思想對于確定雙曲線方程和認(rèn)識其幾何性質(zhì)有很大幫助．10．直線與雙曲線的位置關(guān)系及公共點個數(shù)【知識點的認(rèn)識