page1德州學院數學科學學院數學建模暑期培訓教案數學建模主講人：高秀蓮第1頁數學建模實例先看一個發生在我國實例，年全國人口普查，挨家挨戶實查一年多（約5億人年），查出是12.66億人，若用微分方程，一個大學生只花5分鐘（5人分），算出是13.45億人。二者結果相差不多（實查和預測相差8000萬人，占6.4%），但效率有天壤之別，前者又費時又慢（約5億人年），后者又省又快（5人分）。這是什么道理呢？page2可見，數學能夠作為預測或驗證現實一個又省又快方法。第2頁慣用建模方法page31.概率統計建模：數據統計描述、方差分析（單原因、多原因）、回歸分析（線性、非線性、多元線性、逐步回歸）、聚類分析等。2.優化問題建模：非線性、多目標、動態規劃、圖論。3.當代優化算法：蟻群算法、貪心算法、神經網絡、遺傳算法。4.數學試驗MATLAB、LINGO。第3頁參賽隊應具備能力page4基本知識：

高等數學+線性代數，概率論與數理統計，數學規劃（線性規劃、整數規劃、0-1規劃、多目標規劃、圖論、排隊論等）、數值計算方法、常微分方程等；能力要求：

建模能力，編程或試驗能力，論文寫作能力，團結協作能力、文件檢索與閱讀能力等（選讀優異論文，掌握論文寫作方法，提升寫作技能）。第4頁熱點建模問題房價問題網癮問題,網購問題高等教育問題金融危機問題釣魚島、南海戰爭博弈問題環境污染控制問題（霧霾問題、地下水、重金屬等）食品安全問題城鎮化問題、計劃生育問題、老齡化問題、交通堵塞問題大數據問題第5頁歷年本科組賽題列表年度AB1992作物生長施肥效果問題;化學試驗室試驗數據分解問題1993通訊中非線性交調頻率設計問題足球甲級聯賽排名問題1994山區修建公路設計造價問題鎖具制造、銷售和裝箱問題1995飛機安全飛行管理調度問題天車與冶煉爐作業調度問題1996最優打魚策略問題節水洗衣機程序設計問題1997零件參數優化設計問題

金剛石截斷切割問題1998投資收益和風險問題災情巡視路線問題1999自動化機床控制管理問題地質堪探鉆井布局問題DNA序列分類問題鋼管訂購和運輸問題三維血管重建問題公交車優化調度問題汽車車燈優化設計問題彩票中數學問題SARS傳輸問題露天礦生產車輛安排問題第6頁年度AB奧運會暫時超市網點設計問題電力市場輸電阻塞管理問題長江水質評價與預測問題DVD在線租賃問題出版社資源管理問題艾滋病療法評價及預測問題中國人口增加預測問題“乘公交，看奧運”問題;數碼相機定位問題高等教育學費標準探討問題制動器試驗臺控制方法問題眼科病床合理安排問題儲油罐變位識別與罐容表標定問題上海世博會影響力定量評定問題城市表層土壤重金屬污染分析問題交巡警服務平臺設置與調度問題葡萄酒評價問題太陽能小屋設計問題車道被占用對城市道路通行能力影響碎紙拼接歷年本科組賽題列表第7頁命題特點建模方法高度綜合現實性和導向性：問題和數據大多起源于工程、科技、生活、管理等科研、工程實際問題，問題處理有一定現實意義和科研導向。規模性：大規模變量或海量數據必須借助數學軟件數據結構復雜性：

數據屬性結構復雜性缺失或異常數據問題數據真實性不是全部數據都有用，怎樣篩選本身就是數學建模第8頁賽題中包括到數學方法空間與解析理論、線性代數、微積分概率與統計--方差、回歸、時間序列、相關分析、聚類或判別分析運籌學或數學規劃線性、整數、0-1、非線性、多目標規劃圖論與網絡優化多原因綜合評價數值計算方法數值微分，數值積分，插值與擬合等差分與微分方程等機理分析建模方法排隊論、對策論、決議論其它：含糊數學、隨機規劃與決議、隨機模擬、灰色系統理論、優化算法（神經網絡、遺傳算法、蟻群算法等）第9頁※看上去簡單、易了解題目，普通并不輕易取得獎項；

※看上去不好了解題目，反而有可能取得好獎項；

※盡早確定，防止猶豫不決，浪費時間取勝關鍵：靜下心來，仔細閱讀，經過查閱文件和相關資料，把問題想明白，并用數學語言嚴謹第表示清楚。

※國家一等獎名額分配平均分散到各題怎樣選題第10頁

１耐心、

細心題目

——注意仔細閱讀題目，找出并標注相關關鍵詞或關鍵句子，仔細體會可能引導建模方向與問題目標一切詞匯

※閱讀題目通常會伴隨競賽全過程

２確定目標要求——找出全部與建模目標相關相關原因，理清各原因之間關聯關系或機理聯絡，確定建模目標基本結構和建模方法

３分清建?；疽?、難點或關鍵點

經過查閱文件和閱讀相關圖書或專業資料，尋求問題難點和關鍵點處理策略或方法＿創新亮點題意了解第11頁

先宏觀、再微觀，先主體，后細節；分清主次，逐次進行。先主要原因，后次要原因

不停選擇、不停論證、不停完善

關鍵點、難點處理：逐步清楚化亮點

現實與理想之間平衡，簡單與復雜之間博弈：模型解應符合現實要求，即含有可行性，最理想解不一定含有可操作性；模型并不一定越復雜越好，但過于簡化有可能失真，復雜程度高低應視問題需要。

數學結構

——在不停論證中，建模思緒逐步展開和完善建模方向把握——漸次清楚過程第12頁重視節奏與效率：

1確立分時段進展目標，合理分工

2提倡討論，但要提升討論有效率，防止無意義爭論；

3以成效論優劣

論文寫作

1論文寫作應視為競賽中間過程，防止等一切做完后再著手寫作

2論文寫作自始至終應由一個隊員執筆，防止多人執筆出現混亂現象建模方向把握——漸次清楚過程第13頁端正態度競爭意識，追求卓越，鍥而不舍

態度是實力發揮確保

平和心態，冷靜思索應防止問題：投機意識和學術不端參賽一次，受益終生創新把每個細節處理到極致，就是創新。創新表達在建模各個步驟中建模方向把握——漸次清楚過程第14頁建模論文評價2025/4/111、假設合理性關鍵假設,并對假設合理性進行解釋,文中引用。2、建模創造性勉勵創新,但要切實,不要離題搞標新立異。3、結果正確性普通是沒有標準答案，但要自圓其說，好模型結果普通比很好,但不一定最好。4、表述清楚性表述清楚、結構嚴謹、邏輯性強。撰寫論文是讓他人閱讀，前后表述應該是一個邏輯論證過程，即是一個講理過程。要讓人知其理，明其理。第15頁怎樣撰寫一篇高質量競賽論文2025/4/111、摘要寫作：摘要是整篇文章高度濃縮和精華，是整篇論文重中之重。在摘要中應表示：針對每個問題作了何種分析，基于分析做出了哪些關鍵假設，采取了何種建模方法，怎樣對模型參數進行識別（方法），建立了什么模型；主要結果是什么；有什么特色和創新點，以及其它工作。注意摘要中盡可能不要出現公式、圖形或表格，文字精練，表示準確。第16頁2025/4/112、論文寫作：要求層次分明，重點突出論文是全部工作完整表達，力爭將你們工作和創造性結果或新研究結果都充分地反應出來要求內容充實、論據充分、論證有力、主題明確、格式規范、層次分明，經過大小標題分為若于個邏輯段落，讓評委各取所需，一目了然。不要給評委留下更多疑問和猜測。實事求是，不要過分夸大。怎樣撰寫一篇高質量競賽論文第17頁關于論文寫作評價規范性數學表示嚴謹性和完整性前后自圓其說培養結果檢驗意識：誤差分析、穩定性分析、靈敏度檢驗、假設檢驗等第18頁競賽論文評閱中常見問題數學建模是一個嚴謹分析、論證、檢驗和應用過程，建模論文前后應自圓其說。問題分析不透徹，不論條件與詳細問題差異，直接引用或套用建模方法，缺乏必要分析、觀察、論證或假設檢驗過程。整篇論文沒有明確數學模型，只是依據賽題數據，利用軟件計算，“湊”出結果，結果正確是否不論證；羅列一系列假設或模型，既不作合理性和正確性分析和評價，又不做模型優選和正確性評價，希望碰上“參考答案”或“評閱思緒”第19頁建模方法不可信：吃透題意方面不足，沒有抓住和處理主要問題；就事論事，形成數學模型意識和能力欠缺；對所用方法一知半解，不論詳細條件，套用現成方法，造成錯誤；對結果分析不夠，怎樣符合實際考慮不周；撰寫論文時間過于倉促，造成論文過于簡單，該交代內容被省略；競賽論文評閱中常見問題第20頁寫作方面問題(摘要、簡明、優缺點、參考文件);無參考文件，或羅列一批參考文件，但在論文正文中無引用公式、符號、圖形、表格不規范現象突出，主要表達在鍵盤公式、圖形或表格無標題和編號、計算結果直接屏幕截圖隊員之間合作精神差，孤軍奮戰；依賴心理重，甚至違紀（指導教師、網絡）競賽論文評閱中常見問題第21頁0-1變量在數學建模和數學試驗中應用

page22數學建模在實際問題和數學理論之間架起了橋梁，發揮了巨大作用，而數學模型建立和求解需要試驗。許多數學模型是抽象，只有經過數學試驗才能快速進行數值求解和定量分析，深入地完善和構建數學模型。所謂“數學試驗”就是利用計算機系統作為研究工具，以數學理論作為試驗原理，以數學素材作為試驗對象，以簡單對話方式或復雜程序方式作為試驗形式，以數值計算、符號演算、幾何圖形演示作為試驗內容，以實例分析、模擬仿真、歸納總結等為主要試驗方法，以輔助學數學、輔助用數學或輔助作數學為試驗目標，以試驗匯報為最終形式上機實踐活動。數學素質是數學知識和能力綜合表達，數學素質除了包含抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數學運算能力外，還應包含數學建模能力與數值計算能力，即會“用數學”處理實際問題，會用計算機進行科學計算，而數學試驗正是這種能力很好表達和應用。第22頁0-1變量在數學建模和數學試驗中應用

page23近幾年數學建模競賽題大都來自于工程技術與社會經濟生活，每一道題都緊緊圍繞當前社會熱點，而每年都有這么一類題：給定人力、物力、財力怎樣使得效益最大或給定任務，怎樣用最少人力、物力、財力去處理它——即屬于“運籌學中規劃論”部分，更確切地說，屬于“規劃論中整數規劃和混合整數規劃”，如年A題：SARS傳輸、B題：露天礦生產車輛安排；年A題：奧運會暫時超市網點設計、B題：電力市場輸電阻塞管理；年A題：長江水質評價和預測、B題：DVD在線租賃；年A題：出版社資源配置；年B題：“乘公車，看奧運”；年B題：眼科病床合理安排問題；年B題：交巡警服務平臺設置與調度問題；年B題：太陽能小屋設計問題；年B題：碎紙拼接問題。第23頁生產和經營管理中經常提出怎樣合理安排，使人力、物力等各種資源得到充分利用，取得最大效益，這就是規劃問題。線性規劃通常處理以下兩類問題：（1）當任務或目標確定后，怎樣統籌兼顧，合理安排，用最少資源（如資金、設備、原標材料、人工、時間等）去完成確定任務或目標（2）在一定資源條件限制下，怎樣組織安排生產取得最好經濟效益（如產品量最多、利潤最大.）（非）線性規劃問題數學模型規劃問題page24第24頁我們碰到實際中整數規劃所包括主要問題有：(1)運作問題(OperationalProblems)比如：貨物分配、生產調度、機器排序、運輸問題等。(2)計劃問題(PlanningProblems)比如：資金預算、選址問題、證券組合分析等。(3)設計問題(DesignProblems)比如：通信和交通網絡設計、超大規模集成電路設計、自動化生產線設計等。其特點都是對資源進行有效管理，使其發揮盡可能大效益。傳統計算整數規劃方法有：“割平面法(CuttingPlaneAlgorithm)”和“分支定界法(BranchandBoundMethod)”。不過對于變量比較多整數規劃問題或是混合整數規劃問題，這些方法就不太實用了。當前比較簡單方法就是引入0一l邏輯變量，使得約束條件線性化，光滑化后用LINDO／L1NG0來處理。常規整數規劃求解方法page25第25頁0—1變量應用page260—1變量也稱為邏輯變量(LogicalVariable)，經常表示系統處于某種特定狀態，或者決議時是否取定某個特定方案：當系統處于特定狀態，或決定取定方案當系統不處于特定狀態，或決定不取定方案10yì=í?第26頁這類問題經常出現在計劃問題中選址問題和證券組合分析中，比如：在A1、A2、A3處建廠至多項選擇擇兩個，則可引入0-1變量，問題化為，其中。0-l變量在含有相互排斥計劃問題中應用page27第27頁對于這類相互矛盾又必須同時出現在模型中互斥約束，能夠經過引入0-1變量及一個很大正數M，化為能夠看出當y=0時(1)式起作用，(2)式自然成立；y=1時(2)式起作用，(1)式自然成立。在建立數學模型時候，有時會碰到相互矛盾約束條件，而模型只能是二者選擇其一，比如：與是相互矛盾，顯然不能同時將他們直接放在模型中，因為這兩個矛盾約束案件交集是空集，模型將無解，不過問題卻需要同時考慮這對矛盾約束。0-1變量在含有相互排斥約束條件問題中應用page28第28頁更普通地page290-1變量在含有相互排斥約束條件問題中應用①若n個約束條件中只有k個起作用，能夠經過引入0-1變量及一個很大正數M，化為其中表明個約束條件中有n-k個右端項為，為自然成立不起約束作用，而只有k個約束條件起作用。第29頁②約束條件右端項可能是r個值中某一個，page300-1變量在含有相互排斥約束條件問題中應用即則定義則模型可為：第30頁我們經常能碰到含有固定費用優化問題，尤其在存放問題中，經常含有固定費用和可變費用兩部分。這類含有固定費用問題普通不能用線性規劃來表述，不過經過引入0—1變量能夠化為混合整數規劃。比如用表示產品j生產數量，其生產費用函數通?？杀硎緋age310-1變量在含有固定費用函數問題中應用其中是與產量無關生產準備費用。若問題目標是使全部產品總生產費用為最小，即求為了表示費用函數中兩個式子，引入0—1變量滿足第31頁page320-1變量在含有固定費用函數問題中應用現引入一個任意大正數M，則上述約束可表為：則模型可為：第32頁page330-1變量在模型中應用及其LINGO求解考慮數學模型滿足以下約束條件：(3)下等式最少有一個成立：其中將此問題歸結為混合整數規劃并求解。第33頁page340-1變量在模型中應用及其LINGO求解解：引入0-1變量則模型化為：第34頁page35利用LINGO求解model:min=20*y1+5*x1+12*y2+6*x2;x1-1000*y1<0;x2-1000*y2<0;x1+1000*y3>10;x2+1000*(1-y3)>10;2*x1+x2+1000*y4>15;x1+x2+1000*y5>15;x1+2*x2+1000*y6>15;y4+y5+y6<2;x1-x2+0*y7-5*y8+5*y9-10*y10+10*y11=0;y7+y8+y9+y10+y11=1;@bin(y1);@bin(y2);@bin(y3);@bin(y4);@bin(y5);@bin(y6);@bin(y7);@bin(y8);@bin(y9);@bin(y10);@bin(y11);end第35頁計算結果Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:70.00000

Extendedsolversteps:0

Totalsolveriterations:14

VariableValueReducedCost

Y11.00000020.00000

X110.000000.000000

Y20.00000012.00000

X20.00000011.00000

Y30.0000000.000000

Y40.0000000.000000

Y51.0000000.000000

Y61.0000000.000000

Y70.0000000.000000

Y80.00000025.00000

Y90.000000-25.00000

Y101.00000050.00000

Y110.000000-50.00000

RowSlackorSurplusDualPrice

170.00000-1.000000

2990.00000.000000

30.0000000.000000