...wd......wd......wd...函數的單調性與最值【知識要點】1．函數的單調性(1)單調函數的定義增函數減函數定義一般地，設函數f(x)的定義域為I：如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數f(x)在區間D上是增函數當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數f(x)在區間D上是減函數圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調區間的定義如果函數y＝f(x)在區間D上是增函數或減函數，那么就說函數y＝f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間D叫做函數y＝f(x)的單調區間．〔3〕判斷函數單調性的方法①根據定義；②根據圖象；③利用函數的增減性；④利用導數；⑤復合函數單調性判定方法。2．函數的最值前提設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足條件(1)對于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.(3)對于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.結論M為最大值M為最小值求函數最值的方法：①假設函數是二次函數或可化為二次函數型的函數，常用配方法；②利用函數的單調性求最值：先判斷函數在給定區間上的單調性，然后利用單調性求最值；③根本不等式法：當函數是分式形式且分子、分母不同次時常用此法。【復習回憶】一次函數具有以下性質：(1)當時，函數y隨x的增大而增大(2)當時，函數y隨x的增大而減小二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有以下性質：(1)當a＞0時，函數y＝ax2＋bx＋c圖象開口向上，對稱軸為直線x＝－；當x＜時，y隨著x的增大而減小；當x＞時，y隨著x的增大而增大；(2)當a＜0時，函數y＝ax2＋bx＋c圖象開口向下，對稱軸為直線x＝－；當x＜時，y隨著x的增大而增大；當x＞時，y隨著x的增大而減小；提出問題:①如以以以下圖為一次函數y=x，二次函數y=x2和y=-x2的圖象,它們的圖象有什么變化規律?這反映了相應的函數值的哪些變化規律?①這些函數走勢是什么在什么范圍上升，在什么區間下降②假設何理解圖象是上升的假設何用自變量的大小關系與函數值的大小關系表示函數的增減性③定義：一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數f(x)在區間D上是增函數.簡稱為：步調一致增函數.幾何意義：增函數的從左向右看,圖象是的。=4\*GB3④定義：一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數f(x)在區間D上是減函數.簡稱為：步調不一致減函數.幾何意義：減函數的從左向右看,圖象是的.例如圖是定義在區間［－5，5］上的函數y=f(x)，根據圖象說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數解：函數y=f(x)的單調區間是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函數y=f(x)在區間［-5,2),［1,3)上是減函數，在區間［-2,1),［3,5］上是增函數.點評：圖象法求函數單調區間的步驟是第一步：畫函數的圖象；第二步：觀察圖象，利用函數單調性的幾何意義寫出單調區間.【典例精講】題型一函數單調性的判定與證明(1)單調性的證明①函數單調性的證明的最根本方法是依據函數單調性的定義來進展，其步驟如下：第一步：設元，即設x1，x2是該區間內的任意兩個值，且x1＜x2；第二步：作差，即作差f(x1)－f(x2)；第三步：變形，即通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差的符號的方向變形；第四步：判號，即確定f(x1)－f(x2)的符號，當符號不確定時，可以進展分類討論；第五步：定論，即根據單調性的定義作出結論．其中第三步是關鍵，在變形中一般盡量化成幾個最簡因式的乘積或幾個完全平方的形式．②利用單調性定義的等價形式證明：設x1，x2[m，n]，x1≠x2，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)＞0f(x)在區間[m，n]上是增函數；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)＜0f(x)在區間[m，n]上是減函數．(2)復合函數y＝f(g(x))的單調性：g(x)f(x)f(g(x))增增增增減減減增減減減增復合函數的單調性可簡記為“同增異減〞，即內層函數g(x)與外層函數f(x)的單調性一樣時y＝f(g(x))是增函數，單調性相反時y＝f(g(x))是減函數．(3)判斷復合函數單調性的步驟：以復合函數y＝f(g(x))為例．可按以下步驟操作：①將復合函數分解成根本初等函數：y＝f(t)，t＝g(x)；②分別確定各個函數的定義域；③分別確定分解成的兩個根本初等函數的單調區間；④假設兩個根本初等函數在對應的區間上的單調性是同增或同減，則y＝f(g(x))為增函數；假設為一增一減，則y＝f(g(x))為減函數．例1用定義法求證函數在R為增函數變式1用定義法求證函數在增函數變式2證明：函數在定義域上是減函數例2求函數y＝eq\r(x2＋x－6)的單調區間．題型二圖像法求函數的單調區間例3求出以下函數的單調區間：〔1〕；〔2〕.〔3〕；〔4〕.變式1用圖像法求以下函數的單調區間(1)(2)(3)變式2求函數的單調區間和值域。題型三抽象函數的單調性例4(1)函數是減函數，則與的大小關系是(2)函數是減函數，解不等式(3)是定義在(0,+∞)上的減函數，假設成立，則a的取值范圍是______.變式函數f(x)對任意的a,bR，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且當x＞0時，f(x)＞1.(1)求證：f(x)是R上的增函數；(2)假設f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)＜3.題型四函數的單調性求參數的取值范圍例5函數在R上是增函數，則a的取值范圍是變式1假設f(x)＝x2＋2(a－1)x＋4是區間(－∞，4]上的減函數，則實數a的取值范圍是_______．變式2(1)畫出函數的圖象；(2)證明函數在區間(-∞,1］上是增函數；(3)當函數f(x)在區間(-∞,m］上是增函數時，求實數m的取值范圍.題型五函數的最值例6①如以以以下圖，是函數的圖象.觀察這三個圖象的共同特征.②在函數y=f(x)的圖象上任取一點A(x,y)，如以以以下圖，x的范圍是函數的,y的范圍是函數的。圖1-3-1-12③假設何理解函數圖象最高點的?設點C的坐標為(x0,y0)，用數學符號解釋：函數y=f(x)的圖象有最高點C④函數最大值的定義一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：(1)對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，稱M是函數y=f(x)的最大值.⑤函數最大值的定義中即，這個不等式反映了函數的函數值具有什么特點其圖象又具有什么特征函數最大值的幾何意義是什么⑥函數最大值嗎為什么點是不是函數的最高點⑦由⑥這個問題你發現了什么值得注意的地方⑧類比函數的最大值，請你給出函數的最小值的定義及其幾何意義.例7求函數y=在區間上的最大值和最小值.例8求函數,的最值。變式函數y=在［2,3］上的最小值為()A.2B.C.D.-【課堂練習】1．以下函數中，在區間〔0，2〕上為增函數的是()A.y=-x+1B.y=C.y=x2-4x+5D.y=2．如果函數f(x)=x2+2(a-1)x+2在區間(-∞,4］上是減函數，則實數a的取值范圍是()A.［-3,+∞)B.(-∞,-3］C.(-∞,3］D.［3,+∞)3.假設一次函數y=f(x)在區間［-1,2］上的最小值為1，最大值為3，則函數f(x)的解析式為__________.4.設x1，x2為y＝f(x)的定義域內的任意兩個變量，有以下幾個命題：①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0；③eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0；④eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0.其中能推出函數y＝f(x)為增函數的命題為________.(填序號)5.(1)函數在上是增函數，則的取值范圍是(2)函數在上是單調函數，則的取值范圍是6.用定義法求證函數在減函數【課外作業】1．函數y＝－x2的單調減區間是()A．[0，＋∞)B．(－∞，0]C．(－∞，0)D．(－∞，＋∞)2．函數f(x)＝2x2－mx＋3，當x∈[－2，＋∞)時，f(x)為增函數，當x∈(－∞，－2]時，函數f(x)為減函數，則m等于()A．－4B．－8C．8 D．無法確定3．函數f(x)在R上是增函數，假設a＋b≤0，則有()A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)4．為上的減函數，則滿足的實數的取值范圍是〔