2024-2025學年高二下學期數學月考試卷一、選擇題(共8題，每題5分，共40分)1．設A，B為兩個事件，已知P（A）=，P（B|A）=，則P（AB）=（）A.B.C.D.2．若函數f（x）滿足f（x）=x3-f′（2）x2-3x,則f′（2）的值為（）A.-1 B.2 C.3 D.43．隨機變量X的概率分布為：X124P0.40.3a則E（5X+4）等于（）A.5 B.15 C.45 D.與a有關4．已知函數f（x）=2x-3lnx+2022，則f（x）的單調遞減區間為（）A. B.

C. D.5．在（-）n（n∈N*）的展開式中，所有的二項式系數之和為32，則所有系數之和為（）A.32 B.-32 C.0 D.16．已知函數在x=a處取得極大值，則實數a的取值范圍為（）A.[1，+∞） B.（1，+∞）

C.（0，1） D.（0，1]7．在一個具有五個行政區域的地圖上（如圖），用5種顏色給這五個行政區著色，若相鄰的區域不能用同一顏色，則不同的著色方法共有（）A.420種B.360種C.540種 D.300種8．已知函數f（x）=aex+x+b,若函數f（x）在（0，f（0））處的切線方程為y=2x+3，則ab的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4二、多選題(共3題，每題6分，共18分)9．一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球，下列說法正確的是（）A.從中任取3球，恰有一個白球的概率是

B.從中任取3球，恰有兩個白球的概率是

C.從中任取3球，取得白球個數X的數學期望是1

D.從中不放回地取3次球，每次任取1球，已知第一次取到紅球，則后兩次中恰有一次取到紅球的概率為10．已知的展開式中，二項式系數之和為64，下列說法正確的是（）A.2，n,10成等差數列

B.各項系數之和為64

C.展開式中二項式系數最大的項是第3項

D.展開式中第5項為常數項11．已知函數，則A.的極大值為

B.的最小值為

C.當的零點個數最多時，的取值范圍為

D.不等式的解的最大值與最小值之差小于三、填空題(共3題，每題5分，共15分)12．已知函數f（x）=2x2+1，則=_____．13．已知隨機變量X，Y滿足Y=2X+1，且隨機變量X的分布列如下：X012Pa則隨機變量Y的方差D（Y）等于_____．14．（1+x）（1+2x）4的展開式中x3的系數為_____．（用數字作答）四、解答題(共5題，共77分)15．(13分)（請寫出必要的解題過程并用數字作答）

4名男生4名女生排成一排，分別求下列情形的排法：

（1）甲乙二人必須站在一起；

（2）甲乙二人不能站在一起；

（3）男女必須間隔而站；

（4）甲乙二人中間恰有1人．16．(15分)已知函數f（x）=x3+ax2-a2x+1，a∈R．

（1）當a=1時，求函數f（x）在區間[-2，1]上的最大值；

（2）當a≥0時，求函數f（x）的極值．17．(15分)已知（1+2x）6-（x-1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6．

（1）求a2的值；

（2）求a1+a2+a3+a4+a5的值；

（3）求a1-2a2+3a3-4a4+5a5-6a6的值．18．(17分)2020年10月4日，第29屆全國中學生生物學奧林匹克競賽，在重慶巴蜀中學隆重舉行，若將本次成績轉化為百分制，現從中隨機抽取了50名學生的成績，經統計，這批學生的成績全部介于50至100之間，將數據按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖如圖所示．

（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計這50名學生成績的中位數；

（2）若按照分層隨機抽樣從成績在[80，90），（90，100]的兩組中抽取了6人，再從這6人中隨機抽取3人，記ξ為3人中成績在[90，100]的人數，求ξ的分布列和數學期望．19．(17分)已知函數

討論函數的單調區間；

若，證明：關于的不等式有解.

2024-2025學年高二下學期數學月考試卷答案1．答案：B2．答案：C3．答案：B4．答案：A5．答案：D6．答案：C7．答案：A8．答案：B9．答案：BC10．答案：ABD11．答案：ACD解析：本題考查導數與函數的綜合應用，，屬于較難題.

當或時，，單調遞增；

當或時，，單調遞減.

故的極大值為

，

所以的最小值為，正確，錯誤.

零點個數最多為，此時，，解得，正確.

即，

只需證，令，

由知，兩根分別位于與中，

因為，，所以不等式的解的最大值與最小值之差小于，正確.

12．答案：8解析：根據函數在某點處的導數的定義求解．

解：根據題意，f′（x）=4x,則f′（2）=8，

又=f'（2）=8．

故答案為：8．13．答案：解析：根據分布列中概率和為1可得a,再由期望、方差公式計算出D（X），最后利用D（aX+b）=a2D（X）計算可得答案．

解：因為，所以，

故，

，

所以．

故答案為：．14．答案：56解析：由二項式展開式的通項求解即可；

解：第一個括號內取x時，第二個為，

第一個括號內取1時，第二個為；

故展開式中x3的系數為32+24=56．

故答案為：56．15．解析：（1）根據題意，將甲乙看成一個整體，與其余6人全排列，由分步計數原理計算可得答案；

（2）根據題意，先將其余6人排好，再將甲乙安排在6人的7個空位中，由分步計數原理計算可得答案；

（3）根據題意，分析男生、女生之間的排法，再若男女間隔而站的情況，由分步計數原理計算可得答案；

（4）根據題意，在其余6人中，選出1人，放在甲乙之間，再將三人看成一個整體，再與其他5人全排列，由分步計數原理計算可得答案．

解：（1）根據題意，將甲乙看成一個整體，與其余6人全排列，

有AA=10080種排法；

（2）根據題意，先將其余6人排好，再將甲乙安排在6人的7個空位中，

有AA=30240種排法；

（3）根據題意，男生之間的排法有A種，女生之間的排法有A種，

若男女間隔而站，有2種情況，

則男女必須間隔而站的排法有2AA=1152種；

（4）根據題意，在其余6人中，選出1人，放在甲乙之間，有CA種排法，

將三人看成一個整體，再與其他5人全排列，有A種情況，

則有CAA=8640種．16．解析：（1）將a=1代入，求導，求出函數在[-2，1]上的單調性，進而求得最大值；

（2）求導，分a=0及a＞0兩種情形討論即可得出結論．

解：（1）當a=1時，f（x）=x3+x2-x+1，則f′（x）=3x2+2x-1=（x+1）（3x-1），

令f′（x）＞0，解得-2＜x＜-1或，令f′（x）＜0，解得，

∴函數f（x）在單調遞增，在單調遞減，

由于f（-1）=2，f（1）=2，故函數f（x）在區間[-2，1]上的最大值為2；

（2）f′（x）=3x2+2ax-a2=（x+a）（3x-a），令f′（x）=0，解得x=-a或，

當a=0時，f′（x）=3x2≥0，所以函數f（x）在R上遞增，無極值；

當a＞0時，令f′（x）＞0，解得x＜-a或，令f′（x）＜0，解得，

∴函數f（x）在（-∞，-a），單調遞增，在單調遞減，

∴函數f（x）的極大值為f（-a）=a3+1，極小值為．17．解析：（1）根據通項求解即可；

（2）令x=0求出a0，令x=1，求出a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6，進而得到結果．

（3）對等式兩邊求導，令x=-1，求解即可．

解：（1）由題意得：．

（2）令x=0，則，

再令x=1，則，

又，

所以a1+a2+a3+a4+a5=729-2-64=663．

（3）兩邊同時求導得：

，

令x=-1，則．18．解析：（1）根據頻率分布直方圖各個條形的面積之和等于1，即可解出a的值，再根據中位數的定義即可解決；

（2）用分層抽樣分別計算出成績在[80，90），（90，100]的兩組中抽取人數，可以確定ξ取值為0，1，2，再對應的算出概率即可．

解：（1）由題意可知10×（0.012+0.024+0.04+a+0.008）=1，

解得a=0.016．

設中位數為m,則10×0.012+10×0.024+（m-70）×0.04=0.5，

解得m=73.5．即中位數為73.5．

（2）[80，90），（90，100]的兩組的頻率之比為：0.16：0.08=2：1，

故[80，90）組中抽取4人，（90，100]組中抽取2人，

故ξ取值為0，1，2，

P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，

ξ的分布列為：

ξ

0

1

2

P

E（ξ）=0×+1×+2×=1．19．答案：詳情見解析解析：求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；

問題轉化為，令，求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，證明結論成立即可．

本題考查了函數的單調性，最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是難題．

解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=-a，

①若a≤0，當x＞0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，

②若a＞0，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，

故f（x）在（0，）遞增，在（，+∞）遞減，

綜上：a≤0時，f（x）在（0，+∞）遞增，

a＞0時，f（x）在（0