第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省惠州市華南師范大學(xué)附屬惠陽學(xué)校高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.2?3i1?2iA.8+i B.?4+i C.8?7i D.?4?7i2.已知向量a=(λ+1,3)，b=(2,3)，若a與a+b共線，則實數(shù)A.?2 B.?1 C.1 D.23.已知等邊?ABC的邊長為1，點D,E分別為AB,BC的中點，若DF=3EF，則AF=A.12AB+34AC B.14.已知向量a,b，則“a=b”是“aA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.在△ABC中，D是BC上一點，滿足BD=3DC，M是AD的中點，若BM=λBA+μA.54 B.1 C.78 6.已知在直角?ABC中，角A?B?C所對邊分別為a?b?c，若B=90°且滿足a=2，c=1,BM⊥AC，且點M在AC上，則BAA.63 B.23 C.7.歐拉是十八世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，數(shù)學(xué)史上稱十八世紀(jì)為“歐拉時代”.1735年，他提出公式：復(fù)數(shù)z=eiθ=cosθ+isinθ(i是虛數(shù)單位).已知復(fù)數(shù)z1A.?5π12 B.?π12 C.8.已知平面向量a，b滿足a?b=1，a+b=7，且b在a上的投影向量為3A.π6 B.π3 C.2π3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z1=2+i，z2=2i?A.z2的虛部為1 B.z1z2為純虛數(shù)

C.z10.在?ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2=b2+c2?A.等腰直角三角形 B.等邊三角形 C.銳角三角形 D.鈍角三角形11.如圖，某旅游部門計劃在湖中心Q處建一游覽亭，打造一條三角形DEQ游覽路線．已知AB,BC是湖岸上的兩條甬路，∠ABC=120°,BD=0.3km,BE=0.5km,∠DQE=60°(觀光亭Q視為一點，游覽路線、甬路的寬度忽略不計)A.DE=0.7km B.當(dāng)∠DEQ=45°時，DQ=7620km

C.?DEQ面積的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a和向量b的夾角為30°，a=2，b=3，則a?13.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=i+i2+i3+???+14.在?ABC中，AB?(2AC+BC)=0，sinC=1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，已知AB=2e1(1)求證：A，B，D三點共線；(2)若BF=3e1?ke216.(本小題15分)已知|a|=4,|b(1)求|a(2)求向量a在向量a+b17.(本小題15分△ABC中，角A、B、C的對邊為a，b，c，已知sin2A?si(1)求角A的大小；(2)若a=23，求△ABC18.(本小題17分)養(yǎng)殖戶承包一片靠岸水域，如圖所示，AO，OB為直線岸線，OA=2千米，OB=3千米，∠AOB=π3，該承包水域的水面邊界是某圓的一段弧AB?，過弧AB?上一點P按線段PA和(1)求岸線上點A與點B之間的直線距離；(2)如果線段PA上的網(wǎng)箱每千米可獲得2萬元的經(jīng)濟收益，線段PB上的網(wǎng)箱每千米可獲得4萬元的經(jīng)濟收益．記∠PAB=θ，則這兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟總收益最高為多少萬元？19.(本小題17分)對于給定的正整數(shù)n，記集合Rn={α|α=(x1,x2,x3,?,xn),xj∈R,j=1,2,3,?,n}，其中元素α稱為一個n維向量，特別地，0=(0,0,?,0)稱為零向量.設(shè)k∈R，α=(a1(1)判斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由．①α=(1,1)，②α=(1,1,1)，β=(2,2,2)(2)已知α，β，γ線性無關(guān)，判斷α+β，β+(3)已知m(m≥2)個向量α1，α2，…，αm①如果存在等式k1α1+k2α2+?+②如果兩個等式k1α1+k2α2+?+參考答案1.D

2.C

3.A

4.A

5.C

6.B

7.B

8.A

9.BCD

10.BCD

11.ACD

12.3

13.214.12715.解：(1)由已知，得BD=因為AB=2e1又AB與BD有公共點B，所以A，B，D三點共線．(2)由(1)，知BD=e1且BF//BD，可設(shè)所以3e1?k又e1，e2是兩個不共線的向量，所以3?λ=0k?4λ=0

16.解：(1)由(2a?3b)?(2a則4×42?3×所以|a(2)由(1)知，a?(向量a在向量a+b上的投影向量為所以向量a在向量a+b上的投影向量的模為

17.解：(1)因為sin所以a2?b所以cosA=因為A∈0,π，所以(2)因為AB→?AC→=?2由(1)知b2+又a=23，所以(b+c)所以△ABC的周長為a+b+c=2所以△ABC的周長為2

18.解：(1)在?AOB中，由余弦定理，得AB=即岸線上點A與點B之間的直線距離為7

(2)在?PAB中，7則PA=7設(shè)兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟總收益為y

萬元，則y=2PA+4PB==因為θ∈0,π3，所以所以兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟總收益最高接近4

19.解：(1)對于①，設(shè)x1則可得x1+x2=0x對于②設(shè)y1則可得y1+2y2+5可取y1=?2,y2=1(2)設(shè)a1則(a因為向量α，β，γ線性無關(guān)，所以a1+a3=0解得a1所以向量α+β，β+(3)①