2024-2025學年浙江省寧波市高三（上）期末數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若全集II,"1-?r/，，I—8.1.2}，〃,？："，貝1J。ii〃（）

A.{3}B.{3.1}C.{2}D.{2.3}

2.若復數z滿足：il」「是虛數單位1則：（）

A.、/2B.、/5C.D.3\2

3.已知向量“一：二上：若，,3,則實數/（）

A.1B.%2C.i1D.;

4.已知〃，b為實數，條件p：〃?八，條件q：-,貝！Jp是4的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

5.已知隨機變量A-.\T.門、-41，/，則八I，（）

A.aB.—-nC.1〃D.———ii

222

6.若存在實數a,使得直線-u，1，I）與圓，」,；11I相切，則實數6的取值范圍是（）

A.[0.2|B.l-x.Oji,2.-x：i

C.[-2.0]D.|-x.2]L[Cl.■>vI

7.已知函數"且“，11在R上為單調函數.若方程

I—（工-2）"+4a>2

IIJ.1'-3。有4個不同的實數解，則實數。的取值范圍是（）

A.（0,-1]B.C.II1D.1,1）

'21112I2I

.1?JTJ*

8.已知./（0,1）,./??-xI,滿足I；'??（——0,則砂的值是（）

ITy

A.3v12B,3Y2C.V*D,3v3

422

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分,

部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知隨機事件42發生的概率分別為」I,八“I:事件/,2的對立事件分別為」，〃，則

下列結論正確的是（）

第1頁，共17頁

A.I'1

B.若/與8互斥，則廣」li\'

6

c.若「wCAP（B）,則4c相互獨立

D-P(A\B*/*iI//!/,i/r

10.己知函數力1=2、m」\1,則下列結論正確的是（）

A.函數J一的值域為［3.1：

函數），的一條對稱軸為,

B.*2

C.若函數U八_…一?小在"：；上單調遞增，則一的取值范圍為

26

D.設廠門為函數h，，的導數，則方程〃」，-''恰有4個不同的實數解

2、

11.已知數列"",滿足：，，1,d.2,?,1?pr.-21,則下列結論正確的是（）

A.<i4=？B.V'一'>2\'>i+1-2

3—依

C.二、15D.小口北、I」

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在J-」，廣的展開式中，含」的項的系數為?用數字作答L

13.“米升子”是一種古代專司量米的量器，其形狀是上大下小的正四棱臺.將“米升子”裝滿后用手指或筷

子沿升子口刮平叫“平升”.現有一“米升子”的縮小模型，上、下兩面正方形的邊長分別為5cm和3c%,

側面與上面的夾角為:，貝U該“米升子”模型“平升”的容積為,■?/

14.某學校籃球隊有5名隊員做傳球訓練.第一次由隊員甲將球傳出，每次傳球時傳球者都等可能地將球傳給

另外四人中的任何一人，則第5次傳球后球在隊員甲手中的概率為.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.，本小題12分?

記銳角的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知，，-〃1，一?，.一

II?求3的大小；

12）若rin4,加唐，疝1C成等差數列,且的外接圓半徑為1，求△ABC的面積.

第2頁，共17頁

16.?本小題12分，

如圖，在四棱錐〃。中，底面48co為平行四邊形，其中人D_LBD，PA=PD-AD^BD^2>

PH2>點尸為棱尸D上一點.

III當下為尸。的中點時，證明：」/HP；

12］若直線NF與平面PDC的所成角的正弦值為2'；，求PF的大小.

17.?本小題12分）

已知函數八」：“lu.r

Ill當1時，求/一的單調增區間；

，證明：當"“時，//'I-2-1r

a

18.本小題小分）

雙曲線1十一I左頂點為/，實軸長是虛軸長的2倍，其左焦點坐標為1.、1小，過/點的兩條直線

Mlr

分別交雙曲線「的右支于點尸，Q,且

“求雙曲線【的方程；

Ji證明：直線尸0過定點；

iil直線4P,AQ,尸。分別交直線，、于點M,N,T,若S;/”,，='"、，，求P0的直線方程.

19.?本小題12分）

已知數列|定義、11.」："，”.?，"，其中3/.且一.

若〃“2”1,求Sll.3）和Si1」口；

②若“，2",證明：對于，，J,u,,\且??j,以,,都有；

13.1對*于3,4,…，n9設/1。1??一--I〃，.I，111.1）..、1.AI：-6..S-11.A'11.正

項數列卜，；,為遞增數列，求證：/.中至少有兩個不同的元素，且/,中最大元素與最小元素之比小于2

第3頁，共17頁

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：「（?IlI-1.?,Z'?-I*J.1.'2,；|,11,

則CI={3.1},iC/.lin〃=口}.

故選：A

利用集合的交、并、補集運算即得.

本題主要考查集合的基本運算，屬于基礎題.

2.【答案】C

【解析】解：由一?1-II2-；?2+,-人-「l+：h,

得|:-v1-'*3--v10

故選：（,.

根據復數的運算可得：】,J，,進而根據復數模的運算求解.

本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數模的求法，是基礎題.

3.【答案】D

【解析】解：,.向量了=；I,”一:L1?t；，

X

.<―-,解得『-二\2

X

故選：/）,

由向量平行的坐標表示即可求解；

本題主要考查向量共線的性質，屬于基礎題.

4.【答案】B

【解析】解：因為。，6為實數，所以由「，，得八即充分性成立；

反之，當“-1,h時，滿足〃但是“—I-22,即必要性不成立.

故選：

從充分性和必要性兩個角度分別判斷即可.

本題主要考查了充分必要條件的判斷，屬于基礎題.

5.【答案】B

【解析】解：隨機變量、-一,P（解？3）=a,

,正態曲線關于「2對稱，

第4頁，共17頁

/'iA-ll-o,

vc、1-P（rc1）-P（r>3）1

Pn/（tI<x<2）---------、-:—―■--a.

22

故選：H

由正態分布的性質可得正態分布的圖像的對稱軸為，［，由廣、"，“，可得八、［1.—“，進而求

得八1-A-2i.

本題考查正態分布曲線的對稱性，屬于中檔題.

6.【答案】D

【解析】解：由圓,，、:1I的方程可得圓心為半徑為1,

由直線-U+b。與圓,-■,；,-1相切,

得圓心到直線“，r。的距離"-”?"：1…1,對于實數a有解，

vo*+1

由I，，.】.v,1-.I1）解得：仆或，，-。，

所以實數6的取值范圍是LII.-xI.

故選：/）.

根據給定條件，利用圓的切線性質列式計算得解.

本題考查了直線與圓的位置關系，是中檔題.

7.【答案】C

【解析】解：由題意可知：為單調函數，

當，」時，?.I”單調遞減；

故當」？時，a，也是單調遞減，故"“.1；

要確保。門在夫上單調遞減，則一（2-2尸+4（1,&IW/（2?2,

解得：

所以當。一在式上單調遞減時，實數。的取值范圍為「-:,排除/）.

當J,2時，!\J；”:-1,

又因為。，在I上單調遞減，（）<aW：，

所以，門”」-1-f\2-12,

即），）在I-x.2上的值域為2x

第5頁，共17頁

令嚴（上）-1/3+3=0,則|/"）|=1或3,

即「：1或：rJ,

因為，「，1必有2個解，

所以要使得-I門」；-3—“有4個不同的實數解，

所以。cI也必有2個解，

貝！I72-2/+1/<=In>1,

解得：〃」.

綜上，實數。的取值范圍為：?，

I2

BPae?'.

421

故選：（

首先根據單調性的定義得到。的范圍，接著將。川看作一個整體，然后結合一元二次方程求解出|「，「的

值，然后結合/一的值域求解出a的范圍.

本題考查了函數與方程思想，考查了指數函數、二次函數的性質及轉化思想，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：由題知，J?'-dnm一幫?8Bm=2a/r+-⑼，

ITyvVv2

其中IJU",

2

因為TU：、一I,所以小.）,人,,/，即，，?\?，

y2VirV€tr

又由基本不等式可得：.1/.1,,/1J,當且僅當/I即/」時等號成立，

22

Vv\\y曠

所以/?\_即/2,且wir1時取等號，

Vr

因為「?II.，\?,所以1；\此時.二,一.>?1,/,所以Lui1rtainT.i）:1，

**//

所以解得.，3-J-/,

241I

因為，-u,所以1,

4

又因為〃一山，所以y八-'

故選：.1.

第6頁，共17頁

,.IIsinJTJ工A八3,口hiIi1I【I=

-*

由小?,-2|；<?'——”,利用輔助角公式得到十.2s?I.'-T.l-rI,從而

rydV/.

-12.1.-即，'」，再利用基本不等式得到，',2,'「從而

rVrVirVrvvv2

?■)---1-3求解.

Vir

本題考查輔助角公式、基本不等式、三角函數的性質的應用，屬于中檔題.

9.【答案】ABC

【解析】解：隨機事件/,8發生的概率分別為PL',〃，小，事件4,5的對立事件分別為〃

?JA

對于/,/'i.v1P\\\故/正確；

對于8,I與8互斥，/VIB)=尸(4)+與如=彳，故8正確;

6

對于c,P(AB)P(A)P(B),

根據事件獨立性的定義可知/,3相互獨立，故C正確；

對于D,由，,\U-！，，F。?P(AD)飛需娛需心故”

P(B)+P[B)

故選：」墳.

由對立事件概率的公式求得/，卜，判斷/選項；由互斥事件的概率公式求得—“，判斷2選項；由

獨立事件的公式求得「判斷C選項；由條件概率即可判斷。選項.

本題考查對立事件、互斥事件、獨立事件、條件概率等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

10.【答案】AC

【解析】解：對于4因為〃““\Jr-I-->7川。?J—1,

?>

又'?ihl2」?；：，1.1,

所以“；八」，：2.2,

可得/，」的值域為：3.「，故4正確；

對于B,因為J，J?-ni--IvI-I?-J,

3f

所以，一不是它的對稱軸方程，故3錯誤；

*>

對于C,由，T,,可得,LI，

/JwO

第7頁，共17頁

若函數“，「_門，一小在卜、上單調遞增，

則unr+g《T，則0<3W；，故C正確；

對于。，由題得J'「-lcoK（lr+^）,

因為直線吁二過點山，

2、12

所以山是直線，,,，一的對稱中心，

又「:J-h，z2?1；?/-Im：”，

所以「八也是函數，:-：，的圖象的對稱中心，

根據圖象的對稱性可知，V—八八與--交點個數只能為奇數，

28

故。錯誤.

故選：AC.

由輔助角公式化簡函數解析式，然后由三角函數的性質得到函數的值域，判斷”選；由三角函數的對

稱軸對應函數的最值，代入，:求得函數值，判斷2選項；由,?：求得，，一；的范圍，由三角函

數的單調區間得到不等式，然后求出-的取值范圍，判斷C選項；求出導函數丁」，，求出直線,/

2A

的對稱中心，驗證直線”L-?的對稱中心也數導函數八，，的對稱中心，從而得到它們的交點個數一定

2、

為奇數個，判斷。選項.

本題考查了三角函數恒等變換以及三角函數的性質的應用，考查了函數思想，屬于中檔題.

11.【答案】ABC

【解析】解：對于A,因為“I1,，一1,.1.?+“，J八2?，

%

?]3128

所以…「1，?!；…,，故力正確；

22"3oo

對于因為“，?*,???1'1?-1,

%

所以兩邊同時乘以〃”得：1，仃1兒：，即,I.?.1H1?所）,

又因為山小2,所以數列；.是首項為2,公差為1的等差數列，

所以〃,，.I”11-1-?.（11,

因為“?~”，j八，，所以n,：n,21,

%On

第8頁，共17頁

1

所以工一I”,,?勺.?一I""jl?-fI"；"iI?〃,.i?"，”」臼?

丁<U5例

八1??■,J2、”,，22\H?I3故5正確；

對于選項C和。，用數學歸納法證明：

1I.H_,?、？人I.”，\1人,1’對于〃3,A-2,n,t：'\*恒成立.

①當「"和…I,即K=2時，。】=,<x2—1-\,，>/夕x2+1=，

/4)

故八J和M1滿足條件；

②假設“DI和「2；-,r?3,<-2,n,?.V,

〃工i12，I.v2A?1成立,

由〃,，.—2??01i?1.4|,

所以〃.：2At1,H(2/?*2,

乜2A+121+1,———-

故-<i.—v2fr+1,

〃3\2k-I-I

2k+22t+2

〃八一------>「=，

0J4rT+]

因為|一1.7-1-2>-:；ir-、，-：；-T?I,」；.？J,

所以?一\[?I,\2At3?"+2>

-\2*.'\-f1'?-?-I，

故"1和”，!時，“Aijv2A+7，“:'；?、1成立.

綜上，當"為奇數時“1\"I,當"為偶數時，”X2A■\>

對于“.：,2，n,.、一恒成立.

取i11112,可得“二\J1i'JI?1—\11,

取A1013,可得“》_，「，202515,故C正確，。錯誤.

故選：4BC.

對于選項N,可直接通過通項公式驗證；

對于選項2：可由已知條件推導出1的表達式，再求,的前〃項和，借助基本不等式進行放縮，即可判斷;

第9頁，共17頁

對于選項c和。，可用數學歸納法證明,，\1..,3，〃.1,即可判斷.

本題考查由數列的遞推式求數列的通項公式，數學歸納法的應用，屬于中檔題.

12.【答案】80

【解析】解：在J-L廣的展開式中，

其展開式的通項公式為：(

由3.1；,

可得人1.

故在J?a的展開式中，含/項的系數是，?C-!-so

故答案為：71

根據二項式定理，展開式的通項(?，,令"5=3可得AI，進而可得含「項的系數

是，.<[一7L

本題考查了二項式定理，屬基礎題.

13.【答案】'

3

【解析】解：設底面/BCD和平面4131cHi的中心分別為O,心1，CD和，”的中點分別為E,/,

過點E作EF1平面UBCiDi于點F,如下圖所示：

因為四邊形/BCD的邊長為3,四邊形$從「格的邊長為5,側面與上面的夾角為，，

所以《〃-?.()[/]—/<>(八二//,

iaA

-0(/.；(〃一：g=1,()]、</),II..C,/),,

又平面.貓兒「小，平面C”平面1/九LQ,II平面「/)〃「，

所以側面CDDiQ與上底面A/CiD所成角的平面角為NQEiE,故./-:,

由//」平面UBiCiDi，OiEi二平面I口，所以EEL5E1，

第10頁，共17頁

所以//.一//?IanO|/\/-1-l.ui,-\1,

故正四棱臺-1”一，的高為、J，

故“平升”的容積為++

故答案為：“'」

3

利用二面角的概念和臺體的體積公式求解即可.

本題考查正四棱臺的體積的求解，屬中檔題.

14.【答案】-?

25G

【解析】解：某學校籃球隊有5名隊員做傳球訓練，第一次由隊員甲將球傳出,

每次傳球時傳球者都等可能地將球傳給另外四人中的任何一人，

設八“表示經過第"次傳球后球在甲手中，

〃次傳球后球在甲手中的概率為幾，“1,2,3,…，

則乃=“，A.1=.1,,?.1?.|+LV,

P(An'A”.]+An,■1^(An■AI.I)+P(An,A9+i)

■P(A?)?RZzilA)+P(4”)P(■(1-Pn)*彳+兄x0,j(I-Pn)，

即所以「一「「，

44545

又n―1Lu,所以｛匕—3是以」為首項,I為公比的等比數列,

5555

四.nvFn11；1?”

3n>?RJ,/,

55I256

故答案為：

設兒，表示經過第〃次傳球后球在甲手中，"次傳球后球在甲手中的概率為a,由全概率公式可得

r)；j/i,構造等比數列，求出通項公式即可得答案.

本題考查全概率公式、等比數列等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

15.【答案】解：I在，.1〃「中，「周4-①-「“、」?，仆「，

而n<…一-《?z1?H?--cos.|<?(^/?-1/4,

cili-.11二《?小〃《?m.I?binH-?in.I,

第11頁，共17頁

所以—M〃—一1：—cl'-CIX5,I—l||s|.I4//|,

-Z〃1?1A.1?2…、］「”、〃orsI,

又因為I/*'為銳角三角形，故CS.I」)，

所以?I卜〃，即〃；

23

；.”因為、in.l，>inIf，、ii」「成等差數列，故2-iu/J-.u\*-tn(r,

由正弦定理得2。n.,而開，，，

可得44^―/+<?+2nc，①

由余弦定理可得M,J-,二2〃<“小/7</-1二#，②

由①②可得〃二十」一2(〃二0,

解得〃一，

因此\IK為正三角形，而〃'外接圓的半徑為1,

b

由正弦定理可得.---1,可得八二、a，

Mil、

3

故△/〃廠的面積為、二0x,「

【解析】I，由<?"?'-,結合兩角和差的余弦公式化簡即可求解；

2結合等比中項及正弦定理可得〃-;，再由余弦定理及正弦定理即可求解；

本題考查正弦定理，余弦定理的應用，三角形面積公式的應用，三角形內角和定理的應用，屬于中檔題.

16.【答案】解："證明：根據題意，Pl>I'.li2>fl：八/，根據勾股定理

又13且「'/，.17)D，PD,1/)_平面尸4D,

13D平面PAD,

而",二平面PAD,1/nn，

又丁尸為尸。的中點且尸4=A。,.AFA.PD>

又「/)BD一D，PD，HDCPBD,」/二平面尸3D,

HI'平面PBD,II

2)取40中點E,連接尸E,則/"：.」〃，riBD，l/>BDD>

AD,；；!)平面48CD,/'/平面/BCD,

以。為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系“

則。(0,0,。),4(2,0,0),B(0,2,0),P(l,0.V5),C(2,2,0),

第12頁，共17頁

且由=（-22。），5?:1,?I\11，

設平面PC。的一個法向量TT—」,人「，則!""

I-nPI）二0

令，」，得.「I,1,故］\S\二-II,

設點八，則"?\2,0.\/3A）-

設//與平面PCD所成角為“，

解得,”版史評（照

故1/'卜1.

【解析】1根據題意可證/“），〃，進而可知3〃一平面P/D,得.1/；“。，再由17，可得AFL

平面尸AD,進而可得；

”由空間向量法設/?\r、由線面角求參數的值，進而得/J“'、，進而可得.

12*2

本題考查了空間向量，屬于基礎題.

17.【答案】解：；1?當〃1時，“hi?,則"「?）。，解得?-1,

XXX2

當/川時，II,故?在/?川.11單調遞減；

當」1.-\I時，”「二"，故J"在」1?VI單調遞增，

故八一的單調增區間為11..、L

，證明：由1--0,解得J1,

XX*<|

當j-HI.1'f,\.1..o,故2單調遞減；

第13頁，共17頁

當,「-時，II,故/,單調遞增；

a

故，/I?f」?”，

a

設“I匚r1In/-,.rII,

1r

則/?I?I）,解得J1,

XX

當/川./時，II,"」I單調遞減，

當（L+x）時，</（z）>0,g（工）單調遞增，

所以?川1H,即」1-In?----.1.1-11J.ti；,

所以aaInau<*,'H—1）-2?i—f當〃1口寸等號成立,

又12,--”—？-Ji=2〃+?-4；?入；2“-4-lb當“，時等號成立，

aaVo

I2

故/1rI,（：ia?:In八?%-MI—3?i

aa

【解析】I"先求得/'」”根據導數的正負求解即可；

」首先根據導數得出/，，在,，，L單調遞減，「，，在"）?"單調遞增，則

aa

f（x]-f：?o—<iIn。,再構造函數UJ-IIn.?J*"I說明〃—〃In”，〃一“I”一11，再用作差

a

2

法及基本不等式得出IH,：II）即可證明.

a

本題主要考查了導數與單調性關系的應用，還考查了函數性質在不等式證明中的應用，屬于中檔題.

18.【答案】解：1因為雙曲線的實軸長是虛軸長的2倍，其左焦點坐標為?

解得〃—2,八I,

則雙曲線r的方程為《_『=i；

」i，證明：設直線尸。的方程為“A,-，L，，八，?力?,3，:口，

聯立,消去y并整理得N1省/-8*5-（止+1）=。,

=1

此時A-H>r4It.Mk'0,

第14頁，共17頁

Hr用++72)+t2

X|JT]+2(*|+12)+4H

整理得If-2kIlffGA，—0,

解得,-1或/=-i>A,

當，」；時，直線P。的方程為；，一，M；，,L,

此時直線尸。經過點，-2.山，不符