2024年中考數學真題專題分類精選匯

專題20圓

一、選擇題

1.（2024江蘇連云港）如圖，將一根木棒的一端固定在。點，另一端綁一重物.將此重物拉到/點

后放開，讓此重物由n點擺動到3點.則此重物移動路徑的形狀為（）

A.傾斜直線B.拋物線C.圓弧D.水平直線

【答案】C

【解析】本題考查動點的移動軌跡，根據題意，易得重物移動的路徑為一段圓弧.

在移動的過程中木棒的長度始終不變，故點A的運動軌跡是以。為圓心，Q4為半徑的一段圓弧，

故選：C.

2.（2024四川涼山）數學活動課上，同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決

方案是：在工件圓弧上任取兩點48,連接Z2,作的垂直平分線交45于點。，交方于

點C,測出48=40cm,CD=10cm,則圓形工件的半徑為（）

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

【答案】C

【解析】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識.由垂徑定理，可得出8。的長；設圓心為。，連接

在中，可用半徑08表示出0。的長，進而可根據勾股定理求出得出輪子的半徑，即可得

出輪子的直徑長.

【詳解】：CD是線段N3的垂直平分線，

二直線3經過圓心，設圓心為。，連接08.

及△08。中，BD=-AB=20cm,

—2

根據勾股定理得:

OD-+BD1=0B2^即:

(<95-10)2+202=(952,

解得：03=25；

故輪子的半徑為25cm,

故選：C.

3.(2024四川瀘州)如圖，EA,ED是。。的切線，切點為N,D,點、B,C在。。上，若

ZBAE+ZBCD=236°,則NE=()

A.56°B.60°C.68°D.70°

【答案】C

【解析】本題考查了圓的內接四邊形的性質，切線長定理，等腰三角形的性質等知識點，正確作輔助

線是解題關鍵.

根據圓的內接四邊形的性質得ZBAD+ZBCD=180°,由ZBAE+ZBCD=236°得

ZEAD=56°,由切線長定理得區4=ED,即可求得結果.

【詳解】如圖，連接

C

:四邊形45CD是。。的內接四邊形,

NB4D+/BCD=180°,

,:/BAE+/BCD=236。,

：./BAE+/BCD-（ABAD+/BCD）=236°-180°,

即N5/￡—Z8ZD=56。，

ZEAD=56°,

VEA,EQ是。。的切線，根據切線長定理得，

EA=ED，

：.ZEAD=/EDA=56°,

NE=180°-ZEAD-ZEDA=180°-56°-56°=68°.

故選：C.

4.（2024內蒙古赤峰）如圖，4D是。。的直徑，48是。。的弦，半徑OCLAB,連接S,交

OB于點E,ZBOC=42°,則NOEQ的度數是（）

A.61°B.63°C.65°D.67°

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理以及三角形的外角性質.先根據垂徑定理，求得

ZAOC=ZBOC=42°,利用圓周角定理求得ND==21。，再利用三角形的外角性質即

2

可求解.

【詳解】解：：半徑。C,

-"-AC=BC'

：.ZAOC=ZBOC=42°,N/OB=84°,

AC=AC

/.ZD=-ZAOC=21°,

2

：.ZOED=ZAOB—ND=63°,

故選：B.

5.（2024云南省）如圖，CD是。。的直徑，點A、8在。。上.若AC=BC，//。。=36°，

A.9°B.18°C.36°D.45°

【答案】B

【解析】本題考查了弧弦圓心角的關系，圓周角定理，連接08,由北=病可得

ZBOC=ZAOC=36°,進而由圓周角定理即可求解，掌握圓的有關性質是解題的關鍵.

【詳解】連接

X-------、X-------、

1-'AC=BC>

：.ZBOC=ZAOC=36°,

：.ZD=-ZBOC=18°,

2

故選：B.

6.（2024甘肅臨夏）如圖，48是。。的直徑，ZE=35°,則N80D=（）

A.80°B.100°C.120°D.110°

【答案】D

【解析】本題考查圓周角定理，關鍵是由圓周角定理推出44。￡>=2/￡.

由圓周角定理得到ZAOD=2ZE=70°,由鄰補角的性質求出ZBOD=180°-70°=110°.

/E=35°，

ZAOD=2NE=70°，

.?.ZS<9r>=180°-70o=110°.

故選：D.

7.（2024甘肅威武）如圖，點aB,C在。。上，ACLOB,垂足為。，若44=35。，則/C的

度數是（）

A

A.20°B,25°C.30°D.35°

【答案】A

【解析】根據NZ=35°得到/。=70。，根據得到NCDO=90。，根據直角三角形的兩

個銳角互余，計算即可.

本題考查了圓周角定理，直角三角形的性質，熟練掌握圓周角定理，直角三角形的性質是解題的關鍵.

【詳解】：44=35。，

/.40=70°,

?1,ACLOB,

：.ZCDO=90°,

ZC=90°-Z（9=20°.

故選A.

8.（2024湖南省）如圖，AB,ZC為。。的兩條弦，連接08,OC,若N/=45。，則N50C

的度數為（）

A.60°B.75°C.90°D.135°

【答案】C

【解析】本題考查了圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的

一半是解題的關鍵.根據圓周角定理可知=即可得到答案.

2

【詳解】根據題意，圓周角NZ和圓心角N50。同對著前，

ZA=-ZBOC,

2

N4=45°,

ZBOC=2ZA=2x45°=90°.

故選：C.

9.（2024吉林省）如圖，四邊形/BCD內接于。0,過點、B作BE〃4D，交CD于點、E.若

ZBEC=50°,則。的度數是（）

【答案】C

【解析】本題考查了平行線的性質，圓的內接四邊形的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

先根據BE//AD得到ND=ZBEC=50°,再由四邊形ABCD內接于O。得到

/48。+/。=180°,即可求解.

【詳解】ZBEC=50°,

ND=ZBEC=50°,

:四邊形/BCD內接于。0,

/.乙48。+/。=180。，

Z^5C=180°-50°=130°,

故選：C.

10.（2024四川宜賓）如圖，45是。。的直徑，若NCD8=60°,則。的度數等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【解析】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，同弧或等弧所對的圓周角相等.根據直徑所對的圓周

角為直角得到N4C8=90。，同弧或等弧所對的圓周角相等得到=N/=60。，進一步計算即

可解答.

【詳解】：/臺是。。的直徑,

NACB=90°，

?rZCDB=60°,

ZA=ZCDB=60°,

ZABC=90°-ZA=30°,

故選：A.

11.（2024四川宜賓）如圖，入43。內接于5c為。。的直徑，4D平分/A4c交。。于。.則

AB+C,,..

---------的值為（）

AD

A.V2B.V3c.2V2D.2G

【答案】A

【解析】本題考查了三角形的外接圓，特殊角的三角函數，圓周角定理，圖形的旋轉等知識點，合理

作輔助線為解題的關鍵.

作輔助線如圖，先證明=ZACD+ZABD=18Q°,從而可以得到旋轉后的圖形，再證明

是等腰直角三角形，利用三角函數即可求得結果.

【詳解】解：如圖，連接AD、CD,

???3C是。。的直徑,

ABAC=ZBDC=90°,

:AD平分NBAC,

：./BAD=ZCAD,

BD=DC>

：.BD=CD,

在四邊形4aoe中，ABAC=ZBDC=90°,

，ZACD+ZABD=1SO°,

..?△/OC繞。點逆時針旋轉90°,則4民H三點共線，如圖所示

AAB+AC=AB+A'B=AA',

:由旋轉可知N/'￡）5=N/￡>C,A'D=AD

：.ZA'DA=ZA'DB+ABDA=ZADC+ZBDA=ZBDC=90°，

???在等腰直角三角形404中，sin/H=sin45°="，

AA'2

.AA__Z8+ZC_血

"AD~AD-,

故選：A

12.（2024武漢市）如圖，四邊形48CD內接于OO,ZABC=60°,ABAC=ACAD=45°,

V2

"T

【答案】A

【解析】延長48至點E,使BE=4D，連接AD,連接CO并延長交。。于點尸，連接/尸，即

可證得一。。絲△EBC(SAS),進而可求得zc=cos45°ZE=C，再利用圓周角定理得到

ZAFC=60°,結合三角函數即可求解.

【詳解】延長48至點E,使BE=AD,連接5。，連接CO并延長交。。于點尸，連接力尸，

c

?.?四邊形48CD內接于OO,

/.NADC+/ABC=ZABC+ZCBE=180P

ZADC=ZCBE

???ABAC=ACAD=45°

ACBD=ZCDB=45°,ZDAB=90°

??.AD是。。的直徑，

NDCB=90°

；?ADCB是等腰直角三角形，

/.DC=BC

BE=AD

AAADC^AEBC(SAS)

:.ZACD=ZECB,AC=CE,

*/AB+AD=2

AB+BE=AE=2

又?；ZDCB=9Q°

：.ZACE=90。

△4CE是等腰直角三角形

；?AC=cos450-AE=>J2

/ABC=60°

/.ZAFC=60°

ZFAC=90°

.『AC2我

??CF---------=------

sin6003

OF=OC=-CF=—

23

故選：A.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，圓周角定理，銳角三角函數、等腰三角形的性質與判

定等知識點，熟練掌握圓周角定理以及全等三角形的性質與判定是解題的關鍵.

13.（2024上海市）在中，AC=3,BC=4,=5,點尸在。內，分別以4、B、P

為圓心畫，圓A半徑為1,圓B半徑為2,圓尸半徑為3,圓A與圓P內切，圓尸與圓B的關系是（）

A.內含B.相交C.外切D.相離

【答案】B

【解析】本題考查圓的位置關系，涉及勾股定理，根據題意，作出圖形，數形結合，即可得到答案，

熟記圓的位置關系是解決問題的關鍵.

【詳解】??,圓A半徑為1,圓尸半徑為3,圓A與圓尸內切，

...圓A含在圓尸內，即上4=3—1=2,

,尸在以A為圓心、2為半徑的圓與邊相交形成的弧上運動，如圖所示：

,當到尸'位置時，圓尸與圓B圓心距離P3最大，為正+42=后，

V17<3+2=5，

，圓P與圓B相交,

故選：B.

14.（2024福建省）如圖，已知點48在。。上，4408=72°,直線跖V與。。相切，切點為C,

且。為標的中點，則N/CW等于（）

A.18°B,30°C.36°D.72°

【答案】A

【解析】本題考查了切線的性質，三角形內角和以及等腰三角形的性質，根據。為我的中點，三角

形內角和可求出NOC4=；x（180°-36°）=72°,再根據切線的性質即可求解.

【詳解】???NZO8=72。，C為凝的中點，

ZAOC=36°

V0A=0C

：.ZOCA=|x（l80°-36°）=72°

?.?直線跖V與。。相切，

ZOCM=90°,

ZACM=ZOCM-ZOCA=18°

故選：A.

二、填空題

I.（2024北京市）如圖，的直徑45平分弦CD（不是直徑）.若ND=35。，則

【答案】55

【解析】本題考查了垂徑定理的推論，圓周角定理，直角三角形的性質，熟練掌握知識點是解題的關

鍵.

先由垂徑定理得到由前=前得到N4==35。，故NC=90°-35°=55。.

【詳解】???直徑48平分弦3,

ABA.CD,

X------、X-------、

BC=BC，

NA=4D=35°，

.,.ZC=90°-35°=55°,

故答案為：55.

2.（2024江蘇連云港）如圖，48是圓的直徑，N1、N2、N3、N4的頂點均在48上方的圓弧

上，Zl>N4的一邊分別經過點/、B,則Nl+N2+N3+N4=

【答案】90

【解析】本題考查圓周角定理，根據半圓的度數為180。，同弧所對的圓周角是圓心角的一半，進行

求解即可.

?/AB是圓的直徑，

.?.48所對的弧是半圓，所對圓心角的度數為180。，

VZ1>/2、N3、N4所對的弧的和為半圓，

/.Zl+Z2+Z3+Z4=-xl80°=90°,

2

故答案為：90.

3.（2024陜西省）如圖，是。。的弦，連接是前所對的圓周角，則//與N05C

的和的度數是________.

【答案】90°##90度

【解析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，熟練掌握圓周角定理是解

題的關鍵.根據圓周角定理可得NBOC=2/4,結合三角形內角和定理，

可證明2N/+NOBC+NOCS=180°,再根據等腰三角形的性質可知N05C=NOCS,由此即得

答案.

【詳解】：NZ是前所對的圓周角，N50C是前所對的圓心角，

ABOC=24,

ZBOC+Z,OBC+ZOCB=180°,

2ZA+ZOBC+ZOCB=180°,

OB=0C,

ZOBC=ZOCB,

2ZA+ZOBC+ZOBC=180°,

.?.24+2/050=180。，

NA+ZOBC=90°.

故答案為：90°.

4.（2024江蘇蘇州）如圖，A45c是。。的內接三角形，若NO5C=28。，則//=.

【解析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，連接。C,利用等腰三角

形的性質，三角形內角和定理求出N50C的度數，然后利用圓周角定理求解即可.

【詳解】解：連接。C,

?1,OB=OC,ZOBC=28°,

ZOCB=ZOBC=28°,

ZBOC=180°-ZOCB-ZOBC=124°,

：.ZA=-ZBOC=62°,

2

故答案為：62°.

5.（2024山東棗莊）如圖，是。。的內接三角形，若OA〃CB,ZACB=25°,則

ZCAB=.

【答案】40。##40度

【解析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形內角和定理等知識，利用圓周角定理求

出的度數，利用等邊對等角、三角形內角和定理求出/。48的度數，利用平行線的性質求

出NQ4C的度數，即可求解.

【詳解】連接08，

NA0B=2NACB=50°,

,：0A=0B,

：.ZOAB=ZOBA=1(180°-ZAOB)=65°,

???0A//CB,

：.Z0AC=ZACB=25°,

NCAB=Z0AB-A0AC=40°,

故答案為：40°.

6.（2024江蘇蘇州）鐵藝花窗是園林設計中常見的裝飾元素.如圖是一個花瓣造型的花窗示意圖,

由六條等弧連接而成，六條弧所對應的弦構成一個正六邊形，中心為點。，右所在圓的圓心C恰好

是4/臺。的內心，若/2=26，則花窗的周長（圖中實線部分的長度）=,（結果保留兀）

【答案】87t

【解析】題目主要考查正多邊形與圓，解三角形，求弧長，過點C作根據正多邊形的性

質得出“05為等邊三角形，再由內心的性質確定NC4O=/C4￡=NCS￡=30。，得出

^ACB=120°,利用余弦得出/C=-------=2,再求弧長即可求解，熟練掌握這些基礎知識點是解

cos30°

題關鍵.

【詳解】解：如圖所示：過點C作

E

AB

V

o

:六條弧所對應的弦構成一個正六邊形,

/.XAOB=60°,OA=OB,

AAOB為等邊三角形,

:圓心C恰好是AABO的內心，

ZCAO=ZCAE=NCBE=30°,

^ACB=120°,

???AE=BE=5

?""=2,

120x2x714

JAB的長為:——兀,

1803

4

二花窗的周長為：-7tx6=87l,

3

故答案為：8兀.

7.（2024江蘇鹽城）如圖，是。。的內接三角形，ZC=40°,連接。4OB,則

NOAB=

【答案】50

【解析】本題考查主要考查圓周角定理、等腰三角形的性質、三角形內角和定理，先根據圓周角定理

計算出N/O8=2NC=80°,再根據等邊對等角得出N048=N0氏4,最后利用三角形內角和定理

即可求出N0/5.

【詳解】ZC=40°,

...ZAOB=2ZC=80°,

'''OA=OB,

NOAB=NOBA,

ZOAB+NOBA+ZAOB=180°,

NOAB=)(180。-ZAOB)=1x(180°-80°)=50°,

故答案為：50.

8.(2024四川眉山)如圖，內接于。。，點。在Z5上，ZD平分交。。于。，連

接BD.若45=10,BD=2也，則5c的長為.

【答案】8

【解析】本題考查了圓周角定理，角平分線的定義全等三角形的判定和性質，勾股定理，相似三角形

的判定和性質，延長/C,BD交于E,由圓周角定理可得ZADB=ZADE=90°,

ZACB=ZBCE=90°,進而可證明AABD^AAED(ASA),得到BD=DE=2亞，即得

BE=4石，利用勾股定理得ZD=4后，再證明得到些=也￡,據此即可求

ABAD

解，正確作出輔助線是解題的關鍵.

【詳解】解：延長/C,BD交于E,

■：45是。。的直徑，

ZADB=NADE=90°,ZACB=ZBCE=90°,

???AD平分NBAC,

ABAD=NDAE,

又；AD=AD,

：."BD%AED(ASA),

BD=DE=275，

BE=4行，

48=10,BD=2V5，

4D=JlO?—(2⑸2=4百，

ZDAC=ZCBD,

又：/BAD=NDAE，

Z./BAD=ZCBD,

???ZADB=/BCE=90°,

:AABDSABEC,

BE_BC

一商―IF'

,475BC

一而一ZTT

:.BC=8,

故答案為：8.

9.（2024重慶市B）如圖，48是。。的直徑，是。。的切線，點B為切點.連接ZC交。。于

點。，點E是。。上一點，連接BE,DE,過點A作/廠〃BE交AD的延長線于點E.若8c=5,

CD=3,ZF=ZADE,則48的長度是；DE的長度是.

onoQ2

【答案】①.—##6-②.-##2-

3333

【解析】由直徑所對的圓周角是直角得到乙4￡>8=/5￡>。=90。，根據勾股定理求出8。=4,則

CD3

cosC=—=—,由切線的性質得到N/8C=90。，則可證明NC=NA8￡>,解直角三角形即可求

BC5

BD20

出48二----------二——；連接4E,由平行線的性質得到/氏4尸=/48￡,再由/尸=/4D￡,

cosNABD3

2Q208

NADE=Z.ABE，推出NF=NBAF,得到BF=AB=—,則DF=BF—BD=-----4=—.

333

【詳解】解：：48是。。的直徑，

ZADB=ZBDC=90°,

在RtA5DC中，由勾股定理得BD=-CD2=4，

.「_CD_3

??cosC——,

BC5

???5。是。。的切線,

/ABC=90°,

ZC+ZCBD=ZCBD+ZABD=90°,

ZC=ZABD,

,nBD420

/Ifj----------------

在RtZUBD中，cosAABD33；

5

如圖所示，連接/E,

VAF〃BE，

：.ZBAF=ZABE,

;NF=NADE,ZADE=ZABE,

NF=ZBAF,

BF=AB=——,

3

20Q

DF=BF-BD=——4=一；

33

—二208

故答案為：—；—?

33

【點睛】本題主要考查了切線的性質，同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理,

解直角三角形，等腰三角形的判定等等，證明=是解題的關鍵.

三、解答題

1.（2024湖北省）中，4c3=90。，點。在/C上，以OC為半徑的圓交N5于點。,

交/C于點E.且BD=BC.

（1）求證：48是。。的切線.

（2）連接。交。。于點下，若AD=M,AE=\,求弧CE的長.

【答案】（1）見解析（2）弧CR的長為

【解析】（1）利用SSS證明△08。之△08C,推出NOD8=NOC2=90。，據此即可證明結論成

立；

（2）設。。的半徑為x,在RtA/。。中，利用勾股定理列式計算求得x=l,求得/4OD=60°,

再求得NCOF=60。，利用弧長公式求解即可.

【小問1詳解】

證明：連接0D,

A0BD^0BC（SSS）,

ZODB=ZOCB=90°,

為。。的半徑，

48是。。的切線；

【小問2詳解】

解：VZODB=90°,

：.ZODA=9Q°,

設。。的半徑為x,

在RtA/O￡>中，AO2=OD2+AD2，即（x+lj=/+（省『,

解得x=l，

/.OD=OC=1,0A=2,cosZAOD=-^-,

OA2

ZAOD=60°,

△OBD"4OBC,

ABOD=ACOF=1(180°-60°)=60°,

，弧B的長為處以=工.

1803

【點睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，三角函數的定義，弧長公式.正確引出輔助線解決問題

是解題的關鍵.

2.(2024貴州省)如圖，48為半圓O的直徑，點尸在半圓上，點P在48的延長線上，PC與半

圓相切于點C,與。尸的延長線相交于點。，ZC與。尸相交于點￡,DC=DE.

(1)寫出圖中一個與相等的角：；

(2)求證：OD工AB；

(3)若。4=2。￡,DF=2,求P3的長.

【答案】(1)NDCE(答案不唯一)(2)—(3)—

33

【解析】【分析】(1)利用等邊對等角可得出/。CE=NDEC,即可求解;

(2)連接OC,利用切線的性質可得出NOCE+N4co=90。，利用等邊對等角和對頂角的性質可

得出NAOE=NDCE,等量代換得出44￡。+/。。=90。，然后利用三角形內角和定理求出

ZAOE=90°,即可得證；

(3)設OE=2，則可求AO=OF=BO=2x,EF=x,OD=2x+2,DC=DE=2+x,在RtAODC

中，利用勾股定理得出(2+2x)2=(x+2?+(2x)2,求出x的值，利用tanD=^=^|g可求出OP,

即可求解.

【小問1詳解】

解：,:DC=DE,

...ZDCE=ZDEC,

故答案為：NDCE（答案不唯一）；

【小問2詳解】

證明：連接0C,

D

是切線，

/.0C1CD,即ZDCE+ZACO=90°,

VOA=OC,

ZOAC=ZACO,

?：ZDCE=NDEC,ZAEO=ZDEC,

ZAEO+ZCAO=9Q°,

：.ZAOE=90°,

ODLAB■

【小問3詳解】

解：設。￡=x,貝尸=8O=2x,

:.EF=OF—OE=x,OD^OF+DF=2x+2,

：.DC=DE=DF+EF=2+x,

在RtZV)。。中，OD2=CD-+OC2>

.,.(2+2x)2=(X+2)2+(2X)\

解得玉=4,x2=0(舍去)

AOD=10,CD=6,OC=8,

..rOPOC

?tanD--=--

ODCDf

.OPS

??=一,

106

40

解得OP=￥，

BP=OP-OB=—.

3

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，切線的性質，勾股定理，解直角三角形的應用等知識，靈活

運用以上知識是解題的關鍵.

3.（2024甘肅臨夏）如圖，直線/與。。相切于點。，48為。。的直徑，過點A作/于點E,

延長45交直線/于點C.

（2）如果BC=1,DC=3,求。。的半徑.

【答案】（1）見解析（2）4

【解析】【分析】（1）連接OD,根據切線的性質可得出0D，/,結合題意可證OD〃ZE,即得

出ZDAE=/ADO,再根據等邊對等角可得出NDAO=ZADO,即得出ZDAO=ZDAE,即AD

平分NC4E；

（2）設。。的半徑為八則0C=05+5C=r+l,OD=r.再根據勾股定理可列出關于廠的等式,

求解即可.

【小問1詳解】

證明：如圖，連接0D.

ODLI.

?/AE±l,

：.OD//AE,

：.ZDAE=ZADO.

0A=0D,

ADAO=ZADO,

/.ZDAO=ZDAE,即AD平分ZCAE；

【小問2詳解】

解：設。。的半徑為r,則0C=05+5C=r+l,OD=r.

在RtAOCD中，OD2+CD2=OC2，

/.r~+32=(r+l/,

解得：r=4,

二的半徑為4.

【點睛】本題考查切線的性質，等腰三角形的性質，同圓半徑相等，平行線的判定和性質，角平分線

的判定，勾股定理等知識.連接常用的輔助線是解題關鍵.

4.（2024北京市）如圖，是。。的直徑，點C,。在。。上，OD平分N49C.

（1）求證：OD//BC；

（2）延長。。交。。于點E,連接CE交08于點過點B作。。的切線交￡）￡的延長線于點P.

OF5

若上一=±，PE=L求。。半徑的長.

BF6

3

【答案】（1）見解析（2）-

2

【解析】（1）根據題意，得N40C=NB+NC,結合05=。。，得到NB=NC,繼而得到

ZAOC=2ZB,根據OD平分N/OC,得到N/OC=2N/O。，繼而得到乙8=NZO。，可證

OD//BC

(2)不妨設OE=5x,8E=6x,則05=0尸+5尸=Hx=OC=,求得

0P^0E+PE=Ux+l,證明△OPESABR。，ZOBM=ZPOB,求得8C=啊，取的中

5

33x33

點、M,連接0/,則a11=——，求得cos/OBAf=—,cosNPOB=—結合切線性質，得到

555

3CROBOB

cosAPOB=—=----解答即可.

5OP0E+PE~0B+\

【小問1詳解】

根據題意，得//0C=NB+NC,

OB=0C,

ZB=ZC,

：.ZAOC=2ZB,

/.ZAOC=2ZAOD,

ZB=ZAOD,

OD//BC-,

【小問2詳解】

..OF5

PE=1，

.~BF6

不妨設OF=5x,BF=6x,則OB=OF+BF=lTx=OC=OE,

：.OP=OE+PE=llx+l,

?：OD//BC,

/.AOFES^BFC,ZOBC=ZPOB,

,OEOF5

"BC^BF~1)

llx5

"5C6

解得仁等

取BC的中點“，連接OM,

33x

5

OB=OC,

OMIBC,

3

cosNOBM=

OB5

3

/.cosNPOB=—,

5

?/PB是G>0的切線，

OBLPB,

OBOB

cosNPOB=—=----

5OPOE+PEOB+\

3

解得=

2

3

故。。半徑的長為一.

2

D

【點睛】本題考查了圓的性質，等腰三角形的性質，平行線的判定，三角形相似的判定和性質，切線

的性質，解直角三角形的相關計算，等量代換思想，熟練掌握三角形相似的判定和性質，切線的性質，

解直角三角形的相關計算是解題的關鍵.

5.（2024福建省）如圖，在448C中，ZBAC=90°,AB=AC,以N5為直徑的。。交于點。,

AELOC,垂足為瓦8￡的延長線交40于點尸.

（3）求證：與E尸互相平分.

【答案】（1）y（2）證明見解析（3）證明見解析

AT

【解析】（I）先證得ZC=2ZO,再在RS/OC中，tanZAOC=—=2.在Rt449￡中,

AO

AF

tanZAOC=—,可得一=2,再證得結果；

OEOE

（2）過點8作〃/￡,交￡。延長線于點先證明AZOE也△BOM,可得

AE=BM,OE=OM,再證得NBAE=ZCBE,再由相似三角形的判定可得結論;

（3）如圖，連接DE,DF，由（2）LAEBsABEC,可得

A/?2/0Ad

—=—=--=—,ZEAO=ZEBD,從而得出AAOESABDE,從而得出

BEBC2BDBD

/BED=ZAEO=90°,得出ZAFB=/DEF,再上平行線判定得出AF//DE,再證得AE//FD,

從而得出四邊形尸是平行四邊形，最后由平行四邊形的性質可得結果.

【小問1詳解】

?;AB=AC,且48是。。的直徑，

AC=2A0.

?：ABAC=90°,

AQ

■■在RtAylOC中，tscd^AOC=--=2.

AO

AELOC,

：.在RtMOE中，tanZAOC=——.

OE

*=2,

OE

.OE1

,,,----=--?，

AE2

【小問2詳解】

過點8作〃/E,交￡O延長線于點M.

ZBAE=ZABM,ZAEO=ZBMO=90P.

?;AO=BO,

:./\AOE^/\BOM,

AE=BM,OE=OM.

..OE1

'AE-2'

BM=2OE=EM,

ZMEB=AMBE=45°,

AAEB=ZAEO+AMEB=135°,NBEC=180。—AMEB=135°,

ZAEB=NBEC.

AB=AC,NBAC=90°,

NA5C=45。，

ZABM=NCBE,

/BAE=ZCBE,

AAEBsABEC.

【小問3詳解】

如圖，連接DE,DF.

c

---48是。。的直徑,

ZADB=NAFB=90°,28=2AO.

?/AB=AC,ABAC=90°,

:.BC=2BD,ZDAB=45°.

由（2）知，AAEB^ABEC，

—=—==—,ZEAO=ZEBD,

BEBC2BDBD

AAOEs/\BDE,

/BED=ZAEO=90°.

ZDEF=90°.

NAFB=ZDEF,

AF//DE.

由（2）知，N4EB=135°,

ZAEF=180°-ZAEB=45°.

ZDFB=ZDAB=45°,

ZDFB=ZAEF,

AE//FD,

四邊形AEDF是平行四邊形,

與E尸互相平分.

【點睛】本小題考查等腰三角形及直角三角形的判定與性質、銳角三角函數、全等三角形的判定與性

質、相似三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、圓的基本性質等基

礎知識，考查推理能力、幾何直觀、運算能力、創新意識等，考查化歸與轉化思想等.

6.（2024甘肅威武）如圖，48是。。的直徑，，點￡在4D的延長線上，且

NADC=NAEB.

(1)求證：是。。的切線；

(2)當。。的半徑為2,BC=3時，求tanN/座的值.

【答案】(1)見解析(2)tanZAEB=—

3

【解析X分析】(1)連接AD,OG0D，證明08垂直平分3,得出NZED=)°,證明C￡>〃8￡,

得出/48石=乙4斤。=90°,說明即可證明結論；

(2)根據N5是。。的直徑，得出乙4c3=90。，根據J股定理求出

AC7AB2-BC?="2-32=V7，根據三角函數定義求出tanZABC=—,證明

BC3

ZAEB=ZABC,得出tanZAEB=tanAABC=即可.

3

【小問1詳解】

證明：連接3￡),OC,OD,如圖所示：

E

BC=BD，

：.BC=BD,

?/OC=OD,

.?.點。、2在CD的垂直平分線上,

OB垂直平分CD,

ZAFD=90°,

?/ZADC=ZAEB,

CD//BE,

NABE=NAFD=90°,

ABLBE,

；48是。。的直徑,

，BE是。。的切線；

【小問2詳解】

解：的半徑為2,

AB=2x2=4,

：4B是。。的直徑，

ZACB=90°,

VBC=3,

AC=4AB^-BC2=742-32=V7，

???tanZABC=—=—>

BC3

AC=AC'

ZADC=ZABC,

ZAEB=ZADC,

ZAEB=ZABC,

tanZAEB=tanNABC=-

3

【點睛】本題主要考查了切線的判定，勾股定理，求一個角的正切值，圓周角定理，垂直平分線的判

定，平行線的判定和性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的判定和性質.

7.(2024深圳)如圖，在△48。中，AB=BD,為△48。的外接圓，5E為。。的切線，AC

為。。的直徑，連接。。并延長交3E于點￡.

D

(1)求證：DE1BE；

(2)若48=5指，BE=5,求。。的半徑.

【答案】(1)見解析(2)3后

【解析】本題考查切線的性質，圓周角定理，中垂線的判定和性質，矩形的判定和性質:

(1)連接8。并延長，交2。于點H,連接OD,易證8。垂直平分2。，圓周角定理，切線的性

質，推出四邊形32TOE為矩形，即可得證；

（2）由（1）可知。8=5￡=5,勾股定理求出由/的長，設。。的半徑為r，在RtZk/麗中,

利用勾股定理進行求解即可.

【小問1詳解】

證明：連接5。并延長，交AD于點、H,連接0。，

D

AB=BD,0A=0D,

5。垂直平分40,

；?BH1AD,AH=DH,

：AE■為。。的切線，

???HBLBE,

?：/C為O。的直徑,

ZADC=90°,

二四邊形為矩形，

/.DE1BE；

【小問2詳解】

由（1）知四邊形為矩形，BHJ.AD,AH=DH,

：.AH=DH=BE=5,

BH=yjAB2~AH2=575，

設。。的半徑為廠，則：OA=OB=r,OH=BH-OB=5y]5-r,

在中，由勾股定理，得：/二⑸2+卜君—「了，

解得：r=3A/5；

即：。。的半徑為3后.

8.（2024廣西）如圖，已知。。是AA8C的外接圓，AB=AC.點D,E分別是BC,/C的中

點，連接DE并延長至點尸，使DE=EF,連接4F.

AF

(1)求證：四邊形45DF是平行四邊形；

(2)求證：/尸與。。相切；

3

(3)若tan/氏4C=—,BC=12,求。。的半徑.

4

【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)10

【解析】【分析】(1)先證明Br>=CD,DE=EF,再證明四△CEO,可得/尸=。。，

/F=/EDC,再進一步解答即可；

(2)如圖，連接40,證明4015。，可得40過圓心，結合N9//BD,證明/尸，40,從而

可得結論；

(3)如圖，過3作5QLZC于。，連接03,設BQ=3x,則NQ=4x,可得CQ=ZC—ZQ=x,

求解X=F=M0,可得Z8=5X=6而，求解3=，/爐_破=18,設。。半徑為「，

V105

可得。￡>=18-廠，再利用勾股定理求解即可.

【小問1詳解】

證明：..?點。，E分別是5C,ZC的中點，

/.BD=CD,AE=CE,

又,：ZAEF=NCED,DE=EF,

AAEF&ACED,

:.AF=CD,ZF=ZEDC,

：.AF=BD,AF//BD,

二四邊形ABDF是平行四邊形;

【小問2詳解】

證明：如圖，連接40，

VAB^AC,。為8C中點,

AD1BC,

?/AF//BD,

：.AF±AD,

而CM為半徑，

4F為O。的切線;

【小問3詳解】

解：如圖，過B作8。，/。于。，連接08,

,BQ=1

"AQ4'

設BQ=3x,則ZQ=4x,

???AC=AB=^AQ2+BQ2=5x，

CQ=AC—AQ=x,

???BC=^BQ2+CQ2=VlOx，

???VlOx=12，

,126所

??x=—-j=-------,

V105

AB=5x=6而，

:AB=AC,BC=12,ADIBC,

：.BD=CD=6,

AD=^AB--BD2=18，

設。。半徑為r,

OD=18—〃，

r2=（18-r）2+62,

解得：r=10,

...（DO的半徑為10.

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，勾股定理的應用，平行四邊形

的判定與性質，切線的判定，垂徑定理的應用，做出合適的輔助線是解本題的關鍵.

9.（2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，&45C內接于。O,N5為。。的直徑，于點。，將

△CDB沿所在的直線翻折，得到ACEB,點。的對應點為￡,延長EC交A4的延長線于點R

（2）若sinNCFS=、一，AB=S,求圖中陰影部分的面積.

2

【答案】（1）見解析（2）271-4

【解析】【分析】（1）連接OC,由折疊的性質得=ZBEC=ZCDB=90°,再

證明推出RCLOC,據此即可證明C9是。。的切線；

（2）先求得NCE8=45°,在RtA。。。中，求得CD=OD=2亞,再利用扇形面積公式求解即可.

【小問1詳解】

證明：連接OC,

CDVAB,

:.NCDB=90。,

ACDB沿直線BC翻折得到ACEB,

：.ZDBC=ZEBC,NBEC=NCDB=90。,

1/OB,OC是OO的半徑，

：.OB=OC,

：.ZOCB=ZOBC,

ZEBC=NOCB,

OC//BE,

：.ZFCO=ZBEC=90°,

RCLLOC于點C,

又???。。為。。的半徑，

...CE是。。的切線；

【小問2詳解】

萬

解：VsinZCF5=—.

2

ZCFB=45°,

由（1）得NFCO=90°,

NFOC=90°-NCFB=45°,

?/CD1AB,

：.NCDO=90。，

AB=S,

OC=—AB=-x8=4,

22

在RdCO。中，ZAOC=45°,

5

；?CD=OD=OCsinZAOC=4x—=2忘，

2

S八ACLCUDU=—2OD-CD=—2x2V2x2V2=4,