2024年中考數(shù)學(xué)真題專題分類精選匯

專題24動(dòng)點(diǎn)問題

一、選擇題

1.（2024四川樂山）如圖，在菱形/BCD中，ZABC=60°,28=1,點(diǎn)尸是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

在延長線上找一點(diǎn)。，使得點(diǎn)尸和點(diǎn)。關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，連接小、ZQ交于點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)尸從5

點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)"的運(yùn)動(dòng)路徑長為（）

A.—B.——C.—D.73

632'

【答案】B

【解析】該題主要考查了菱形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn),

解題的關(guān)鍵是掌握以上點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑.

過點(diǎn)C作交于點(diǎn)H根據(jù)NZBC=60°,四邊形/BCD是菱形，AB=\,算出

DH=1,得出4H=DH,C"垂直平分4D,再證明VPCMgV0cW,得出=證

明CN垂直平分P。，點(diǎn)M在C4上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)解直角三角形CM'=BC^^°=--即可求

3

解.

【詳解】解：過點(diǎn)C作S，4D交4D于點(diǎn)區(qū)

VZABC=60°,四邊形/BCD是菱形，AB=1,

：.ZADC=60°,CD=BC=AB=\,

ZDCH=30°,

DH=-CD=1,

2

AH=AD-DH=1,

AH=DH,

：.CH垂直平分4D,

:點(diǎn)尸和點(diǎn)0關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，

PC=QC,

/PCM=NQCM=90°,CM=CM,

：.APCM^AQCM(SAS),

：.PM=MQ,

.?.CM垂直平分尸Q,

點(diǎn)M在CH上運(yùn)動(dòng),

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)8重合時(shí)，點(diǎn)河位于點(diǎn)M',

此時(shí)，：/48。=60°,四邊形48CD是菱形，48=1,

ZM'BC=-ZABC=30°,BC=1

2

萬

CM'=BC-tan300=—■

3

同

故點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長為CM'=—.

3

故選：B.

2.(2024四川廣元)如圖①，在中，//C8=90。，點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā)沿/一CfB以lcm/s的

速度勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)2,圖②是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，AZAP的面積y(cm2)隨時(shí)間x(s)變化的函數(shù)圖象，則

【答案】A

【解析】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象獲取信息，完全平方公式，勾股定理，

由圖象可知，尸面積最大值為6,此時(shí)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,得到L/C-8C=6,由圖象可知

2

AC+BC=7,根據(jù)勾股定理，結(jié)合完全平方公式即可求解.

【詳解】解：由圖象可知，P面積最大值為6

由題意可得，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，尸的面積最大,

：.-ACBC=6,即/C5C=12,

2

由圖象可知，當(dāng)x=7時(shí)，y=0,此時(shí)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)3,

AC+BC=1,

?/ZC=90°,

AB2=AC2+BC2=（AC+BC）2-2AC-BC=12-2x12=25,

：.AB=5.

故選：A

3.（2024甘肅臨夏）如圖1,矩形48CD中，8。為其對(duì)角線,一動(dòng)點(diǎn)P從。出發(fā)，沿著fC

的路徑行進(jìn)，過點(diǎn)尸作尸。LCD,垂足為。.設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)路程為x,尸。-￡）。為了，了與x的

函數(shù)圖象如圖2,則4D的長為（）

圖1

A?孚7G11

B.一Lr.------D.——

344

【答案】B

【解析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得出信息是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)函數(shù)的圖象與坐標(biāo)的關(guān)系確定S的長，再根據(jù)矩形性質(zhì)及勾股定理列方程求解.

由圖象得：CD=2,當(dāng)BD+AP=4時(shí)，PQ=CD=2,此時(shí)點(diǎn)P在8。邊上,

設(shè)此時(shí)BP=a,則BD=4—(7,AD=BC=2+a,

在Rt^BCD中，BD2-BC2=CD2，

即：(4-a)?-(a+2)2=22,

解得：a——,

3

8

AD=a+2=—

3

故選：B.

4.（2024甘肅威武）如圖1,動(dòng)點(diǎn)P從菱形/BCD的點(diǎn)/出發(fā)，沿邊血—5C勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到

點(diǎn)C時(shí)停止.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x,PO的長為與x的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到BC

中點(diǎn)時(shí)，P。的長為（）

A.2B.3C.V5D.272

【答案】C

【解析】結(jié)合圖象，得到當(dāng)x=0時(shí)，PO=AO=4,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)3時(shí)，PO=BO=2,根據(jù)

菱形的性質(zhì)，得44。8=/8。。=90。，繼而得到AB=BC=個(gè)0不+OB?=2下，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)

到中點(diǎn)時(shí)，P。的長為18C=石，解得即可.

2

本題考查了菱形的性質(zhì)，圖象信息題，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，勾股定

理，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】結(jié)合圖象，得到當(dāng)x=0時(shí)，PO=AO=4,

當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，PO=BO=2,

根據(jù)菱形的性質(zhì)，得ZAOB=ZBOC=90°,

故4B=BC=JOA2+OB2=245，

當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)，尸。的長為工BC=石，

2

故選C.

5.（2024江蘇蘇州）如圖，矩形48co中，AB=C，BC=1,動(dòng)點(diǎn)￡,廠分別從點(diǎn)4C同時(shí)出

發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿48,CD向終點(diǎn)B,。運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)E,尸作直線/,過點(diǎn)/作直

線/的垂線，垂足為G,則ZG的最大值為（）

V3

A.V3C.2D.I

~2

【答案】D

【解析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)軌跡、與圓有關(guān)的位置關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及

直角三角形斜邊中線的性質(zhì)確定G的軌跡是本題解題的關(guān)鍵.

連接ZC,BD交于點(diǎn)、0,取0Z中點(diǎn)X,連接GH,根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，可以得出G

的軌跡，從而求出ZG的最大值.

【詳解】解：連接/C,BD交于點(diǎn)0,取。4中點(diǎn)X,連接G”,如圖所示:

?.?四邊形45CD是矩形,

ZABC=90°,OA=OC,ABHCD,

二在RtZX/BC中，AC=yjAB2+BC2=^(V3)2+I2=2.

：.OA=OC=-AC=1,

2

AB//CD,

ZEAO=ZFCO,

在△/OE與ACO尸中,

AE=CF

<ZEAO=ZFCO

OA=OC

LAOE咨MOF(SAS),

ZAOE=ZCOF,

:.E,O,E共線，

?/AGLEF,X是08中點(diǎn)，

...在RtZXZGO中，GH=-AO=-,

22

.?.G的軌跡為以8為圓心，|■為半徑即/。為直徑的圓弧.

???ZG的最大值為4。的長，即ZG1mx=20=1.

故選：D.

6.（2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，在等腰Rt448C中，ABAC=90°,48=12,動(dòng)點(diǎn)E,尸同

時(shí)從點(diǎn)N出發(fā)，分別沿射線48和射線ZC的方向勻速運(yùn)動(dòng)，且速度大小相同，當(dāng)點(diǎn)￡停止運(yùn)動(dòng)時(shí),

點(diǎn)尸也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接￡尸，以￡尸為邊向下做正方形ENG/Z,設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程為

x（0<x<12）,正方形EFGH和等腰RtA^SC重合部分的面積為下列圖像能反映y與x之間函數(shù)

關(guān)系的是（）

【答案】A

【解析】本題考查動(dòng)態(tài)問題與函數(shù)圖象，能夠明確y與x分別表示的意義，并找到幾何圖形與函數(shù)圖

象之間的關(guān)系，以及對(duì)應(yīng)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意并結(jié)合選項(xiàng)分析當(dāng)用與重合時(shí)，及當(dāng)x<4

時(shí)圖象的走勢，和當(dāng)x>4時(shí)圖象的走勢即可得到答案.

【詳解】當(dāng)法與重合時(shí)，設(shè)ZE=x,由題可得：

EF=EH=>BE=12-x,

在RtZ\EE份中，由勾股定理可得：BE2=BH-+EH2?

+（逝》）=（12-x/，

x=4,

.?.當(dāng)0<xW4時(shí)，j=（V2x）2=2x2，

?/2>0,

圖象為開口向上的拋物線的一部分，

當(dāng)而在下方時(shí)，設(shè)ZE=x,由題可得:

EF=瓜，BE=12-x,

ZAEF=ZB=45°,N4=ZEOB=90°,

VFAEsVEOB,

AEEO

EF~EB'

x_EO

V2x12—x

???當(dāng)4Vx<12時(shí),y==(12-x)x=—x-+12x

V-1<0,

圖象為開口向下的拋物線的一部分，

綜上所述：A正確，

故選：A.

二、填空題

1.（2024江蘇連云港）如圖，在448C中，ZC=90°,ZB=30°,ZC=2.點(diǎn)P在邊ZC上，

過點(diǎn)尸作PDJ.48,垂足為。，過點(diǎn)。作。尸±BC,垂足為F連接PF,取尸尸的中點(diǎn)￡.在

點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑長為.

A

【答案】叵#JM

44

【解析】本題考查含30度角的直角三角形，一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)

間的距離，以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)4P=a,則CP=2-。，利用含30度角的直

角三角形的性質(zhì)，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，得到點(diǎn)E在直線y=l-Wx上運(yùn)動(dòng)，求出點(diǎn)尸分別與4c重

.3

合時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)=則CP=2-a,

則：P（0,2-4Z）,

?/N8=30。，

二ZA=60°,

?/PD1AB,

：./PDA=90°,

/.ZAPD=30°,

過點(diǎn)。作。GLZC,則：ZAGD=90°,

]w

AG=-AD=-,DG=y/3AG=—a>

244

???DF±BC,DGLAC,ZACB=90°,

二四邊形。GCR為矩形，

DG=CF,

T字4

為P,尸的中點(diǎn),

貝i]：y=1-4拒x，

,3

.,.點(diǎn)E在直線y=l-—x上運(yùn)動(dòng)，

,3

當(dāng)點(diǎn)P與。重合時(shí)，a=0,此時(shí)￡（0,1）,

（也）

當(dāng)點(diǎn)尸與A重合時(shí)，。=2,此時(shí)E匚,0

4

...點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑長為[E+jl]:叵

yI4J4

故答案為：丫上.

4

2.（2024江西?。┤鐖D，48是。。的直徑，45=2,點(diǎn)C在線段48上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)C的弦。48,

將磁沿翻折交直線N5于點(diǎn)尸，當(dāng)?！甑拈L為正整數(shù)時(shí)，線段用的長為.

【答案】2-6或2+6或2

【解析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，折疊的性質(zhì)，根據(jù)。E<48,可得?！?1或2,利用勾

股定理進(jìn)行解答即可，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

【詳解】：/臺(tái)為直徑，DE為弦,

DE<AB,

當(dāng)。￡的長為正整數(shù)時(shí)，?！?1或2,

當(dāng)￡>￡=2時(shí)，即￡>￡為直徑，

DE±AB

???將DBE沿DE翻折交直線AB于點(diǎn)F,此時(shí)/與點(diǎn)A重合,

故FB=2；

當(dāng)QE=1時(shí)，且在點(diǎn)C在線段03之間,

如圖，連接

此時(shí)0￡>=工28=1,

:.DC=-DE=~,

22

OC=y)0D2-DC2=—，

2

:.BC=OB—OC=2一6，

2

:.BF=2BC=2-5

當(dāng)?！?1時(shí)，且點(diǎn)C在線段Q4之間，連接0D,

同理可得8C="苴，

2

:.BF=2BC=2+43>

綜上，可得線段總的長為2-后或2+G或2，

故答案為：2-6或2+G或2.

3.（2024四川涼山）如圖，0M的圓心為M（4,0）,半徑為2,P是直線y=x+4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

過點(diǎn)尸作。M的切線，切點(diǎn)為。，則尸。的最小值為

【答案】2療

【解析】【分析】記直線J=x+4與x,y軸分別交于點(diǎn)/,K,連接。M,PM,KM.由直線解

析式可求得點(diǎn)/、K的坐標(biāo)，從而得△04K,△OKA/均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得:

PQ=^PM2-QM2＞由。河=2,則當(dāng)W最小時(shí)，PQ最小，點(diǎn)尸與點(diǎn)K重合，此時(shí)PM最小

值為KM,由勾股定理求得W的最小值，從而求得結(jié)果.

【詳解】解：記直線y=x+4與x,＞軸分別交于點(diǎn)/,K,連接QM,PM,KM,

解得：、二一4,

即K(0,4),4(40)；

而M(4,0),

/.OA=OK=OM=4,

：.AOAK,△OKA/均是等腰直角三角形,

ZAKO=ZMK0=45°,

ZAKM=90°,

VQP與。M相切，

/.ZPQM=90°,

???PQ=^PM2-QM2，

?/QM=2,

當(dāng)尸。最小時(shí)即W最小,

...當(dāng)時(shí)，取得最小值，

即點(diǎn)尸與點(diǎn)K重合，此時(shí)W最小值為KM,

在RtAOKM中，由勾股定理得：KM=>JOM2+OK2=4A/2-

；?PQ=J32-4=2近，

???尸。最小值為2e.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，垂線段最短，正確

添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.（2024黑龍江綏化）如圖，已知403=50°,點(diǎn)P為內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)河為射線。4、點(diǎn)

N為射線08上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△?〃乂的周長最小時(shí)，BOZMPN=.

【解析】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用；作點(diǎn)尸

關(guān)于。4,08的對(duì)稱點(diǎn)4,￡.連接。耳，。鳥.則當(dāng)M,N是々8與。4,05的交點(diǎn)時(shí)，APMN

的周長最短，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】作尸關(guān)于。4,05的對(duì)稱點(diǎn)與P2.連接。片，0P2.則當(dāng)“，N是片鳥與。4,05的

交點(diǎn)時(shí)，APTW的周長最短，連接片P、P2P,

；P、片關(guān)于。4對(duì)稱，

AP{OP=2ZMOP,OPX=OP,PXM=PM,40P[M=4OPM,

同理，NP20P=2NN0P,OP=OP2,ZOP2N=ZOPN,

ZF[OP,=APfiP+ZP^OP=2(ZMOP+/NOP)=2ZAOB=100°,OPX=OP2=OP,

：.△4。鳥是等腰三角形.

ZOP2N=NOP[M=40P,

ZMPN=ZMPO+ZNPO=NOPp+NOPM=8cp

故答案為：80°.

三、解答題

1.(2024甘肅臨夏)如圖1,在矩形48CD中，點(diǎn)￡為4D邊上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸是對(duì)

角線AD上一點(diǎn)，連接BE,4F交于點(diǎn)、O,且NABE=ND4F.

【模型建立】

(1)求證：AFLBE；

【模型應(yīng)用】

(2)若N3=2,AD=3>DF=-BF,求DE的長；

2

【模型遷移】

1Ap

(3)如圖2,若矩形48co是正方形，DF=—BF,求——的值.

2AD

圖1

【答案】(1)見解析;

【解析】【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練

掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)造相似三角形，是解題的關(guān)鍵：

(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合同角的余角，求出N/O￡=90。，即可得證；

DF1

(2)延長AF交CD于點(diǎn)G,證明AAFBSAGFD，得到——=——=—,再證明AABES^DAG,

ABBF2

求出/E的長，進(jìn)而求出。E的長；

(3)設(shè)正方形的邊長為。，延長//交3于點(diǎn)G,證明"FBSAGFD,得到

yx7-r11

—=—=—=-,進(jìn)而得到。G=—48,勾股定理求出/G,進(jìn)而求出/少的長，即可得出

ABAFBF22

結(jié)果.

【詳解】解：（1）；矩形A8CO,

ABAD=90°,

：.ZABE+ZAEB=90°,

?/ZABE=ZDAF,

：.ZDAF+ZAEB=90°,

：.ZAOE=90°,

AFLBE；

（2）延長/尸交S于點(diǎn)G,

:矩形ABCD,

：.AB//CD,ABAD=ZADG=90°,

AAFBS^GFD,

?DGDF1

"AB—BF―2’

：.DG=-AB=1,

2

?/ABAD=AADG=90°,NABE=ZDAF,

AABES^DAG,

.ABAE2

"AD~DG~3'

22

AE=一DG=一,

33

27

：.DE=AD-AE=3——=-；

33

（3）設(shè)正方形/BCO的邊長為。，貝ij：AB=AD=a,

延長AF交CD于點(diǎn)G,

AED

?:正方形4BCD,

???/BAD=ZADG=90°,AB//CD,

AAFBSAGFD,

,DG_FG_DF_1

**A8-IF--2,

DG=一AB二—a,FG=—AF,

222

???AG=^AD-+DG2=-a>

2

?/FG=-AF,

2

.e2oV5

,?A.F——AG——a?

33

s/5a

：.AF___V5.

ADa3

2.(2024河北省)已知。。的半徑為3,弦MN=2^5，&4BC中，

NABC=90o,AB=3,BC=36.在平面上，先將“BC和O。按圖1位置擺放(點(diǎn)2與點(diǎn)N重

合，點(diǎn)/在。。上，點(diǎn)C在。。內(nèi))，隨后移動(dòng)AZ8C,使點(diǎn)3在弦跖V上移動(dòng)，點(diǎn)/始終在。。

上隨之移動(dòng)，設(shè)BN=x.

(2)當(dāng)。時(shí)，如圖2,求點(diǎn)3到。4的距離，并求此時(shí)x的值;

(3)設(shè)點(diǎn)。到的距離為乩

①當(dāng)點(diǎn)4在劣弧而上，且過點(diǎn)/的切線與/C垂直時(shí)，求d的值；

②直接寫出d的最小值.

【答案】(1)兀

(2)點(diǎn)B到的距離為2；3

(3)①d=3-G:②§

【解析】【分析】(1)如圖，連接。4,OB,先證明“08為等邊三角形，再利用等邊三角形的

性質(zhì)結(jié)合弧長公式可得答案；

(2)過8作于/,過。作瞅±MN千H,連接M0,證明四邊形8/0舊■是矩形，可得

BH=01,BI=0H,再結(jié)合勾股定理可得答案；

(3)①如圖，由過點(diǎn)/的切線與ZC垂直，可得/C過圓心，過。作OJLBC于J,過。作

0K上AB于K,而N4BC=90。，可得四邊形KOJB為矩形，可得OJ=KB,再進(jìn)一步利用勾股

定理與銳角三角函數(shù)可得答案；②如圖，當(dāng)8為跖V中點(diǎn)時(shí)，過。作〃，8'C'于過。作

5c于J,OL>OJ,此時(shí)0J最短，如圖，過A作40,08于。，而/5=/。=3,證

明80=。。=1,求解/0=。32——=2也,再結(jié)合等角的三角函數(shù)可得答案.

【小問1詳解】

解：如圖，連接Q4,OB,

的半徑為3,AB=3,

OA=OB=AB=3,

???AAOB為等邊三角形,

.'.ZAOB=60°,

.—、,,...60兀3

ZN的長為［go=兀;

【小問2詳解】

解：過3作于/,過。作W工MN千H,連接M0,

?/0A//MN,

/.NIBH=NBHO=AH01=ZBIO=90°,

四邊形5/OH是矩形，

/.BH=OI,BI=OH,

?/MN=275,OHLMN,

???MH=NH=5而<W=3,

OH=^OM2-MH2=2=BI<

.?.點(diǎn)3到。4的距離為2；

AB=3,BILOA,

AI=4AB2-BI1=V5，

?1-01=OA-AI=3-小=BH，

:.x=BN=BH+NH=3-&亞=3；

【小問3詳解】

解：①如圖，???過點(diǎn)N的切線與ZC垂直，

AC過圓心，

-1

過。作。于J,過。作。K,48于K,而N/BC=90。,

四邊形KOJB為矩形，

OJ=KB,

AB=3,BC=342>

AC=^AB~+BC2=3G，

AB_3_1_AK

cosZBAC=就一話—耳—而

,,AK=A/3，

，0J=BK=3-6，即d=3-5

②如圖，當(dāng)B為跖V中點(diǎn)時(shí)，

過。作OCB'C于上，過。作0JL5C于J,

AOJL>90°,

OL>OJ,此時(shí)OJ最短，

如圖，過A作2。，。于。，而/5=/。=3,

,:B為MN中點(diǎn)、,則

...由(2)可得OB=2，

,BQ=OQ=1,

ZABC=90°=ZAQB,

ZOBJ+ZABO=90°=ZABO+ZBAQ,

ZOBJ=ZBAQ,

tan/OBJ=tan/BAQ,

?OJ_BQ_1

??訪一拓一運(yùn)，

設(shè)0J=加，則BJ=Istlm，

???加2+（2鬲『=22,

解得：m=-（不符合題意的根舍去），

3

：.d的最小值為2:.

【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題，難度很大，考查了勾股定理的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，垂徑定理的

應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，切線的性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法，作出合適的輔助線是解本題

的關(guān)鍵.

3.（2024江蘇蘇州）如圖，中，AC=BC,ZACB=90。,/（—2,0）,C（6,0）,反比例

函數(shù)y=w0,x〉0）的圖象與交于點(diǎn)。（加,4）,與BC交于點(diǎn)E.

（1）求冽，k的值；

（2）點(diǎn)P為反比例函數(shù)y=&（左N0,x〉0）圖象上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸在。，E之間運(yùn)動(dòng)，不與。，￡重

JC

合），過點(diǎn)P作W〃28,交y軸于點(diǎn)跖過點(diǎn)P作尸N〃x軸，交于點(diǎn)N,連接MN,求&PMN

面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】（1）m=2,左=8

（2）最大值是￡，此時(shí)尸[3,|]

【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)，反比例函數(shù)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是：

（1）先求出8的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線48的函數(shù)表達(dá)式，把D的坐標(biāo)代入直線N3

的函數(shù)表達(dá)式求出m,再把。的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式求出人即可；

(2)延長NP交y軸于點(diǎn)。，交Z5于點(diǎn)L利用等腰三角形的判定與性質(zhì)可得出刎=QP,設(shè)

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2</<6),則可求出然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即

可.

【小問1詳解】

解：?.?/(—2,0),0(6,0),

:.AC=S.

又?；AC=BC,

：.BC=8.

?/ZACB=90°,

???點(diǎn)8(6,8).

設(shè)直線48的函數(shù)表達(dá)式為^=ax+6,

,、,、—2a+Z?=0

將/(一2,0),8(6,8)代入y=ax+b,得<$，

?=1

解得「C，

b=2

/.直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=x+2.

將點(diǎn)。(加,4)代入y=x+2,得加=2.

.5(2,4).

將。(2,4)代入y=工，得左=8.

x

【小問2詳解】

解：延長NP交y軸于點(diǎn)。交AB于點(diǎn)、L.

■：AC=BC,ZBCA=90°,

.-.ZS^C=45°.

???PN〃x軸，

/BLN=ABAC=45°,ZNQM=90°.

PM//AB,

ZMPL=NBLP=45°,

ZQMP=ZQPM=45°,

：.QM=QP.

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2</<6),則=PN=6-t.

MQ=PQ=t.

iii,a

S

?1-.PMN=--P?/-M2=--(6-r)-r=--(r-3)-+-.

二當(dāng)/=3時(shí)，有最大值小止匕時(shí)尸。,|].

4.(2024黑龍江齊齊哈爾)綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y=；x-2與x軸

交于點(diǎn)/,與y軸交于點(diǎn)C,過N,C兩點(diǎn)的拋物線>=爾+樂+。(。彳0)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)

5(-1,0),點(diǎn)P是拋物線位于第四象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸分別作x軸和y軸的平行線，分別交直

線NC于點(diǎn)￡,點(diǎn)R

(2)點(diǎn)。是X軸上的任意一點(diǎn)，若AZCD是以ZC為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo);

(3)當(dāng)所=/C時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(4)在(3)的條件下，若點(diǎn)N是〉軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為

連接M4,MP,則M4+MP的最小值為.

【答案】(1)J=-X2--X-2

'22

(2)〃(-4,0),2(4+2君,0),2(4-2^5,0)

(3)P(2,-3)

(4)巫

2

【解析】【分析】本題主要考查了求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思

想成為解題的關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)題意確定點(diǎn)/、C的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；

(2)分三種情況分別畫出圖形，然后根據(jù)等腰三角形的定義以及坐標(biāo)與圖形即可解答；

(3)先證明A/OC絲△￡R7(ASA)可得P尸=。。=2,設(shè)尸]加，。加2一T加—2](0(加＜4),則

廠加，,加—2,可得PE=—工加2+2加，即—工加2+2加=2,求得可得加的值，進(jìn)而求得點(diǎn)P的

12J22

坐標(biāo);

3

(4)如圖：將線段N4向右平移一單位得到MG,即四邊形跖Vz4G是平行四邊形，可得

2

N4=MG,NG="N=|,即G]茸,0],作P（2,—3）關(guān)于對(duì)稱軸x=|的點(diǎn)片（1,—3）,則

MP=MPX,由兩點(diǎn)間的距離公式可得尸G=M3,再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得

2

3^/13

NA+MP=MG+MP>PG=即可解答.

li2

【小問1詳解】

解：.直線y=gx—2與x軸交于點(diǎn)4與y軸交于點(diǎn)C,

.?.當(dāng)y=o時(shí)，x=4,即4(4,0)；當(dāng)x=o時(shí)，j=-2,即C(0,—2)；

?1,5（-1,0）,

設(shè)拋物線的解析式為>=a(x+D(x-4)(aw0),

把C(0,—2)代入可得：—2=°(0+1乂0—4),解得：?=1,

113

/.v=—(x+l)(x-4)=—x2——x-2,

1,3

???拋物線的解析式為：y=-x2--x-2.

【小問2詳解】

解：???Z(4,0),C(0,-2),

OC=2,OA=4,

AC=4OC2+AB2=275，

如圖：當(dāng)CD[=AC=2M,OCLAD1,

OD{=OA=4,即。i（—4,0）；

如圖：當(dāng)AD?=AC=25

：.OD2=惚-/C=2石-4,即3（4-275,0）；

如圖：當(dāng)AD?=AC=2出,

：.OD3=皿+AC=2芯+4,即3（4-2&0）；

綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為2（—4,0），3（4+2正,0）,￡?3（4—2下,0）.

【小問3詳解】

解：如圖：：P￡〃x軸，

/PEA=Z.OAC,

'：PF〃>軸，

ZPFE=ZOCA,

EF=AC,

：.AAOC^AEPF（ASA）,

：.PF=0C=2,

:設(shè)尸］掰，;加2—g■加一2］（0<加<4）,則

,0口1123o112

..Pr=-m-2-\—m—m-2\=——m+2m,

2U2J2

1,

—加一+2加=2,解得：m=2（負(fù)值舍去），

2

1,3

當(dāng)加=2時(shí)，一x22—±x3—2=—3,

22

/.P（2,-3）,

【小問4詳解】

1,3

解：：拋物線的解析式為：j=-x2——x—2,

22

3

拋物線的對(duì)稱軸為：直線x=—,

2

3

如圖：將線段此4向右平移一單位得到MG,

2

四邊形是平行四邊形，

3

作P（2,—3）關(guān)于對(duì)稱軸x=萬的點(diǎn)<（1,—3）,則〃尸=物

???*=、1+（-3-0）、孚'

NA+MP=MG+MP\2P\G=，

...M4+MP的最小值為獨(dú)3.

2

NM

5.（2024吉林?。┤鐖D，在中，ZC=90°,Z5=30°,AC=3cm,ND是一的角

平分線.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā)，以V3cm/s的速度沿折線AD-DB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)P作PQ//AB,

交/C于點(diǎn)。，以P。為邊作等邊三角形尸。￡,且點(diǎn)C,E在尸。同側(cè)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

/（s）（/>0）,VPQE與“BC重合部分圖形的面積為S（cm2）.

（1）當(dāng)點(diǎn)尸在線段/￡（上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷△4P。的形狀（不必證明），并直接寫出2。的長（用含/

的代數(shù)式表示）.

（2）當(dāng)點(diǎn)￡與點(diǎn)C重合時(shí)，求才的值.

（3）求S關(guān)于/的函數(shù)解析式，并寫出自變量/的取值范圍.

【答案】（1）等腰三角形，AQ=t

3

(2)

2

S=-t2,Q<t<-

42

2

(3)<S=--t+6^t--j3,-<t<2

422

s=-l)2,2<r<4

【解析】【分析】（I）過點(diǎn)。作于點(diǎn)X,根據(jù)“平行線+角平分線”即可得到。2=。尸,

由QHL4P,得到必=工4P=且一解RtA/H。得到4。=/；

一22

（2）由VPQE為等邊三角形得到。￡=?！?，而。2=。P，則。￡=。4,故/￡=2/。=2/=3,

解得"工3

2

（3）當(dāng)點(diǎn)尸在40上，點(diǎn)E在ZC上，重合部分為VP0E,過點(diǎn)尸作PG，Q￡于點(diǎn)G,

PG=-AP=—t,則5=L0￡.尸6=@〃，止匕時(shí)0〈/<2：當(dāng)點(diǎn)P在40上，點(diǎn)￡在/C延

22242

長線上時(shí)，記PE與ZC交于點(diǎn)R此時(shí)重合部分為四邊形"QC,此時(shí)

CF=CE-tanZE=^3(2t-3),因此S’尻E=gcE.CF=^(2l—3了，故可得

2

S=S^PQE-SAFCE=-+6V3r-|V3,此時(shí)m<,<2；當(dāng)點(diǎn)P在08上，重合部分為

△PQC,此時(shí)P=—2百，PC=CD+PD=?-也=6(t-1),解直角三角形得

QC=———=—PC=/-L故5=工℃?℃=蟲。_1)

I2,止匕時(shí)2〈/<4,再綜上即可求

tanZPQC322V'

解.

【小問1詳解】

解：過點(diǎn)0作。笈，40于點(diǎn)〃，由題意得：AP=43t

B

：.ABAC=60°,

:AD平分，BAC,

：./PAQ=/BAD=3。。,

?：PQ//AB,

ZAPQ=ZBAD=30°,

：.ZPAQ=ZAPQ,

：.QA=QP,

二AAPQ為等腰三角形，

QHLAP,

.?.在中，AQ=--------------=

cosZPAQ

【小問2詳解】

解：如圖，

???VP0E為等邊三角形,

：.QE=QP,

由（1）得Q4=QP,

：.QE=QA,

即AE=2AQ=2t=3,

?t=L

2，

【小問3詳解】

解：當(dāng)點(diǎn)尸在/。上，點(diǎn)E在/C上，重合部分為VPQE,過點(diǎn)P作PGLQE于點(diǎn)G,

PG=-AP=—t

22

?.?VPQE是等邊三角形,

:.QE=PQ=AQ=t,

：.s=-QEPG=—t2

24

3

由（2）知當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合時(shí)，，=一,

2

.-.5=—r2|0<r<-|；

42

當(dāng)點(diǎn)尸在40上，點(diǎn)E在/C延長線上時(shí)，記尸￡與ZC交于點(diǎn)尸，此時(shí)重合部分為四邊形EPQC,

如圖,

B

?；VP0E是等邊三角形，

/.NE=60°,

而CE=AE—4C=2t—3,

CE=CE.tanNE=?(2/-3),

??邑”=gC￡.CF=)(2-3)xG(2/3)=與(2t—3『，

S=S.PQE_S.FCE=專戶--y-(2/-3)2=--^-/2+6A/3Z-1-V3，

ATr-i-

當(dāng)點(diǎn)夕與點(diǎn)。重合時(shí)，在RG4DC中，AD=-------------=W=AP=5,

cosZDAC

t=2,

當(dāng)點(diǎn)夕在。8上，重合部分為△尸。C,如圖,

由上知百，

=25

,此時(shí)=—2百，

:.PC=CD+PD=Ct-也=也(t-,

?.?VPQE是等邊三角形,

/.NPQE=60°,

5髭JPC=i

■■S=^QC-PC=^-(t-l)2>

???ZB=/BAD=30°,

DA=DB=2百

，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)8重合時(shí)，=40+￡>8=46,

解得：/=4,

,5=年(7-1)2(2<”4)，

S=-t2,Q<t<-

42

綜上所述：<S=--t2+643t--^,-<t<2.

422

S=-l)2,2<r<4

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊

三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

6.（2024山東威海）如圖，在菱形/BCD中，^5=10cm,ZABC=60°,E為對(duì)角線/C上一

動(dòng)點(diǎn)，以￡>￡為一邊作/D斯=60。，E廠交射線于點(diǎn)/，連接BE,DF.點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā),

沿C4方向以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A處停止.設(shè)的面積為yen?,點(diǎn)￡的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x

秒.

備用圖

(1)求證：BE=EF；

(2)求了與x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)求x為何值時(shí)，線段。E的長度最短.

【答案】(1)證明見解析；

(2)y=-V3x2+10A/3X(0<x<5)；

5

(3)x——.

2

【解析】【分析】(1)設(shè)CO與￡尸相交于點(diǎn)”，證明ABCEaDCE(SAS),可得NCBE=ZCDE,

BE=DE，利用三角形外角性質(zhì)可得NCD￡=NCEE,即得NCB￡=NCEE,即可求證；

(2)過點(diǎn)E作可，8C于N,解直角三角形得到EN=C￡-sin60°=技cm，

CN=CEcos60°=xcm,可得BN=5C—CN=(10—x)cm,由等腰三角形三線合一可得

SF=2(10-x)cm,即可由三角形面積公式得到V與x的函數(shù)表達(dá)式，最后由0<2x<10,可得自

變量X的取值范圍；

(3)證明")￡尸為等邊三角形，可得BE=DF,可知線段。E的長度最短，即防的長度最短，

當(dāng)班，/C時(shí);BE取最短，又由菱形的性質(zhì)可得為等邊三角形，利用三線合一求出CE即

可求解；

本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，解直角三角形，求二次函數(shù)

解析式，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，掌握菱形的性質(zhì)及等邊三角形

的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【小問1詳解】

證明：設(shè)與E尸相交于點(diǎn)

?.?四邊形/BCD為菱形，

BC=DC,ZBCE=ZDCE,AB//CD,

ZABC=60°

ZDCF=60°,

在ABCE和ADCE中，

BC=DC

<NBCE=ZDCE,

CE=CE

：.ABCE^ADCE(SAS),

ZCBE=ZCDE,BE=DE,

'：ZDMF=/DEF+ZCDE=ZDCF+ZCFE,

又ZDEF=/DCF=60°,

：.ZCDE=ZCFE,

ZCBE=ZCFE,

BE=EF

解：過點(diǎn)E作ENLBC于N,則NENC=90。，

?/BE=EF,

：.BF=2BN,

?.?四邊形/BCD為菱形，ZABC=60°,

BC=AB=T0cm,ZACB=-/BCD=60°,

2

即N￡CN=60。，

***CE-2xcm,

M1

???EN=C￡-sin60°=2x?手=瓜cm，CN=C￡cos60°=2x--=xcm,

：.BN=BC-CN=(10-x)cm,

：.BF=2(10-x)cm,

AJ=15F-W=1X2(10-X)XV3X=-V3X2+10V3X,

V0<2x<10,

0<x<5,

y=-y/3x2+10A/3X(0<x<5)；

AD

A^\

BNCF

【小問3詳解】

解：*/BE=DE,BE=EF,

：.DE=EF,

?1,ZDEF=60°,

???AZ)￡F為等邊三角形，

DE=DF=EF,

BE=DF,

二線段的長度最短，即BE的長度最短，當(dāng)成，/C時(shí)，3E取最短，如圖,

?.?四邊形45CD是菱形，

AB=BC,

,/ZABC=60°,

為等邊三角形，

BC=48=/C=10cm,

；BELAC,

：.CE=-AC=5cm,

2

CE5

??x-——,

22

.?.當(dāng)x=*時(shí)，線段的長度最短.

2

7.(2024天津市)將一個(gè)平行四邊形紙片045。放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。(0,0),點(diǎn)4(3,0),

點(diǎn)3,C在第一象限，且OC=2,NZOC=60°.

圖①圖②

(1)填空：如圖①，點(diǎn)。的坐標(biāo)為，點(diǎn)8的坐標(biāo)為,

(2)若P為x軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作直線/_Lx軸，沿直線/折疊該紙片，折疊后點(diǎn)。的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)。'落在X軸的正半軸上，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'.設(shè)。P=f.

①如圖②，若直線/與邊CB相交于點(diǎn)。，當(dāng)折疊后四邊形PO'C'Q與LJOABC重疊部分為五邊形時(shí),

O'C'與相交于點(diǎn)￡.試用含有/的式子表示線段BE的長，并直接寫出/的取值范圍；

②設(shè)折疊后重疊部分的面積為S,當(dāng)24/＜二時(shí)，求s的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）.

34

【答案】⑴（1,百）,（4,行）

75

(2)

22

【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出。。=45=2,CB=O/=3,ZB=ZAOC=60°,

結(jié)合勾股定理CH=\IOC2-CH2=V3，即可作答.

（2）①由折疊得NOO'C'=N/OC=60°,O'P=OP,再證明△￡（?'/是等邊三角形，運(yùn)用線段的

和差關(guān)系列式化簡，BE=AB-AE=5-2t,考慮當(dāng)O'與點(diǎn)A重合時(shí)，和當(dāng)C'與點(diǎn)8重合時(shí)，分

別作圖，得出/的取值范圍，即可作答.