2024年中考數學三角形和四邊形常考易錯解答題專項訓練

1.如圖，在,A5c中，ZBAC=90°,AB=AC,過點8作班'LAP于點孔過點C作CELAF于

點、E,以AE為邊作△AED,使NADE=90。，AD=ED,連接DC,DF.

⑴求證：ABF^CAE-,

(2)求證：DC=DF.

2.如圖，四邊形A3CD是。的內接四邊形，且AC13。，垂足為E,AB=DB,歹為DC延長線上

⑴求證：BC平分/ACF；

(2)若3E=3,DE=2,求AE和。的半徑長.

3.正方形ABCD的邊長為5,E、尸分別是AB,BC邊上的點，且ZEDF=45。，將..ZME繞點。逆時針

旋轉90。，得到△DCM.

(1)求證：ADEF^ADMF；

⑵若AE=2,求EF的長.

4.如圖，ABC是邊長為8的等邊三角形,點D,E,F分別在邊AB,BC,CA上運動，滿足AD=BE=CF.

⑴求證：ADF^.BED

⑵設AD長為x,的面積為y,求y關于x的函數解析式;

⑶結合（2）所得函數，求當。點運動到什么位置時，的面積最小？并求出這個最小值.

5.閱讀下面的例題及點撥，并解決問題：

例題：如圖①，已知四邊形ABCD與四邊形CEFG都是正方形，點、B,C,G在同一直線上，連接AF,

DH,

點"是AF的中點，連接。“，HE,求證:■Q且方餐=1.

HE

點撥1：如圖②，延長E"交AD于點由題意可知短＞EF,易證：AMHqFEH（AAS）,可

得MH=HE,AM=EF,又因為=A",DE=CD-CE,且CE=EF,所以DM=DE,

所以點”是等腰直角三角形MDE斜邊ME上的中點，所以DHLHE且瞿=1.

點撥2：如圖③，延長DH使得HM=DH,連接DF,MF,可證得四邊形AMFD是平行四

邊形，且RE、M三點共線，所以AD=MF=CZ）,又因為Affi=MF—￡F,DE=CD-CE,所以

ME=DE,所以點H是等腰直角三角形DE做斜邊DM的中點，所以■且也=1.

HE

問題：如圖④，四邊形ABCD與四邊形CEFG都是菱形，點8,C,G在同一直線上，且

ZADC=ZECG=60°,連接AF,點H是AF的中點，連接。f,HE,求證：DH1,HE且空=6.

6.如圖，直線EF〃GH,點、B,A分別在直線E/，GH上,連接A3,在A3左側作三角形ABC,

其中/ACB=90。，B.ZDAB=ZBAC,直線3D平分NFBC交直線G”于D

(1)若點C恰在直線所上，如圖1,求ND助的度數.

(2)將A點向左移動，其它條件不變，如圖2,請直接寫出/O54的度數(不必說明理由)

⑶若將題目條件“/ACB=90。”，改為：“NACB=m”,點C在直線所上方，其它條件不變，求NDR4

的度數(用含機的式子表示)

7.如圖，在葫蘆河的右岸邊有一高樓45,左岸邊有一坡度i=l：2的山坡C尸，點C與點B在同一水

平面上，CP與A3在同一平面內.某數學興趣小組為了測量樓A3的高度，在坡底C處測得樓頂A

的仰角為45。，然后沿坡面CF上行了206米到達點。處，此時在。處測得樓頂A的仰角為30。.

⑴求DE的值.

(2)求樓A3的高度.

8.如圖1是一種升降閱讀架，由面板、支撐軸和底座構成.圖2是其側面結構示意圖，面板A3固

定在支撐軸端點C處，CDLAB,量得面板長AB=20cm,支撐軸長CD=15cm,AC=17cm,支撐

軸CD與底座DE所成的角NCDE=30°.

（圖1）（圖2）

(1)求端點C到底座DE的高度；

(2)為了閱讀舒適，將繞點。旋轉后，點B恰好落在直線DE上，問：端點C離底座DE的高度降

低了多少加？(結果保留2位小數)

(參考數據：6。1.732,sin11.3°-0.196,cosl1.3°?0.981,tan11.3°?0.200)

PB1「

9.在一ABC中，AC=BC,NACB=90o,P是AB上一點，=是邊AC上一點，連結PE,過P點

AB3

作交CB于點、F.

(1)如圖1,若尸ELAC,求百；

PE

⑵如圖2,若點E在邊AC上移動，試探究喋是否為定值，并說明理由；

PE

(3)如圖3,若點E與點C重合，作/垂足為Q,求證：PQ=：AB.

4

10.如圖，四邊形ABC。內接于o,AB=AD,AC為直徑，E為AD一動點，連結BE交AC于點G,

交AZ)于點尸，連結DE.

A

⑴設—E為a,請用a表示NA4c的度數.

(2)當時，

①求證：DE=BG.

②當tanZABE=：,3G=5時，求半徑的長.

4

11.如圖，M是正方形ABCD的邊BC上一點，E是8邊的中點，AE平分NZMM.

MM

圖I圖2

⑴如圖1,寫出線段AM,AD和MC之間的數量關系；

(2)若四邊形ABC。是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2,試判斷(1)中的關系式是否成

立.若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

12.如圖1,在矩形ABCD中，對角線AC,8。交于點。，點E在邊AD上，NDBE=NDBC.

⑴求證：BED^,BOC.

(2)如圖2,點尸在線段3。上，NBFE=NBCF,BD=2,求所的長.

13.如圖，在矩形ABCD中，40=4,AB=6,對角線AC,BD交于點、0,點E,P分別是CD,DA

延長線上的點，且DE=3,AF=2,連接所，點G為所的中點.連接0E,交AD于點H,連接G”.

⑴猜想：H是OE的中點嗎？并加以證明;

⑵求GH的長.

14.如圖，△力BC中，點。是邊AC上一個動點，過0作直線MNBC,設MN交NACB的

平分線于點E,交NACB的外角平分線于點F.

(1)求證：OE=OF；

⑵當點。在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由.

⑶若AC邊上存在點0,使四邊形AECF是正方形，猜想ABC的形狀并證明你的結論.

15.如圖1,尸為正方形ABCD內一點，PA.PB:PC=1:2:3,求/APB的度數.

小明同學的想法是：不妨設叢=x,P3=2x,PC=3x,設法把上4,PB,PC相對集中，于是他將BCP

繞點8順時針旋轉90。得到BAE(如圖2),然后連接PE,問題得以解決.

⑴求出圖2中NAPB的度數；

請你參考小明同學的方法，解答下列問題：

(2)如圖3,P是等邊三角形A3C內一點，PA:PB:PC=3:4:5,求NAP3的度數.

16.如圖1,在矩形ABCD中，點尸是對角線AC上的動點，連接。尸，過點A作AELDP,分別交OC

于點E,交DP于點、F.

圖I

(1)當AP=A￡>時，求證：AAPFsADEF;

⑵如圖2,G是AD的中點，連接CG交DP于點M,AP=4PC.

①判斷GM與MC的數量關系，并說明理由;

②若AD=8,求DEDC的值.

參考答案:

1.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質、余角的性質、等腰三角形的性質等知識點，掌握證

明三角形全等的方法是解題的關鍵.

(1)由垂直的性質可得NAFB=NCE4=90。，再根據同角的余角相等可得NR4F=NACE,然后根

據AAS即可證明結論；

(2)由全等三角形的性質可得AP=C￡,再根據等腰三角形的性質以及角的和差可得

ZDEC=ZDAE=45°,然后根據SAS證明-CDE%FD4(SAS),最后根據全等三角形的性質即可解

答.

【詳解】(1)解：???5AE,CELAF,

：.ZAFB=ZCEA=9Q°,

：.ZC4E+ZACE=90°,

9：ZBAC=90%

：.ZC4E+ZBAF=90°,

AZBAF=ZACE,

在AAB尸和VC"中，

ZBAF=ZACE

<ZAFB=ZCEA,

AB=AC

：.ABF^CAE(AAS).

(2)解：ABF^CAE,

???AF=CE,

VZAT>E=90°,DA=DE,

：.ZDAE=ZDEA=45°,

：.ZDEC=ZCEA-ZDEA=45°,

：.ZDEC=ZDAE=45°,

在4.CDE和△mi中，

AF=CE

</DEC=NDAE,

DE=DA

/.FDA(SAS),

/.DC=DF.

2.⑴見詳解

575

(2)r=-----

4

【分析】本題考查的是圓周角定理，垂徑定理及勾股定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形

是解題的關鍵.

(1)先根據45=/汨得出/4DB=NS4D,再由圓周角定理得出/AD3=NACB,由圓內接四邊形的

性質可得出ZBCF=NBAD,故ZACB=4CF,據此得出結論；

(2)根據3E=3,DE=2可得出3D的長，故可得出A3的長，在RtA4BE■中，利用勾股定理求出AE

的長，同理可得出AO的長，連接3。并延長交于點M,交線段AD于點N,連接0。，由垂徑定

理得出故點N是AD的中點，利用勾股定理求出BN的長，設。的半徑為廣，在RtQDN

中利用勾股定理求出廠的值即可.

【詳解】(1)證明：,；AB=JDS,

/.ZADB=ZBAD,

,/NADB與ZACB是同弧所對的圓周角，

ZADB=ZACB,

:四邊形ABC。是圓內接四邊形，

ZBCF=ZBAD,

ZACB=ZBCF,

/.8C平分ZACF；

(2)解：,:BE=3,DE=2,

：.BD=3+2=5,

,/AB=DB,

：.AB=5,

在RtAABE中，AE=-JAB2-BE2=4

在RtZvWE中，AD^yjAE2+DE2=275,

連接3。并延長交(。于點M,交線段AD于點M連接0。,

D

,/BM是工。的直徑，

8M平分圓，

?/AB=DB,

初=法，

AM=DB，

，點N是AD的中點，

/.BM1AD,DN=-AD=y/5,

2

在RtABDN中，BN=,5—DN?=26，

設：。的半徑為，，則。。=r,ON=OB-r=2下-r

在RtODN中，DN2+ON2=OD2,

即(6)+(2有-廠)=r2

解得r=

4

3.(1)證明見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，旋轉的性質，

(1)根據旋轉點的性質可得NADE=NCDM,OE=。"，ZEDM=90°,再利用邊角邊證明三角形全

等即可；

(2)設斯=無，根據正方形的性質，全等三角形的性質和旋轉的性質表示出RtAEB尸各個邊長，再

理由勾股定理求解即可；

熟練掌握知識點是解題的關鍵.

【詳解】(1).?1.ZME繞點。逆時針旋轉90。，得到ADCM,

ZADE=ZCDM,DE=DM,ZEDM=90°,

ZED尸=45。，

:.NFDM=/EDF=45。,

在^DEF和_DMF中，

DE=DM

</EDF=NMDF,

DF=DF

：.DEF"DMF(SAS)；

(2)???一/ME繞點。逆時針旋轉90。，得到△DC",AE=2,

：.AE=CM=2,

?I正方形ABCD的邊長為5,

??.BE=5—2=3,BM=2+5=7,

設=

■:ADEF^ADMF,

：.EF=MF=x,

：.BF=BM-MF=BM-EF=l-x,

在RtAEB/中，由勾股定理得，EB2+BF2=EF2，

即32+(7-X)2=X2,

解得x=m，

29

gp￡F=—.

7

4.(1)見解析

(2)丫=還/一6后+164

4

(3)當點。移到AB中點時，最小值為12不

【分析】(1)由題意易得AF=￡D,ZA=ZB=60°,然后根據“SAS”可進行求證；

(2)分別過點C、F作SLAB,FGJ.AB,垂足分別為點H、G,根據題意可得S5c=16?,

AF=8-x,然后可得BG=#(8-X),由(1)易得ADF沿BED^CFE,則有

反

SADF=SBED=SCF￡=^-x(8-x),進而問題可求解；

(3)由(2)和二次函數的性質可進行求解.

【詳解】(1)證明：:aABC是邊長為8的等邊三角形，

AZA=ZB=ZC=60°,AB=BC=AC=8,

,:AD=BE=CF,

：.AF=BD=CE,

在△A。尸和-BED中，

AF=BD

<ZA=ZB,

AD=BE

：.ADF^BED(SAS)；

(2)解：分別過點C、/作CHLAB,FG±AB,垂足分別為點〃、G,如圖所示:

在等邊.ABC中，ZA=ZB=ZACB=60°,AB=BC=AC=8,

???CH=AC-sin60°=473,

:?sARC=LABCH=16B

ADC2'

設的長為無，貝IAD=3E=CF=x,AF=8-x,

，FG=AF-sin60°=^-（8-x）,

SADF=^AD-FG=^-x（S-x）,

同理（1）可知一ADP四一班7注_（?正，

,,SADF=SBED=SCFE=一無）'

1/二郎的面積為》

>,?y=SABC-3SADF=16代-3fx（8-x）=3fx2-6\/3x+16s/3；

（3）解：由（2）可矢口：>=乎/一6瓜+164=,豆（x-4y+12道,

:.a=巫〉Q,對稱軸為直線x=4,

4

.?.當x=4時，y有最小值，即當點。移到A3中點時，最小值為12g.

【點睛】本題主要考查銳角三角函數、二次函數的綜合、全等三角形的判定和性質及等邊三角形的性

質，熟練掌握銳角三角函數、二次函數的綜合及等邊三角形的性質是解題的關鍵.

5.證明見解析

【分析】延長交于點首先證明出一4W四_FE"（AAS）,得到MH=HE,AM=EF,然

后利用線段的和差得到。0=DE,然后證明出以汨是等邊三角形，得到然后利用等邊

三角形的性質和勾股定理求解即可.

【詳解】如圖所示，延長E"交于點M,

:四邊形ABCD與四邊形CEFG都是菱形，

/.ADEF

:.ZAMH=NFEH,ZMAH=ZEFH

又：點”是AF的中點，即AH=FH

/.AMH^,FEH（AAS）

：.MH=HE,AM=EF

VDMAD-AM,DE=CD-CE,且CE=EF,

DM=DE

,：ZADC=60。

MDE是等邊三角形

"：MH=HE

：.DHLHE

：.ZHDE=90°-60°=30°

DE=2HE

?/DH2+HE2=DE2,即DH2+HE-=（2￡ffi）2

:?解得DH=GHE

:.也=6.

HE

【點睛】此題考查了菱形的性質，全等三角形的性質和判定，等邊三角形的性質和判定，勾股定理知

識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點.

6.(1)ZDBA=45°

(2)NZ)A4=45。

(3)ZDBA=—

【分析】(1)本題考查了平行線性質，以及角平分線性質，根據兩直線平行，同旁內角互補求出

NC4D=90。，推出/CBA=45。，再根據直線8。平分NFBC,得到"87)=90。，利用

Z.DBA=Z.CBD-Z.CBA,即可求解.

(2)本題考查了平行線性質，以及角平分線性質和三角形的內角和定理，根據兩直線平行，內錯角

相等可得，2=/3,再根據三角形的內角和定理表示出N4、/5、再利用平角等于180。列式表示出

/D54整理即可得解.

(3)根據(2)的結論，即可解題.

【詳解】(1)解：EF//GH,

：.ZACB+ZCAD=180°,ZDAB=Z.CBA,

NACB=90。，

.?.NGW=90°,

NDAB=NBAC,

ZCBA=ZDAB=-ZCAD=45°,

2

；直線3。平分NFBC,

:.ZCBD=90°,

ZDBA=Z.CBD-ZCBA=90。-45。=45°.

(2)解：如圖，^ZDAB=ZBAC=x,即/1=N2=尤，

EF//GH,

.-.Z2=Z3,

在,ABC中，Z4=180°-ZACB-Z1-Z3=180°-ZACB-2x,

直線8。平分NFBC,

Z5=1(180°-Z4)=1(180°-180°+ZACB+2x)=1ZACB+x,

ZDBA=180°-Z2-Z3-Z5

=180°-X-(180°-ZACB-2X)-QZACB+.X

=180°T-180°+ZAC2+2X」/ACB-X

2

=-ZACB,

2

ZACB=90°,

..4)54=45。.

(3)解：由(2)可知，NACB=m時,

ZDBA=^m.

7.(l)DE=20m；

(2)樓AB的高度為(50+30』)米.

【分析】本題考查了解三角形的應用，勾股定理，矩形的判定與性質.

(1)由，=——=1：2,DE2+EC2=CD2,解得。石=20m；

EC

(2)過點。作。G,AB于G,過點C作CHLOG于"，則四邊形O￡BG、四邊形OEC"、四邊形

3CHG都是矩形，AB^BC,i^AB=BC=xm,則AG=(x-20)m,DG(x+40)m,在Rt_AT)G

中，—=tanZADG,代入即可得出結果.

DG

【詳解】(1)解：在RtDEC中，

?/z=^|=1：2,DE2+EC2=CD2,CD=20后，

：.D￡2+(2D￡)2=(20^)2,

解得：DE=20m.

(2)解：如圖，過點。作。于G,過點C作C"1.￡>G于

?/DE=20m,

：.EC=40m,

VZACB=45°,AB1BC,

???AB=BC,

設AB=BC=xm,

則AG=(九一20)m,OG=(x+40)m,

在Rt一4DG中,

4G

——=tan/AZ)G

DG

解得：X=50+30A/L

經檢驗，x=50+30若是方程的解.

答：樓AB的高度為(50+30右)米.

8.(l)^-cm

(2)4.56cm

【分析】本題主要考查含30。的直角三角形的性質，勾股定理，三角函數值求高等，熟練掌握這些性

質是解題的關鍵.

(1)利用30。所對的直角邊等于斜邊的一半即可求得C到DE的高度；

(2)利用三角函數值求出旋轉后點C離底座。E的高度，即可求出降低了多少.

【詳解】(1)解：如圖設點C到底座DE的高度為/?;

：NCDE=30°,CD=15cm；

?.?用,=—CD=—15cm；

22

?1.端點c到底座DE的高度為：^cm.

(2)如圖為旋轉后的圖形;

A

C

EBD

AB=20cm,AC=17cm；

BC=AB—AC=3cm；

VCDLAB,CD=15cm；

在RjDCB中；

tanZCDB=—=0.2；

CD

Vtan11.3°?0.200；

ZCDB=11.3°；

旋轉后端點C離底座OE的高度=CE>sin11.3。=15x0.196=2.94cm；

/.端點C離底座DE的高度降低了與-2.94=4.56cm.

2

9.⑴g

(2)三PF為定值，理由見解析

PE

(3)見解析

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，等腰直角的判定和性質，平

行線分線段成比例：

(1)先證明四邊形PECF是矩形，可得PE〃BC,CE=PF,再證得AE=PE,然后根據平行線分線

段成比例，即可求解；

(2)分別過E,尸作PG，AC,PH，CB,垂足分別為G,H,證明PEG^PFH,可得*=與，

PFPH

由(1)得：寥=＜，即可求解；

rCr2

PF11

(3)過點C作〃!9于點由(2)得：—證明PCMs^FPQ,可得=再

根據等腰直角三角形的性質，可得CM=342,即可求證.

【詳解】(1)解：：PELAC,PFLPE,

：.APEC=ZEPF=ZACB=90°,

四邊形尸￡CF是矩形,

PE〃BC,CE=PF,

?：AC=BC,ZACB=90°,

???ZA=ZB=45°,

：.ZAPE=ZA=45°,

：.AE=PE,

PE//BC,

.AEAP

..PB_I

'~AB~3f

.PFCEBP

"^E~^E~AP~2；

PF

（2）解：隹為定值，理由如下：

PE

如圖，分別過E,尸作尸G，AC,F"，C5,垂足分別為G,H,

：.ZPGE=ZPHF=ZGPH=90°,

PFLPE,

EPF=NGPH=90。,

：./EPG=NFPH,

：.PEGs.PFH,

.PEPG

??=,

PFPH

■/1、-曰PHI

由（）得：=

IrkjZ

.PFPH_I

**PE-PG-2；

（3）解：如圖，過點。作居于點”,

?.?FQ±AB,

：./PMC=ZPQF=90°,

???ZCPM+ZPCM=90°,

VPFLPE,即NCP尸=90。，

ZCPM+ZFPQ=90°,

NPCM=ZFPQ,

??一PCMsjPQ,

,PQ=PF=1

9，~CM~7C~29

：.PQ=^CMf

'：AC=BC,ZACB=90°f

：.CM=-AB,

：.PQ=-AB.

oc

10.(1)ZBAC=-

⑵①見解析；②I君

【分析】（1）根據直徑所對的圓周角是直角得出NABC=NADC=90。，進而證明AABC當八40。，根

據全等三角形的性質以及同弧所對的圓周角相等得出々=/BAD=a,即可求解.

（2）①連接。G.證明△ABGZ^ADG,ADFG^ADFE,根據全等三角形的性質即可求解；

②過點。作垂足為根據￡>￡=33,同弧所對的圓周角相等得出N4BE=NFDE,則

tanZFDE=—,DE=5,進而求得EF=FG=3,FD=4,AF=6.由tanNGAF=——=KT

4AFAH6

得O〃=|,由勾股定理得AO=g?.

【詳解】（1）AC為直徑，

:.ZABC=ZADC=90°,

又，AB^AD,AC=AC,

ABCRADC(HL).

ABAC=ACAD=-NBAD,

2

/E=/BAD=cc,

Qf

，ZBAC=~.

2

(2)①連接0G.

AB=AD,ZBAG^ZDAG,AG=AG,

ABG旦ADG(SAS),

:.BG=DG,ZABG=ZADG.

ZABG=ZEDF,

:.ZADG=ZEDF,

又一EGIDF,DF=DF,

：.DFG-DFE(ASA),

:.DE=DG,GF=EF,

:.DE=BG.

②過點。作O”，AD,垂足為

A

C

3

tanZABE=-,BG=5,ZABE=ZFDE

4

3

/.tanZFDE=—,DE=5,

4

EF=FG=3,FD=4,

.?.BF=BG+GF=8.

3

.?.由tan/AB^=—,得A尸=6.

4

:.AD=AF+FD=\Q.

OHLAD,

，AH=-AD=5

2f

GFOH3

tanZGAF

~AF~~AH6

OH=-

2

由勾股定理得A0=JW+T/O'=*君.

2

【點睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，全等三角形的性質與判定，解直角三角形，綜合運用以

上知識是解題的關鍵.

11.AD+MC

(2)結論AM=AD+MC仍然成立，證明見解析

【分析】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形及矩形的性質、全等三角形的性質和判定、等腰三

角形的判定等知識，考查了基本模型的構造(平行加中點構造全等三角形)，綜合性比較強，添加輔助

線，構造全等三角形是解決這道題的關鍵.

(1)從平行線和中點這兩個條件出發，延長BC交于氤N,如圖，證AADE必NCE,從而有

AD=CN,只需證明AM=NM即可.

(2)延長AE、BC交于點P,ilEMA=MP,再證AD=PC即可.

【詳解】(1)解：延長A￡、BC交于點、N,如圖，

???四邊形ABC。是正方形,

???AD//BC.

：.NDAE=NENC.

?.?AE1平分NZMM,

Z.DAE=ZMAE.

：.ZENC=ZMAE.

:.MA=MN.

???萬是CO的中點，

DE=CE,

在VADE1和'中,

NDAE=ACNE

<ZAED=/NEC

DE=CE

.；ADE空NCE(AAS).

:.AD=NC.

：.MA=MN=NC+MC=AD+MC.

故AD+MC；

(2)結論AM=AD+MC仍然成立.

證明：延長AE、BC交于點P,如圖

??,四邊形ABC。是矩形,

:.AD//BC.

:.NDAE=NEPC.

AE平分ND4M,

:.NDAE=ZMAE.

:.ZEPC=ZMAE.

在VAT歸和一PCE中，

ZDAE=ZCPE

<ZAED=ZPEC

DE=CE

:^ADE^PCE(AAS).

:.AD=PC.

：.MA=MP=PC+MC=AD+MC.

12.(1)證明見解析

(2)BF=近

【分析】本題主要考查矩形的性質、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質等知識，關鍵是會

利用相似三角形的性質求解.

(1)根據矩形性質和等腰三角形的性質，結合平行線的性質證得===

進而根據相似三角形的判定定理可得結論；

(2)證明EBbsFBC得至“BF?=BEBC,再由二3￡/330C得到比＞.a)=鹿.3。，進而得到

BF-=BOBD,然后根據9=230=2求解即可.

【詳解】(1)證明：在矩形ABC。中，

AD//BC,OB=OC,

:.ZEDB=ZDBC,Z.DBC=ZBCO,

又iZDBE=ZDBC,

Z.DBE=Z.OBC,Z.EDB=Z.BCO,

:.ABED^ABOC.

(2)ZBFE=ZBCF,Z.EBF=NFBC,

:.△EBFs/\FBC,

BEBF

BF2BEBC

BF-BC=,

ABED^ABOC,

BE_BD

B0~BC'

BOBD=BEBC,

:.BF2=BOBD,

在矩形ABCD中，BD=2BO=2,

BF=41■

13.(1)//是0E的中點，證明詳見解析

【分析】(1)如圖，取AD中點連接。“，根據矩形性質，可證得。〃是△相￡?的中位線，再

由中位線性質，可得O河〃AB,OM^-AB,由平行線性質可得，NOMH=NEDH,ZMOH=ZDEH,

2

己知A3的值，可求出與。E長度相等，根據全等三角形判定(ASA),證得△OMHdEDH,可

得OH=EH,即可證得結論；

(2)如圖，連接OF,由矩形性質可得NFMO=90。，由已知條件，求出府的值，即可利用勾股定

理求出。尸的值，由G是防中點，”是OE中點，根據中位線定義得G”是E0廠的中位線，根據中

位線性質，可得。尸，即可求出G”的值.

【詳解】(1)解：H是OE的中點，

證明：如圖，取AD中點連接。〃，

四邊形ABC。是矩形，對角線AC,8。相交于點。,

是8。中點，ABCD,AB=DC,

M是AO中點，

:.OM是△ABO的中位線，

:.OM//AB//CD,OM=-AB

2f

:.ZOMH=ZEDHfZMOH=ZDEH,

AB=6,

OM=—AB=3,

2

DE=3,

:.DE=OM,

在△。%耳和_石麗中，

ZOMH=NEDH

<OM=ED,

ZMOH=ZDEH

.?.△OMH^AEDH(ASA),

:.OH=EH,

是。石的中點.

(2)解：如圖，連接',

B

四邊形ABC。是矩形，

.-.ZADC=90°.

OM//DC,

ZFMO=ZADC=90°,

AD=4,Af是AD中點，

:.AM=-AD=2,

2

AF=2,

:.FM^AF+AM^4,

?:在中，ZFMO^90°,OM=3,FM=4,

OF=>]OM2+FM2=5

G是E/中點，H是OE中點,

G”是一EC?的中位線，

:.GH=-OF=-.

22

【點睛】本題考查了矩形的性質，中位線的性質，平行線的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定

理解三角形，掌握相關性質，合理添加輔助線，證得絲及構造直角三角形求出OF的

值是解題關鍵.

14.(1)見解析；

⑵當點。在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形.見解析；

(3)ABC是直角三角形，理由見解析.

【分析】此題考查了正方形的判斷和矩形的判定，需要知道平行線的特征和角平分線的性質是解題的

關鍵.

(1)根據平行線的性質以及角平分線的性質得出—1=22,N3=/4,進而得出答案；

(2)根據49=CO,EO=R9可得四邊形AECP平行四邊形，再證明/ECF=90。利用矩形的判定

得出即可；

(3)利用正方形的性質得出AC，￡7V,再利用平行線的性質得出，BC4=90。，即可得出答案;

【詳解】(1),:MN交/ACB的平分線于點E,交/AC5的外角平分線于點F,

??/2=/5,N4=/6,

?：MNBC,

??Nl=/5,N3=N6,

??Z1=N2,/3=/4,

：.EO=CO,FO=CO,

：.OE=OF；

(2)當點。在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AFC廠是矩形.

證明：當。為AC的中點時，AO=CO,

9：EO=FO,

???四邊形AEC尸是平行四邊形，

??,CE是NACB的平分線，C尸是/ACD的平分線,

/.ZECF=1(/ACB+ZACD)=90°,

平行四邊形AECF是矩形.

(3)△ABC是直角三角形，

理由：：四邊形AEC尸是正方形,

:.AC1EN,故N4OM=90。,

MNBC,

：.ZBCA=ZAOM,

：