【備戰25年高考】

2024年新高考II卷數學真題解題技巧

（1題2.4解）

本節導航

真題01復數真題解題技巧

真題02常用邏輯用語真題解題技巧

真題03平面向量真題解題技巧

真題04統計真題解題技巧

真題05軌跡方程真題解題技巧

真題06函數的交點真題解題技巧

真題07線面角真題解題技巧

真題08函數的性質及不等式最值真題解題技巧

真題09三角函數圖象與性質真題解題技巧

真題10解析幾何真題解題技巧

真題11函數的性質及導數應用真題解題技巧

真題12等差數列真題解題技巧

真題13三角恒等變換真題解題技巧

真題14排列組合真題解題技巧

真題15解三角形解答題真題解題技巧

真題16導數解答題真題解題技巧

真題17立體幾何解答題真題解題技巧

真題18概率統計解答題真題解題技巧

真題19數列與雙曲線結合真題解題技巧

真題01復數真題解題技巧

（2024年新高考n卷高考真題）己知z=-l-i,則忖=（）

A.0B.1C.y/2D.2

圖駁型用裱

本題考查復數的模的計算。對于復數2=々+4?（a/eR）,其模|z|的計算公式為行方，屬于簡單

題。

教彼運用

【解法一】直接計算

【解法二】幾何意義法

【解法三】類比向量模長法

1.(2025?安徽,模擬預測)已知復數2=三，則忖=()

1+31

AVioRV5_25n>/10

10555

2.(2025?福建?模擬預測)若復數z滿足z(l+i)=3-i,則|z|=()

A.272B.V5C.5D.8

3.（2025?江蘇泰州?模擬預測）已知i是虛數單位，復數4、Z?在復平面內對應的點坐標分別為（1,3）、（-2,1）,

則立為（）

4

A.6B.2C.y/2D.亞

2

真題02常用邏輯用語真題解題技巧

3

（2024年新jWj考H卷IWJ考真題）已知命題p：VxGR,+命題q：Hx>0,x=xJ則

A.p和q都是真命題B.和q都是真命題

C.p和F都是真命題D.和F都是真命題

本題是關于命題真假判斷的邏輯題，需要分別判斷全稱量詞命題2和存在量詞命題4的真假，再根據

命題的否定以及真假性的關系來確定選項。

技彼運用

【解法一】反例驗證法

【解法二】數學意義及計算綜合法

1.（2024?甘肅張掖?一模）已知命題p:Vx￡（0,9）/og3%<2；命題q:*s（0,4）,必〈五.則（）

A.P和9都是真命題B.P和F都是真命題

c.力和4都是真命題D.▼和r都是真命題

2.（2024?陜西西安?模擬預測）已知命題P：*￡R,X2-X+1<0,命題*VX20,ex>cosx,則（）

A.P和4都是真命題B.T7和4都是真命題

C.P和都是真命題D.~!^和^^都是真命題

3.（2024?重慶?模擬預測）已知命題p:3x￡R，B+l|+B-1區即若力是假命題，則。的取值范圍是（）

A.a>0B.a>2C.a>2D.0<a<2

真題03平面向量真題解題技巧

（年新高考卷高考真題）已知向量應〃滿足忖卜+且僅-）則忖=（

2024n=1,2*2,2a_Lb,)

駁型解裱

本題是一道關于向量運算的題目，已知向量的模長以及向量垂直的關系，要求出另一個向量的模長。

主要考查向量的模長公式、向量垂直的性質以及向量的運算規則。

【解法一】垂直關系展開

【解法二】利用向量模長公式和向量垂直性質

◎技法演煉

1.（2025?廣東?一模）已知向量4,5滿足|0|=3仍|=3石，3-26）,則一同=（）

A.2B.6C.屈D.3

2.(2025?黑龍江?模擬預測)若向量a,8滿足卜-?=1,林+24=石，a,b的夾角為則忖=()

A.-B.BC.-D.逅

3333

3.(2024?重慶?模擬預測)已知向量a,b滿足|"cos的=-3,且b1(2a+3b),則小()

A.1B.2C.3D.4

真題04統計真題解題技巧

＞哀創（2024年新高考II卷高考真題）某農業研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻,

得到各塊稻田的畝產量（單位：kg）并整理如下表

畝產

[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

量

頻數61218302410

根據表中數據，下列結論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產量的中位數小于1050kg

B.100塊稻田中畝產量低于1100kg的稻田所占比例超過80%

C.100塊稻田畝產量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產量的平均值介于900kg至1000kg之間

■敦幽裱

本題是關于統計數據的分析問題，給出了100塊稻田畝產量的分組頻數分布情況，要求判斷各個選項

關于畝產量的中位數、比例、極差、平均值等結論的正確性。

技彼運用

【解法一】逐一選項計算法

【解法二】平均值估算下限法

【解法三】平均值估算上限法（略）

1.（2024?廣西來賓?模擬預測）某校舉行數學競賽，現將100名參賽學生的成績（單位：分）整理如下:

成績[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數52530201010

根據表中數據，下列結論正確的是（）

A.100名學生成績的極差為60分

B.100名學生成績的中位數大于70分

C.100名學生成績的平均數大于60分

D.100名學生中成績大于60分的人數所占比例超過80%

2.（2024?上海普陀?一模）某機構對2014年至2023年的中國新能源汽車的年銷售量進行了統計，結果如

圖所示（單位：萬輛），則下列結論中正確的是（）

A.這十年中國新能源汽車年銷售量的中位數為123

B.這十年中國新能源汽車年銷售量的極差為721

C.這十年中國新能源汽車年銷售量的第70百分位數為136.6

D.這十年中的前五年的年銷售量的方差小于后五年的年銷售量的方差

3.（2025?湖北?模擬預測）甲、乙、丙、丁對某組數據（該組數據由5個整數組成）進行分析，得到以下

數字特征，則不能判斷這組數據一定都小于12的是（）

A.甲：中位數為9,眾數為11B.乙：中位數為9,極差為3

C.丙：平均數為8,極差為4D.T：平均數為8,方差為3

真題05軌跡方程真題解題技巧

（2024年新高考H卷高考真題）已知曲線C：x2+y2=16（y>0）,從C上任意一點P向x軸

作垂線段尸P,尸'為垂足，則線段PP的中點M的軌跡方程為（）

A.—+—=1(y>0)B.—+^-=1(y>0)

164168

2222

C.-^―+-^—=1(y〉0)D.-^―H—=1(y>0)

164168

■莖蛆裱

本題是求軌跡方程的問題，已知曲線C的方程，通過曲線上點p與線段PP'中點"的關系，利用相關

點法等方法求出點"的軌跡方程。

技彼運用

【解法一】相關點法

【解法二】參數方程轉化法

,2,2

1.（2024?全國?模擬預測）若點。為坐標原點，點尸為曲線。:土+上=1上任意一點，OP=2OP，則點P

1612

的軌跡方程為（）

,2,2

A?.——x+—y=r1BT+JIc=iD《+匚1

32246448-f443

2.（2024?廣西?模擬預測）已知A,3分別為無軸、y軸上的動點,若以線段AB為直徑的圓過點C（-2,2）,

則線段A3的中點M的軌跡方程為（）.

A.x+y+2=0B.x-y+2=0

C.x-y-2=0D.x+y-2-0

3.（2024?湖北?模擬預測）如圖，已知圓M:尤2+V=1,圓N:（尤-2y+（y-3了=1,已知P為兩圓外的動

點，過點尸分別作兩圓的割線上鉆和PCD,總有/PC4=/P3D,則點尸的軌跡方程是（）

A.4x+6y—13=0B.x2+y-2=0

C.D.x2-y2=5

32

真題06函數的交點真題解題技巧

＞哀鈉（2024年新高考n卷高考真題）設函數/（x）=a（x+l）2-l,g（尤）=cos尤+2。無，當xe（-l,l）時,

曲線>=/(工)與丁=1?(%)恰有一個交點，則。=()

A.—1B.C.1D.2

侈題幽裱

本題是函數交點問題，已知兩個函數/(x)和g(x),在給定區間xe(—L1)內，曲線y=/(x)與

y=g(x)恰有一個交點，等價于函數/z(x)=/(x)-g(x)在該區間恰有一個零點，通過不同方法求解。的

值。

裁彼運用

【解法一】

【解法二】

2x,0<x<l

7

1.(2024?北京?模擬預測)已知函數/(九)=1,則函數g。)=/(%)-』的零點個數為()

-f(x-l),x>l尤

、乙

A.2B.0C.3D.無窮

2.(2024?廣東?一模)函數/(x)=lnx與函數g(x)=/nx2+；有兩個不同的交點，則機的取值范圍是()

3.(2024?重慶?模擬預測)若關于x的方程asin]x=?^二7-2”有且僅有一個實數根，貝心=()

A.-2B.-1C.1D.2

真題07線面角真題解題技巧

>哀鈉(2024年新高考H卷高考真題)已知正三棱臺ABC-A耳儲的體積為岸，AB=6,人用=2,

則AA與平面A8C所成角的正切值為()

A-IB.1C.2D.3

伊蜜型解裱

本題是立體幾何中關于正三棱臺的問題，已知正三棱臺的體積以及上下底面正三角形的邊長，要求出

側棱AA與底面A3C所成角的正切值。需要先根據正三棱臺的性質求出相關的邊長，高，再找出線面角，

進而求解其正切值。

技彼運用

【解法一】常規法

【解法二】補形法

【解法三】向量法

◎技法演煉

1.（2024?陜西安康?模擬預測）在四棱錐P-ABCD中，△出￡）為等邊三角形，四邊形ABCD為矩形，且

AB=y/2BC，平面PAD_L平面ABC。，則直線AC與平面PCD所成角的正弦值為（）

2.（2024,廣西柳州?一模）已知正四棱臺A3CD-ABC2的體積為垣，AB=2,\BX=\,則與底面

3

ABCD所成角的正切值為（）

A.gB.V3C.2A/3D.4

3.（2024?重慶,模擬預測）正三棱臺ABC-ABC三側棱的延長線交于點P,如果你：叢=1：3,三棱臺

ABC-ABC的體積為13后，VABC的面積為9月，那么側棱與底面所成角的正切值為（）

A.6B?收0?乎D.手

真題08詢的佳亶及不等式量?！龅浣馊ぜ记?/p>

)*鈉(2024年新高考II卷高考真題)設函數f(x)=(x+01n(x+6),若/(x)20,則/+/的最小值

為()

1

A.-B.—cD.1

84-I

侈毀型解裱

本題是函數與不等式結合，求二元代數式最值的問題。已知函數/(?=(x+a)ln(x+b)且/(x)20恒

成立，需要通過分析函數性質，找出ab滿足的條件，進而求出“2+〃的最小值。

【解法一】

【解法二】

1.(2024?四川德陽,模擬預測)已知/(%)=疣'-加，g(x)=lnx+尤-X?+1-￡,當a>0時，若/(x)2ag(x)

恒成立，則實數。的取值范圍是()

A.(0,e]B.(0,1]C.(l,e]D.[e,+co)

2.(2024?黑龍江大慶?一模)已知函數〃x)=21nx-"+%-l,若對任意的xe(0,y),/(x)<0,貝2a

的最大值為()

A.21n2-lB.3-21n2C.l-21n2D.21n2-3

3.(2024?吉林?模擬預測)若關于x不等式ln3)Wx+b恒成立，則當‘WaWe時，町-ln”的最小值為()

e

A.—F1B.e-1C.1D.e

e

真題09■魚豌圖■身隹匝真財一石

TT

＞哀倒(2024年新高考II卷高考真題)對于函數/(尤)=sin2x和g(x)=sin(2x-/，下列說法中正確的

有()

A./(x)與g(x)有相同的零點B./(無)與g(x)有相同的最大值

C./(x)與g(x)有相同的最小正周期D.f(x)與g(x)的圖象有相同的對稱軸

侈毀型解裱

本題是一道關于三角函數性質比較的選擇題。主要考查正弦型函數的零點、最大值、最小正周期以及

對稱軸等性質，需要分別對函數/(x)=sin2x和g(x)=sin2x-^的這些性質進行分析，然后逐一判斷

選項的正確性。

【解法一】選項分析法

【解法二】從函數的伸縮平移變換角度求解(略)

法［海'*

1.(2025?四川綿陽?模擬預測)對于函數/"(x)=sinx+后cosx,g(x)=6sinx—cosx,則()

A.〃x)與g(x)的圖象有相同的對稱軸

B./(無)與g(x)有相同的最小正周期

C.將〃龍)圖象向右平移個單位，可得到g(x)圖象

D.〃尤)圖象與g(x)圖象在(0,無)上只有一個交點

2.(2025?河南洛陽?模擬預測)已知函數/(x)=sin2x,g(x)=cos12x,則()

A.函數y=/(x)-g(x)的最小正周期為兀

攵JTITKTL

B.函數y=/（x）g（x）的單調遞增區間為伍eZ）

C.函數/（x）的圖象和函數g（x）的圖象關于直線y=g對稱

D.若將函數/⑺的圖象向右平移0（0>0）個單位得到函數g（x）的圖象，可得0="+：（左eN）

3.（2024?廣東廣州?模擬預測）設函數“x）=cos/x+3（0>O）,已知〃x）在區間［0,2兀］有且僅有5個對

稱中心，則（）

A."%）在區間（0,2兀）有且僅有2個極大值點B.在區間（0,2兀）有且僅有3個極小值點

C.在區間單調遞減D.0的取值范圍是￡

真題10解析幾何真題解題技巧

（2024年新高考H卷高考真題）拋物線C：丁=人的準線為/,尸為C上的動點，過P作

。4:%2+（>一4）2=1的一條切線，。為切點，過尸作/的垂線，垂足為8,貝|（）

A./與（A相切

B.當P,A,2三點共線時，|PQ|=&?

C.當|PB|=2時，PAVAB

D.滿足I叢的點p有且僅有2個

侈敦幽裱

本題是拋物線與圓的綜合問題，涉及拋物線的準線、圓的切線以及相關線段的性質和數量關系。需要

根據拋物線和圓的方程及幾何性質，對每個選項逐一進行分析判斷。

技彼運用

【解法一】選項逐一分析法

【解法二】設點直接求解

勿勿勿勿勿勿勿勿"""\■人沏布《依U典iff*勿勿勿勿勿勿勿勿勿勿勿勿勿勿"

22

1.（2024?甘肅白銀?一模）已知耳月分別是等軸雙曲線W』-斗=1（“>0,》>0）的左、右焦點，以坐標原

ab

點。為圓心，W的焦距為直徑的圓與W交于A,6,C,。四點，則（）

A.W的漸近線方程為，=±x

B.\AF\\AF^=2cr

C.|AF；|+|A^|=4a

D.四邊形ABC。的面積為26/

2.（2024?吉林長春?模擬預測）已知拋物線。:必=2了的焦點為E準線為/,點A,8在C上（A在第一象

限），點。在/上，以A5為直徑的圓過焦點片QB=^BF,貝U（）

A.若4=2,則忸可=§B.若2=則忸司=q

C.ZQAF-,則恒。=夜D.ZAQF=^,則|用=2

83

丫2v2

3.（2025?遼寧?模擬預測）已知耳，F2分別為雙曲線C：--匕=1（°>0,。>0）的左、右焦點，點M在C

a'b~

的左支上，且與C交于另一點N,。為坐標原點，則下列結論正確的是（）

A.若點M的坐標為卜1,6）,則C的離心率的取值范圍為（2,+8）

B.若a=2,b=45,貝1]|崢「一|叫「224

C.若a=2,b=l,貝1J的最小值為4

D.若a=l,b=布,則|0叫2-|崢卜|“用恒為定值

真題11函數的性質及導數應用真題解題技巧

（2024年新高考II卷高考真題）設函數/（x）=2d-3辦2+1,則（）

A.當a>l時，/（x）有三個零點

B.當a<0時，尤=0是/O）的極大值點

C.存在a,b,使得x=b為曲線>=/（無）的對稱軸

D.存在a,使得點（L〃l））為曲線y=/（x）的對稱中心

侈題幽裱

本題是關于函數性質的綜合考查問題，給出函數/（x）=2丁-3奴2+1,需要對其零點個數、極值點、

對稱軸以及對稱中心等性質進行分析，通過對不同參數。取值情況的討論，判斷各個選項的正確性。

【解法一】利用對稱中心的表達式化簡

【解法二】直接利用拐點結論（D選項）

,///////////////////////////////////////////////////法?寅7////////7/////////////Z7/////////////////////////,

1.（2024?廣東?模擬預測）設函數〃X）=（X+1）2（X-2）,則（）

A.〃x）有三個零點

B.x=l是“力的極小值點

C.〃x）的圖象關于點（0,-2）中心對稱

D.當0<x<l時，/（x）>/（x2）

2.（2024安徽模擬預測）設函數/（另=（*-4）2（》-2）（4?2，則（）

A.當a=-l時，〃x）的圖象關于點（0,-2）對稱

B.當。=0時，方程/（x）+sinl=0有3個實根

C.當時，。是〃元）的極大值點

D.存在實數。，/（x）</（x+l）恒成立

3.（2024?吉林?三模）已知函數〃%）=/+3%2+加x-3,則（）

A.當機=4時，函數/（x）單調遞增

B.當機W3時，函數/（X）有兩個極值

C.過點（0,1）且與曲線y=相切的直線有且僅有一條

D.當m=1時，若b是。與c的等差中項,直線分-6y-c=。與曲線y=有三個交點尸（西乂）,。（々%），

尺（七％），則占+尤2+%=-6.

真題12等差數列真題解題技巧

（2024年新高考II卷高考真題）記S“為等差數列｛%｝的前〃項和，若/+%=7,3%+%=5,

貝！!Sio=,

本題是等差數列的相關計算問題，已知等差數列中的兩項關系，要求出該數列的前1項和1口。需要

根據等差數列的通項公式及前〃項和公式，通過不同的方法求出首項％和公差d,進而計算Ho。

【解法一】方程組法

【解法二】函數解析法

1.（2024?陜西安康?模擬預測）設等差數歹（］｛%｝的前〃項和為J,〃4二一8,2邑=3邑+6,則％=.

2.（2024?甘肅張掖?一模）設"是等差數列｛4｝的前幾項和，若%+%=18,4%+4=36,則&=

3.（2024?重慶?模擬預測）已知等差數列｛4｝滿足Q4+Q5=5,3%+%=17,則前n項和Sn=

真題13三角恒等變換真題解題技巧

＞龔到（2024年新高考n卷高考真題）已知。為第一象限角，夕為第三象限角，tana+tan〃=4,

tanatan力=V2+1,則sin(cr+0)=.

年題型解裱

本題是三角函數求值問題，已知a為第一象限角，夕為第三象限角，以及tanc+tan/?與tanotan,

的值，要求sin（a+〃）的值。需要先根據兩角和的正切公式求出tang+,），再結合三角函數關系求出

sin（tz+/?）.

【解法一】

【解法二】

,/////////////////////////////////////////////////A法匕寅/////////////////////////////////////////////////A

1.(2024?陜西寶雞?二模)已知sin(a-0=2cos(a+6)，tan(a-￡)=；,貝！|tanor-tan/?=.

2.(2024?河南?模擬預測)己知角名"的終邊不重合，且sina+2cos〃=sin/?+2cosa,則cos(?+A)=

3.（2024?四川?模擬預測）VABC中，3sinA+4sin3+18sinC的最大值為.

真題14排列組合真題解題技巧

（2024年新高考H卷高考真題）在如圖的4x4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有

一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數之和的最大

值是

11213140

12223342

13223343

15243444

年題型解裱

本題是一個關于組合計數以及求最值的問題。在4x4的方格表中按特定規則（每行每列恰選一個方格）

選方格，先求選法的數量，再在這些選法中找出所選方格數字之和的最大值。

裁這里用

【解法一】直接求解

【解法二】貪心算法策略優化（第二空）

【解法三】匈牙利算法（第二空）略

1.（2025?江西九江?一模）如圖，有一個觸屏感應燈，該燈共有9個燈區，每個燈區都處于"點亮"或"熄滅"

狀態，觸按其中一個燈區，將導致該燈區及相鄰（上、下或左、右相鄰）的燈區改變狀態.假設起初所有

燈區均處于"點亮"狀態，若從中隨機先后按下兩個不同燈區，則氏G燈區最終仍處于"點亮”狀態的概率

為.

□Z

H三M

JL□

2.（2024?遼寧?模擬預測）若集合A,民C,。滿足A,B,C都是。的子集，且AcB,BcC,AC均只有

一個元素，且ABC=0,稱（A,3,C）為。的一個"有序子集列"，若。有5個元素，則有多少個"有序子

集列“

3.（2024?河南新鄉?一模）如圖，機器人從A點出發，每次可以向右或向上沿著線走一個單位（每個小正

方形的一條邊長為一個單位），要走到B點，不同的走法共有種.

真題15解三角形解答題真題解題技巧

（2024年新高考H卷高考真題）記VA3C的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

sinA+&cosA=2.

⑴求A.

(2)若a=2,缶sinC=csin2B，求VABC的周長.

燃型解裱

本題是一道三角函數與解三角形相結合的題目。第一問要求根據給定的三角函數等式求出角A的值；第

二問在已知。的值以及反c相關等式的情況下，求出.ABC的周長，需要綜合運用三角函數公式以及正弦

定理、余弦定理等知識來求解。

技彼運用

【解法一】常規方法（輔助角公式）

【解法二】常規方法（同角三角函數的基本關系）

【解法三】利用極值點求解

【解法四】利用向量數量積公式

【解法五】利用萬能公式求解

1.(2025?江蘇蘇州?模擬預測)0ABC中,角A、B、C的對邊為a,b,c,已知sin?A-sii?力-sin2C=sinBsinC,

日ff

HAB-AC=-2-

⑴求角A的大?。?/p>

(2偌a=25求fflABC的周長的值.

2.(2025?山東濰坊?模擬預測)記VABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

(b+c)sinB={a+c)(sinA—sinC).

⑴求A；

(2)若NA4c的角平分線A。與BC交于點。，且6=2,AD=\.求VABC的面積，

3.(2025?四川?二模)記銳角VABC的內角A、B、C的對邊分別為a,b,c,已知asin3二一一

1+tanB

⑴求sinA的值.

(2)若匕=&,求。邊上的高的取值范圍.

真題16導數解答題真題解題技巧

＞算帚(2024年新高考II卷高考真題)已知函數/(%)=ex-ax-a\

⑴當。=1時，求曲線y=/(尤)在點(1J(D)處的切線方程;

(2)若/(x)有極小值，且極小值小于0,求a的取值范圍.

本題是關于函數導數應用的問題，第一問求函數在某點處的切線方程，需要先求出函數的導數，進而

得到切線斜率，再結合切點坐標求出切線方程；第二問根據函數有極小值且極小值小于0求參數的取值范

圍，需要通過對函數求導分析其單調性，進而確定極小值點，再根據極小值小于。建立不等式求解。

技彼運用

【解法一】

【解法二】

1.(2025?江西?一模)已知函數〃尤)=(彳-4)%'.

(1)當。=0時，求〃x)的圖象在點(1,/。))處的切線方程；

(2)討論〃x)的單調性，并求當〃工)的極大值等于4時，實數。的值.

2.(2025?安徽?模擬預測)已知函數/(x)=xlnx-ax.

⑴當。=0時，求函數/(X)的單調區間；

(2)若對任意xe(0,M),/(耳4/+2恒成立，求實數。的取值范圍.

3.(2024?廣東韶關?一模)已知函數〃x)=(x-l)e，—加aeR.

(1)當a=0時，求函數“X)的圖象在點(1,7(1))處的切線方程；

(2)討論函數/(X)的單調性；

(3)&g(x)=lnx-er-x2+x,若〃x)2g(x),求實數”的取值范圍.

真題17立體幾何解答題真題解題技巧

＞哀帚(2024年新高考II卷高考真題)如圖，平面四邊形ABC。中，AB=8,CD=3,AD=543,

.21

ZADC=90°,NBAD=30°,點E,/滿足4片=《4。，AF=-AB,將△△￡尸沿Er翻折至！PEF,使得

PC=4石.

p

AD

⑴證明：EF±PD；

⑵求平面PC。與平面尸3尸所成的二面角的正弦值.

■莖幽裱

本題是立體幾何中的折疊問題，第一問證明線線垂直，可通過線面垂直的性質來證明；第二問求二面

角的正弦值，可利用空間向量法或傳統幾何法等，先找出二面角的平面角或建立空間直角坐標系求出相關

向量，再進行計算。

【解法一】空間向量法

【解法二】向量法-基底向量證明線線垂直（第一問）

【解法三】純幾何法（第二問）

【解法四】三垂線法

砥技法演稱

1.（2025?湖北?模擬預測）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，24,平面ABC。，底面ABCD是矩形,

PA^AD=2AB=4,M是PO的中點.

（1）證明：PB〃平面40C.

（2）證明：尸￡>_L平面ABM.

⑶求平面BCM與平面ABM的夾角.

2.（2025?福建廈門?一模）如圖，在三棱柱A8C-A4G中，\B=\C=\A=2,BAIBC,BA=BC.

（1）證明：平面ABC，平面ACC0；

⑵若直線AB與平面ABC所成角為60。，求平面A4c與平面ABC夾角的余弦值.

3.（2025?河南洛陽?模擬預測）如圖，在四棱錐中，底面A3C。是直角梯形，API平面A3CD,

AB!/CD,ADJ.AB,AB=2.AP=2CD=2,AD=^>'E為AD上的動點，且滿足AE=/IAD（O<2<1）.

2

⑴當彳=耳時，證明：PCLBE；

⑵記平面R4B與平面PBE的夾角為a,平面尸BE與平面PCD的夾角為夕，若a=/3,求2的值.

真題18概率統計解答題真題解題技巧

（2024年新高考H卷高考真題）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽

具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績為0

分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分,

未投中得0分.該隊的比賽成績為第二階段的得分總和.某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的

概率為P，乙每次投中的概率為q,各次投中與否相互獨立.

(1)若p=0.4,4=0.5,甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率.

(2)假設。<P<4,

(i)為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？

(ii)為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？

本題是一道關于概率計算與決策的問題，涉及獨立事件概率的應用。比賽分為兩個階段，根據不同階

段的投籃規則和隊員投籃命中概率，計算比賽成績滿足一定條件的概率以及確定使比賽成績期望最大的人

員安排。

技彼運用

【解法一】

【解法二】第一問

旗技法演秣

1.(2024,新疆烏魯木齊?模擬預測)甲、乙、丙、丁相約進行臺球比賽，約定每輪比賽均將四人分成兩組，

進行一對一對打，第1輪比賽甲、乙對打，丙、丁對打，每輪比賽結束后，兩名獲勝者組成一組在下一輪

比賽中對打，兩名負者組成一組在下一輪比賽中對打，每組比賽均無平局出現.已知甲勝乙、丙勝丁的概

率均為1，甲勝丙、甲勝丁、乙勝丙、乙勝丁的概率均為g，每組比賽的結果相互獨立.

⑴求在第3輪比賽中，甲、丙對打的概率；

(2)求在第"輪比賽中，甲、乙對打的概率及甲、丙對打的概率；

⑶求在第”輪比賽中，甲獲勝的概率.

2.(2025?廣東肇慶?二模)購買盲盒成為當下年輕人的潮流之一、其最吸引人的地方是因為盒子上沒有標注

物品具體信息，買家只有打開才會知道自己買到了什么.某商店推出20種款式不同的盲盒，購買規則及概率

如下：每次購買一個，且買到任意一種款式的盲盒是等可能的.小劉特別喜歡20種款式中的一種.

⑴若20種款式的盲盒各有一個.

(i)求小劉第二次才抽到特別喜歡的款式的概率.

Cii)設小劉抽到特別喜歡的款式所需次數為X,求X的數學期望E(x).

(2)若每種款式的盲盒數量足夠多，每次盲盒被買后老板都會補充被買走的款式.商店為了滿足客戶的需求，

引進了保底機制：在抽取前指定一個款式，若前9次未抽出指定款式，則第10次必定抽出指定款式.設y為

小劉抽到某指定款式所需的次數，求y的數學期望E(y)(參考數據：0.959x0.63,結果保留整數).

X12L1920

1111

PL

202020