2024-2025學年下學期高三年級模擬預測

數學試卷

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

一,單項選擇題：本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1,已知集合4={""<3}，5={-1,0,1,2,3},則4仆3=()

A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}

2.已知復數z滿足|z—(l+2i)|=0,其中i是虛數單位，則忖=()

A.5B.75c.1D.2

3.已知向量扇B滿足心+閘=2技萬”萬—25),且B=則尼卜()

A.73B.2C.6D.3

4.已知。為坐標原點，廠為拋物線石：/=2〃y(p>0)的焦點，A為E上的一點，AF垂直于V軸，8為V軸上一點，且

/胡0=90°,若|冏=46,則。=()

A.6B.2月C.473D,873

CL

5.已知銳角a滿足3sinc+4cosc=4,則tan—=()

2

43125

A.-B.-C.—D.—

34512

6.已知=卜osx+sinx,則曲線y=/(x)在％=0處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為()

7-4百?7+40

D.D.2

2-----------------------------2

7.若=ao+q(l+x)+a2(l+x)-H--1-010(1+%)1°,(?,eR,i=0,1,2?)，則%=()

A.180B.-180C.-90D.90

8.中國古建筑聞名于世，源遠流長.如圖1所示的五脊殿是中國傳統建筑中的一種屋頂形式，該屋頂的結構示意圖如圖

2所示，在結構示意圖中，已知四邊形ABCD為矩形，EF//AB,AB=2EF=2,VADE與VBCF都是邊長為1的等

邊三角形,若點A,B,C,D,E,尸都在球O的球面上，則球O的表面積為()

圖1圖2

二,多項選擇題：本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部

選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.

9.比較兩組測量尺度差異較大數據的離散程度時，常使用離散系數，其定義為：離散系數=笠瞪.某地區進行調研

均值

考試，共40000名學生參考，測試結果（單位：分）近似服從正態分布，且平均分為57.4,離散系數為0.36,則下列說法

正確是（）

（附：若隨機變量Z服從正態分布N（〃,〃）,尸?—4<cr）儀0.68.）

A.學生考試成績標準差為57.4x0.36=20.664

B學生考試成績近似服從正態分布N（57.4,0.362）

C.約有20000名學生成績低于58分

D.全體學生成績的第84百分位數約為78

10.已知函數了（%）=尤3T3%2一3卜加，則（）

A./（%）只有1個極小值點

B.曲線y=/（x）在點（3,/（3））處切線斜率為9

C.當〃％）有3個零點時，加的取值范圍為（—3,1）

D.當〃％）只有1個零點時，機的取值范圍為3）U（L”）

11.如果定義在R上的函數fix）,對任意兩個不相等的實數與，與，都有%/（再）+X2/（%2）>XJ（X2）+々/（刈），則稱

函數f（x）為“H函數”,下列函數是“H函數”的有（）

A.丁=即+1B,y=3x+2（sinx-cosx）

°oflnx,x>0

C.y=x3-3x2+3x+3D.y=]

x,x<Q

三，填空題：本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.已知直線/:y—1=左（X—1）被圓C:（x—2y+（丁—2）2=產（廠>0）截得的最短弦長為2后，則廠=.

13.在某次國際商貿交流會展期間,舉辦城市為了提升安保級別,在平時正常安保的基礎上再將甲，乙等6名特警人員分

配到展區附近的4個不同的路口進行執勤，若每個特警只能分配去1個路口且每個路口至少安排1名特警，則甲和乙不

安排在同一個路口執勤的概率是.

14.黎曼猜想由數學家波恩哈德?黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題.黎曼猜想涉及到很多領域的應用，有

些數學家將黎曼猜想的攻堅之路趣稱為：“各大行長躲在銀行保險柜前瑟瑟發抖，不少黑客則潛伏敲著鍵盤蓄勢待發”.

CO1111-JI1

黎曼猜想研究的是無窮級數由s)=?f=；7+菽+￡+…，我們經常從無窮級數的部分和;7+菽+菰+…+=

〃=1123123n

/\r~\

11111

入手.已知正項數列｛4｝的前〃項和為5“，且滿足S,=5an+—，則—+—++=______(其中國表示

a

2InJ_ES2品)。_

不超過X的最大整數).

四,解答題：本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

15.在VABC中，角4,2,C所對的邊分別為。，"c.已知c—0=1"=后，內角ABC成等差數列.

(1)求。的值及VA3C的面積.

(2)求tan(2A+B)的值.

3

16.已知數列｛??｝的前n項和為5“，％=5,S“=2an+l-3.

(1)求數列｛4｝的通項公式.

⑵若2=5+1)4,求數列也｝前"項和卻

2

n+n

(3)若%=-----,求使cn取得最大值時的〃的值.

‘冊

17.如圖，在三棱柱A3C—4用01中，AB±AC,AB=^3AC=3,AD=2DB,0為BC中點，平面ABC

G

(2)若A&=26，求二面角3—A4—。的余弦值.

22

18.已知橢圓E:=+與=1(。〉6〉0),兩焦點和短軸一個端點構成邊長為2的正三角形.

a"“

(1)求橢圓方程.

(2)設直線人：y=6+根與橢圓E相切于第一象限內的點P,不過原點。且平行于4的直線4與橢圓E交于不同的

兩點A,B,點A關于原點0的對稱點為C.記直線OP的斜率為h,直線BC的斜率為k2.

①求2的值?

②若0,P,B,C四點圍成的四邊形為平行四邊形,求請”的值.

19.設函數力(%)=/+訛"(其中a是非零常數，e是自然對數的底)，記力(x)=/L(x)22,“eN*).

(1)求對任意實數x,都有力(X)=/T(X)成立的最小整數〃的值("之2,"eN*).

(2)設函數g,(x)=>^(x)+力(x)+…+/,(%),若對任意“23,"eN*,>=8“(%)都存在極值點％=。，求證：點

4(gg?(4))(〃23,〃eN*)在一定直線上,并求出該直線方程.

(3)是否存在正整數k(k>2)和實數%,使工(%)=九<X。)=。且對于任意〃eN*,力(%)至多有一個極值點，若

存在，求出所有滿足條件的左和與,若不存在，說明理由.

2024-2025學年下學期高三年級模擬預測

數學試卷

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

一,單項選擇題：本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.已知集合4={"“2＜3}，5={-1,0,1,2,3},則4口5=()

A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}

【答案】C

【分析】先求得集合A={尤|-4＜%＜也),再根據集合交集的概念及運算即可求解.

[詳解]'.-A=[x\/＜3}=k|一逝＜》＜6],5={一1,0』,2,3},r.403={_1,0,1}.

故選：C.

2.已知復數z滿足|z—(l+2i)=0,其中i是虛數單位，則目=()

A.5B.V5c.1D.2

【答案】B

【分析】求出復數z,利用復數的模長公式可求得忖的值.

【詳解】因|z-(l+2i)|=0,則z=l+2九故忖=爐兩=逐.

故選：B.

3.已知向量扇B滿足忖+石|=2石,〃(萬—25)，且B=則向=()

A.73B.2C.D.3

【答案】D

【分析】由題意可得/=2￡石，片=2，又B+石|=2石，可得a2+2a.b+b=20，可求。.

【詳解】因辦所以2(12可=0,所以/_2^=0,所以7=2￡.私

又因為B+,=2婿，所以￡2+2￡石+3=20,又所以了=I+I=2.

所以d+2=20,所以/=9,所以1=3

故選：D.

4.已知。為坐標原點，/為拋物線氏/=20(。＞0)的焦點，A為E上的一點，AF垂直于y軸，8為y軸上一點，且

NBAO=90°,若|所|=46，則P=()

A.y/3B.2GC.473D.873

【答案】B

【分析】利用數形結合,通過三角形相似找到|A殲=|。目忸刊的關系,建立關于P的等式,進行求解.

【詳解】根據題意作下圖：

?.■ZBAO=90°.

:.ZOAF+ZBAF=90°.

；AF垂直于y軸.

:.ZAFO=ZBFA=90°.

.-.ZAOF+ZOAF=90°.

:.ZBAF=ZAOF.

:.AAFO^ABFA.

AF_OF

,5F-AF

.-.|AF|2=\OF\\BF\.

又???|0刊=,,/1=，

/.p1=gx4百.

解得p=26.

故選:B.

a

5.已知銳角。滿足3sina+4cosa=4,則tan一二()

2

43125

A.—B.-C.—D.——

34512

【答案】B

【分析】整理齊次式方程,利用同角平方式整理方程,根據二倍角公式,結合角的取值范圍,可得答案.

【詳解】由3sina+4cosa=4,則(3si""+4cos")一不

si.n?￡z+cos2a

r/曰9tan26Z+24tancir+16.,

可得---------------------二16.

tan。+1

24

化簡可得7tan2a—24tani=0,由角。為銳角，則tana=]_.

2tan]

由tana=------,整理可得IZtan?——b7tan12=0.

1-tan2^22

2

分解因式可得131211看+4]]41211今—31=0.

ry(y3

由角上為銳角，解得tan—=—.

224

故選：B.

6.已知/(x)=/1m]cosx+sinx,則曲線y=/(x)在％=0處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為()

A.7-4石B.7+4追C.1D.2

222

【答案】A

【分析】首先對原函數求導并結合賦值法求解原函數,再利用導數求出切線方程,求出切線和坐標軸的交點,最后得到三

角形面積即可.

【詳解】因為/(X)=f^l^cosx+sinx,所以f\x)=一/'{^sinx+cosx.

3j

兀/DHt兀、rt\兀、?兀兀

令A》=得到/(4)=一/不卜m^+cosw.

化簡得/(三)=—卜咚+g,解得尸n2-c.

代入回原函數得到/'(X)=(2—Gkosx+sinx.

而/(0)=2—6,故切點為(0,2—代).

而r(x)=-(2-Gbinx+cosx,/'(0)=1.

設曲線y=/(x)在％=o處的切線斜率為相

由導數的幾何意義得k=/'(0)=1.

故切線方程為y—(2—A/3)=x,化簡得y=x+2-6.

令x=0,得到y=2—C，所以與＞軸交點為(0,2-百).

令y=0,得到X=8-2,所以與X軸交點為(6-2,0).

且設三角形面積為S,故S=gxp—詞Xm故A正確.

故選：A

7.若什爪尤1=ao+q(l+x)+a2(l+無)-^-htijQ(l+x)'°,(?；eR,z=0,l,2?)，則％=()

A.180B.-180C.-90D.90

【答案】A

【分析】由(1+2x)i°=[2(1+x)~I]10寫出其通項公式，依題意對「賦值即可求得與.

【詳解】因(1+2x)1°=[2(1+x)-1]10,其二項展開式的通項為：

10rr，10r

7；+1=q0[2(l+x)]-(-l)=(-l),2-C[0(l+x)g,=0,1，…,10.

222

而4是4(1+XT的系數,故只需取廠=8,得7；=2C^0(l+x)=l80(1+x).

即%=180.

故選：A.

8.中國古建筑聞名于世，源遠流長.如圖1所示的五脊殿是中國傳統建筑中的一種屋頂形式，該屋頂的結構示意圖如圖

2所示，在結構示意圖中，已知四邊形ABC。為矩形，EF//AB,AB=2防=2,VADE與VBCF都是邊長為1的等

邊三角形,若點A,B,C,D,E,尸都在球O的球面上,則球0的表面積為()

1171

D.——

2

【答案】D

【分析】如圖,根據球的性質可得1平面ABCD,根據中位線的性質和勾股定理可得MOX，PQ且=受，分

2

類討論當。在線段上和。在線段Mq的延長線上時2種情況,結合球的性質和表面積公式計算即可求解.

【詳解】如圖，連接AC,瓦)，設ACcBOn。].

因為四邊形ABCD為矩形，所以。i為矩形ABCD外接圓的圓心.連接OOX.

則OO]，平面ABCD,分別取EF,AD,BC的中點M,P,Q.

根據幾何體ABCDEF的對稱性可知,直線OOX交EF于點M.

連接PQ,則尸。〃AB，且。?為PQ的中點，因為EF//AB,所以PQ//EF.

設。0］=加，球。的半徑為R,連接0E,0A.

21

當0在線段OXM上時，由球的性質可知R2=0E=0A.

當。在線段的延長線上時，由球的性質可知.

立］+m2=［也+［工］,解得冽=1,所以尺2=0石2=。.

I2J〔2J⑵48

11JT

所以球O的表面積S=4兀氏2=一.

2

故選：D.

【點睛】求解外接球問題的關鍵在于確定球心的位置,而確定球心位置的依據一是球心到球面上各點的距離都等于球的

半徑,二是球心與截面圓圓心的連線垂直于截面.由此出發,利用一些特殊模型,或借助一般方法,即可確定外接球球心

的位置.

二,多項選擇題：本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部

選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.

9.比較兩組測量尺度差異較大數據的離散程度時,常使用離散系數,其定義為：離散系數=匚竟.某地區進行調研

均值

考試，共40000名學生參考，測試結果（單位：分）近似服從正態分布，且平均分為57.4,離散系數為0.36,則下列說法

正確是（）

（附：若隨機變量Z服從正態分布N（〃,〃）,尸?—4<cr）儀0.68.）

A.學生考試成績標準差為57.4x0.36=20.664

B.學生考試成績近似服從正態分布N（57.4,0.362）

C.約有20000名學生的成績低于58分

D.全體學生成績的第84百分位數約為78

【答案】ACD

【分析】對于A,根據離散系數=求出標準差,對于B,根據正態分布公式N(〃,b2)判斷B,對于C,求出低于

58分概率,根據總人數,得到低于58分人數,判斷C,對于D,利用正態分布曲線性質和百分位數的定義判斷D.

【詳解】對于A,根據離散系數=賁,平均分為57.4,離散系數為0.36,可得標準差為57.4x0.36=20.664,故A

2均值

正確.

對于B,測試結果(單位：分)近似服從正態分布,則學生考試成績近似服從正態分布N(57.4,20.6642),故B錯誤.

對于C,平均分為57.4,所以成績低于58分得概率約為0.5,所以約有40000x0.5=20000名學生的成績低于58分,故

C正確.

對于D,又因為84%=0.5+等，且P(|Z-//|<cr)?0.68,所以全體學生成績的第84百分位數約為

M+cr=57.4+20.664a78,故D正確.

故選：ACD.

10.已知函數=%3一3好一3卜加，則()

A.7(x)只有1個極小值點

B.曲線y=/(x)在點(3,/(3))處的切線斜率為9

C.當有3個零點時，機的取值范圍為(—3,1)

D.當〃龍)只有1個零點時，加的取值范圍為3)U(1,”)

【答案】BCD

【分析】分1之1或xV-L,-1<%<1兩種情況討論，利用導數說明函數的單調性，即可求出函數的極值點，即可判斷

A,B,根據零點的個數得到不等式組,即可判斷C,D.

【詳解】因為"％)=三—|3X2—3卜江

當xNl或時=一3X2+3-m,則/f(x)=3x2-6x=3x(%-2).

所以當無>2或xV-1時/"(x)>。，當1W%<2時/''(x)<0.

所以了(九)在(f,—1],(2,+8)上單調遞增,在[1,2)上單調遞減.

當一1<X<1時=+3x2-3-m,則/'(x)=3x2+6x=3x(x+2).

所以當0<x<l時/"(x)>。，當—l<x<0時/''(HvO.

所以"%)在(0,1)上單調遞增,在(-1,0)上單調遞減.

則〃力在x=0,x=2處取得極小值,故“X）有2個極小值點,故A錯誤.

因為/■'（3）=3x32—6x3=9,所以曲線y=/（x）在點（3,/（3））處的切線斜率為9,故B正確.

令g（尤）=—p九2—3|.

則g（x）的圖象如下所示：

其中“X）的圖象是由g（x）的圖象向下（m>0）或向上（加<0）平移帆個單位得到.

因為/(-1)=_]_?/,/(0)=-3-m,/(1)=1-m,f(2^=-l-m.

[/(1)>0f/(-l)>0

要使〃龍）有3個零點，則<或/(-1)=/(2)=0.

[〃2)<0-或，]〃0)<0

1-m>0—1—m〉0

或《與八或一1一加二0,解得一1vmvl或一3=

-3-m<0

綜上可得加的取值范圍為（-3,1）,故C正確.

要使〃龍）只有1個零點，則/⑴<0或/⑼>0,即1—加<0或—3—加>0.

解得加〉1或772<—3,即機的取值范圍為（f3）U（L+s）,故D正確.

故選：BCD

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是利用導數說明函數的單調性,從而畫出g（%）=%3龍2-3|的圖象，將函數的零點

問題轉化為函數與函數的交點問題.

11.如果定義在R上的函數/（%）,對任意兩個不相等的實數均，X2,都有Xl/（X1）+X2/（X2）>%/（%2）+々/（王），則稱

函數/(%)為“〃函數”,下列函數是函數”的有()

A.丁=即+1B.y=3x+2(sinx-cosx)

々°fInx,x>0

C.y=x-3x+3x+3D.y=]

x,x<Q

【答案】BC

【分析】新定義變形為函數是增函數,因此只要確定函數是不是增函數即可得.

【詳解】因為%，(%)+々A尤2)>%)，所以(％—W)[/(/)一/(9)]>0?

即%>%2時，/&)>/(%)恒成立,因此/(%)是增函數.

/(x)=JV+1時，/(-x)=eH+l=eW+l=/(%)為偶函數,在定義域內不可能是增函數,A不滿足新定義.

/(x)=3x+2(sinx-cosx),貝i]/'(x)=3+2(cosx+sinx)=3+2&sin(x+工)>0恒成立,所以/(%)是R上的增

4

函數,滿足新定義.

f(x)=x3-3x2+3x+3,/'(x)=3必—6x+3=3(%—i0恒成立,/(%)是R上的增函數,滿足新定義.

lnx,x>01

/(%)=c時，/(-I)=/(一)=一1,/(X)不是定義域內的增函數，不滿足新定義.

x,x<Ge

故選：BC.

【點睛】本題考查新定義,解題關鍵是理解新定義,通過變形新定義轉化為函數的單調性,然后通過導數或單調性定義

確定函數在定義域內是否為增函數即可得.

三，填空題：本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.已知直線l:y-l=Mx—1)被圓C:(x—2『+(y—2『=r2(r>0)截得的最短弦長為20，則廠=.

【答案】2

【分析】根據定點及兩點間距離公式得出圓心到直線距離的最大值，進而結合圓的弦長公式，得到弦長

/=2廠計算即可求解?

【詳解】由題意，圓C:(尤—2『+(y—2)2=/(廠>0),可得圓心。(2,2),半徑廠.

/:丁_1=左(X_1)過定點(1,1)

則圓心到直線/：y—1=左(x—1)的距離為4mx=41-2)2+(1—2)2=④.

可得截得弦長Ln=24$-4二2=2J/2—2=2A/2.

弦長取得最小值2拒時，r=2.

故答案為：2.

13.在某次國際商貿交流會展期間,舉辦城市為了提升安保級別,在平時正常安保的基礎上再將甲，乙等6名特警人員分

配到展區附近的4個不同的路口進行執勤，若每個特警只能分配去1個路口且每個路口至少安排1名特警,則甲和乙不

安排在同一個路口執勤的概率是.

【答案.

【分析】根據給定條件,利用分組分配求出試驗的基本事件總數,再求出甲乙安排在同一路口的事件含有的基本事件數,

然后用對立事件概率公式計算即得.

0202

【詳解】6名特警分配到展區附近的4個不同的路口進行執勤，不同安排方法數為(或+憐閨.

甲乙安排在同一路口，視甲乙為一個人,5個人安排到4個路口的安排數為C；A：.

C閨w_2_

-

因此甲和乙安排在同一個路口執勤的概率是心3C；C：、46513.

?+》)AA：

所以甲和乙不安排在同一個路口執勤的概率是1-2=口.

1313

故答案為：一

13

14.黎曼猜想由數學家波恩哈德?黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題.黎曼猜想涉及到很多領域的應用，有

些數學家將黎曼猜想的攻堅之路趣稱為：“各大行長躲在銀行保險柜前瑟瑟發抖，不少黑客則潛伏敲著鍵盤蓄勢待發”.

001111111

黎曼猜想研究的是無窮級數==R+9+至+…，我們經常從無窮級數的部分和雙+菽+至+…+=

n=l123”

1(]'

入手.已知正項數列｛4｝的前〃項和為s“，且滿足S,=5an+—，則----1------1-…H------=（其中[司表小

anJ

不超過X的最大整數).

【答案】38

【分析】根據已知結合前〃項和與通項關系,可得｛S；｝為等差數列,進而求出S“=品,再利用

2(V?+1-V?)<-^―,以及當時，白7<2(6-JUj,求出,+?+…+三」一的范圍.

即可求出結論.

1(11_1,

【詳解】當”=1時，％=5=—%H—,%=一,=1,>0,；.%=1=1.

21aja]

當“22時，an=Sn-S,T,/.2S“=Sn-S“_i+[,S“+.

七一“一1七一》〃一1

/.S；-st=1,同｝是以1為首項,公差為1的等差數列，=〃.

=&,2『一呵=后力卷

?.?a“>0,.?.5">0,.?.S.

22］

又〃>］時，=<-/=-r=<2（4n-4n^l\即丁<2（冊—

2S“y/n+sjn-l''Sn

「111

令S=---1--------F???H-----------

S］S251400

8〉2］（聞!一^^）+（7555—7^）+?..+（0-1）］=2（廊1—1）>38.

S<2^(7400-7399)+(7399-^98)+???+(V2-1)+1=2(7400-1)+1=39.

即38<S<39,從而[S]=38.

故答案為：38

【點睛】關鍵點點睛：本題以數學文化為背景,考查數列的前〃項和與通項的關系,數列前〃項和的范圍,構造新的等

差數列｛S；｝以及用放縮法求數列和是解題的關鍵,注意常見的裂項相消法求和的模型.

四,解答題：本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

15.在VA5C中，角45C所對的邊分別為a,6,c.已知c—a=l"=&L內角A,B,C成等差數列.

(1)求。的值及VA3C的面積.

(2)求tan(24+3)的值.

【答案】(1)。=4,5瓜

(2)-^1

13

TT

【分析】(1)由等差數列的中項性質及三角形內角和定理可得3=],利用余弦定理即可出。的值，再由三角形面積公

式即可求解.

(2)利用正弦定理求出sinA=2立，根據同角三角函數的商關系求出tanA,然后根據二倍角公式即可得出tan2A,

7

最后根據兩角和的正切公式即可求解.

【小問1詳解】

由角A,3,C成等差數列,可得25=A+C.

71

結合三角形內角和定理4+。+3=兀，可得3=

由余弦定理/=4+02—2accos3,代入已知條件得：

21=a"+(a+1)'—+1),化間得，ci"+a—20=0

解得a=4,或。=一5(舍去)，所以a=4.

又因為c—a=l,所以c=a+l=5.

由三角形面積公式S='acsin3,得：S=—x4x5x——=5\/3-

222

小問2詳解】

利用正弦定理=可得.,asinB4X2s.

sinAsinBsinA=---=-^T-=--

a=4<A/ZT=b，則角A為銳角.

所以cosA-A/1-sin2A=

7

2A/74石

“i4sinA72A/32T-^=-473

所以tanA=-----=；——=tan2A-

cosA,213

1-UJ-3

故tan(2A+5)=]—荔36

IT-

3

16.己知數列｛??｝的前〃項和為5“，6=/,Sn=2an+l-3.

(1)求數列｛為｝的通項公式.

(2)若勿=（〃+1）%,求數列出｝的前〃項和小

n2+n

(3)若c“=-------，求使Cn取得最大值時的〃的值.

4

n

3

【答案】（1）an=

n+1

⑵7；=3+2(“-1)(|J

(3)“=4或〃=5

a3

【分析】（1）根據%,s”的關系，作差可得3n+=｝即可根據等比數列的定義求解.

an,

n

（2）由（1）求得〃+I,利用錯位相減法可求］.

c2（n+l）,,>

（3）根據j（>1,可得〃<5,從而判斷｛c.｝的單調性,即可求解.

Cn-X3（〃一

【小問1詳解】

39

因為H=24—3且百=%=5,所以出=『

由Sn=2a“+i—3,可得:S〃T=2an-3(w>2).

兩式相減得：=S〃-=2an+l-2an.

因為。“wO,所以“N2,冬a=；

a,33

又—=7,綜上，n之1，---=不.

?i2an2

3

所以｛4｝是首項和公比均為§的等比數列.

【小問2詳解】

3n

由題意，用=（"+1

I+…+(〃+1){|]①

…X4+3X圖;同

3II卜鐘山i+…+（向唱「

~Tn=2x

①-②得

2nn+1

」雹=3+3333

I+L...—5+i)

22+

9

—xi-

43n+l

=3+——

n+l

393|-（〃+嗚）=T（~）圖

---1--x

22

?口=3+2(I)1|)n+l

【小問3詳解】

由（1）可得，所以g

C2(n2+n)2(n+l)

”22時，由j=~(=甘~K〉l,可得〃<5.

*3n2-?3?-1

當"5時，G＜。2＜。3＜。4,當〃＞5時，。5〉。6＞。7＞??.

當“=4時,c4m42+4)=票

當〃=5時,。5=（|）（5?+5）=等.

所以。4=。5.

所以q<02<Q<。4=。5>。6〉。7〉…?

320

綜上，〃=4或〃=5時，％取得最大值——.

81

17.如圖，在三棱柱A3C—4四01中，AB±AC,AB=^3AC=3,AD=2DB,。為5c的中點，4。，平面ABC

C,

（2）若A&=2j§,求二面角5—A4—。的余弦值.

【答案】（1）證明見解析，

⑶3m

\X7----------------.

13

【分析】（1）根據給定條件，借助余弦定理及勾股定理的逆定理證得再利用線面垂直的判定，性質推理即得.

（2）由（1）的信息以。為原點建立空間直角坐標系,利用面面角的向量求法求解即可.

【小問1詳解】

在三棱柱ABC—A4G中，AB±AC,AB=gc=3,則ZACB=60°,OA==月.

由AB=3,AD=2DB,得DB=1,在2BO中,ZDBO=3U,DB=1,OB=6.

由余弦定理。。2=F+（6）2-2xlx百xcos30°=1,得。D=l,O^+OD2=4=AD2.

于是49,OD,由A。，平面A5c8u平面ABC,得A。，。。.

而40040=。,4。，40<=平面AQ4],因此OD_L平面AOA]，又44u平面

所以1OD.

【小問2詳解】

由（1）知，兩兩垂直，以。為原點，直線0A分別為羽％z軸建立空間直角坐標系。—孫z.

由伍=26,AO=G,得4。=3,則A(g,0,0),4(0,0,3),3(—管,1,0).

于是眼=（孝,-|,3）,麗=（孚1,0），設?=（x,y,z）為平面ABA1的一個法向量.

1+3z=。

22-

則＜取x=JL得而=（6,3,1）,顯然分=（0,1,0）為平面AOAJ的一個法向量.

M"=0

122，

因此cos（m,n）=萼！=」==型』，顯然二面角B-AA.-0的大小為銳角.

\m\\n\V1313

所以二面角B-AA1-0的余弦值為圭叵.

13

18.已知橢圓E:=+與=1（〃〉6〉0）,兩焦點和短軸一個端點構成邊長為2的正三角形.

a~b~

（1）求橢圓方程.

（2）設直線Cy=kx+m與橢圓￡相切于第一象限內的點尸，不過原點。且平行于《的直線6與橢圓E交于不同的

兩點A,B,點A關于原點0的對稱點為C.記直線OP的斜率為h,直線BC的斜率為左2.

①求春的直

②若0,P,B,C四點圍成的四邊形為平行四邊形，求合坦的值.

^APAB

22

【答案】（1）'+匕=1

43

（2）①”，②臺*；或1

《2^^PAB3

【分析】（1）根據已知條件確定a,C,即可求解

（2）①根據直線4與橢圓E相切于第一象限內的點P,求出占，再根據〃/以設出h的方程,表示出B,C的坐標,得到

BC的斜率42,由此可求3,②根據已知條件與平行關系確定辮=■幽=陰=—，由平行四邊形確定

k

■2S^PABS&QAB\QN\m-n

4m2n2=（4左2+3）,再結合〃/=4左2+3,得加=±2",分兩種情況求解即可.

【小問1詳解】

由題意a=2c=2,從而a=2,c=l,b-

22

所以橢圓方程為土+匕=1.

43

【小問2詳解】

y=kx+m

①由＜犬2y2消y得（442+3）/+8^^+4m2-12=。（*）.

丁丁一

由△=（8物2）2—4（4左2+3）（4%2—12）=0,得病=4r+3.

此時方程（*）可化為：m2x2+Sknvc+16k2=0.

4”

解得：x=——（由條件可知：k,m異號）.

m

4km2-4k23

設P（x,%）,貝Ijx=--,y=kx+m=k-+m=-----------=——

00m00mmm

因為〃〃2,所以可設直線4：y=履+〃（〃w0,〃wm）.

y=kx+n

由＜%2,2消y得（4左2+3）龍？+4〃2—12=0.

[43

當A＞。時,方程有兩個不相等的實根.

-8kn

設A（%,%）,_8（%2,%），則%1+九2二W-12

4FT3,X1X2=7F73

因為A,C兩點關于原點對稱,所以c（—玉,—K）,所以,

7V?+Vikx^+n+kx.+n,In,2n,4k2+33

左=△=------!——=k+---------=k+—石—=k-----------=------

x2+玉x2+/x2+演4k4